Încărcăm partea curentă…

Proporționalitate directă și inversă

Mărimi direct proporționale

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește sau scade de un anumit număr de ori, cealaltă crește sau scade de tot atâtea ori.

Semnul lor este că raportul dintre valorile corespunzătoare rămâne constant. Acest raport se numește coeficient de proporționalitate și se notează k: yx = k, adică y = k × x.

Exemplu: dacă 2 kg de mere costă 8 lei, atunci 4 kg costă 16 lei, iar 6 kg costă 24 de lei. Coeficientul este k = 8 : 2 = 4, adică prețul unui kilogram.

De ținut minte

yx = k
y = k × x
k = 8 : 2 = 4
  • Coeficientul k este chiar valoarea pentru o unitate: prețul unui kilogram, distanța într-o oră.
  • Latura unui pătrat și perimetrul lui sunt direct proporționale, cu k = 4.

Exemplu rezolvat

x și y sunt direct proporționale, iar y = 24 pentru x = 4. Cât este y pentru x = 7?

  1. 1Aflăm coeficientul: k = y : x = 24 : 4 = 6.
  2. 2Folosim formula y = k × x pentru noua valoare: y = 6 × 7.
  3. 3Deci y = 42.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Proporționalitate directă și inversă: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Două mărimi sunt direct proporționale când cresc sau scad împreună în același raport. Sunt invers proporționale când una crește, iar cealaltă scade astfel încât produsul rămâne constant.

Mărimi direct proporționale

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește sau scade de un anumit număr de ori, cealaltă crește sau scade de tot atâtea ori.

Semnul lor este că raportul dintre valorile corespunzătoare rămâne constant. Acest raport se numește coeficient de proporționalitate și se notează k: yx = k, adică y = k × x.

Exemplu: dacă 2 kg de mere costă 8 lei, atunci 4 kg costă 16 lei, iar 6 kg costă 24 de lei. Coeficientul este k = 8 : 2 = 4, adică prețul unui kilogram.

  • yx = k
  • y = k × x
  • k = 8 : 2 = 4
  • Coeficientul k este chiar valoarea pentru o unitate: prețul unui kilogram, distanța într-o oră.
  • Latura unui pătrat și perimetrul lui sunt direct proporționale, cu k = 4.

Exemplu rezolvat

x și y sunt direct proporționale, iar y = 24 pentru x = 4. Cât este y pentru x = 7?

  1. Aflăm coeficientul: k = y : x = 24 : 4 = 6.
  2. Folosim formula y = k × x pentru noua valoare: y = 6 × 7.
  3. Deci y = 42.

Mărimi invers proporționale

Două mărimi sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un anumit număr de ori, cealaltă scade de tot atâtea ori.

Semnul lor este că produsul valorilor corespunzătoare rămâne constant: x × y = k.

Exemplu: dacă 3 muncitori termină o lucrare în 8 zile, atunci 6 muncitori, de două ori mai mulți, o termină în 4 zile, de două ori mai puține. Produsul rămâne 24 în ambele cazuri.

  • x × y = k
  • 3 × 8 = 6 × 4 = 24
  • Viteza și timpul pentru aceeași distanță sunt invers proporționale.
  • Dacă una dintre mărimi se dublează, cealaltă se înjumătățește.

Exemplu rezolvat · alte date

5 pompe identice umplu un bazin în 12 ore. În câte ore îl umplu 10 pompe?

  1. La același volum, numărul de pompe și timpul au produs constant.
  2. 5 × 12 = 60, deci 10 × t = 60.
  3. t = 6 ore; dublarea numărului de pompe înjumătățește timpul.

Regula de trei simplă

Regula de trei simplă scrie datele într-un tabel și calculează necunoscuta dintr-o singură formulă. Pentru mărimi direct proporționale, din a → b și c → x rezultă x = (b × c) : a.

Pentru mărimi invers proporționale, formula se schimbă: x = (a × b) : c. Diferența dintre cele două formule este exact diferența dintre „raport constant” și „produs constant”.

