Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
a:b

Teorie înainte de exerciții

Rapoarte și proporții

Raportul a două numere arată de câte ori o mărime o conține pe cealaltă. O proporție este egalitatea a două rapoarte.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.
1

Raportul a două numere

Raportul dintre două numere a și b, cu b diferit de 0, este câtul împărțirii lui a la b. Se scrie ab sau a : b și arată de câte ori este primul număr mai mare decât al doilea.

De exemplu, raportul dintre 12 și 4 este 124 = 3, adică 12 este de 3 ori mai mare decât 4.

Un raport se simplifică exact ca o fracție, împărțind ambii termeni la același divizor comun: 1520 devine 34, după împărțirea la 5.

raportul lui a la b: ab, cu b ≠ 0
1520 = 34
  • Ordinea contează: raportul lui a la b nu este același cu raportul lui b la a.
  • Forma simplificată a unui raport arată cea mai simplă pereche de numere cu aceeași proporție.

Exemplu rezolvat

Care este forma simplificată a raportului 1824?

  1. 1.Căutăm cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 24, care este 6.
  2. 2.Împărțim ambii termeni: 18 : 6 = 3 și 24 : 6 = 4.
  3. 3.Raportul simplificat este 34.
2

Proporția: extremi și mezi

O proporție este o egalitate între două rapoarte: ab = cd, cu b și d diferite de 0. Se citește „a este la b precum c este la d”.

Termenii de la capete, a și d, se numesc extremii proporției, iar cei din mijloc, b și c, se numesc mezii proporției.

Proprietatea fundamentală spune că, într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: dacă ab = cd, atunci a × d = b × c. Așa poți verifica dacă o egalitate de rapoarte este într-adevăr o proporție.

ab = cd
extremi: a și d
mezi: b și c
a × d = b × c
  • Extremii sunt primul și ultimul termen, indiferent cum e scrisă proporția.
  • Dacă produsele nu sunt egale, egalitatea nu este o proporție.

Exemplu rezolvat

Verifică dacă 68 = 34 este o proporție.

  1. 1.Calculăm produsul extremilor: 6 × 4 = 24.
  2. 2.Calculăm produsul mezilor: 8 × 3 = 24.
  3. 3.Produsele sunt egale, deci egalitatea este o proporție.
3

Aflarea unui termen necunoscut

Ca să afli un termen necunoscut dintr-o proporție, aplici proprietatea fundamentală, apoi izolezi necunoscuta printr-o împărțire.

Exemplu: din x5 = 610 rezultă x × 10 = 5 × 6, deci x × 10 = 30 și x = 30 : 10 = 3. Verificarea confirmă: 35 și 610 reprezintă amândouă 0,6.

Metoda funcționează oriunde s-ar afla necunoscuta — la numărător sau la numitor, în primul sau în al doilea raport.

x5 = 610 ⇒ 10x = 30 ⇒ x = 3
4x = 129 ⇒ 12x = 36 ⇒ x = 3
  • Înmulțește întotdeauna în cruce, apoi împarte la numărul care înmulțește necunoscuta.
  • Verifică la final: cele două rapoarte trebuie să dea aceeași valoare.

Exemplu rezolvat

Află x din proporția 4x = 129.

  1. 1.Aplicăm proprietatea fundamentală: 4 × 9 = x × 12.
  2. 2.Calculăm produsul extremilor: 36 = 12x.
  3. 3.Împărțim la 12: x = 3. Verificare: 43 și 129 sunt egale.
4

Probleme cu rapoarte

Multe probleme practice se scriu direct ca proporție. Dacă raportul fete : băieți este 3 : 2 și sunt 18 fete, scrii 32 = 18x și afli x = 12 băieți.

Când o cantitate se împarte într-un raport dat, socotești câte părți sunt în total: un segment de 35 cm împărțit în raportul 3 : 4 are 7 părți, deci o parte are 5 cm, iar bucata mai mare, de 4 părți, are 20 cm.

La hărți, scara este tot un raport: dacă 1 cm reprezintă 5 km, atunci 7 cm înseamnă 7 × 5 = 35 km în realitate.

32 = 18x
o parte = total : numărul de părți
scara: 1 cm ↔ 5 km
  • Scrie raportul în aceeași ordine ca în enunț, altfel rezultatul iese invers.
  • La împărțirea într-un raport, verifică la final că suma bucăților dă întregul.

Exemplu rezolvat

Un segment de 35 cm este împărțit în raportul 3 : 4. Cât are bucata mai mare?

