Operații cu numere raționale

Operațiile cu numere raționale respectă regulile semnelor și ordinea operațiilor. La fracții, aducem la același numitor pentru adunare și scădere, iar la împărțire înmulțim cu inversul.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Adunarea numerelor raționale

Dacă cele două numere au același semn, aduni modulele lor și păstrezi semnul comun: (−3) + (−5) = −(3 + 5) = −8, la fel cum 4 + 7 = 11.

Dacă au semne diferite, scazi modulul mai mic din cel mai mare, iar rezultatul primește semnul numărului cu modulul mai mare. Pentru (−9) + 4: modulele sunt 9 și 4, diferența este 5, iar semnul este al lui −9, deci rezultatul este −5.

Aceeași regulă rezolvă problemele cu temperaturi: de la −3,5°C, o creștere de 6,5 grade înseamnă −3,5 + 6,5 = 3°C.

(−3) + (−5) = −8

(−9) + 4 = −5

6 + (−2) = 4

Semnul rezultatului este dat de numărul „mai puternic”, adică de cel cu modulul mai mare.
Dacă numerele sunt opuse, suma este 0.

Exemplu rezolvat

Calculează −9 + 4.

1.Numerele au semne diferite, deci scădem modulele: 9 − 4 = 5.
2.Modulul mai mare îl are −9, care este negativ.
3.Rezultatul este −5.

Scăderea numerelor raționale

Scăderea se transformă întotdeauna în adunare cu opusul scăzătorului: a − b = a + (−b). Astfel, nu ai de învățat reguli noi, ci le folosești pe cele de la adunare.

De exemplu, 5 − 8 = 5 + (−8) = −3, iar (−4) − (−6) = (−4) + 6 = 2. Două semne minus alăturate devin plus.

La fracții, procedezi la fel: aduci la același numitor, apoi aduni sau scazi numărătorii.

a − b = a + (−b)

5 − 8 = −3

(−4) − (−6) = 2

Scăderea unui număr negativ înseamnă adunarea unui număr pozitiv.
Rescrie mereu scăderea ca adunare înainte să calculezi.

Exemplu rezolvat

Calculează −6 − 8.

1.Transformăm în adunare cu opusul: −6 + (−8).
2.Numerele au același semn, deci adunăm modulele: 6 + 8 = 14.
3.Păstrăm semnul comun, deci rezultatul este −14.

Înmulțirea și împărțirea

La înmulțire și la împărțire, regula semnelor este aceeași: dacă cei doi factori au același semn, rezultatul este pozitiv; dacă au semne diferite, rezultatul este negativ.

Astfel, (−3) × (−4) = 12, iar (−5) × 2 = −10. La împărțire: (−15) : (−3) = 5, iar (−12) : 4 = −3.

La fracții, împărțirea rămâne înmulțire cu inversa: (−25) : (47) = (−25) × (74) = −1420 = −710.

(−) × (−) = (+)

(+) × (−) = (−)

ab : cd = ab × dc

Într-un produs cu mai mulți factori, numără semnele minus: un număr par de minusuri dă plus, unul impar dă minus.
Semnul se stabilește separat de valoarea numerică: întâi semnul, apoi calculul.

Exemplu rezolvat

Ce semn are produsul (−2) × (−3) × (−5)?

1.Primele două numere au același semn, deci produsul lor este pozitiv: (−2) × (−3) = 6.
2.Înmulțim rezultatul cu −5: semne diferite, deci produsul este negativ.
3.Produsul final este negativ (−30); sunt trei semne minus, adică un număr impar.

Puteri și ordinea operațiilor

La puteri, semnul depinde de exponent: o putere cu baza pozitivă este mereu pozitivă; cu baza negativă și exponent par este pozitivă, fiindcă minusurile se anulează două câte două; cu baza negativă și exponent impar rămâne negativă.

Astfel (−2)² = (−2) × (−2) = 4, iar (−2)³ = −8. Atenție la paranteze: (−2)² = 4, dar −2² = −4, fiindcă acolo puterea se aplică doar lui 2.

Ordinea operațiilor rămâne cea știută: paranteze, puteri, înmulțiri și împărțiri, apoi adunări și scăderi.