  • direct: x = (b × c) : a
  • invers: x = (a × b) : c
  • Scrie mărimile de același fel una sub alta, altfel formula dă alt rezultat.
  • Stabilește tipul de proporționalitate înainte să alegi formula.

Exemplu rezolvat

4 kg de mere costă 22 de lei. Cât costă 6 kg?

  1. Mai multe kilograme înseamnă preț mai mare, deci mărimile sunt direct proporționale.
  2. Scriem tabelul: 4 kg → 22 lei, 6 kg → x lei, deci x = (22 × 6) : 4.
  3. Calculăm: 132 : 4 = 33 de lei.

Cum recunoști tipul de proporționalitate

Înainte de orice calcul, întreabă-te ce se întâmplă cu a doua mărime când prima crește. Dacă și ea crește, mărimile sunt direct proporționale; dacă scade, sunt invers proporționale.

Numărul de caiete și prețul total cresc împreună, deci sunt direct proporționale. Numărul de muncitori și zilele de lucru merg în sens opus, deci sunt invers proporționale.

Verificarea finală este cea mai bună: dacă răspunsul iese în direcția greșită — mai mulți muncitori și mai multe zile — ai ales tipul greșit.

  • crește ↔ crește: direct
  • crește ↔ scade: invers
  • Mai multe robinete umplu bazinul în mai puțin timp: invers proporționale.
  • Aceeași distanță cu viteză mai mare înseamnă mai puține ore.

Exemplu rezolvat

O mașină merge cu 60 kmh și ajunge în 4 ore. În câte ore ar ajunge pe același drum cu 80 kmh?

  1. Viteză mai mare înseamnă timp mai mic, deci mărimile sunt invers proporționale.
  2. Produsul rămâne constant: 60 × 4 = 240, adică distanța în kilometri.
  3. Împărțim la noua viteză: 240 : 80 = 3 ore.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Cantitatea cumpărată și costul, la același preț unitar, sunt...

    Vezi rezolvarea
    1. Costul crește în același raport cu numărul produselor.

    Răspuns: direct proporționale

  2. Exercițiul 2

    Numărul de robinete identice și timpul de umplere sunt...

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru aceeași cantitate de apă, produsul robinete × timp rămâne constant.

    Răspuns: invers proporționale

  3. Exercițiul 3

    3 caiete costă 18 lei. Cât costă 5 caiete?

    Vezi rezolvarea
    1. Un caiet costă 18 : 3 = 6 lei.
    2. 5 caiete costă 5 × 6 = 30 lei.

    Răspuns: 30

  4. Exercițiul 4

    8 muncitori termină o lucrare în 12 zile. În câte zile o termină 6 muncitori?

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul este 8 × 12 = 96.
    2. x = 96 : 6 = 16 zile.

    Răspuns: 16

  5. Exercițiul 5

    Dacă y = 24 când x = 4, iar y și x sunt direct proporționale, cât este y pentru x = 7?

    Vezi rezolvarea
    1. k = 24 : 4 = 6, deci y = 6 × 7 = 42.

    Răspuns: 42

  6. Exercițiul 6

    Viteza unui tren și timpul în care parcurge aceeași distanță sunt...

    Vezi rezolvarea
    1. Pe aceeași distanță, viteza dublă înseamnă timp înjumătățit.
    2. Produsul viteză × timp rămâne egal cu distanța.
    3. Mărimile sunt invers proporționale.

    Răspuns: invers proporționale

  7. Exercițiul 7

    Latura unui pătrat și perimetrul lui sunt...

    Vezi rezolvarea
    1. Dacă latura se dublează, perimetrul se dublează.
    2. Raportul Pl este mereu 4.
    3. Mărimile sunt direct proporționale.

    Răspuns: direct proporționale

  8. Exercițiul 8

    4 kg de mere costă 22 de lei. Cât costă 6 kg, în lei?

    Vezi rezolvarea
    1. 1 kg costă 22 : 4 = 5,5 lei.
    2. 6 kg costă 6 × 5,5 lei.
    3. 6 × 5,5 = 33 de lei.

