Încărcăm partea curentă…

Inecuații simple

Ce este o inecuație. Adunarea și scăderea

O inecuație este o relație între o expresie cu necunoscută și un număr, scrisă cu unul dintre semnele <, >, ≤ sau ≥. Spre deosebire de o ecuație, care are de obicei o singură soluție, o inecuație are o mulțime întreagă de soluții.

La adunare și scădere, regula este aceeași ca la ecuații: aplici operația inversă în ambele părți, iar semnul inegalității rămâne neschimbat.

Astfel, din x + 4 > 10 rezultă x > 6, iar din x − 5 ≤ 3 rezultă x ≤ 8, adică toate numerele mai mici sau egale cu 8.

De ținut minte

x + 4 > 10 ⇒ x > 6
x − 5 ≤ 3 ⇒ x ≤ 8
  • Semnul ≤ include și valoarea de la capăt, semnul < nu.
  • Adunarea și scăderea nu schimbă niciodată sensul inegalității.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă x − 7 < 9.

  1. 1Adunăm 7 în ambii membri fără să schimbăm sensul.
  2. 2x < 16.
  3. 3Soluțiile sunt toate numerele din (−∞, 16); 16 este exclus.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Inecuații simple: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O inecuație compară două expresii prin <, >, ≤ sau ≥. Soluția este de obicei o mulțime de numere, pe care o putem reprezenta pe axă.

Ce este o inecuație. Adunarea și scăderea

O inecuație este o relație între o expresie cu necunoscută și un număr, scrisă cu unul dintre semnele <, >, ≤ sau ≥. Spre deosebire de o ecuație, care are de obicei o singură soluție, o inecuație are o mulțime întreagă de soluții.

La adunare și scădere, regula este aceeași ca la ecuații: aplici operația inversă în ambele părți, iar semnul inegalității rămâne neschimbat.

Astfel, din x + 4 > 10 rezultă x > 6, iar din x − 5 ≤ 3 rezultă x ≤ 8, adică toate numerele mai mici sau egale cu 8.

  • x + 4 > 10 ⇒ x > 6
  • x − 5 ≤ 3 ⇒ x ≤ 8
  • Semnul ≤ include și valoarea de la capăt, semnul < nu.
  • Adunarea și scăderea nu schimbă niciodată sensul inegalității.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă x − 7 < 9.

  1. Adunăm 7 în ambii membri fără să schimbăm sensul.
  2. x < 16.
  3. Soluțiile sunt toate numerele din (−∞, 16); 16 este exclus.

Înmulțirea și împărțirea cu numere pozitive

Dacă înmulțești sau împarți ambele părți ale unei inecuații cu un număr pozitiv, sensul inegalității rămâne neschimbat.

Din 3x < 21 rezultă x < 7, iar din x : 4 ≥ 5 rezultă x ≥ 20.

Inecuațiile cu mai mulți pași se rezolvă ca ecuațiile: izolezi întâi termenul cu necunoscuta, apoi împarți la coeficientul ei.

  • 3x < 21 ⇒ x < 7
  • x : 4 ≥ 5 ⇒ x ≥ 20
  • 3x + 4 > 19 ⇒ 3x > 15
  • Coeficientul pozitiv nu schimbă sensul, oricât de mare ar fi.
  • Verifică soluția cu o valoare din intervalul găsit.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă 4x + 3 > 23.

  1. Scădem 3: 4x > 20.
  2. Împărțim la 4, pozitiv: x > 5.
  3. Soluțiile sunt în (5, ∞).

Înmulțirea și împărțirea cu numere negative

Aici apare singura regulă nouă: dacă înmulțești sau împarți ambele părți cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează. Semnul < devine >, iar ≤ devine ≥.

Din −3x > 12, împărțind la −3, rezultă x < −4. Motivul se vede pe axă: înmulțirea cu un număr negativ oglindește numerele față de 0, deci ordinea lor se inversează.

  • −3x > 12 ⇒ x < −4
  • −4x ≤ 20 ⇒ x ≥ −5
  • Inversarea semnului este greșeala cel mai des întâlnită la inecuații.
  • Verifică întotdeauna soluția cu un număr concret din interval.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă −3x ≤ 18.

  1. Împărțim la −3, deci inversăm sensul inegalității.
  2. x ≥ −6.
  3. Verificare la −6: −3 × (−6) = 18, egalitatea este inclusă.

Reprezentarea soluțiilor pe axă

Soluțiile unei inecuații formează o porțiune de axă, pe care o colorezi. Capătul se marchează cu punct plin dacă valoarea este inclusă (la ≤ și ≥) și cu punct gol dacă nu este inclusă (la < și >).

