Încărcăm partea curentă…

Unghiul la centru

Ce este un unghi la centru

Un unghi la centru este un unghi cu vârful chiar în centrul cercului, iar laturile lui sunt două raze. Primul lucru pe care îl cauți într-un desen este centrul O: dacă vârful unghiului este acolo, unghiul este la centru.

Punctul O este centrul, segmentele OA și OB sunt raze, deci au aceeași lungime, iar zona dintre ele se numește sector de cerc. Marginea curbată AB este arcul decupat de unghi.

Un unghi la centru de 90° decupează un sfert de cerc, iar unul de 180°, ale cărui laturi formează un diametru, decupează un semicerc.

De ținut minte

vârful în O + laturi = raze ⇒ unghi la centru
90° = sfert de cerc
180° = semicerc
  • Vârful trebuie să fie centrul, nu un punct oarecare de pe cerc.
  • Laturile unui unghi la centru sunt întotdeauna raze, deci egale între ele.

Exemplu rezolvat

A și B sunt capetele unui diametru al cercului cu centrul O. Cât măsoară unghiul la centru AOB?

  1. 1Diametrul trece prin centru, deci [OA și [OB sunt raze în prelungire una față de alta.
  2. 2Două semidrepte opuse formează un unghi alungit.
  3. 3Deci m(∢AOB) = 180°, iar arcul corespunzător este un semicerc.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Unghiul la centru: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un unghi la centru are vârful chiar în centrul cercului, iar laturile sale sunt două raze. El ne spune cât de mare este arcul cuprins între cele două raze.

Ce este un unghi la centru

Un unghi la centru este un unghi cu vârful chiar în centrul cercului, iar laturile lui sunt două raze. Primul lucru pe care îl cauți într-un desen este centrul O: dacă vârful unghiului este acolo, unghiul este la centru.

Punctul O este centrul, segmentele OA și OB sunt raze, deci au aceeași lungime, iar zona dintre ele se numește sector de cerc. Marginea curbată AB este arcul decupat de unghi.

Un unghi la centru de 90° decupează un sfert de cerc, iar unul de 180°, ale cărui laturi formează un diametru, decupează un semicerc.

  • vârful în O + laturi = raze ⇒ unghi la centru
  • 90° = sfert de cerc
  • 180° = semicerc
  • Vârful trebuie să fie centrul, nu un punct oarecare de pe cerc.
  • Laturile unui unghi la centru sunt întotdeauna raze, deci egale între ele.

Exemplu rezolvat

A și B sunt capetele unui diametru al cercului cu centrul O. Cât măsoară unghiul la centru AOB?

  1. Diametrul trece prin centru, deci [OA și [OB sunt raze în prelungire una față de alta.
  2. Două semidrepte opuse formează un unghi alungit.
  3. Deci m(∢AOB) = 180°, iar arcul corespunzător este un semicerc.

Legătura dintre unghiul la centru și arc

Măsura unui arc de cerc este, prin definiție, egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: m(arc AB) = m(∢AOB).

Regula se aplică arcului mic, cel cuprins între laturile unghiului. Arcul mare, adică restul cercului, are măsura 360° minus măsura arcului mic.

Exemplu: dacă ∢AOB are 70°, atunci arcul mic AB măsoară 70°, iar arcul mare măsoară 360° − 70° = 290°.

  • m(arc AB) = m(∢AOB)
  • m(arc mare) = 360° − m(arc mic)
  • Cele două arce determinate de aceleași puncte însumează întotdeauna 360°.
  • Măsura unui arc se dă în grade, nu în centimetri — lungimea lui este altceva.

Exemplu rezolvat · alte date

Arcul mic PQ are 135°. Află arcul mare PQ.

  1. Cercul complet măsoară 360°.
  2. Arcele mic și mare însumează 360°.
  3. Arcul mare este 360 − 135 = 225°.

Împărțirea cercului în arce egale

Dacă un cerc este împărțit în n arce congruente prin n raze, fiecare unghi la centru are măsura 360° : n.

Astfel, un cerc împărțit în 6 arce egale are unghiuri la centru de câte 60°, iar unul împărțit în 8 arce are unghiuri de 45°.

Formula funcționează și invers: dacă fiecare unghi la centru are măsura dată, numărul de arce este 360° împărțit la acea măsură.

  • unghiul pentru n arce egale = 360° : n
  • n = 360° : unghi
  • Suma tuturor unghiurilor la centru din jurul punctului O este 360°.
  • Verifică rezultatul: numărul de arce înmulțit cu măsura unui unghi trebuie să dea 360°.

Exemplu rezolvat · alte date

Împărțim cercul în arce egale de 45°. Câte arce sunt?

  1. Cercul complet are 360°.
  2. Împărțim 360 la măsura unui arc.
  3. 360 : 45 = 8 arce.

Lungimea unui arc

Lungimea unui arc care corespunde unui unghi la centru de n grade se calculează luând fracția n360 din lungimea întregului cerc: L = (n × 2πr) : 360.

Formula arată că lungimea arcului este direct proporțională cu măsura unghiului la centru: un unghi de două ori mai mare decupează, la aceeași rază, un arc de două ori mai lung.

Exemplu: într-un cerc de rază 9 cm, un arc de 80° are lungimea (80 : 360) × 18π = 4π cm.

