Teorie înainte de exerciții
Proporționalitate directă și inversă
Două mărimi sunt direct proporționale când cresc sau scad împreună în același raport. Sunt invers proporționale când una crește, iar cealaltă scade astfel încât produsul rămâne constant.
Mărimi direct proporționale
Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește sau scade de un anumit număr de ori, cealaltă crește sau scade de tot atâtea ori.
Semnul lor este că raportul dintre valorile corespunzătoare rămâne constant. Acest raport se numește coeficient de proporționalitate și se notează k: yx = k, adică y = k × x.
Exemplu: dacă 2 kg de mere costă 8 lei, atunci 4 kg costă 16 lei, iar 6 kg costă 24 de lei. Coeficientul este k = 8 : 2 = 4, adică prețul unui kilogram.
- Coeficientul k este chiar valoarea pentru o unitate: prețul unui kilogram, distanța într-o oră.
- Latura unui pătrat și perimetrul lui sunt direct proporționale, cu k = 4.
Exemplu rezolvat
x și y sunt direct proporționale, iar y = 24 pentru x = 4. Cât este y pentru x = 7?
- 1.Aflăm coeficientul: k = y : x = 24 : 4 = 6.
- 2.Folosim formula y = k × x pentru noua valoare: y = 6 × 7.
- 3.Deci y = 42.
Mărimi invers proporționale
Două mărimi sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un anumit număr de ori, cealaltă scade de tot atâtea ori.
Semnul lor este că produsul valorilor corespunzătoare rămâne constant: x × y = k.
Exemplu: dacă 3 muncitori termină o lucrare în 8 zile, atunci 6 muncitori, de două ori mai mulți, o termină în 4 zile, de două ori mai puține. Produsul rămâne 24 în ambele cazuri.
- Viteza și timpul pentru aceeași distanță sunt invers proporționale.
- Dacă una dintre mărimi se dublează, cealaltă se înjumătățește.
Exemplu rezolvat
x și y sunt invers proporționale. Pentru x = 6, y = 10. Cât este y pentru x = 15?
- 1.Calculăm constanta: k = x × y = 6 × 10 = 60.
- 2.Pentru noua valoare avem 15 × y = 60.
- 3.Împărțim: y = 60 : 15 = 4.
Regula de trei simplă
Regula de trei simplă scrie datele într-un tabel și calculează necunoscuta dintr-o singură formulă. Pentru mărimi direct proporționale, din a → b și c → x rezultă x = (b × c) : a.
Pentru mărimi invers proporționale, formula se schimbă: x = (a × b) : c. Diferența dintre cele două formule este exact diferența dintre „raport constant” și „produs constant”.
- Scrie mărimile de același fel una sub alta, altfel formula dă alt rezultat.
- Stabilește tipul de proporționalitate înainte să alegi formula.
Exemplu rezolvat
4 kg de mere costă 22 de lei. Cât costă 6 kg?
- 1.Mai multe kilograme înseamnă preț mai mare, deci mărimile sunt direct proporționale.
- 2.Scriem tabelul: 4 kg → 22 lei, 6 kg → x lei, deci x = (22 × 6) : 4.
- 3.Calculăm: 132 : 4 = 33 de lei.
Cum recunoști tipul de proporționalitate
Înainte de orice calcul, întreabă-te ce se întâmplă cu a doua mărime când prima crește. Dacă și ea crește, mărimile sunt direct proporționale; dacă scade, sunt invers proporționale.
Numărul de caiete și prețul total cresc împreună, deci sunt direct proporționale. Numărul de muncitori și zilele de lucru merg în sens opus, deci sunt invers proporționale.
Verificarea finală este cea mai bună: dacă răspunsul iese în direcția greșită — mai mulți muncitori și mai multe zile — ai ales tipul greșit.
- Mai multe robinete umplu bazinul în mai puțin timp: invers proporționale.
- Aceeași distanță cu viteză mai mare înseamnă mai puține ore.
Exemplu rezolvat
O mașină merge cu 60 kmh și ajunge în 4 ore. În câte ore ar ajunge pe același drum cu 80 kmh?
- 1.Viteză mai mare înseamnă timp mai mic, deci mărimile sunt invers proporționale.
- 2.Produsul rămâne constant: 60 × 4 = 240, adică distanța în kilometri.
- 3.Împărțim la noua viteză: 240 : 80 = 3 ore.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții
Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.
- Ex. 1Dificultate redusă
Dacă 5 caiete costă 20 lei, cât costă 8 caiete, la același preț?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
32 de lei (un caiet costă 20 : 5 = 4 lei)
- Ex. 2Dificultate redusă
Dacă 3 robinete umplu un bazin în 8 ore, în câte ore l-ar umple 1 robinet?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
24 de ore (3 × 8)
- Ex. 3Dificultate redusă
Stabilește tipul de proporționalitate: numărul de bilete cumpărate și suma totală plătită.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Direct proporționale: de câte ori crește numărul de bilete, de atâtea ori crește suma.
- Ex. 4Dificultate redusă
Stabilește tipul de proporționalitate: numărul de tunuri de zăpadă folosite și timpul necesar pentru a acoperi un teren cu zăpadă artificială.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Invers proporționale: cu mai multe tunuri, timpul scade de același număr de ori.