Direcția colorării urmează semnul: pentru x ≥ 2 colorezi spre dreapta, pentru x < −1 colorezi spre stânga.

  • x ≥ 2: punct plin la 2, colorat spre dreapta
  • x < −1: punct gol la −1, colorat spre stânga
  • Punct plin înseamnă „inclusiv”, punct gol înseamnă „exclusiv”.
  • Desenul te ajută să verifici rapid dacă un număr este sau nu soluție.

Exemplu rezolvat

Cum marchezi pe axă soluția x ≥ 2?

  1. Valoarea 2 este inclusă în soluții, fiindcă semnul este ≥.
  2. Punem un punct plin în dreptul lui 2.
  3. Colorăm axa spre dreapta, fiindcă soluțiile sunt numerele mai mari decât 2.

Soluții care sunt numere naturale

Multe probleme cer doar soluțiile care sunt numere naturale. Atunci rezolvi normal inecuația, apoi numeri câte numere naturale intră în intervalul găsit.

De exemplu, din x + 6 ≤ 11 rezultă x ≤ 5, iar numerele naturale care verifică sunt 0, 1, 2, 3, 4 și 5, deci 6 valori. Nu uita că 0 este număr natural.

  • x + 6 ≤ 11 ⇒ x ≤ 5 ⇒ x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
  • 2x < 9 ⇒ x < 4,5
  • Zero se numără printre soluțiile naturale, dacă intervalul îl conține.
  • La semnul strict, capătul nu se numără.

Exemplu rezolvat · alte date

Află cel mai mic natural x pentru care 5x − 2 > 33.

  1. 5x > 35.
  2. x > 7.
  3. Cel mai mic natural permis este 8.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Rezolvă x + 7 > 15.

    Vezi rezolvarea
    1. x > 15 − 7, deci x > 8.

    Răspuns: x > 8

  2. Exercițiul 2

    Rezolvă 5x ≤ 30.

    Vezi rezolvarea
    1. x ≤ 30 : 5 = 6.

    Răspuns: x ≤ 6

  3. Exercițiul 3

    Rezolvă −3x > 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim la −3 și schimbăm > în <: x < −4.

    Răspuns: x < −4

  4. Exercițiul 4

    Cum marchezi soluția x ≥ 2 pe axă?

    Vezi rezolvarea
    1. ≥ include valoarea 2 și toate numerele mai mari.

    Răspuns: Punct plin la 2, colorat spre dreapta

  5. Exercițiul 5

    Câte numere naturale satisfac x + 6 ≤ 11? Consideră ℕ = {0, 1, 2, ...}.

    Vezi rezolvarea
    1. Soluțiile naturale sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5.
    2. Sunt 6 soluții.

    Răspuns: 6

  6. Exercițiul 6

    Rezolvă x − 4 < 6.

    Vezi rezolvarea
    1. x − 4 + 4 < 6 + 4.
    2. Adunarea nu schimbă sensul.
    3. x < 10.

    Răspuns: x < 10

  7. Exercițiul 7

    Rezolvă 2x ≥ 14.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim ambele părți la 2.
    2. 2 este pozitiv, deci ≥ rămâne ≥.
    3. x ≥ 7.

    Răspuns: x ≥ 7

  8. Exercițiul 8

    Rezolvă −4x ≤ 20.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim la −4.
    2. Semnul ≤ devine ≥.
    3. x ≥ 20 : (−4), adică x ≥ −5.

    Răspuns: x ≥ −5

  9. Exercițiul 9

    Cum marchezi soluția x < −1 pe axă?

    Vezi rezolvarea
    1. −1 nu face parte din soluție, deci punctul este gol.
    2. Numerele mai mici decât −1 sunt la stânga.
    3. Colorăm spre stânga.

    Răspuns: punct gol la −1, colorat spre stânga

  10. Exercițiul 10

    Rezolvă 3x + 4 > 19.

    Vezi rezolvarea
    1. 3x > 19 − 4 = 15.
    2. Împărțim la 3, număr pozitiv.
    3. x > 5.

    Răspuns: x > 5

  11. Exercițiul 11

    Câte numere naturale verifică 2x < 9?

    Vezi rezolvarea
    1. x < 9 : 2, adică x < 4,5.
    2. Numerele naturale mai mici decât 4,5 sunt 0, 1, 2, 3, 4.
    3. Sunt 5 numere.

    Răspuns: 5

  12. Exercițiul 12

    Care este cel mai mic număr natural x pentru care 4x − 3 > 25?