  • Larc = (n : 360) × 2πr
  • r = 9, n = 80 ⇒ L = 4π cm
  • Măsura arcului se dă în grade, lungimea lui în centimetri.
  • Simplifică fracția n360 înainte de a înmulți: calculele ies mult mai simple.

Exemplu rezolvat

Un cerc are raza 6 cm, iar un arc măsoară 60°. Cât este lungimea arcului?

  1. Lungimea întregului cerc este 2πr = 12π cm.
  2. Arcul reprezintă fracția 60360 = 16 din cerc.
  3. Lungimea arcului este 12π : 6 = 2π cm.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În desen, de ce ∠AOB este un unghi la centru?

    Vezi rezolvarea
    1. Vârful unghiului este chiar centrul O, iar OA și OB sunt raze.

    Răspuns: Vârful este centrul cercului

  2. Exercițiul 2

    Dacă ∠AOB = 65°, cât măsoară arcul mic AB?

    Vezi rezolvarea
    1. m(arc AB) = m(∠AOB) = 65°.

    Răspuns: 65°

  3. Exercițiul 3

    Arcul mic AB măsoară 112°. Cât măsoară arcul mare AB?

    Vezi rezolvarea
    1. 360° − 112° = 248°.

    Răspuns: 248°

  4. Exercițiul 4

    Ce parte din cerc determină un unghi la centru de 90°?

    Vezi rezolvarea
    1. 90°360° = 14, deci arcul este un sfert de cerc.

    Răspuns: Un sfert

  5. Exercițiul 5

    Un cerc este împărțit în 8 arce egale. Cât măsoară fiecare unghi la centru?

    Vezi rezolvarea
    1. 360° : 8 = 45°.

    Răspuns: 45°

  6. Exercițiul 6

    Un cerc are raza 9 cm, iar un arc măsoară 80°. Scrie lungimea arcului în funcție de π.

    Vezi rezolvarea
    1. L = 80360 · 2π · 9 = 4π cm.

    Răspuns: 4π

  7. Exercițiul 7

    Un arc are lungimea 5π cm într-un cerc de rază 10 cm. Ce măsură are arcul?

    Vezi rezolvarea
    1. 5π20π = 14.
    2. Un sfert din 360° este 90°.

    Răspuns: 90°

  8. Exercițiul 8

    Câte arce egale are un cerc dacă fiecare unghi la centru măsoară 30°?

    Vezi rezolvarea
    1. n = 360° : 30° = 12.

    Răspuns: 12

  9. Exercițiul 9

    Un cerc este împărțit în 6 arce egale. Cât măsoară fiecare unghi la centru, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. Unghiul pentru n părți egale este 360° : n.
    2. 360 : 6 = 60.
    3. Fiecare unghi la centru are 60°.

    Răspuns: 60

  10. Exercițiul 10

    Arcul mic AB măsoară 75°. Cât măsoară arcul mare AB, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. Arcul mare = 360° − arcul mic.
    2. 360 − 75 = 285.
    3. Arcul mare are 285°.

    Răspuns: 285

  11. Exercițiul 11

    A și B sunt capetele unui diametru al cercului de centru O. Cât măsoară unghiul la centru AOB, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. OA și OB sunt semidrepte opuse.
    2. Ele formează un unghi alungit.
    3. ∠AOB = 180°, adică un semicerc.

    Răspuns: 180

  12. Exercițiul 12

    Un cerc are raza 6 cm, iar un arc măsoară 60°. Lungimea arcului este:

    Vezi rezolvarea
    1. Lungimea cercului este 2π × 6 = 12π cm.
    2. 60° reprezintă 60360 = 16 din cerc.
    3. 12π : 6 = 2π cm.

    Răspuns: 2π cm

Fișă de consolidare din material (8)

  1. 1. Dificultate redusă

    În desen, de ce ∠AOB este un unghi la centru?

    Vezi răspunsul

    Pentru că vârful lui este chiar centrul O al cercului, iar laturile [OA și [OB sunt raze.

  2. 2. Dificultate redusă

    Dacă ∠AOB = 65°, cât măsoară arcul mic AB?

    Vezi răspunsul

    65°: arcul mic are aceeași măsură ca unghiul la centru care îl cuprinde.

  3. 3. Dificultate redusă

    Arcul mic AB măsoară 112°. Cât măsoară arcul mare AB?

    Vezi răspunsul

    360° − 112° = 248°

  4. 4. Dificultate redusă

    Ce parte din cerc determină un unghi la centru de 90°?

    Vezi răspunsul

    Un sfert de cerc (90° din 360°).

  5. 5. Dificultate redusă

    Un cerc este împărțit în 8 arce egale. Cât măsoară fiecare unghi la centru?

    Vezi răspunsul

    360° : 8 = 45°

  6. 6. Dificultate medie

    Un cerc are raza 9 cm, iar un arc măsoară 80°. Scrie lungimea arcului în funcție de π.

    Vezi răspunsul

    L = π × 9 × 80 : 180 = 4π cm

  7. 7. Dificultate medie

    Un arc are lungimea 5π cm într-un cerc de rază 10 cm. Ce măsură are arcul?

    Vezi răspunsul

    π × 10 × n : 180 = 5π, deci n = 90°.

  8. 8. Dificultate medie

    Câte arce egale are un cerc dacă fiecare unghi la centru măsoară 30°?

    Vezi răspunsul

    12 arce (360° : 30°)

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.