Încărcăm partea curentă…

Rapoarte și proporții

Raportul a două numere

Raportul dintre două numere a și b, cu b diferit de 0, este câtul împărțirii lui a la b. Se scrie ab sau a : b și arată de câte ori este primul număr mai mare decât al doilea.

De exemplu, raportul dintre 12 și 4 este 124 = 3, adică 12 este de 3 ori mai mare decât 4.

Un raport se simplifică exact ca o fracție, împărțind ambii termeni la același divizor comun: 1520 devine 34, după împărțirea la 5.

De ținut minte

raportul lui a la b: ab, cu b ≠ 0
1520 = 34
  • Ordinea contează: raportul lui a la b nu este același cu raportul lui b la a.
  • Forma simplificată a unui raport arată cea mai simplă pereche de numere cu aceeași proporție.

Exemplu rezolvat · alte date

Simplifică raportul 3549.

  1. 135 și 49 sunt multipli de 7.
  2. 2Împărțim ambii termeni prin 7.
  3. 3Raportul este 57.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Rapoarte și proporții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Raportul a două numere arată de câte ori o mărime o conține pe cealaltă. O proporție este egalitatea a două rapoarte.

Raportul a două numere

Raportul dintre două numere a și b, cu b diferit de 0, este câtul împărțirii lui a la b. Se scrie ab sau a : b și arată de câte ori este primul număr mai mare decât al doilea.

De exemplu, raportul dintre 12 și 4 este 124 = 3, adică 12 este de 3 ori mai mare decât 4.

Un raport se simplifică exact ca o fracție, împărțind ambii termeni la același divizor comun: 1520 devine 34, după împărțirea la 5.

  • raportul lui a la b: ab, cu b ≠ 0
  • 1520 = 34
  • Ordinea contează: raportul lui a la b nu este același cu raportul lui b la a.
  • Forma simplificată a unui raport arată cea mai simplă pereche de numere cu aceeași proporție.

Exemplu rezolvat · alte date

Simplifică raportul 3549.

  1. 35 și 49 sunt multipli de 7.
  2. Împărțim ambii termeni prin 7.
  3. Raportul este 57.

Proporția: extremi și mezi

O proporție este o egalitate între două rapoarte: ab = cd, cu b și d diferite de 0. Se citește „a este la b precum c este la d”.

Termenii de la capete, a și d, se numesc extremii proporției, iar cei din mijloc, b și c, se numesc mezii proporției.

Proprietatea fundamentală spune că, într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: dacă ab = cd, atunci a × d = b × c. Așa poți verifica dacă o egalitate de rapoarte este într-adevăr o proporție.

  • ab = cd
  • extremi: a și d
  • mezi: b și c
  • a × d = b × c
  • Extremii sunt primul și ultimul termen, indiferent cum e scrisă proporția.
  • Dacă produsele nu sunt egale, egalitatea nu este o proporție.

Exemplu rezolvat

Verifică dacă 68 = 34 este o proporție.

  1. Calculăm produsul extremilor: 6 × 4 = 24.
  2. Calculăm produsul mezilor: 8 × 3 = 24.
  3. Produsele sunt egale, deci egalitatea este o proporție.

Aflarea unui termen necunoscut

Ca să afli un termen necunoscut dintr-o proporție, aplici proprietatea fundamentală, apoi izolezi necunoscuta printr-o împărțire.

Exemplu: din x5 = 610 rezultă x × 10 = 5 × 6, deci x × 10 = 30 și x = 30 : 10 = 3. Verificarea confirmă: 35 și 610 reprezintă amândouă 0,6.

Metoda funcționează oriunde s-ar afla necunoscuta — la numărător sau la numitor, în primul sau în al doilea raport.

  • x5 = 610 ⇒ 10x = 30 ⇒ x = 3
  • 4x = 129 ⇒ 12x = 36 ⇒ x = 3
  • Înmulțește întotdeauna în cruce, apoi împarte la numărul care înmulțește necunoscuta.
  • Verifică la final: cele două rapoarte trebuie să dea aceeași valoare.

Exemplu rezolvat

Află x din proporția 4x = 129.

  1. Aplicăm proprietatea fundamentală: 4 × 9 = x × 12.
  2. Calculăm produsul extremilor: 36 = 12x.
  3. Împărțim la 12: x = 3. Verificare: 43 și 129 sunt egale.