- Ex. 5Dificultate redusă
Calculează coeficientul de proporționalitate k, dacă y = 24 atunci când x = 4, iar mărimile sunt direct proporționale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
k = 24 : 4 = 6
- Ex. 6Dificultate medie
Un vehicul parcurge 210 km în 3 ore, cu viteză constantă. Câți kilometri parcurge în 5 ore, cu aceeași viteză?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
350 km (210 : 3 = 70 km pe oră)
- Ex. 7Dificultate medie
O echipă de 4 muncitori termină o lucrare în 18 zile. În câte zile ar termina-o 6 muncitori?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 zile (4 × 18 = 72, iar 72 : 6 = 12)
- Ex. 8Dificultate medie
Se dau valorile: x = 3, y = 21; x = 6, y = 42. Verifică dacă mărimile x și y sunt direct proporționale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 21 : 3 = 7 și 42 : 6 = 7, deci raportul este constant (k = 7).
- Ex. 9Dificultate medie
Se dau valorile: x = 5, y = 24; x = 10, y = 12. Verifică dacă mărimile x și y sunt invers proporționale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 5 × 24 = 120 și 10 × 12 = 120, deci produsul este constant.
- Ex. 10Dificultate medie
Pentru a umple un rezervor sunt necesare 8 ore, folosind 3 pompe identice. În câte ore s-ar umple rezervorul, folosind doar 1 pompă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
24 de ore (3 × 8)
- Ex. 11Dificultate ridicată
O fabrică produce 360 de piese cu ajutorul a 6 mașini, într-o zi. Dacă se dorește dublarea producției zilnice, păstrând același număr de ore de funcționare, câte mașini identice sunt necesare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 mașini: producția dublă cere de două ori mai multe mașini.
- Ex. 12Dificultate ridicată
Un grup de 12 elevi ar termina de vopsit un gard în 5 ore. După prima oră de lucru, li se alătură alți 3 elevi, care lucrează în același ritm. Calculează timpul total necesar pentru finalizarea lucrării.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4,2 ore, adică 4 ore și 12 minute: lucrarea = 12 × 5 = 60 de ore de muncă; după prima oră rămân 48, iar 48 : 15 = 3,2 ore.
- Ex. 13Dificultate ridicată
Suma a doi termeni ai unui raport, aflați într-o relație de proporționalitate directă cu coeficientul k = 4, este 60. Află cei doi termeni.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
48 și 12: primul termen este de 4 ori al doilea, deci 5 părți = 60.
- Ex. 14Dificultate ridicată
Un automobil parcurge o distanță în 5 ore, cu viteza de 80 kmh. Cu ce viteză ar trebui să circule pentru a parcurge aceeași distanță în 4 ore?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
100 kmh: distanța este 5 × 80 = 400 km, iar 400 : 4 = 100.
- Ex. 15Dificultate ridicată
Prețul unui produs este direct proporțional cu greutatea lui. Dacă 4 kg costă 60 lei, iar bugetul disponibil este de 210 lei, câte kilograme se pot cumpăra cu acest buget?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
14 kg (un kilogram costă 60 : 4 = 15 lei, iar 210 : 15 = 14)
- Ex. 16Excelență
Un bazin este umplut de 2 robinete identice în 9 ore. Se deschid, suplimentar, alte 4 robinete identice cu primele, după primele 3 ore de funcționare. Calculează timpul total necesar pentru umplerea completă a bazinului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 ore: bazinul cere 2 × 9 = 18 ore de robinet; în primele 3 ore se fac 6, iar restul de 12 le fac 6 robinete în 2 ore.
- Ex. 17Excelență
Se dau două mărimi x și y, invers proporționale, cu produsul constant k = 60. Dacă x crește cu 5 unități față de o valoare inițială x = 10, calculează noua valoare a lui y și diferența față de valoarea inițială a lui y.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Inițial y = 60 : 10 = 6. Pentru x = 15: y = 60 : 15 = 4, deci y scade cu 2.
- Ex. 18Excelență
Un grup de 8 constructori termină o casă în 40 de zile. Dacă se dorește ca lucrarea să fie gata cu 10 zile mai devreme, câți constructori suplimentari trebuie angajați, presupunând că toți lucrează în același ritm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 constructori suplimentari: lucrarea = 8 × 40 = 320 de zile de muncă; în 30 de zile ar trebui 320 : 30 ≈ 10,7, deci 11 constructori (cu 10 ar dura 32 de zile).
- Ex. 19Excelență
Costul unei calătorii cu taxiul este format dintr-o sumă fixă de 5 lei, plus o sumă direct proporțională cu distanța parcursă, de 2 leikm. Dacă o cursă de 12 km costă 29 lei, verifică dacă formula este corectă, apoi calculează costul unei curse de 20 km.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Formula este corectă: 5 + 2 × 12 = 29 de lei. Pentru 20 km: 5 + 2 × 20 = 45 de lei.
- Ex. 20Excelență
Trei echipe de muncitori, cu 4, 6 și 10 persoane, lucrează separat la aceeași lucrare. Calculează, pentru fiecare echipă, timpul necesar finalizării lucrării, știind că echipa de 4 persoane o termină în 30 de zile (folosește proporționalitatea inversă pentru celelalte două echipe).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Lucrarea = 4 × 30 = 120 de zile de muncă. Echipa de 6: 120 : 6 = 20 de zile; echipa de 10: 12 zile.