    Răspuns: 33

  9. Exercițiul 9

    5 robinete identice umplu un bazin în 12 ore. În câte ore îl umplu 10 robinete?

    Vezi rezolvarea
    1. 5 × 12 = 60.
    2. 10 × t = 60.
    3. t = 6 ore.

    Răspuns: 6

  10. Exercițiul 10

    x și y sunt invers proporționale. Pentru x = 6, y = 10. Cât este y pentru x = 15?

    Vezi rezolvarea
    1. x × y = 6 × 10 = 60.
    2. 15 × y = 60.
    3. y = 60 : 15 = 4.

    Răspuns: 4

  11. Exercițiul 11

    x și y sunt direct proporționale, iar y = 3x. Cât este y pentru x = 2,5?

    Vezi rezolvarea
    1. y = 3 × x.
    2. y = 3 × 2,5.
    3. y = 7,5.

    Răspuns: 7,5

  12. Exercițiul 12

    O mașină merge cu 60 kmh și ajunge la destinație în 4 ore. În câte ore ar ajunge pe același drum cu 80 kmh?

    Vezi rezolvarea
    1. Distanța este 60 × 4 = 240 km.
    2. Timpul este distanța împărțită la viteză.
    3. 240 : 80 = 3 ore.

    Răspuns: 3

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Dacă 5 caiete costă 20 lei, cât costă 8 caiete, la același preț?

    Vezi răspunsul

    32 de lei (un caiet costă 20 : 5 = 4 lei)

  2. 2. Dificultate redusă

    Dacă 3 robinete umplu un bazin în 8 ore, în câte ore l-ar umple 1 robinet?

    Vezi răspunsul

    24 de ore (3 × 8)

  3. 3. Dificultate redusă

    Stabilește tipul de proporționalitate: numărul de bilete cumpărate și suma totală plătită.

    Vezi răspunsul

    Direct proporționale: de câte ori crește numărul de bilete, de atâtea ori crește suma.

  4. 4. Dificultate redusă

    Stabilește tipul de proporționalitate: numărul de tunuri de zăpadă folosite și timpul necesar pentru a acoperi un teren cu zăpadă artificială.

    Vezi răspunsul

    Invers proporționale: cu mai multe tunuri, timpul scade de același număr de ori.

  5. 5. Dificultate redusă

    Calculează coeficientul de proporționalitate k, dacă y = 24 atunci când x = 4, iar mărimile sunt direct proporționale.

    Vezi răspunsul

    k = 24 : 4 = 6

  6. 6. Dificultate medie

    Un vehicul parcurge 210 km în 3 ore, cu viteză constantă. Câți kilometri parcurge în 5 ore, cu aceeași viteză?

    Vezi răspunsul

    350 km (210 : 3 = 70 km pe oră)

  7. 7. Dificultate medie

    O echipă de 4 muncitori termină o lucrare în 18 zile. În câte zile ar termina-o 6 muncitori?

    Vezi răspunsul

    12 zile (4 × 18 = 72, iar 72 : 6 = 12)

  8. 8. Dificultate medie

    Se dau valorile: x = 3, y = 21; x = 6, y = 42. Verifică dacă mărimile x și y sunt direct proporționale.

    Vezi răspunsul

    Da: 21 : 3 = 7 și 42 : 6 = 7, deci raportul este constant (k = 7).

  9. 9. Dificultate medie

    Se dau valorile: x = 5, y = 24; x = 10, y = 12. Verifică dacă mărimile x și y sunt invers proporționale.

    Vezi răspunsul

    Da: 5 × 24 = 120 și 10 × 12 = 120, deci produsul este constant.

  10. 10. Dificultate medie

    Pentru a umple un rezervor sunt necesare 8 ore, folosind 3 pompe identice. În câte ore s-ar umple rezervorul, folosind doar 1 pompă?

    Vezi răspunsul

    24 de ore (3 × 8)

  11. 11. Dificultate ridicată

    O fabrică produce 360 de piese cu ajutorul a 6 mașini, într-o zi. Dacă se dorește dublarea producției zilnice, păstrând același număr de ore de funcționare, câte mașini identice sunt necesare?