Probleme cu rapoarte

Multe probleme practice se scriu direct ca proporție. Dacă raportul fete : băieți este 3 : 2 și sunt 18 fete, scrii 32 = 18x și afli x = 12 băieți.

Când o cantitate se împarte într-un raport dat, socotești câte părți sunt în total: un segment de 35 cm împărțit în raportul 3 : 4 are 7 părți, deci o parte are 5 cm, iar bucata mai mare, de 4 părți, are 20 cm.

La hărți, scara este tot un raport: dacă 1 cm reprezintă 5 km, atunci 7 cm înseamnă 7 × 5 = 35 km în realitate.

  • 32 = 18x
  • o parte = total : numărul de părți
  • scara: 1 cm ↔ 5 km
  • Scrie raportul în aceeași ordine ca în enunț, altfel rezultatul iese invers.
  • La împărțirea într-un raport, verifică la final că suma bucăților dă întregul.

Exemplu rezolvat

Un segment de 35 cm este împărțit în raportul 3 : 4. Cât are bucata mai mare?

  1. Segmentul are în total 3 + 4 = 7 părți egale.
  2. O parte măsoară 35 : 7 = 5 cm.
  3. Bucata mai mare are 4 părți: 4 × 5 = 20 cm. Verificare: 15 + 20 = 35.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Care este forma simplificată a raportului 1824?

    Vezi rezolvarea
    1. 18 : 6 = 3 și 24 : 6 = 4.

    Răspuns: 34

  2. Exercițiul 2

    Care egalitate este o proporție corectă?

    Vezi rezolvarea
    1. 2 × 12 = 3 × 8 = 24.

    Răspuns: 23 = 812

  3. Exercițiul 3

    Află x din x7 = 614.

    Vezi rezolvarea
    1. 14x = 7 × 6 = 42.
    2. x = 42 : 14 = 3.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Raportul fete:băieți este 3:2. Dacă sunt 18 fete, câți băieți sunt?

    Vezi rezolvarea
    1. 18 : 3 = 6, deci numărul băieților este 2 × 6 = 12.

    Răspuns: 12

  5. Exercițiul 5

    În proporția 49 = 1227, care sunt extremii?

    Vezi rezolvarea
    1. În ab = cd, extremii sunt a și d.

    Răspuns: 4 și 27

  6. Exercițiul 6

    Care este forma simplificată a raportului 1535?

    Vezi rezolvarea
    1. Cel mai mare divizor comun al lui 15 și 35 este 5.
    2. 15 : 5 = 3 și 35 : 5 = 7.
    3. 1535 = 37.

    Răspuns: 37

  7. Exercițiul 7

    În proporția 25 = 615, care sunt mezii?

    Vezi rezolvarea
    1. Extremii sunt 2 și 15.
    2. Mezii sunt 5 și 6.
    3. Verificare: 2 × 15 = 5 × 6 = 30.

    Răspuns: 5 și 6

  8. Exercițiul 8

    Află x din 35 = x20.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 × 20 = 5 × x.
    2. 60 = 5x.
    3. x = 60 : 5 = 12.

    Răspuns: 12

  9. Exercițiul 9

    Află x din 4x = 129.

    Vezi rezolvarea
    1. 4 × 9 = x × 12.
    2. 36 = 12x.
    3. x = 36 : 12 = 3.

    Răspuns: 3

  10. Exercițiul 10

    Raportul a două numere este 23, iar numărul mai mic este 14. Care este numărul mai mare?

    Vezi rezolvarea
    1. 2 părți = 14, deci o parte = 7.
    2. Numărul mare are 3 părți.
    3. 3 × 7 = 21.

    Răspuns: 21

  11. Exercițiul 11

    Un segment de 35 cm este împărțit în raportul 3:4. Cât are bucata mai mare, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. 3 + 4 = 7 părți.
    2. O parte are 35 : 7 = 5 cm.
    3. Bucata mare are 4 × 5 = 20 cm.

    Răspuns: 20

  12. Exercițiul 12

    Pe o hartă, 1 cm reprezintă 5 km. Două orașe sunt la 7 cm unul de altul pe hartă. Câți kilometri sunt între ele în realitate?

    Vezi rezolvarea
    1. Distanța reală este de 5 ori mai mare, în kilometri.
    2. 7 × 5 = 35.
    3. Între orașe sunt 35 km.

    Răspuns: 35

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Scrie raportul dintre 30 și 6, apoi simplifică-l dacă este posibil.

    Vezi răspunsul

    306 = 51 = 5

  2. 2. Dificultate redusă

    Verifică dacă 25 = 615 este o proporție corectă.

