Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Cele cinci poziții relative
Două cercuri, cu centrele O1 și O2 și razele r1 ≥ r2, se pot afla în cinci situații, după distanța d dintre centre: exterioare, tangente exterior, secante, tangente interior sau unul interior celuilalt.
Cercurile exterioare nu au niciun punct comun și niciunul nu este în interiorul celuilalt. Cele tangente au exact un punct comun, iar cele secante au exact două puncte comune.
Un caz aparte apare când d = 0, adică atunci când centrele coincid: cercurile se numesc concentrice și arată ca o țintă.
🧮 De ținut minte
d = O1O2, cu r1 ≥ r2
secante: 2 puncte comune
d = 0 ⇒ cercuri concentrice
✓Toate cazurile se deosebesc comparând d cu suma și cu diferența razelor.
✓Notează întotdeauna raza mai mare cu r1, ca diferența să iasă pozitivă.
✏️Exemplu rezolvat · alte date
Două cercuri au raze 4 și 2 și centre la distanța 7. Ce poziție au?
1Suma razelor este 6.
2Distanța centrelor, 7, este mai mare decât 6.
3Cercurile sunt exterioare, fără puncte comune.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Pozițiile relative a două cercuri: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Două cercuri se pot afla unul lângă altul, se pot atinge, se pot intersecta în două puncte sau unul poate fi în interiorul celuilalt. Comparăm distanța d dintre centre cu suma și diferența razelor.
Cele cinci poziții relative
Două cercuri, cu centrele O1 și O2 și razele r1 ≥ r2, se pot afla în cinci situații, după distanța d dintre centre: exterioare, tangente exterior, secante, tangente interior sau unul interior celuilalt.
Cercurile exterioare nu au niciun punct comun și niciunul nu este în interiorul celuilalt. Cele tangente au exact un punct comun, iar cele secante au exact două puncte comune.
Un caz aparte apare când d = 0, adică atunci când centrele coincid: cercurile se numesc concentrice și arată ca o țintă.
d = O1O2, cu r1 ≥ r2
secante: 2 puncte comune
d = 0 ⇒ cercuri concentrice
•Toate cazurile se deosebesc comparând d cu suma și cu diferența razelor.
•Notează întotdeauna raza mai mare cu r1, ca diferența să iasă pozitivă.
Exemplu rezolvat · alte date
Două cercuri au raze 4 și 2 și centre la distanța 7. Ce poziție au?
Pe segmentul dintre centre așezăm cele două raze, spre punctele cele mai apropiate. Suma razelor arată exact când cercurile se ating pe dinafară.
Dacă d > r1 + r2, cercurile sunt exterioare și nu se ating deloc. Dacă d = r1 + r2, sunt tangente exterior și au un singur punct comun. Dacă r1 − r2 < d < r1 + r2, cercurile sunt secante și se intersectează în două puncte.
Când două cercuri sunt tangente, punctul de tangență se află pe dreapta care unește centrele — de aceea distanța dintre centre este chiar suma razelor.
exterioare: d > r1 + r2
tangente exterior: d = r1 + r2
secante: r1 − r2 < d < r1 + r2
•Calculează întâi suma S = r1 + r2 și diferența D = r1 − r2, apoi așază d față de ele.
•La tangență exterioară, d se află direct adunând razele.
Exemplu rezolvat
Două cercuri tangente exterior au razele de 6 cm și 2,5 cm. Cât este distanța dintre centre?
La tangența exterioară, punctul comun se află pe segmentul dintre centre.
Distanța dintre centre este suma razelor: 6 + 2,5.
Deci d = 8,5 cm.
Diferența razelor: tangente interior și interioare
Diferența razelor arată când cercul mic atinge cercul mare pe dinăuntru. Dacă d = r1 − r2, cercurile sunt tangente interior și au un singur punct comun.
Dacă d < r1 − r2, cercul mic se află complet în interiorul celui mare, fără să îl atingă.
Și aici punctul de tangență se află pe dreapta centrelor, ceea ce permite să afli o rază necunoscută atunci când cunoști distanța dintre centre și cealaltă rază.
tangente interior: d = r1 − r2
interioare: d < r1 − r2
r2 = r1 − d
•Scade întotdeauna raza mică din cea mare, ca rezultatul să fie pozitiv.
•Cercurile concentrice sunt cazul extrem al cercurilor interioare, cu d = 0.
Exemplu rezolvat
Două cercuri tangente interior au distanța dintre centre de 3 cm, iar raza mare de 8 cm. Cât are raza mică?
