Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min

⌁

Teorie înainte de exerciții

Linii importante în triunghi

Într-un triunghi apar patru tipuri de linii importante. Ele au definiții diferite, iar într-un triunghi isoscel linia pornită din vârful principal poate îndeplini toate cele patru roluri.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

M este mijlocul lui BC. Segmentul AM este mediana din A: BM = MC. Mediana nu este în general perpendiculară pe BC; aici am desenat un triunghi isoscel, caz în care este și înălțime.

1

Mediana

Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Fiindcă triunghiul are trei vârfuri, are și trei mediane.

Dacă M este mijlocul laturii [BC] din triunghiul ABC, atunci [AM] este mediana din vârful A. De aici rezultă imediat că BM = MC = BC : 2.

Mediana taie triunghiul în două triunghiuri cu aceeași arie, fiindcă au baze egale și aceeași înălțime.

M mijlocul lui [BC] ⇒ BM = MC = BC : 2

un triunghi are 3 mediane

Mediana pornește dintr-un vârf și ajunge exact în mijlocul laturii opuse.
Mijlocul împarte latura în două părți egale, deci lungimea se împarte la 2.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, AM este mediană, iar BC = 18 cm. Cât este BM?

1.Mediana ajunge în mijlocul laturii opuse, deci M este mijlocul lui [BC].
2.Mijlocul împarte latura în două părți egale: 18 : 2.
3.Deci BM = 9 cm, la fel ca MC.

2

Bisectoarea

Bisectoarea unui unghi al triunghiului pornește din vârful acelui unghi, îl împarte în două unghiuri egale și intersectează latura opusă. Și bisectoare sunt tot trei, câte una din fiecare vârf.

Dacă bisectoarea unghiului A taie latura [BC] în punctul D, atunci m(∢BAD) = m(∢DAC) = m(∢BAC) : 2.

Invers, dacă știi măsura unei jumătăți, unghiul întreg are dublul ei.

m(∢BAD) = m(∢DAC) = m(∢BAC) : 2

m(∢BAC) = 2 × m(∢BAD)

Bisectoarea împarte unghiul, nu latura opusă, în părți egale.
Nu confunda bisectoarea cu mediana: prima taie unghiul, a doua latura.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, AD este bisectoarea unghiului A, iar ∢BAD = 35°. Cât măsoară ∢BAC?

1.Bisectoarea împarte unghiul A în două unghiuri egale de câte 35°.
2.Unghiul întreg este suma celor două: 35° + 35°.
3.Deci ∢BAC = 70°.

3

Mediatoarea și înălțimea

Mediatoarea unei laturi este dreapta perpendiculară pe acea latură, care trece prin mijlocul ei. Spre deosebire de mediană, mediatoarea nu pornește neapărat dintr-un vârf — ea este legată doar de latură.

Înălțimea este segmentul dus dintr-un vârf, perpendicular pe latura opusă sau pe prelungirea ei. Punctul în care cade se numește piciorul înălțimii, iar unghiul format acolo este de 90°.

La triunghiurile obtuzunghice, piciorul înălțimii poate cădea în afara laturii, pe prelungirea ei — de aceea în desen apare uneori o linie punctată.

mediatoarea ⟂ latură, prin mijlocul ei

înălțimea ⟂ latura opusă, din vârf

Mediatoarea are două condiții: perpendiculară și prin mijloc.
Unghiul dintre înălțime și latura opusă este întotdeauna de 90°.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, AD este înălțime, cu D pe BC. Cât măsoară unghiul ADB?

1.Înălțimea este perpendiculară pe latura opusă.
2.Deci [AD] ⟂ [BC], iar unghiul format în piciorul înălțimii este drept.
3.Unghiul ADB are 90°.

4

Cazul triunghiului isoscel

Într-un triunghi isoscel, cele patru linii duse din vârful dintre laturile egale coincid: mediana, bisectoarea, înălțimea și mediatoarea bazei sunt una și aceeași dreaptă.

Pentru un triunghi ABC cu AB = AC, segmentul [AM] dus spre mijlocul bazei este în același timp mediană, bisectoare a unghiului A, înălțime și parte din mediatoarea lui [BC].

Proprietatea este foarte utilă: dacă afli una dintre aceste linii, știi automat și celelalte, deci poți calcula atât jumătatea bazei, cât și jumătatea unghiului de la vârf.

AB = AC ⇒ mediana din A = bisectoare = înălțime

BM = BC : 2 și ∢BAM = ∢BAC : 2

Coincidența are loc doar pentru linia dusă din vârful principal, nu din celelalte două.
La triunghiul echilateral, toate cele trei linii din fiecare vârf coincid.

Exemplu rezolvat

În triunghiul isoscel ABC cu AB = AC, AM este mediană, iar ∢BAC = 64°. Cât măsoară ∢BAM?

