Unghiuri

Relațiile dintre unghiuri ne ajută să calculăm măsuri necunoscute fără raportor. Folosim suma unghiurilor adiacente, egalitatea unghiurilor opuse la vârf și proprietatea bisectoarei.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Semidreptele OA și OB formează unghiul AOB. Vârful este O, scris la mijlocul numelui. În această figură unghiul este ascuțit; măsura se citește cu raportorul, nu după lungimea laturilor.

Unghiuri adiacente

Două unghiuri sunt adiacente dacă au același vârf, o latură comună, iar celelalte două laturi se află de o parte și de alta a laturii comune, fără să se suprapună.

Dacă două unghiuri adiacente formează împreună un unghi alungit, de 180°, ele se numesc adiacente suplementare; dacă formează un unghi drept, de 90°, sunt adiacente complementare.

Unghiurile din jurul unui punct, care acoperă tot planul fără să se suprapună, au împreună 360°.

adiacente suplementare: α + β = 180°

în jurul unui punct: suma unghiurilor = 360°

Latura comună trebuie să fie între celelalte două, altfel unghiurile nu sunt adiacente.
La intersecția a două drepte, oricare două unghiuri alăturate sunt adiacente suplementare.

Exemplu rezolvat

În jurul unui punct sunt trei unghiuri care nu se suprapun și acoperă tot planul: 100°, 150° și x. Cât este x?

1.Unghiurile din jurul unui punct însumează 360°.
2.Adunăm cele două valori cunoscute: 100 + 150 = 250°.
3.Rezultă x = 360 − 250 = 110°.

Unghiuri opuse la vârf

Două unghiuri sunt opuse la vârf dacă laturile unuia sunt semidreptele opuse laturilor celuilalt. Ele apar întotdeauna când două drepte se intersectează într-un punct.

Proprietatea lor este că unghiurile opuse la vârf au măsuri egale. Dacă dreptele AB și CD se intersectează în O, atunci ∢AOC = ∢BOD și ∢AOD = ∢BOC.

La intersecția a două drepte se formează patru unghiuri, câte două egale, iar suma tuturor este 360°.

opuse la vârf: măsuri egale

cele patru unghiuri însumează 360°

Unghiurile opuse la vârf sunt egale, nu suplementare.
Dacă unul dintre cele patru unghiuri are măsura α, celelalte sunt α, 180° − α și 180° − α.

Exemplu rezolvat

La intersecția a două drepte, un unghi are 72°. Cât măsoară, împreună, celelalte trei unghiuri?

1.Cele patru unghiuri formate în jurul punctului de intersecție însumează 360°.
2.Scădem unghiul cunoscut: 360 − 72.
3.Celelalte trei au împreună 288°.

Bisectoarea unui unghi

Bisectoarea este semidreapta care pornește din vârful unghiului și îl împarte în două unghiuri congruente, adică de aceeași măsură.

Dacă [OB este bisectoarea unghiului ∢AOC, atunci m(∢AOB) = m(∢BOC) = m(∢AOC) : 2. Pentru un unghi de 80°, fiecare jumătate are 40°.

Invers, dacă știi cât formează bisectoarea cu una dintre laturi, unghiul întreg are dublul acelei măsuri.

m(∢AOB) = m(∢AOC) : 2

unghiul întreg = 2 × jumătate

Bisectoarea pornește din vârf, nu dintr-un punct oarecare al unei laturi.
Un unghi are o singură bisectoare.

Exemplu rezolvat

Bisectoarea unui unghi formează cu una dintre laturi un unghi de 27°. Cât măsoară unghiul?

1.Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale de câte 27°.
2.Unghiul întreg este suma celor două: 27 + 27.
3.Unghiul măsoară 54°.

Unghiuri complementare și suplementare

Regulile din clasa a V-a rămân valabile și se combină cu cele noi: două unghiuri sunt complementare dacă suma lor este 90° și suplementare dacă suma lor este 180°.

Când problemele dau măsurile sub formă de expresii, cum ar fi x și 2x, scrii ecuația corespunzătoare — x + 2x = 90° — și o rezolvi.

Cheia este să identifici întâi relația dintre unghiuri: adiacente, opuse la vârf, complementare sau suplementare. Abia apoi calculezi.

complementare: α + β = 90°

suplementare: α + β = 180°

x + 2x = 90° ⇒ x = 30°

Citește enunțul până la capăt: relația dintre unghiuri decide ce formulă folosești.
Verifică la final dacă suma măsurilor găsite dă 90° sau 180°, cum cere problema.

Exemplu rezolvat

Două unghiuri complementare au măsurile x și 2x. Cât este x?

