Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
x<

Teorie înainte de exerciții

Inecuații simple

O inecuație compară două expresii prin <, >, ≤ sau ≥. Soluția este de obicei o mulțime de numere, pe care o putem reprezenta pe axă.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.
1

Ce este o inecuație. Adunarea și scăderea

O inecuație este o relație între o expresie cu necunoscută și un număr, scrisă cu unul dintre semnele <, >, ≤ sau ≥. Spre deosebire de o ecuație, care are de obicei o singură soluție, o inecuație are o mulțime întreagă de soluții.

La adunare și scădere, regula este aceeași ca la ecuații: aplici operația inversă în ambele părți, iar semnul inegalității rămâne neschimbat.

Astfel, din x + 4 > 10 rezultă x > 6, iar din x − 5 ≤ 3 rezultă x ≤ 8, adică toate numerele mai mici sau egale cu 8.

x + 4 > 10 ⇒ x > 6
x − 5 ≤ 3 ⇒ x ≤ 8
  • Semnul ≤ include și valoarea de la capăt, semnul < nu.
  • Adunarea și scăderea nu schimbă niciodată sensul inegalității.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x − 4 < 6.

  1. 1.Adunăm 4 în ambele părți, ca să izolăm necunoscuta.
  2. 2.Obținem x < 6 + 4.
  3. 3.Deci x < 10: soluțiile sunt toate numerele mai mici decât 10.
2

Înmulțirea și împărțirea cu numere pozitive

Dacă înmulțești sau împarți ambele părți ale unei inecuații cu un număr pozitiv, sensul inegalității rămâne neschimbat.

Din 3x < 21 rezultă x < 7, iar din x : 4 ≥ 5 rezultă x ≥ 20.

Inecuațiile cu mai mulți pași se rezolvă ca ecuațiile: izolezi întâi termenul cu necunoscuta, apoi împarți la coeficientul ei.

3x < 21 ⇒ x < 7
x : 4 ≥ 5 ⇒ x ≥ 20
3x + 4 > 19 ⇒ 3x > 15
  • Coeficientul pozitiv nu schimbă sensul, oricât de mare ar fi.
  • Verifică soluția cu o valoare din intervalul găsit.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x + 4 > 19.

  1. 1.Scădem 4 din ambele părți: 3x > 15.
  2. 2.Împărțim la 3, care este pozitiv, deci sensul rămâne: x > 5.
  3. 3.Verificare pentru x = 6: 3 × 6 + 4 = 22 > 19.
3

Înmulțirea și împărțirea cu numere negative

Aici apare singura regulă nouă: dacă înmulțești sau împarți ambele părți cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează. Semnul < devine >, iar ≤ devine ≥.

Din −3x > 12, împărțind la −3, rezultă x < −4. Motivul se vede pe axă: înmulțirea cu un număr negativ oglindește numerele față de 0, deci ordinea lor se inversează.

−3x > 12 ⇒ x < −4
−4x ≤ 20 ⇒ x ≥ −5
  • Inversarea semnului este greșeala cel mai des întâlnită la inecuații.
  • Verifică întotdeauna soluția cu un număr concret din interval.

Exemplu rezolvat

Rezolvă −4x ≤ 20.

  1. 1.Împărțim ambele părți la −4, un număr negativ.
  2. 2.Sensul inegalității se inversează, deci ≤ devine ≥.
  3. 3.Obținem x ≥ −5. Verificare pentru x = 0: −4 × 0 = 0 ≤ 20.
4

Reprezentarea soluțiilor pe axă

Soluțiile unei inecuații formează o porțiune de axă, pe care o colorezi. Capătul se marchează cu punct plin dacă valoarea este inclusă (la ≤ și ≥) și cu punct gol dacă nu este inclusă (la < și >).

Direcția colorării urmează semnul: pentru x ≥ 2 colorezi spre dreapta, pentru x < −1 colorezi spre stânga.

x ≥ 2: punct plin la 2, colorat spre dreapta
x < −1: punct gol la −1, colorat spre stânga
  • Punct plin înseamnă „inclusiv”, punct gol înseamnă „exclusiv”.
  • Desenul te ajută să verifici rapid dacă un număr este sau nu soluție.

Exemplu rezolvat

Cum marchezi pe axă soluția x ≥ 2?

  1. 1.Valoarea 2 este inclusă în soluții, fiindcă semnul este ≥.
  2. 2.Punem un punct plin în dreptul lui 2.
  3. 3.Colorăm axa spre dreapta, fiindcă soluțiile sunt numerele mai mari decât 2.
5

Soluții care sunt numere naturale

Multe probleme cer doar soluțiile care sunt numere naturale. Atunci rezolvi normal inecuația, apoi numeri câte numere naturale intră în intervalul găsit.

