Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min

⌁

Încărcăm partea curentă…

Linii importante în triunghi

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Mediana

Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Fiindcă triunghiul are trei vârfuri, are și trei mediane.

Dacă M este mijlocul laturii [BC] din triunghiul ABC, atunci [AM] este mediana din vârful A. De aici rezultă imediat că BM = MC = BC : 2.

Mediana taie triunghiul în două triunghiuri cu aceeași arie, fiindcă au baze egale și aceeași înălțime.

De ținut minte

M mijlocul lui [BC] ⇒ BM = MC = BC : 2

un triunghi are 3 mediane

Mediana pornește dintr-un vârf și ajunge exact în mijlocul laturii opuse.
Mijlocul împarte latura în două părți egale, deci lungimea se împarte la 2.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, AM este mediană, iar BC = 18 cm. Cât este BM?

1Mediana ajunge în mijlocul laturii opuse, deci M este mijlocul lui [BC].
2Mijlocul împarte latura în două părți egale: 18 : 2.
3Deci BM = 9 cm, la fel ca MC.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Linii importante în triunghi: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Într-un triunghi apar patru tipuri de linii importante. Ele au definiții diferite, iar într-un triunghi isoscel linia pornită din vârful principal poate îndeplini toate cele patru roluri.

Mediana

Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Fiindcă triunghiul are trei vârfuri, are și trei mediane.

Dacă M este mijlocul laturii [BC] din triunghiul ABC, atunci [AM] este mediana din vârful A. De aici rezultă imediat că BM = MC = BC : 2.

Mediana taie triunghiul în două triunghiuri cu aceeași arie, fiindcă au baze egale și aceeași înălțime.

M mijlocul lui [BC] ⇒ BM = MC = BC : 2
un triunghi are 3 mediane

Mediana pornește dintr-un vârf și ajunge exact în mijlocul laturii opuse.
Mijlocul împarte latura în două părți egale, deci lungimea se împarte la 2.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, AM este mediană, iar BC = 18 cm. Cât este BM?

Mediana ajunge în mijlocul laturii opuse, deci M este mijlocul lui [BC].
Mijlocul împarte latura în două părți egale: 18 : 2.
Deci BM = 9 cm, la fel ca MC.

Bisectoarea

Bisectoarea unui unghi al triunghiului pornește din vârful acelui unghi, îl împarte în două unghiuri egale și intersectează latura opusă. Și bisectoare sunt tot trei, câte una din fiecare vârf.

Dacă bisectoarea unghiului A taie latura [BC] în punctul D, atunci m(∢BAD) = m(∢DAC) = m(∢BAC) : 2.

Invers, dacă știi măsura unei jumătăți, unghiul întreg are dublul ei.

m(∢BAD) = m(∢DAC) = m(∢BAC) : 2
m(∢BAC) = 2 × m(∢BAD)

Bisectoarea împarte unghiul, nu latura opusă, în părți egale.
Nu confunda bisectoarea cu mediana: prima taie unghiul, a doua latura.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, AD este bisectoarea unghiului A, iar ∢BAD = 35°. Cât măsoară ∢BAC?

Bisectoarea împarte unghiul A în două unghiuri egale de câte 35°.
Unghiul întreg este suma celor două: 35° + 35°.
Deci ∢BAC = 70°.

Mediatoarea și înălțimea

Mediatoarea unei laturi este dreapta perpendiculară pe acea latură, care trece prin mijlocul ei. Spre deosebire de mediană, mediatoarea nu pornește neapărat dintr-un vârf — ea este legată doar de latură.

Înălțimea este segmentul dus dintr-un vârf, perpendicular pe latura opusă sau pe prelungirea ei. Punctul în care cade se numește piciorul înălțimii, iar unghiul format acolo este de 90°.

La triunghiurile obtuzunghice, piciorul înălțimii poate cădea în afara laturii, pe prelungirea ei — de aceea în desen apare uneori o linie punctată.

mediatoarea ⟂ latură, prin mijlocul ei
înălțimea ⟂ latura opusă, din vârf

Mediatoarea are două condiții: perpendiculară și prin mijloc.
Unghiul dintre înălțime și latura opusă este întotdeauna de 90°.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, AD este înălțime, cu D pe BC. Cât măsoară unghiul ADB?