1.Triunghiul fiind isoscel, mediana din A este și bisectoarea unghiului A.
2.Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 64° : 2.
3.Deci ∢BAM = 32°.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce este bisectoarea unui unghi al triunghiului?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Segmentul care pleacă din vârful unghiului, îl împarte în două unghiuri congruente și se oprește pe latura opusă.
Ex. 2Dificultate redusă
Câte înălțimi are un triunghi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trei (câte una din fiecare vârf).
Ex. 3Dificultate redusă
Ce este mediana unui triunghi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse.
Ex. 4Dificultate redusă
Câte mediatoare are un triunghi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trei (câte una pentru fiecare latură).
Ex. 5Dificultate redusă
Într-un triunghi isoscel, ce linii importante coincid, pornind din vârful dintre laturile congruente?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Bisectoarea, mediana și înălțimea din acel vârf (se află și pe mediatoarea bazei).
Ex. 6Dificultate medie
Un triunghi MNP are NP = 20 cm, iar Q este mijlocul lui [NP]. Calculează NQ și QP.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
NQ = QP = 20 : 2 = 10 cm
Ex. 7Dificultate medie
Bisectoarea unghiului din vârful M al unui triunghi MNP intersectează [NP] în punctul D. Dacă m(∢NMP) = 76°, calculează m(∢NMD).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
76° : 2 = 38°
Ex. 8Dificultate medie
Într-un triunghi isoscel cu unghiul de la vârf de 64°, mediana din vârf coincide cu bisectoarea. Calculează măsura fiecăreia dintre cele două jumătăți ale unghiului de la vârf.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
64° : 2 = 32° fiecare
Ex. 9Dificultate medie
Explică diferența dintre bisectoare și mediatoare, folosind propriile cuvinte.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri egale. Mediatoarea este dreapta perpendiculară pe un segment, dusă prin mijlocul lui.
Ex. 10Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are unghiul drept în vârful M. Ce poți spune despre înălțimea din vârful M, față de celelalte două laturi (catete)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Înălțimea din M cade pe ipotenuza [NP], în interiorul triunghiului. Înălțimile din N și din P sunt chiar catetele, pentru că MN ⊥ MP.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un triunghi isoscel MNP (MN = MP) are baza NP = 22 cm. Mediana din M este, în același timp, și înălțime. Calculează NQ și QP, apoi explică de ce triunghiurile MNQ și MPQ sunt congruente.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
NQ = QP = 11 cm. △MNQ ≡ △MPQ (LLL): MN = MP, NQ = QP, iar [MQ] este latură comună.
Ex. 12Dificultate ridicată
Într-un triunghi MNP, se știe că mediana [MQ] și bisectoarea din M coincid. Ce poți deduce despre triunghi, referitor la laturile MN și MP?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MN = MP: triunghiul este isoscel.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un triunghi isoscel are unghiul de la vârf de 36°, iar mediana din vârf are lungimea de 10 cm. Calculează măsura unghiurilor formate de mediană cu fiecare dintre cele două laturi congruente ale triunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
18° fiecare (în triunghiul isoscel, mediana din vârf este și bisectoare).
Ex. 14Dificultate ridicată
Într-un triunghi MNP, înălțimea din M cade exact în mijlocul laturii [NP]. Ce poți concluziona despre tipul triunghiului MNP?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Este isoscel, cu MN = MP.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un triunghi isoscel MNP (MN = MP = 15 cm) are baza NP = 18 cm. Mediana din M este, totodată, înălțime, împărțind triunghiul în două triunghiuri dreptunghice congruente. Calculează lungimea segmentului NQ (jumătate din bază).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
NQ = 18 : 2 = 9 cm
Ex. 16Excelență
Într-un triunghi echilateral ABC, cele trei mediane, bisectoare, mediatoare și înălțimi coincid, câte trei, în același segment, pentru fiecare vârf. Explică de ce se întâmplă acest lucru, folosind faptul că triunghiul echilateral este, simultan, isoscel în raport cu oricare dintre cele trei vârfuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
În triunghiul isoscel, din vârful dintre laturile egale, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea bazei sunt același segment. Triunghiul echilateral este isoscel față de fiecare vârf, deci proprietatea are loc din toate cele trei vârfuri.
Ex. 17Excelență
Un triunghi isoscel ABC (AB = AC) are unghiul de la bază m(∢B) = 70°. Calculează m(∢BAC), apoi calculează măsura unghiului format de mediana din A cu latura AB (folosind faptul că mediana coincide cu bisectoarea).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m(∢BAC) = 180° − 2 × 70° = 40°. Mediana din A este și bisectoare, deci face cu AB un unghi de 20°.
Ex. 18Excelență
Într-un triunghi ABC, mediatoarea laturii [BC] trece exact prin vârful A. Ce poți concluziona despre triunghi, referitor la lungimile AB și AC? Justifică folosind proprietatea mediatoarei (orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = AC: A se află pe mediatoarea lui [BC], deci este egal depărtat de B și de C. Triunghiul este isoscel.
Ex. 19Excelență
Un triunghi isoscel are baza de 24 cm, iar mediana din vârf (care este și înălțime) are lungimea de 16 cm. Dacă ai cunoaște teorema lui Pitagora, explică (fără calcul efectiv) cum ai putea afla lungimea laturilor congruente ale triunghiului, folosind cele două segmente cunoscute (jumătatea bazei și mediana).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice cu catetele 12 cm (jumătatea bazei) și 16 cm (mediana). Latura congruentă este ipotenuza lor, deci o afli cu teorema lui Pitagora (dă 20 cm).
Ex. 20Excelență
Se dă un triunghi ABC, oarecare (nu neapărat isoscel). Explică, folosind definițiile învățate, de ce mediana din A și înălțimea din A NU coincid, în general, decât dacă triunghiul este isoscel cu AB = AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mediana ajunge în mijlocul lui [BC], iar înălțimea în piciorul perpendicularei din A. Ele coincid doar dacă acest picior este chiar mijlocul, adică A este pe mediatoarea lui [BC]. Atunci AB = AC.