    Vezi răspunsul

    12 mașini: producția dublă cere de două ori mai multe mașini.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Un grup de 12 elevi ar termina de vopsit un gard în 5 ore. După prima oră de lucru, li se alătură alți 3 elevi, care lucrează în același ritm. Calculează timpul total necesar pentru finalizarea lucrării.

    Vezi răspunsul

    4,2 ore, adică 4 ore și 12 minute: lucrarea = 12 × 5 = 60 de ore de muncă; după prima oră rămân 48, iar 48 : 15 = 3,2 ore.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Suma a doi termeni ai unui raport, aflați într-o relație de proporționalitate directă cu coeficientul k = 4, este 60. Află cei doi termeni.

    Vezi răspunsul

    48 și 12: primul termen este de 4 ori al doilea, deci 5 părți = 60.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un automobil parcurge o distanță în 5 ore, cu viteza de 80 kmh. Cu ce viteză ar trebui să circule pentru a parcurge aceeași distanță în 4 ore?

    Vezi răspunsul

    100 kmh: distanța este 5 × 80 = 400 km, iar 400 : 4 = 100.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Prețul unui produs este direct proporțional cu greutatea lui. Dacă 4 kg costă 60 lei, iar bugetul disponibil este de 210 lei, câte kilograme se pot cumpăra cu acest buget?

    Vezi răspunsul

    14 kg (un kilogram costă 60 : 4 = 15 lei, iar 210 : 15 = 14)

  16. 16. Excelență

    Un bazin este umplut de 2 robinete identice în 9 ore. Se deschid, suplimentar, alte 4 robinete identice cu primele, după primele 3 ore de funcționare. Calculează timpul total necesar pentru umplerea completă a bazinului.

    Vezi răspunsul

    5 ore: bazinul cere 2 × 9 = 18 ore de robinet; în primele 3 ore se fac 6, iar restul de 12 le fac 6 robinete în 2 ore.

  17. 17. Excelență

    Se dau două mărimi x și y, invers proporționale, cu produsul constant k = 60. Dacă x crește cu 5 unități față de o valoare inițială x = 10, calculează noua valoare a lui y și diferența față de valoarea inițială a lui y.

    Vezi răspunsul

    Inițial y = 60 : 10 = 6. Pentru x = 15: y = 60 : 15 = 4, deci y scade cu 2.

  18. 18. Excelență

    Un grup de 8 constructori termină o casă în 40 de zile. Dacă se dorește ca lucrarea să fie gata cu 10 zile mai devreme, câți constructori suplimentari trebuie angajați, presupunând că toți lucrează în același ritm?

    Vezi răspunsul

    3 constructori suplimentari: lucrarea = 8 × 40 = 320 de zile de muncă; în 30 de zile ar trebui 320 : 30 ≈ 10,7, deci 11 constructori (cu 10 ar dura 32 de zile).

  19. 19. Excelență

    Costul unei calătorii cu taxiul este format dintr-o sumă fixă de 5 lei, plus o sumă direct proporțională cu distanța parcursă, de 2 leikm. Dacă o cursă de 12 km costă 29 lei, verifică dacă formula este corectă, apoi calculează costul unei curse de 20 km.

    Vezi răspunsul

    Formula este corectă: 5 + 2 × 12 = 29 de lei. Pentru 20 km: 5 + 2 × 20 = 45 de lei.

  20. 20. Excelență

    Trei echipe de muncitori, cu 4, 6 și 10 persoane, lucrează separat la aceeași lucrare. Calculează, pentru fiecare echipă, timpul necesar finalizării lucrării, știind că echipa de 4 persoane o termină în 30 de zile (folosește proporționalitatea inversă pentru celelalte două echipe).

    Vezi răspunsul

    Lucrarea = 4 × 30 = 120 de zile de muncă. Echipa de 6: 120 : 6 = 20 de zile; echipa de 10: 12 zile.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.