Pozițiile relative a două cercuri

Două cercuri se pot afla unul lângă altul, se pot atinge, se pot intersecta în două puncte sau unul poate fi în interiorul celuilalt. Comparăm distanța d dintre centre cu suma și diferența razelor.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Cercurile secante au exact două puncte comune.

Cele cinci poziții relative

Două cercuri, cu centrele O₁ și O₂ și razele r₁ ≥ r₂, se pot afla în cinci situații, după distanța d dintre centre: exterioare, tangente exterior, secante, tangente interior sau unul interior celuilalt.

Cercurile exterioare nu au niciun punct comun și niciunul nu este în interiorul celuilalt. Cele tangente au exact un punct comun, iar cele secante au exact două puncte comune.

Un caz aparte apare când d = 0, adică atunci când centrele coincid: cercurile se numesc concentrice și arată ca o țintă.

d = O₁O₂, cu r₁ ≥ r₂

secante: 2 puncte comune

d = 0 ⇒ cercuri concentrice

Toate cazurile se deosebesc comparând d cu suma și cu diferența razelor.
Notează întotdeauna raza mai mare cu r₁, ca diferența să iasă pozitivă.

Exemplu rezolvat

Ce înseamnă d = 0 pentru două cercuri cu raze diferite?

1.Distanța dintre centre este 0, deci cele două centre coincid.
2.Razele fiind diferite, cercurile nu se suprapun, ci unul este în interiorul celuilalt.
3.Astfel de cercuri se numesc concentrice.

Suma razelor: exterioare, tangente exterior, secante

Pe segmentul dintre centre așezăm cele două raze, spre punctele cele mai apropiate. Suma razelor arată exact când cercurile se ating pe dinafară.

Dacă d > r₁ + r₂, cercurile sunt exterioare și nu se ating deloc. Dacă d = r₁ + r₂, sunt tangente exterior și au un singur punct comun. Dacă r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂, cercurile sunt secante și se intersectează în două puncte.

Când două cercuri sunt tangente, punctul de tangență se află pe dreapta care unește centrele — de aceea distanța dintre centre este chiar suma razelor.

exterioare: d > r₁ + r₂

tangente exterior: d = r₁ + r₂

secante: r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂

Calculează întâi suma S = r₁ + r₂ și diferența D = r₁ − r₂, apoi așază d față de ele.
La tangență exterioară, d se află direct adunând razele.

Exemplu rezolvat

Două cercuri tangente exterior au razele de 6 cm și 2,5 cm. Cât este distanța dintre centre?

1.La tangența exterioară, punctul comun se află pe segmentul dintre centre.
2.Distanța dintre centre este suma razelor: 6 + 2,5.
3.Deci d = 8,5 cm.

Diferența razelor: tangente interior și interioare

Diferența razelor arată când cercul mic atinge cercul mare pe dinăuntru. Dacă d = r₁ − r₂, cercurile sunt tangente interior și au un singur punct comun.

Dacă d < r₁ − r₂, cercul mic se află complet în interiorul celui mare, fără să îl atingă.

Și aici punctul de tangență se află pe dreapta centrelor, ceea ce permite să afli o rază necunoscută atunci când cunoști distanța dintre centre și cealaltă rază.

tangente interior: d = r₁ − r₂

interioare: d < r₁ − r₂

r₂ = r₁ − d

Scade întotdeauna raza mică din cea mare, ca rezultatul să fie pozitiv.
Cercurile concentrice sunt cazul extrem al cercurilor interioare, cu d = 0.

Exemplu rezolvat

Două cercuri tangente interior au distanța dintre centre de 3 cm, iar raza mare de 8 cm. Cât are raza mică?

1.La tangența interioară, d = r₁ − r₂, deci 3 = 8 − r₂.
2.Rezultă r₂ = 8 − 3.
3.Raza mică are 5 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 17 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 2Dificultate redusă
Două cercuri cu r₁ = 5, r₂ = 3 și d = 8 sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Tangente exterior: d = r₁ + r₂ = 5 + 3 = 8.
Ex. 3Dificultate redusă
Pentru r₁ = 9, r₂ = 4 și d = 14, cercurile sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Exterioare, fără puncte comune: d = 14 > r₁ + r₂ = 13.
Ex. 4Dificultate redusă
Pentru r₁ = 10, r₂ = 4 și d = 6, cercurile sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Tangente interior: d = r₁ − r₂ = 10 − 4 = 6.
Ex. 5Dificultate redusă
Pentru r₁ = 10, r₂ = 3 și d = 4, poziția este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Interioare, fără puncte comune: d = 4 < r₁ − r₂ = 7 (cercul mic stă în interiorul celui mare).
Ex. 6Dificultate medie
Ce înseamnă d = 0 pentru două cercuri cu raze diferite?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cercurile au același centru: sunt concentrice.
Ex. 7Dificultate medie
Două cercuri tangente exterior au razele 6 cm și 2,5 cm. Cât este distanța dintre centre?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d = 6 + 2,5 = 8,5 cm
Ex. 8Dificultate medie
Două cercuri tangente interior au razele 12 cm și 5 cm. Cât este d?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d = 12 − 5 = 7 cm
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Două cercuri cu r₁ = 5, r₂ = 3 și d = 8 sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Tangente exterior: compari d cu r₁ + r₂; aici d = 8 = 5 + 3, deci cercurile au un singur punct comun și stau unul în afara celuilalt.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Pentru r₁ = 9, r₂ = 4 și d = 14, cercurile sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Exterioare: r₁ + r₂ = 13, iar d = 14 > 13, deci cercurile nu au puncte comune și stau unul în afara celuilalt.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Pentru r₁ = 10, r₂ = 4 și d = 6, cercurile sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Tangente interior: r₁ − r₂ = 6 = d, deci cercurile au un singur punct comun, iar cel mic este în interiorul celui mare.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Pentru r₁ = 10, r₂ = 3 și d = 4, poziția este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Interioare: r₁ − r₂ = 7, iar d = 4 < 7, deci cercul mic este în interiorul celui mare, fără puncte comune.
Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce înseamnă d = 0 pentru două cercuri cu raze diferite?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d = 0 înseamnă că centrele coincid: cercurile sunt concentrice.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Două cercuri tangente exterior au razele 6 cm și 2,5 cm. Cât este distanța dintre centre?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8,5 cm: la tangența exterioară, distanța dintre centre este suma razelor, 6 + 2,5.
Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Două cercuri tangente interior au razele 12 cm și 5 cm. Cât este d?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 cm: la tangența interioară, distanța dintre centre este diferența razelor, 12 − 5.
Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Două cercuri cu r₁ = 5, r₂ = 3 și d = 8 sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: compari distanța d dintre centre cu r₁ + r₂ și cu r₁ − r₂. Aici d = 8 = 5 + 3, deci cercurile sunt tangente exterior.
Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Pentru r₁ = 9, r₂ = 4 și d = 14, cercurile sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: dacă d > r₁ + r₂, cercurile sunt exterioare. Aici 14 > 9 + 4 = 13, deci sunt exterioare.
Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Pentru r₁ = 10, r₂ = 4 și d = 6, cercurile sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: dacă d = r₁ − r₂, cercurile sunt tangente interior. Aici 6 = 10 − 4, deci sunt tangente interior.