Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Adunarea numerelor raționale
Dacă cele două numere au același semn, aduni modulele lor și păstrezi semnul comun: (−3) + (−5) = −(3 + 5) = −8, la fel cum 4 + 7 = 11.
Dacă au semne diferite, scazi modulul mai mic din cel mai mare, iar rezultatul primește semnul numărului cu modulul mai mare. Pentru (−9) + 4: modulele sunt 9 și 4, diferența este 5, iar semnul este al lui −9, deci rezultatul este −5.
Aceeași regulă rezolvă problemele cu temperaturi: de la −3,5°C, o creștere de 6,5 grade înseamnă −3,5 + 6,5 = 3°C.
🧮 De ținut minte
(−3) + (−5) = −8
(−9) + 4 = −5
6 + (−2) = 4
✓Semnul rezultatului este dat de numărul „mai puternic”, adică de cel cu modulul mai mare.
✓Dacă numerele sunt opuse, suma este 0.
✏️Exemplu rezolvat · alte date
Calculează −13 + 8.
1Termenii au semne diferite; scădem modulele.
213 − 8 = 5, iar modulul mai mare era al termenului negativ.
3Rezultatul este −5.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Operații cu numere raționale: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Operațiile cu numere raționale respectă regulile semnelor și ordinea operațiilor. La fracții, aducem la același numitor pentru adunare și scădere, iar la împărțire înmulțim cu inversul.
Adunarea numerelor raționale
Dacă cele două numere au același semn, aduni modulele lor și păstrezi semnul comun: (−3) + (−5) = −(3 + 5) = −8, la fel cum 4 + 7 = 11.
Dacă au semne diferite, scazi modulul mai mic din cel mai mare, iar rezultatul primește semnul numărului cu modulul mai mare. Pentru (−9) + 4: modulele sunt 9 și 4, diferența este 5, iar semnul este al lui −9, deci rezultatul este −5.
Aceeași regulă rezolvă problemele cu temperaturi: de la −3,5°C, o creștere de 6,5 grade înseamnă −3,5 + 6,5 = 3°C.
(−3) + (−5) = −8
(−9) + 4 = −5
6 + (−2) = 4
•Semnul rezultatului este dat de numărul „mai puternic”, adică de cel cu modulul mai mare.
•Dacă numerele sunt opuse, suma este 0.
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează −13 + 8.
Termenii au semne diferite; scădem modulele.
13 − 8 = 5, iar modulul mai mare era al termenului negativ.
Rezultatul este −5.
Scăderea numerelor raționale
Scăderea se transformă întotdeauna în adunare cu opusul scăzătorului: a − b = a + (−b). Astfel, nu ai de învățat reguli noi, ci le folosești pe cele de la adunare.
De exemplu, 5 − 8 = 5 + (−8) = −3, iar (−4) − (−6) = (−4) + 6 = 2. Două semne minus alăturate devin plus.
La fracții, procedezi la fel: aduci la același numitor, apoi aduni sau scazi numărătorii.
a − b = a + (−b)
5 − 8 = −3
(−4) − (−6) = 2
•Scăderea unui număr negativ înseamnă adunarea unui număr pozitiv.
•Rescrie mereu scăderea ca adunare înainte să calculezi.
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează −7 − 12.
Scăderea lui 12 înseamnă adunarea opusului −12.
−7 + (−12) adună două numere negative.
Rezultatul este −19.
Înmulțirea și împărțirea
La înmulțire și la împărțire, regula semnelor este aceeași: dacă cei doi factori au același semn, rezultatul este pozitiv; dacă au semne diferite, rezultatul este negativ.
Astfel, (−3) × (−4) = 12, iar (−5) × 2 = −10. La împărțire: (−15) : (−3) = 5, iar (−12) : 4 = −3.
La fracții, împărțirea rămâne înmulțire cu inversa: (−25) : (47) = (−25) × (74) = −1420 = −710.