    Vezi răspunsul

    Da: 2 × 15 = 30 și 5 × 6 = 30.

  3. 3. Dificultate redusă

    Într-o proporție ab = cd, cum se numesc termenii b și c?

    Vezi răspunsul

    Mezi.

  4. 4. Dificultate redusă

    Simplifică raportul 3248.

    Vezi răspunsul

    3248 = 23 (împărțim la 16)

  5. 5. Dificultate redusă

    Scrie proprietatea fundamentală a proporțiilor pentru proporția 34 = 68.

    Vezi răspunsul

    3 × 8 = 4 × 6 (produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: 24 = 24)

  6. 6. Dificultate medie

    Află x din proporția x5 = 1815.

    Vezi răspunsul

    x = 5 × 18 : 15 = 6

  7. 7. Dificultate medie

    Află y din proporția 8y = 129.

    Vezi răspunsul

    12y = 8 × 9 = 72, deci y = 6.

  8. 8. Dificultate medie

    Verifică dacă numerele 6, 9, 10, 15 pot forma o proporție de forma 69 = 1015.

    Vezi răspunsul

    Da: 6 × 15 = 90 = 9 × 10.

  9. 9. Dificultate medie

    Într-o clasă, raportul dintre numărul de fete și numărul de băieți este 43. Dacă sunt 16 fete, câți băieți sunt?

    Vezi răspunsul

    12 băieți (16 : 4 × 3)

  10. 10. Dificultate medie

    Află z din proporția 79 = z27.

    Vezi răspunsul

    z = 7 × 27 : 9 = 21

  11. 11. Dificultate ridicată

    Se dă proporția x+25 = 1210. Află valoarea lui x.

    Vezi răspunsul

    10(x + 2) = 60, deci x + 2 = 6 și x = 4.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Suma a doi termeni ai unui raport este 42, iar raportul dintre ei este 43. Află cei doi termeni.

    Vezi răspunsul

    24 și 18 (42 : 7 = 6; 4 × 6 și 3 × 6)

  13. 13. Dificultate ridicată

    Într-o rețetă, raportul dintre cantitatea de făină și cantitatea de zahăr este 73. Dacă se folosesc 490 g de făină, câte grame de zahăr sunt necesare?

    Vezi răspunsul

    490 : 7 × 3 = 210 g

  14. 14. Dificultate ridicată

    Se dă proporția ab = 27, iar a + b = 45. Află valorile lui a și b.

    Vezi răspunsul

    a = 10, b = 35 (45 : 9 = 5)

  15. 15. Dificultate ridicată

    Lungimea și lățimea unui teren dreptunghiular sunt în raportul 52. Dacă perimetrul terenului este 84 m, află lungimea și lățimea terenului.

    Vezi răspunsul

    Lungimea 30 m, lățimea 12 m: L + l = 42 = 7 × 6.

  16. 16. Excelență

    Se dă șirul de rapoarte egale a3 = b5 = c7, iar a + b + c = 75. Află valorile lui a, b și c.

    Vezi răspunsul

    a = 15, b = 25, c = 35 (75 : 15 = 5)

  17. 17. Excelență

    Într-o proporție, extremii sunt 6 și x, iar mezii sunt 8 și 12. Determină valoarea lui x, apoi construiește proporția completă.

    Vezi răspunsul

    6x = 8 × 12 = 96, deci x = 16; proporția: 68 = 1216.

  18. 18. Excelență

    Două numere sunt direct proporționale cu 4 și 9, iar diferența dintre ele este 35. Află cele două numere.

    Vezi răspunsul

    28 și 63 (9k − 4k = 35, deci k = 7)

  19. 19. Excelență

    Se dă proporția 2x−13 = x+45. Află valoarea lui x, rezolvând ecuația obținută din proprietatea fundamentală.

    Vezi răspunsul

    5(2x − 1) = 3(x + 4), deci 10x − 5 = 3x + 12, 7x = 17 și x = 177.

  20. 20. Excelență

    Trei prieteni investesc într-o afacere sume proporționale cu 2, 3 și 5. Dacă suma totală investită este 6000 lei, calculează câți lei a investit fiecare prieten, apoi calculează ce fracțiune din total reprezintă investiția celui de-al doilea prieten.

    Vezi răspunsul

    1.200 lei, 1.800 lei și 3.000 lei (6.000 : 10 = 600). Al doilea: 1.8006.000 = 310 din total.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.