Înălțimea este perpendiculară pe latura opusă.
Deci [AD] ⟂ [BC], iar unghiul format în piciorul înălțimii este drept.
Unghiul ADB are 90°.

Cazul triunghiului isoscel

Într-un triunghi isoscel, cele patru linii duse din vârful dintre laturile egale coincid: mediana, bisectoarea, înălțimea și mediatoarea bazei sunt una și aceeași dreaptă.

Pentru un triunghi ABC cu AB = AC, segmentul [AM] dus spre mijlocul bazei este în același timp mediană, bisectoare a unghiului A, înălțime și parte din mediatoarea lui [BC].

Proprietatea este foarte utilă: dacă afli una dintre aceste linii, știi automat și celelalte, deci poți calcula atât jumătatea bazei, cât și jumătatea unghiului de la vârf.

AB = AC ⇒ mediana din A = bisectoare = înălțime
BM = BC : 2 și ∢BAM = ∢BAC : 2

Coincidența are loc doar pentru linia dusă din vârful principal, nu din celelalte două.
La triunghiul echilateral, toate cele trei linii din fiecare vârf coincid.

Exemplu rezolvat

În triunghiul isoscel ABC cu AB = AC, AM este mediană, iar ∢BAC = 64°. Cât măsoară ∢BAM?

Triunghiul fiind isoscel, mediana din A este și bisectoarea unghiului A.
Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: 64° : 2.
Deci ∢BAM = 32°.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Ce linie unește un vârf cu mijlocul laturii opuse?
Vezi rezolvarea
1. Mijlocul laturii opuse o împarte în două segmente egale.
2. Segmentul dintre vârful triunghiului și acel mijloc se numește mediană.
3. O înălțime cere perpendicularitate, iar o bisectoare cere două unghiuri egale: sunt alte condiții.
Răspuns: Mediana
Exercițiul 2
Ce linie este perpendiculară pe o latură în mijlocul ei?
Vezi rezolvarea
1. Mediatoarea trece prin mijlocul unui segment.
2. Ea este perpendiculară pe segment în acel punct.
3. Sunt necesare ambele condiții; faptul că o linie trece doar prin mijloc nu o face mediatoare.
Răspuns: Mediatoarea
Exercițiul 3
NP = 20 cm și Q este mijlocul segmentului NP. Cât este NQ?
Vezi rezolvarea
1. Q este mijlocul lui NP, deci NQ = QP.
2. NP = NQ + QP = 2NQ = 20.
3. NQ = 10 cm.
Răspuns: 10
Exercițiul 4
Bisectoarea împarte un unghi de 76°. Cât are fiecare parte?
Vezi rezolvarea
1. Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale.
2. Fiecare jumătate este 76°2.
3. Fiecare parte are 38°; suma lor reface 76°.
Răspuns: 38
Exercițiul 5
Într-un triunghi isoscel, mediana din vârful principal este și...
Vezi rezolvarea
1. Într-un triunghi isoscel, laturile din vârful principal sunt egale.
2. Mediana din acel vârf desparte triunghiul în două triunghiuri congruente.
3. Ea este și înălțime și bisectoare; proprietatea nu se aplică unei mediane oarecare dintr-un triunghi scalen.
Răspuns: bisectoare, mediatoare și înălțime
Exercițiul 6
Ce linie trece printr-un vârf și este perpendiculară pe latura opusă?
Vezi rezolvarea
1. Mediana merge spre mijlocul laturii opuse.
2. Mediatoarea nu pleacă neapărat dintr-un vârf.
3. Linia din vârf, perpendiculară pe latura opusă, este înălțimea.
Răspuns: Înălțimea
Exercițiul 7
Ce linie împarte unghiul unui vârf în două unghiuri egale?
Vezi rezolvarea
1. Bisectoarea pleacă din vârf.
2. Ea împarte unghiul în două unghiuri egale.
3. Răspunsul este bisectoarea.
Răspuns: Bisectoarea
Exercițiul 8
Câte mediane are un triunghi?
Vezi rezolvarea
1. Triunghiul are 3 vârfuri.
2. Din fiecare vârf pleacă o mediană spre mijlocul laturii opuse.
3. Un triunghi are 3 mediane.
Răspuns: 3
Exercițiul 9
În triunghiul ABC, AM este mediană, iar BC = 18 cm. Cât este BM, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. M este mijlocul lui BC.
2. BM = BC : 2.
3. BM = 9 cm.
Răspuns: 9
Exercițiul 10
În triunghiul ABC, AD este bisectoarea unghiului A, iar ∠BAD = 35°. Cât măsoară unghiul BAC, în grade?
Vezi rezolvarea
1. ∠BAD = ∠DAC = 35°.
2. ∠BAC = 35° + 35°.
3. ∠BAC = 70°.
Răspuns: 70
Exercițiul 11
În triunghiul ABC, AD este înălțime, cu D pe BC. Cât măsoară unghiul ADB, în grade?
Vezi rezolvarea
1. AD ⟂ BC.
2. Dreptele perpendiculare formează unghiuri drepte.
3. ∠ADB = 90°.
Răspuns: 90
Exercițiul 12
În triunghiul isoscel ABC cu AB = AC, AM este mediană, iar ∠BAC = 64°. Cât măsoară ∠BAM, în grade?
Vezi rezolvarea
1. AM este mediană din vârful principal.
2. Deci AM este și bisectoarea unghiului A.
3. ∠BAM = 64° : 2 = 32°.
Răspuns: 32