  1. 1.Segmentul are în total 3 + 4 = 7 părți egale.
  2. 2.O parte măsoară 35 : 7 = 5 cm.
  3. 3.Bucata mai mare are 4 părți: 4 × 5 = 20 cm. Verificare: 15 + 20 = 35.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Scrie raportul dintre 30 și 6, apoi simplifică-l dacă este posibil.

    Vezi răspunsul

    306 = 51 = 5

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Verifică dacă 25 = 615 este o proporție corectă.

    Vezi răspunsul

    Da: 2 × 15 = 30 și 5 × 6 = 30.

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Într-o proporție ab = cd, cum se numesc termenii b și c?

    Vezi răspunsul

    Mezi.

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Simplifică raportul 3248.

    Vezi răspunsul

    3248 = 23 (împărțim la 16)

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Scrie proprietatea fundamentală a proporțiilor pentru proporția 34 = 68.

    Vezi răspunsul

    3 × 8 = 4 × 6 (produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: 24 = 24)

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Află x din proporția x5 = 1815.

    Vezi răspunsul

    x = 5 × 18 : 15 = 6

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Află y din proporția 8y = 129.

    Vezi răspunsul

    12y = 8 × 9 = 72, deci y = 6.

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Verifică dacă numerele 6, 9, 10, 15 pot forma o proporție de forma 69 = 1015.

    Vezi răspunsul

    Da: 6 × 15 = 90 = 9 × 10.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Într-o clasă, raportul dintre numărul de fete și numărul de băieți este 43. Dacă sunt 16 fete, câți băieți sunt?

    Vezi răspunsul

    12 băieți (16 : 4 × 3)

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Află z din proporția 79 = z27.

    Vezi răspunsul

    z = 7 × 27 : 9 = 21

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Se dă proporția x+25 = 1210. Află valoarea lui x.

    Vezi răspunsul

    10(x + 2) = 60, deci x + 2 = 6 și x = 4.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Suma a doi termeni ai unui raport este 42, iar raportul dintre ei este 43. Află cei doi termeni.

    Vezi răspunsul

    24 și 18 (42 : 7 = 6; 4 × 6 și 3 × 6)

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Într-o rețetă, raportul dintre cantitatea de făină și cantitatea de zahăr este 73. Dacă se folosesc 490 g de făină, câte grame de zahăr sunt necesare?

    Vezi răspunsul

    490 : 7 × 3 = 210 g

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Se dă proporția ab = 27, iar a + b = 45. Află valorile lui a și b.

    Vezi răspunsul

    a = 10, b = 35 (45 : 9 = 5)

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Lungimea și lățimea unui teren dreptunghiular sunt în raportul 52. Dacă perimetrul terenului este 84 m, află lungimea și lățimea terenului.

    Vezi răspunsul

    Lungimea 30 m, lățimea 12 m: L + l = 42 = 7 × 6.

  16. Ex. 16Excelență

    Se dă șirul de rapoarte egale a3 = b5 = c7, iar a + b + c = 75. Află valorile lui a, b și c.

    Vezi răspunsul

    a = 15, b = 25, c = 35 (75 : 15 = 5)

  17. Ex. 17Excelență

    Într-o proporție, extremii sunt 6 și x, iar mezii sunt 8 și 12. Determină valoarea lui x, apoi construiește proporția completă.

    Vezi răspunsul

    6x = 8 × 12 = 96, deci x = 16; proporția: 68 = 1216.

  18. Ex. 18Excelență

    Două numere sunt direct proporționale cu 4 și 9, iar diferența dintre ele este 35. Află cele două numere.

    Vezi răspunsul

    28 și 63 (9k − 4k = 35, deci k = 7)

  19. Ex. 19Excelență

    Se dă proporția 2x−13 = x+45. Află valoarea lui x, rezolvând ecuația obținută din proprietatea fundamentală.

    Vezi răspunsul

    5(2x − 1) = 3(x + 4), deci 10x − 5 = 3x + 12, 7x = 17 și x = 177.

  20. Ex. 20Excelență

    Trei prieteni investesc într-o afacere sume proporționale cu 2, 3 și 5. Dacă suma totală investită este 6000 lei, calculează câți lei a investit fiecare prieten, apoi calculează ce fracțiune din total reprezintă investiția celui de-al doilea prieten.

    Vezi răspunsul

    1.200 lei, 1.800 lei și 3.000 lei (6.000 : 10 = 600). Al doilea: 1.8006.000 = 310 din total.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.