    Vezi rezolvarea
    1. 4x > 28.
    2. x > 7.
    3. Primul număr natural mai mare decât 7 este 8.

    Răspuns: 8

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: x + 7 > 15.

    Vezi răspunsul

    x > 8 (în ℕ: 9, 10, 11, …)

  2. 2. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: x − 4 < 11.

    Vezi răspunsul

    x < 15 (în ℕ: 0, 1, …, 14)

  3. 3. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: 5 × x ≤ 30.

    Vezi răspunsul

    x ≤ 6 (în ℕ: 0, 1, …, 6)

  4. 4. Dificultate redusă

    Este x = 6 soluție a inecuației x + 3 < 12?

    Vezi răspunsul

    Da: 6 + 3 = 9 < 12.

  5. 5. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: x : 4 ≥ 5.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 20

  6. 6. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 3 × x + 2 < 20, apoi reprezintă soluțiile pe axa numerelor.

    Vezi răspunsul

    3x < 18, deci x < 6; în ℕ: {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Pe axă marchezi punctele de la 0 la 5 (6 nu este soluție).

  7. 7. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 25 − x ≥ 8.

    Vezi răspunsul

    x ≤ 17

  8. 8. Dificultate medie

    Este x = 7 soluție a inecuației 4 × x ≤ 30?

    Vezi răspunsul

    Da: 4 × 7 = 28 ≤ 30.

  9. 9. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: x : 3 + 4 > 9.

    Vezi răspunsul

    x : 3 > 5, deci x > 15.

  10. 10. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 6 × x − 5 ≤ 25.

    Vezi răspunsul

    6x ≤ 30, deci x ≤ 5.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 4 × (x + 1) < 24.

    Vezi răspunsul

    x + 1 < 6, deci x < 5.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Găsește toate numerele naturale care sunt soluții ale inecuației x + 6 ≤ 11.

    Vezi răspunsul

    x ≤ 5: {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 3 × (x − 2) + 4 ≥ 16.

    Vezi răspunsul

    3(x − 2) ≥ 12, x − 2 ≥ 4, deci x ≥ 6.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un elev are un buget de maximum 60 de lei. Fiecare pix costă 5 lei. Scrie inecuația corespunzătoare numărului de pixuri x pe care le poate cumpăra, apoi rezolv-o și precizează câte pixuri poate cumpăra cel mult.

    Vezi răspunsul

    5x ≤ 60, deci x ≤ 12: cel mult 12 pixuri.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 5 × x − 4 × x + 9 < 22, apoi găsește cel mai mare număr natural care este soluție.

    Vezi răspunsul

    x + 9 < 22, deci x < 13; cel mai mare număr natural soluție este 12.

  16. 16. Excelență

    Rezolvă inecuația: 2 × (3x − 1) ≤ 4 × x + 10, apoi găsește cel mai mare număr întreg negativ care NU este soluție.

    Vezi răspunsul

    6x − 2 ≤ 4x + 10, deci 2x ≤ 12 și x ≤ 6. Toate numerele întregi negative sunt soluții, deci nu există un întreg negativ care să nu fie soluție.

  17. 17. Excelență

    Un elev vrea să cumpere caiete de 4 lei și un stilou de 15 lei, având un buget total de 55 lei. Scrie inecuația care descrie numărul maxim de caiete x pe care le poate cumpăra, împreună cu stiloul, apoi rezolv-o.

    Vezi răspunsul

    4x + 15 ≤ 55, deci 4x ≤ 40 și x ≤ 10: cel mult 10 caiete.

  18. 18. Excelență

    Rezolvă inecuația: (x + 3) : 2 − (x − 1) : 4 > 2, aducând termenii la un numitor comun.

    Vezi răspunsul

    Înmulțim cu 4: 2(x + 3) − (x − 1) > 8, deci x + 7 > 8 și x > 1.

  19. 19. Excelență

    Suma a două numere consecutive este mai mică sau egală cu 45. Notează numerele ca x și x+1, scrie inecuația corespunzătoare, apoi află cel mai mare număr întreg x care respectă condiția.

    Vezi răspunsul

    x + (x + 1) ≤ 45, deci 2x ≤ 44 și x ≤ 22; cel mai mare x este 22.

  20. 20. Excelență

    Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea 2x și lățimea x este mai mic decât 60 cm. Scrie inecuația corespunzătoare, rezolv-o, apoi precizează cea mai mare valoare întreagă posibilă pentru x.

    Vezi răspunsul

    2(2x + x) < 60, deci 6x < 60 și x < 10; cea mai mare valoare întreagă este 9.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.