1.Unghiurile complementare au suma 90°, deci x + 2x = 90°.
2.Reducem termenii asemenea: 3x = 90°.
3.Împărțim la 3: x = 30°, iar celălalt unghi are 60°.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 19 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Desenează două unghiuri adiacente, ∢MON și ∢NOP, cu latura comună [ON].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trei semidrepte din O, [OM, [ON și [OP, cu [ON între celelalte două. ∢MON și ∢NOP au vârful O și latura [ON comune, iar interioarele nu se suprapun.
Ex. 2Dificultate redusă
Două unghiuri adiacente formează, împreună, un unghi de 90°. Ce nume poartă această relație?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Unghiuri adiacente complementare.
Ex. 3Dificultate redusă
Două drepte se intersectează, formând 4 unghiuri. Unul are 35°. Care este măsura unghiului opus la vârf?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
35° (unghiurile opuse la vârf sunt egale)
Ex. 4Dificultate redusă
Un unghi de 80° are bisectoarea [OB. Calculează măsura fiecăreia dintre cele două jumătăți.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
40° fiecare
Ex. 5Dificultate redusă
Cum se numesc unghiurile formate de intersecția a două drepte, situate de o parte și de alta a punctului de intersecție, fără laturi comune vizibile directe?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Unghiuri opuse la vârf.
Ex. 6Dificultate medie
Două unghiuri adiacente sunt complementare. Unul dintre ele are 28°. Calculează măsura celuilalt.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90° − 28° = 62°
Ex. 7Dificultate medie
Două drepte se intersectează, formând 4 unghiuri. Unul dintre unghiuri are 58°. Calculează măsurile celorlalte trei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
58° (opusul la vârf) și câte 180° − 58° = 122° pentru celelalte două.
Ex. 8Dificultate medie
Un unghi ∢MOP are 120°, iar [ON este bisectoarea lui. Calculează măsura unghiului ∢MON.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
120° : 2 = 60°
Ex. 9Dificultate medie
Două unghiuri adiacente au măsurile 4x și 5x, iar împreună formează un unghi alungit. Află valoarea lui x și măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x + 5x = 180°, deci x = 20°; unghiurile au 80° și 100°.
Ex. 10Dificultate medie
Se dau două drepte care se intersectează, formând un unghi de 65° și unul de 115°, adiacente. Verifică dacă suma lor este 180°, apoi calculează măsurile unghiurilor opuse la vârf fiecăruia.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 65° + 115° = 180°. Opusul la vârf al unghiului de 65° are 65°, iar al celui de 115° are 115°.
Ex. 11Dificultate ridicată
Două drepte se intersectează în O. Unul dintre cele 4 unghiuri formate este cu 40° mai mare decât unghiul adiacent lui. Află măsurile tuturor celor 4 unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + (x + 40°) = 180°, deci x = 70°: unghiurile au 70°, 110°, 70°, 110°.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un unghi ∢MOP este împărțit de o semidreaptă [ON în două unghiuri, ∢MON = 3x + 5 și ∢NOP = 2x + 15. Dacă [ON este bisectoarea unghiului ∢MOP, află valoarea lui x și măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 5 = 2x + 15, deci x = 10; ∢MON = ∢NOP = 35°, iar ∢MOP = 70°.
Ex. 14Dificultate ridicată
Două unghiuri opuse la vârf au măsurile exprimate ca 5x − 15 și 3x + 25. Află valoarea lui x, apoi calculează măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5x − 15 = 3x + 25, deci x = 20; fiecare unghi are 85°.
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dau două drepte perpendiculare care se intersectează în O, formând 4 unghiuri de 90° fiecare. O a treia semidreaptă [OM împarte unul dintre aceste unghiuri drepte în două unghiuri, unul de 2 ori mai mare decât celălalt. Află măsurile celor două unghiuri formate de semidreapta [OM.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 2x = 90°, deci 30° și 60°.
Ex. 16Excelență
Trei drepte distincte trec prin același punct O, formând 6 unghiuri în jurul lui O. Știind că unul dintre unghiuri are 40°, iar unghiurile sunt așezate simetric (fiecare pereche opusă la vârf este egală), calculează suma tuturor celor 6 unghiuri și verifică dacă este 360°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da, suma este 360°: cele 6 unghiuri formează trei perechi opuse la vârf, cu a + b + c = 180°, deci suma totală este 2 × 180° = 360°.
Ex. 17Excelență
Un unghi ∢AOC de 140° este împărțit de două semidrepte, [OB și [OD, în trei unghiuri: ∢AOB = x, ∢BOD = x + 10, ∢DOC = x + 20. Află valoarea lui x și măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 30° = 140°, deci x = 110°/3 ≈ 36,7°; unghiurile au ≈ 36,7°, 46,7° și 56,7°. Rezultatele nu sunt numere întregi de grade.
Ex. 18Excelență
Două unghiuri adiacente, ∢AOB și ∢BOC, sunt astfel încât ∢AOB este de 3 ori mai mare decât ∢BOC, iar împreună formează un unghi de 100°. Calculează măsura fiecărui unghi, apoi verifică dacă bisectoarea unghiului ∢AOC ar cădea în interiorul unuia dintre cele două unghiuri date.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
∢BOC = 100° : 4 = 25°, ∢AOB = 75°. Bisectoarea lui ∢AOC face 50° cu [OA, iar 50° < 75°, deci cade în interiorul lui ∢AOB.
Ex. 19Excelență
Patru semidrepte pornesc din același punct O, împărțind planul în 4 unghiuri consecutive cu măsurile 2x, 3x, 4x și x+30, care însumate formează 360°. Află valoarea lui x și măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x + 3x + 4x + x + 30° = 360°, deci x = 33°; unghiurile au 66°, 99°, 132° și 63°.
Ex. 20Excelență
Se dau două drepte care se intersectează în O, iar bisectoarele a două unghiuri adiacente formate (nu opuse la vârf) formează, între ele, un unghi de 90°. Explică, folosind proprietățile învățate, de ce acest lucru este întotdeauna adevărat, indiferent de măsura unghiurilor inițiale formate de cele două drepte.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Unghiurile adiacente formate de două drepte sunt suplementare: a + b = 180°. Bisectoarele fac cu latura comună a2 și b2, deci unghiul dintre ele este a2 + b2 = 180° : 2 = 90°, oricare ar fi a și b.