(−) × (−) = (+)
(+) × (−) = (−)
ab : cd = ab × dc
•Într-un produs cu mai mulți factori, numără semnele minus: un număr par de minusuri dă plus, unul impar dă minus.
•Semnul se stabilește separat de valoarea numerică: întâi semnul, apoi calculul.
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează (−4) × (−7) : (−2).
Primele două semne negative dau produs pozitiv: 28.
28 împărțit la −2 are semn negativ.
Rezultatul este −14.
Puteri și ordinea operațiilor
La puteri, semnul depinde de exponent: o putere cu baza pozitivă este mereu pozitivă; cu baza negativă și exponent par este pozitivă, fiindcă minusurile se anulează două câte două; cu baza negativă și exponent impar rămâne negativă.
Astfel (−2)2 = (−2) × (−2) = 4, iar (−2)3 = −8. Atenție la paranteze: (−2)2 = 4, dar −22 = −4, fiindcă acolo puterea se aplică doar lui 2.
Ordinea operațiilor rămâne cea știută: paranteze, puteri, înmulțiri și împărțiri, apoi adunări și scăderi.
(−a)2 = a2
(−a)3 = −a3
paranteze → puteri → × și : → + și −
•Exponent par înseamnă rezultat pozitiv, exponent impar păstrează semnul bazei.
•Fără paranteză, semnul minus nu intră în putere.
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează (−3)2 + 18 : (−6).
Puterea este 9; exponentul par dă rezultat pozitiv.
Împărțirea dă −3.
Adunăm: 9 − 3 = 6.
Exerciții rezolvate din lecție (12)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Calculează −7 + 12.
Vezi rezolvarea
12 − 7 = 5, iar 12 are modulul mai mare și semn pozitiv.
Răspuns: 5
Exercițiul 2
Calculează 34 − 12.
Vezi rezolvarea
34 − 24 = 14.
Răspuns: 14
Exercițiul 3
Calculează (−3) × (−5).
Vezi rezolvarea
Produsul a două numere negative este pozitiv: 3 × 5 = 15.
Răspuns: 15
Exercițiul 4
Care este rezultatul lui 23 : (−45)?
Vezi rezolvarea
23 × (−54) = −1012 = −56.
Răspuns: −56
Exercițiul 5
Calculează (−2)3 + 10 : (−5).
Vezi rezolvarea
(−2)3 = −8 și 10 : (−5) = −2.
−8 + (−2) = −10.
Răspuns: −10
Exercițiul 6
Calculează −9 + 4.
Vezi rezolvarea
Modulele sunt 9 și 4: 9 − 4 = 5.
Modulul mai mare îl are −9, deci rezultatul e negativ.
−9 + 4 = −5.
Răspuns: −5
Exercițiul 7
Calculează −6 − 8.
Vezi rezolvarea
−6 − 8 = −6 + (−8).
Același semn: adunăm modulele, 6 + 8 = 14, și păstrăm minus.
Rezultatul este −14.
Răspuns: −14
Exercițiul 8
Calculează (−4) × 7.
Vezi rezolvarea
4 × 7 = 28.
Un factor negativ și unul pozitiv: produsul este negativ.
(−4) × 7 = −28.
Răspuns: −28
Exercițiul 9
Ce semn are produsul (−2) × (−3) × (−5)?
Vezi rezolvarea
(−2) × (−3) = 6, pozitiv.
6 × (−5) = −30, negativ.
Un număr impar de factori negativi dă un produs negativ.
Răspuns: negativ
Exercițiul 10
Calculează 25 + 110.
Vezi rezolvarea
25 = 410.
410 + 110 = 510.
510 = 12 (adică 0,5).
Răspuns: 12
Exercițiul 11
Calculează (−3)2 − 2 × 5.
Vezi rezolvarea
(−3)2 = 9.
2 × 5 = 10.
9 − 10 = −1.