De exemplu, din x + 6 ≤ 11 rezultă x ≤ 5, iar numerele naturale care verifică sunt 0, 1, 2, 3, 4 și 5, deci 6 valori. Nu uita că 0 este număr natural.

x + 6 ≤ 11 ⇒ x ≤ 5 ⇒ x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
2x < 9 ⇒ x < 4,5
  • Zero se numără printre soluțiile naturale, dacă intervalul îl conține.
  • La semnul strict, capătul nu se numără.

Exemplu rezolvat

Care este cel mai mic număr natural x pentru care 4x − 3 > 25?

  1. 1.Adunăm 3: 4x > 28, apoi împărțim la 4: x > 7.
  2. 2.Numerele naturale mai mari decât 7 sunt 8, 9, 10 și așa mai departe.
  3. 3.Cel mai mic este 8. Verificare: 4 × 8 − 3 = 29 > 25.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: x + 7 > 15.

    Vezi răspunsul

    x > 8 (în ℕ: 9, 10, 11, …)

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: x − 4 < 11.

    Vezi răspunsul

    x < 15 (în ℕ: 0, 1, …, 14)

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: 5 × x ≤ 30.

    Vezi răspunsul

    x ≤ 6 (în ℕ: 0, 1, …, 6)

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Este x = 6 soluție a inecuației x + 3 < 12?

    Vezi răspunsul

    Da: 6 + 3 = 9 < 12.

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: x : 4 ≥ 5.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 20

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 3 × x + 2 < 20, apoi reprezintă soluțiile pe axa numerelor.

    Vezi răspunsul

    3x < 18, deci x < 6; în ℕ: {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Pe axă marchezi punctele de la 0 la 5 (6 nu este soluție).

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 25 − x ≥ 8.

    Vezi răspunsul

    x ≤ 17

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Este x = 7 soluție a inecuației 4 × x ≤ 30?

    Vezi răspunsul

    Da: 4 × 7 = 28 ≤ 30.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: x : 3 + 4 > 9.

    Vezi răspunsul

    x : 3 > 5, deci x > 15.

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 6 × x − 5 ≤ 25.

    Vezi răspunsul

    6x ≤ 30, deci x ≤ 5.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 4 × (x + 1) < 24.

    Vezi răspunsul

    x + 1 < 6, deci x < 5.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Găsește toate numerele naturale care sunt soluții ale inecuației x + 6 ≤ 11.

    Vezi răspunsul

    x ≤ 5: {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 3 × (x − 2) + 4 ≥ 16.

    Vezi răspunsul

    3(x − 2) ≥ 12, x − 2 ≥ 4, deci x ≥ 6.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Un elev are un buget de maximum 60 de lei. Fiecare pix costă 5 lei. Scrie inecuația corespunzătoare numărului de pixuri x pe care le poate cumpăra, apoi rezolv-o și precizează câte pixuri poate cumpăra cel mult.

    Vezi răspunsul

    5x ≤ 60, deci x ≤ 12: cel mult 12 pixuri.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 5 × x − 4 × x + 9 < 22, apoi găsește cel mai mare număr natural care este soluție.

    Vezi răspunsul

    x + 9 < 22, deci x < 13; cel mai mare număr natural soluție este 12.

  16. Ex. 16Excelență

    Rezolvă inecuația: 2 × (3x − 1) ≤ 4 × x + 10, apoi găsește cel mai mare număr întreg negativ care NU este soluție.

    Vezi răspunsul

    6x − 2 ≤ 4x + 10, deci 2x ≤ 12 și x ≤ 6. Toate numerele întregi negative sunt soluții, deci nu există un întreg negativ care să nu fie soluție.

  17. Ex. 17Excelență

    Un elev vrea să cumpere caiete de 4 lei și un stilou de 15 lei, având un buget total de 55 lei. Scrie inecuația care descrie numărul maxim de caiete x pe care le poate cumpăra, împreună cu stiloul, apoi rezolv-o.

    Vezi răspunsul

    4x + 15 ≤ 55, deci 4x ≤ 40 și x ≤ 10: cel mult 10 caiete.

  18. Ex. 18Excelență

    Rezolvă inecuația: (x + 3) : 2 − (x − 1) : 4 > 2, aducând termenii la un numitor comun.

    Vezi răspunsul

    Înmulțim cu 4: 2(x + 3) − (x − 1) > 8, deci x + 7 > 8 și x > 1.

  19. Ex. 19Excelență

    Suma a două numere consecutive este mai mică sau egală cu 45. Notează numerele ca x și x+1, scrie inecuația corespunzătoare, apoi află cel mai mare număr întreg x care respectă condiția.

    Vezi răspunsul

    x + (x + 1) ≤ 45, deci 2x ≤ 44 și x ≤ 22; cel mai mare x este 22.

  20. Ex. 20Excelență

    Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea 2x și lățimea x este mai mic decât 60 cm. Scrie inecuația corespunzătoare, rezolv-o, apoi precizează cea mai mare valoare întreagă posibilă pentru x.

    Vezi răspunsul

    2(2x + x) < 60, deci 6x < 60 și x < 10; cea mai mare valoare întreagă este 9.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.