(−a)² = a²

(−a)³ = −a³

paranteze → puteri → × și : → + și −

Exponent par înseamnă rezultat pozitiv, exponent impar păstrează semnul bazei.
Fără paranteză, semnul minus nu intră în putere.

Exemplu rezolvat

Calculează (−2)³ + 10 : (−5).

1.Calculăm puterea: baza este negativă, exponentul impar, deci (−2)³ = −8.
2.Calculăm împărțirea: semne diferite, deci 10 : (−5) = −2.
3.Adunăm: −8 + (−2) = −10.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Calculează: (−9) + (−4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−13
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează: 6 + (−11).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−5
Ex. 3Dificultate redusă
Calculează: (−8) − (−3).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−8 + 3 = −5
Ex. 4Dificultate redusă
Calculează: (−5) × 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−20
Ex. 5Dificultate redusă
Calculează: (−24) : (−6).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4
Ex. 6Dificultate medie
Calculează: (−7) + 10 − (−3).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−7 + 10 + 3 = 6
Ex. 7Dificultate medie
Calculează: (−4) × (−6) + 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
24 + 5 = 29
Ex. 8Dificultate medie
Calculează: (−21) : 3 − (−4) × 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−7 + 8 = 1
Ex. 9Dificultate medie
Calculează: (−23) + (56), aducând la același numitor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−46 + 56 = 16
Ex. 10Dificultate medie
Calculează: (−3)³ și (−3)⁴, apoi compară semnele rezultatelor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(−3)³ = −27 (negativ), (−3)⁴ = 81 (pozitiv): la exponent impar semnul minus rămâne, la exponent par rezultatul este pozitiv.
Ex. 11Dificultate ridicată
Calculează: (−18) + 6 × (−3) − (−9) : 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−18 + (−18) − (−3) = −18 − 18 + 3 = −33
Ex. 12Dificultate ridicată
Calculează: [(−5) + 8] × [(−4) − 1].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 × (−5) = −15
Ex. 13Dificultate ridicată
Calculează: (−34) × (−89) − (13).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(−34) × (−89) = 2436 = 23; 23 − 13 = 13
Ex. 14Dificultate ridicată
Un elevator de mină coboară 10 m, apoi urcă 4 m, apoi coboară din nou 6 m, față de poziția inițială (suprafața, notată 0). Folosind adunarea numerelor raționale, calculează adâncimea finală a elevatorului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−10 + 4 − 6 = −12: elevatorul este la 12 m adâncime.
Ex. 15Dificultate ridicată
Calculează: (−4)² − 2 × (−3)³ + (−20) : (−5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16 − 2 × (−27) + 4 = 16 + 54 + 4 = 74
Ex. 16Excelență
Calculează: (−2)³ × (−3)² − (−15) : (−3) + (−4)² : (−8).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(−8) × 9 − 5 + 16 : (−8) = −72 − 5 − 2 = −79
Ex. 17Excelență
Un termometru arată −6°C. Temperatura scade cu 2°C la fiecare oră, timp de 4 ore, apoi crește cu 3°C la fiecare oră, timp de 3 ore. Calculează temperatura finală, folosind operații cu numere raționale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−6 − 4 × 2 + 3 × 3 = −6 − 8 + 9 = −5°C
Ex. 18Excelență
Calculează: [(−23) + (12)] × [(−4) − (−7)], efectuând calculele din fiecare paranteză separat.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(−46 + 36) × 3 = (−16) × 3 = −12
Ex. 19Excelență
Se dau numerele a = −5 și b = 3. Calculează a² − b² și (a − b) × (a + b). Compară cele două rezultate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a² − b² = 25 − 9 = 16 și (a − b)(a + b) = (−8) × (−2) = 16: sunt egale.
Ex. 20Excelență
Un cont bancar are soldul 0 lei. Se efectuează, în ordine, următoarele tranzacții: o retragere de 150 lei, un depozit de 90 lei, o retragere de 60 lei, un depozit de 45 lei. Calculează soldul final al contului, folosind adunarea numerelor raționale, apoi precizează dacă soldul reprezintă o datorie sau o sumă disponibilă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−150 + 90 − 60 + 45 = −75 de lei: este o datorie.