Unghiul la centru

Un unghi la centru are vârful chiar în centrul cercului, iar laturile sale sunt două raze. El ne spune cât de mare este arcul cuprins între cele două raze.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Unghiul AOB are vârful în centrul O și interceptează arcul mic AB.

Ce este un unghi la centru

Un unghi la centru este un unghi cu vârful chiar în centrul cercului, iar laturile lui sunt două raze. Primul lucru pe care îl cauți într-un desen este centrul O: dacă vârful unghiului este acolo, unghiul este la centru.

Punctul O este centrul, segmentele OA și OB sunt raze, deci au aceeași lungime, iar zona dintre ele se numește sector de cerc. Marginea curbată AB este arcul decupat de unghi.

Un unghi la centru de 90° decupează un sfert de cerc, iar unul de 180°, ale cărui laturi formează un diametru, decupează un semicerc.

vârful în O + laturi = raze ⇒ unghi la centru

90° = sfert de cerc

180° = semicerc

Vârful trebuie să fie centrul, nu un punct oarecare de pe cerc.
Laturile unui unghi la centru sunt întotdeauna raze, deci egale între ele.

Exemplu rezolvat

A și B sunt capetele unui diametru al cercului cu centrul O. Cât măsoară unghiul la centru AOB?

1.Diametrul trece prin centru, deci [OA și [OB sunt raze în prelungire una față de alta.
2.Două semidrepte opuse formează un unghi alungit.
3.Deci m(∢AOB) = 180°, iar arcul corespunzător este un semicerc.

Legătura dintre unghiul la centru și arc

Măsura unui arc de cerc este, prin definiție, egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: m(arc AB) = m(∢AOB).

Regula se aplică arcului mic, cel cuprins între laturile unghiului. Arcul mare, adică restul cercului, are măsura 360° minus măsura arcului mic.

Exemplu: dacă ∢AOB are 70°, atunci arcul mic AB măsoară 70°, iar arcul mare măsoară 360° − 70° = 290°.

m(arc AB) = m(∢AOB)

m(arc mare) = 360° − m(arc mic)

Cele două arce determinate de aceleași puncte însumează întotdeauna 360°.
Măsura unui arc se dă în grade, nu în centimetri — lungimea lui este altceva.

Exemplu rezolvat

Arcul mic AB măsoară 112°. Cât măsoară arcul mare AB?

1.Cele două arce determinate de A și B completează împreună cercul, adică 360°.
2.Scădem arcul mic din 360°: 360 − 112.
3.Arcul mare măsoară 248°.

Împărțirea cercului în arce egale

Dacă un cerc este împărțit în n arce congruente prin n raze, fiecare unghi la centru are măsura 360° : n.

Astfel, un cerc împărțit în 6 arce egale are unghiuri la centru de câte 60°, iar unul împărțit în 8 arce are unghiuri de 45°.

Formula funcționează și invers: dacă fiecare unghi la centru are măsura dată, numărul de arce este 360° împărțit la acea măsură.

unghiul pentru n arce egale = 360° : n

n = 360° : unghi

Suma tuturor unghiurilor la centru din jurul punctului O este 360°.
Verifică rezultatul: numărul de arce înmulțit cu măsura unui unghi trebuie să dea 360°.

Exemplu rezolvat

Câte arce egale are un cerc dacă fiecare unghi la centru măsoară 30°?

1.Unghiurile la centru acoperă împreună 360°.
2.Împărțim la măsura unui unghi: 360 : 30.
3.Cercul este împărțit în 12 arce egale.

Lungimea unui arc

Lungimea unui arc care corespunde unui unghi la centru de n grade se calculează luând fracția n360 din lungimea întregului cerc: L = (n × 2πr) : 360.

Formula arată că lungimea arcului este direct proporțională cu măsura unghiului la centru: un unghi de două ori mai mare decupează, la aceeași rază, un arc de două ori mai lung.

Exemplu: într-un cerc de rază 9 cm, un arc de 80° are lungimea (80 : 360) × 18π = 4π cm.