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Ce este bisectoarea unui unghi al triunghiului?
Vezi răspunsul
Segmentul care pleacă din vârful unghiului, îl împarte în două unghiuri congruente și se oprește pe latura opusă.
2. Dificultate redusă
Câte înălțimi are un triunghi?
Vezi răspunsul
Trei (câte una din fiecare vârf).
3. Dificultate redusă
Ce este mediana unui triunghi?
Vezi răspunsul
Segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse.
4. Dificultate redusă
Câte mediatoare are un triunghi?
Vezi răspunsul
Trei (câte una pentru fiecare latură).
5. Dificultate redusă
Într-un triunghi isoscel, ce linii importante coincid, pornind din vârful dintre laturile congruente?
Vezi răspunsul
Bisectoarea, mediana și înălțimea din acel vârf (se află și pe mediatoarea bazei).
6. Dificultate medie
Un triunghi MNP are NP = 20 cm, iar Q este mijlocul lui [NP]. Calculează NQ și QP.
Vezi răspunsul
NQ = QP = 20 : 2 = 10 cm
7. Dificultate medie
Bisectoarea unghiului din vârful M al unui triunghi MNP intersectează [NP] în punctul D. Dacă m(∢NMP) = 76°, calculează m(∢NMD).
Vezi răspunsul
76° : 2 = 38°
8. Dificultate medie
Într-un triunghi isoscel cu unghiul de la vârf de 64°, mediana din vârf coincide cu bisectoarea. Calculează măsura fiecăreia dintre cele două jumătăți ale unghiului de la vârf.
Vezi răspunsul
64° : 2 = 32° fiecare
9. Dificultate medie
Explică diferența dintre bisectoare și mediatoare, folosind propriile cuvinte.
Vezi răspunsul
Bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri egale. Mediatoarea este dreapta perpendiculară pe un segment, dusă prin mijlocul lui.
10. Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are unghiul drept în vârful M. Ce poți spune despre înălțimea din vârful M, față de celelalte două laturi (catete)?
Vezi răspunsul
Înălțimea din M cade pe ipotenuza [NP], în interiorul triunghiului. Înălțimile din N și din P sunt chiar catetele, pentru că MN ⊥ MP.
11. Dificultate ridicată
Un triunghi isoscel MNP (MN = MP) are baza NP = 22 cm. Mediana din M este, în același timp, și înălțime. Calculează NQ și QP, apoi explică de ce triunghiurile MNQ și MPQ sunt congruente.
Vezi răspunsul
NQ = QP = 11 cm. △MNQ ≡ △MPQ (LLL): MN = MP, NQ = QP, iar [MQ] este latură comună.
12. Dificultate ridicată
Într-un triunghi MNP, se știe că mediana [MQ] și bisectoarea din M coincid. Ce poți deduce despre triunghi, referitor la laturile MN și MP?
Vezi răspunsul
MN = MP: triunghiul este isoscel.
13. Dificultate ridicată
Un triunghi isoscel are unghiul de la vârf de 36°, iar mediana din vârf are lungimea de 10 cm. Calculează măsura unghiurilor formate de mediană cu fiecare dintre cele două laturi congruente ale triunghiului.
Vezi răspunsul
18° fiecare (în triunghiul isoscel, mediana din vârf este și bisectoare).