La tangența interioară, d = r1 − r2, deci 3 = 8 − r2.
Rezultă r2 = 8 − 3.
Raza mică are 5 cm.
Exerciții rezolvate din lecție (12)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Ce poziție au cercurile din desen?
Vezi rezolvarea
Două puncte comune înseamnă cercuri secante.
Răspuns: Secante
Exercițiul 2
Două cercuri cu r1 = 5, r2 = 3 și d = 8 sunt...
Vezi rezolvarea
5 + 3 = 8 = d, deci cercurile sunt tangente exterior.
Răspuns: tangente exterior
Exercițiul 3
Pentru r1 = 9, r2 = 4 și d = 14, cercurile sunt...
Vezi rezolvarea
14 > 9 + 4, deci cercurile nu au puncte comune și sunt exterioare.
Răspuns: exterioare
Exercițiul 4
Pentru r1 = 10, r2 = 4 și d = 6, cercurile sunt...
Vezi rezolvarea
10 − 4 = 6 = d, deci sunt tangente interior.
Răspuns: tangente interior
Exercițiul 5
Pentru r1 = 10, r2 = 3 și d = 4, poziția este...
Vezi rezolvarea
4 < 10 − 3, deci cercul mic este complet în interior și nu există puncte comune.
Răspuns: un cerc interior celuilalt
Exercițiul 6
Ce înseamnă d = 0 pentru două cercuri cu raze diferite?
Vezi rezolvarea
Distanța zero înseamnă același centru, deci cercuri concentrice.
Răspuns: Sunt concentrice
Exercițiul 7
Două cercuri tangente exterior au razele 6 cm și 2,5 cm. Cât este distanța dintre centre?
Vezi rezolvarea
d = 6 + 2,5 = 8,5 cm.
Răspuns: 8,5
Exercițiul 8
Două cercuri tangente interior au razele 12 cm și 5 cm. Cât este d?
Vezi rezolvarea
d = 12 − 5 = 7 cm.
Răspuns: 7
Exercițiul 9
Pentru r1 = 7, r2 = 4 și d = 5, cercurile sunt...
Vezi rezolvarea
S = 11 și D = 3.
3 < 5 < 11.
Cercurile sunt secante.
Răspuns: secante
Exercițiul 10
Pentru r1 = 6, r2 = 2 și d = 10, cercurile sunt...
Vezi rezolvarea
S = 6 + 2 = 8.
d = 10 > 8.
Cercurile sunt exterioare.
Răspuns: exterioare
Exercițiul 11
Câte puncte comune au două cercuri secante?
Vezi rezolvarea
Cercurile secante se taie reciproc.
Ele se intersectează în două puncte.
Au 2 puncte comune.
Răspuns: 2
Exercițiul 12
Două cercuri tangente interior au distanța dintre centre de 3 cm, iar raza mare de 8 cm. Cât are raza mică, în centimetri?
Vezi rezolvarea
3 = 8 − r2.
r2 = 8 − 3.
r2 = 5 cm.
Răspuns: 5
Fișă de consolidare din material (7)
2. Dificultate redusă
Două cercuri cu r1 = 5, r2 = 3 și d = 8 sunt...
Vezi răspunsul
Tangente exterior: d = r1 + r2 = 5 + 3 = 8.
3. Dificultate redusă
Pentru r1 = 9, r2 = 4 și d = 14, cercurile sunt...
Vezi răspunsul
Exterioare, fără puncte comune: d = 14 > r1 + r2 = 13.
4. Dificultate redusă
Pentru r1 = 10, r2 = 4 și d = 6, cercurile sunt...
Vezi răspunsul
Tangente interior: d = r1 − r2 = 10 − 4 = 6.
5. Dificultate redusă
Pentru r1 = 10, r2 = 3 și d = 4, poziția este...
Vezi răspunsul
Interioare, fără puncte comune: d = 4 < r1 − r2 = 7 (cercul mic stă în interiorul celui mare).
6. Dificultate medie
Ce înseamnă d = 0 pentru două cercuri cu raze diferite?
Vezi răspunsul
Cercurile au același centru: sunt concentrice.
7. Dificultate medie
Două cercuri tangente exterior au razele 6 cm și 2,5 cm. Cât este distanța dintre centre?
Vezi răspunsul
d = 6 + 2,5 = 8,5 cm
8. Dificultate medie
Două cercuri tangente interior au razele 12 cm și 5 cm. Cât este d?