L_arc = (n : 360) × 2πr

r = 9, n = 80 ⇒ L = 4π cm

Măsura arcului se dă în grade, lungimea lui în centimetri.
Simplifică fracția n360 înainte de a înmulți: calculele ies mult mai simple.

Exemplu rezolvat

Un cerc are raza 6 cm, iar un arc măsoară 60°. Cât este lungimea arcului?

1.Lungimea întregului cerc este 2πr = 12π cm.
2.Arcul reprezintă fracția 60360 = 16 din cerc.
3.Lungimea arcului este 12π : 6 = 2π cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
În desen, de ce ∠AOB este un unghi la centru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pentru că vârful lui este chiar centrul O al cercului, iar laturile [OA și [OB sunt raze.
Ex. 2Dificultate redusă
Dacă ∠AOB = 65°, cât măsoară arcul mic AB?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
65°: arcul mic are aceeași măsură ca unghiul la centru care îl cuprinde.
Ex. 3Dificultate redusă
Arcul mic AB măsoară 112°. Cât măsoară arcul mare AB?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360° − 112° = 248°
Ex. 4Dificultate redusă
Ce parte din cerc determină un unghi la centru de 90°?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un sfert de cerc (90° din 360°).
Ex. 5Dificultate redusă
Un cerc este împărțit în 8 arce egale. Cât măsoară fiecare unghi la centru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360° : 8 = 45°
Ex. 6Dificultate medie
Un cerc are raza 9 cm, iar un arc măsoară 80°. Scrie lungimea arcului în funcție de π.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
L = π × 9 × 80 : 180 = 4π cm
Ex. 7Dificultate medie
Un arc are lungimea 5π cm într-un cerc de rază 10 cm. Ce măsură are arcul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
π × 10 × n : 180 = 5π, deci n = 90°.
Ex. 8Dificultate medie
Câte arce egale are un cerc dacă fiecare unghi la centru măsoară 30°?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 arce (360° : 30°)
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: În desen, de ce ∠AOB este un unghi la centru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Vârful unghiului este centrul O al cercului, iar laturile [OA și [OB sunt raze; un unghi cu vârful în centru este, prin definiție, unghi la centru.
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Dacă ∠AOB = 65°, cât măsoară arcul mic AB?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
65°: măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Arcul mic AB măsoară 112°. Cât măsoară arcul mare AB?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
248°: arcul mic și arcul mare formează împreună tot cercul, adică 360°, iar 360° − 112° = 248°.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce parte din cerc determină un unghi la centru de 90°?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un sfert: tot cercul are 360°, iar 90°/360° = 14.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un cerc este împărțit în 8 arce egale. Cât măsoară fiecare unghi la centru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
45°: cele 8 unghiuri la centru egale acoperă 360°, iar 360° : 8 = 45°.
Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un cerc are raza 9 cm, iar un arc măsoară 80°. Scrie lungimea arcului în funcție de π.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4π cm: lungimea arcului este π × r × n : 180 = π × 9 × 80 : 180.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un arc are lungimea 5π cm într-un cerc de rază 10 cm. Ce măsură are arcul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90°: din π × 10 × n : 180 = 5π rezultă n = 5 × 180 : 10 = 90.
Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Câte arce egale are un cerc dacă fiecare unghi la centru măsoară 30°?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12: fiecare arc are 30°, iar tot cercul 360°, deci 360 : 30 = 12.
Ex. 17Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: În desen, de ce ∠AOB este un unghi la centru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: un unghi la centru are vârful în centrul cercului, iar laturile lui sunt raze. ∠AOB are vârful în centrul O, deci este unghi la centru.
Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Dacă ∠AOB = 65°, cât măsoară arcul mic AB?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: arcul mic are aceeași măsură ca unghiul la centru corespunzător. Deci arcul mic AB are 65°.
Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Arcul mic AB măsoară 112°. Cât măsoară arcul mare AB?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: cele două arce determinate de A și B au împreună 360°. Arcul mare: 360° − 112° = 248°.
Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Ce parte din cerc determină un unghi la centru de 90°?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: tot cercul are 360°. Un unghi de 90° cuprinde 90360 = 14 din cerc.