14. Dificultate ridicată
Într-un triunghi MNP, înălțimea din M cade exact în mijlocul laturii [NP]. Ce poți concluziona despre tipul triunghiului MNP?
Vezi răspunsul
Este isoscel, cu MN = MP.
15. Dificultate ridicată
Un triunghi isoscel MNP (MN = MP = 15 cm) are baza NP = 18 cm. Mediana din M este, totodată, înălțime, împărțind triunghiul în două triunghiuri dreptunghice congruente. Calculează lungimea segmentului NQ (jumătate din bază).
Vezi răspunsul
NQ = 18 : 2 = 9 cm
16. Excelență
Într-un triunghi echilateral ABC, cele trei mediane, bisectoare, mediatoare și înălțimi coincid, câte trei, în același segment, pentru fiecare vârf. Explică de ce se întâmplă acest lucru, folosind faptul că triunghiul echilateral este, simultan, isoscel în raport cu oricare dintre cele trei vârfuri.
Vezi răspunsul
În triunghiul isoscel, din vârful dintre laturile egale, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea bazei sunt același segment. Triunghiul echilateral este isoscel față de fiecare vârf, deci proprietatea are loc din toate cele trei vârfuri.
17. Excelență
Un triunghi isoscel ABC (AB = AC) are unghiul de la bază m(∢B) = 70°. Calculează m(∢BAC), apoi calculează măsura unghiului format de mediana din A cu latura AB (folosind faptul că mediana coincide cu bisectoarea).
Vezi răspunsul
m(∢BAC) = 180° − 2 × 70° = 40°. Mediana din A este și bisectoare, deci face cu AB un unghi de 20°.
18. Excelență
Într-un triunghi ABC, mediatoarea laturii [BC] trece exact prin vârful A. Ce poți concluziona despre triunghi, referitor la lungimile AB și AC? Justifică folosind proprietatea mediatoarei (orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului).
Vezi răspunsul
AB = AC: A se află pe mediatoarea lui [BC], deci este egal depărtat de B și de C. Triunghiul este isoscel.
19. Excelență
Un triunghi isoscel are baza de 24 cm, iar mediana din vârf (care este și înălțime) are lungimea de 16 cm. Dacă ai cunoaște teorema lui Pitagora, explică (fără calcul efectiv) cum ai putea afla lungimea laturilor congruente ale triunghiului, folosind cele două segmente cunoscute (jumătatea bazei și mediana).
Vezi răspunsul
Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice cu catetele 12 cm (jumătatea bazei) și 16 cm (mediana). Latura congruentă este ipotenuza lor, deci o afli cu teorema lui Pitagora (dă 20 cm).
20. Excelență
Se dă un triunghi ABC, oarecare (nu neapărat isoscel). Explică, folosind definițiile învățate, de ce mediana din A și înălțimea din A NU coincid, în general, decât dacă triunghiul este isoscel cu AB = AC.
Vezi răspunsul
Mediana ajunge în mijlocul lui [BC], iar înălțimea în piciorul perpendicularei din A. Ele coincid doar dacă acest picior este chiar mijlocul, adică A este pe mediatoarea lui [BC]. Atunci AB = AC.