Răspuns: −1
Exercițiul 12
Dimineața au fost −3,5°C, iar până la prânz temperatura a crescut cu 6,5 grade. Câte grade au fost la prânz?
Vezi rezolvarea
Semne diferite: 6,5 − 3,5 = 3.
Modulul mai mare îl are 6,5, deci rezultatul este pozitiv.
La prânz au fost 3°C.
Răspuns: 3
Fișă de consolidare din material (20)
1. Dificultate redusă
Calculează: (−9) + (−4).
Vezi răspunsul
−13
2. Dificultate redusă
Calculează: 6 + (−11).
Vezi răspunsul
−5
3. Dificultate redusă
Calculează: (−8) − (−3).
Vezi răspunsul
−8 + 3 = −5
4. Dificultate redusă
Calculează: (−5) × 4.
Vezi răspunsul
−20
5. Dificultate redusă
Calculează: (−24) : (−6).
Vezi răspunsul
4
6. Dificultate medie
Calculează: (−7) + 10 − (−3).
Vezi răspunsul
−7 + 10 + 3 = 6
7. Dificultate medie
Calculează: (−4) × (−6) + 5.
Vezi răspunsul
24 + 5 = 29
8. Dificultate medie
Calculează: (−21) : 3 − (−4) × 2.
Vezi răspunsul
−7 + 8 = 1
9. Dificultate medie
Calculează: (−23) + (56), aducând la același numitor.
Vezi răspunsul
−46 + 56 = 16
10. Dificultate medie
Calculează: (−3)3 și (−3)4, apoi compară semnele rezultatelor.
Vezi răspunsul
(−3)3 = −27 (negativ), (−3)4 = 81 (pozitiv): la exponent impar semnul minus rămâne, la exponent par rezultatul este pozitiv.
11. Dificultate ridicată
Calculează: (−18) + 6 × (−3) − (−9) : 3.
Vezi răspunsul
−18 + (−18) − (−3) = −18 − 18 + 3 = −33
12. Dificultate ridicată
Calculează: [(−5) + 8] × [(−4) − 1].
Vezi răspunsul
3 × (−5) = −15
13. Dificultate ridicată
Calculează: (−34) × (−89) − (13).
Vezi răspunsul
(−34) × (−89) = 2436 = 23; 23 − 13 = 13
14. Dificultate ridicată
Un elevator de mină coboară 10 m, apoi urcă 4 m, apoi coboară din nou 6 m, față de poziția inițială (suprafața, notată 0). Folosind adunarea numerelor raționale, calculează adâncimea finală a elevatorului.
Vezi răspunsul
−10 + 4 − 6 = −12: elevatorul este la 12 m adâncime.
Un termometru arată −6°C. Temperatura scade cu 2°C la fiecare oră, timp de 4 ore, apoi crește cu 3°C la fiecare oră, timp de 3 ore. Calculează temperatura finală, folosind operații cu numere raționale.
Vezi răspunsul
−6 − 4 × 2 + 3 × 3 = −6 − 8 + 9 = −5°C
18. Excelență
Calculează: [(−23) + (12)] × [(−4) − (−7)], efectuând calculele din fiecare paranteză separat.
Vezi răspunsul
(−46 + 36) × 3 = (−16) × 3 = −12
19. Excelență
Se dau numerele a = −5 și b = 3. Calculează a2 − b2 și (a − b) × (a + b). Compară cele două rezultate.
Vezi răspunsul
a2 − b2 = 25 − 9 = 16 și (a − b)(a + b) = (−8) × (−2) = 16: sunt egale.
20. Excelență
Un cont bancar are soldul 0 lei. Se efectuează, în ordine, următoarele tranzacții: o retragere de 150 lei, un depozit de 90 lei, o retragere de 60 lei, un depozit de 45 lei. Calculează soldul final al contului, folosind adunarea numerelor raționale, apoi precizează dacă soldul reprezintă o datorie sau o sumă disponibilă.