Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
x=

Teorie înainte de exerciții

Ecuații

O ecuație este o egalitate care conține o necunoscută. Rezolvarea înseamnă găsirea valorii care transformă egalitatea într-o propoziție adevărată.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.
1

Ce este o ecuație și cum se verifică soluția

O ecuație este o egalitate care conține o necunoscută, notată de obicei cu o literă: x, y sau a. A rezolva ecuația înseamnă a găsi valoarea necunoscutei care face egalitatea adevărată; acea valoare se numește soluția ecuației.

De exemplu, x + 5 = 12 are soluția x = 7, fiindcă 7 + 5 = 12.

Verificarea se face întotdeauna la fel: înlocuiești necunoscuta cu valoarea găsită și controlezi dacă cele două părți ale egalității dau același număr. Regula de bază a rezolvării este că poți face aceeași operație în ambele părți, fără să strici egalitatea.

x + 5 = 12 ⇒ x = 7
verificare: 7 + 5 = 12
  • Ce faci într-o parte a egalului, faci și în cealaltă.
  • Verificarea nu este opțională: prinde greșelile de calcul.

Exemplu rezolvat

Este x = 8 soluția ecuației x + 3 = 11?

  1. 1.Înlocuim necunoscuta cu valoarea dată: 8 + 3.
  2. 2.Calculăm partea stângă: 8 + 3 = 11.
  3. 3.Rezultatul este egal cu partea dreaptă, deci da, x = 8 este soluția.
2

Ecuații cu adunare și scădere

Regula este să aplici operația inversă celei din ecuație. Din x + a = b rezultă x = b − a, iar din x − a = b rezultă x = b + a.

Există și cazul în care necunoscuta este scăzătorul: din a − x = b rezultă x = a − b. De exemplu, 30 − x = 18 dă x = 30 − 18 = 12.

x + a = b ⇒ x = b − a
x − a = b ⇒ x = b + a
a − x = b ⇒ x = a − b
  • Adunarea se desface prin scădere, iar scăderea prin adunare.
  • Când necunoscuta este scăzută, nu schimba ordinea: x = a − b, nu b − a.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x − 9 = 14.

  1. 1.Necunoscuta este micșorată cu 9, deci aplicăm operația inversă: adunăm 9 în ambele părți.
  2. 2.Obținem x = 14 + 9.
  3. 3.Deci x = 23. Verificare: 23 − 9 = 14.
3

Ecuații cu înmulțire și împărțire

Și aici se aplică operația inversă. Din a × x = b rezultă x = b : a, cu a diferit de 0, iar din x : a = b rezultă x = b × a.

Cazul a : x = b se rezolvă tot printr-o împărțire: x = a : b. De exemplu, 60 : x = 12 dă x = 60 : 12 = 5.

a × x = b ⇒ x = b : a
x : a = b ⇒ x = b × a
a : x = b ⇒ x = a : b
  • Ca să scapi de un factor din fața necunoscutei, împarți ambele părți la el.
  • Împărțirea la 0 nu este permisă, deci coeficientul necunoscutei nu poate fi 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x : 4 = 6.

  1. 1.Necunoscuta este împărțită la 4, deci aplicăm operația inversă: înmulțim cu 4.
  2. 2.Obținem x = 6 × 4.
  3. 3.Deci x = 24. Verificare: 24 : 4 = 6.
4

Ecuații cu mai mulți pași

Unele ecuații cer doi sau trei pași. Ordinea este: izolezi mai întâi termenul cu necunoscuta, apoi scapi de coeficientul ei.

Pentru 3x + 7 = 22: scazi 7 din ambele părți și obții 3x = 15, apoi împarți la 3 și găsești x = 5.

Când necunoscuta apare în ambele părți, aduni sau scazi astfel încât toți termenii cu x să ajungă într-o parte, iar numerele în cealaltă.

ax + b = c ⇒ ax = c − b ⇒ x = (c − b) : a
5x + 2 = 3x + 12 ⇒ 2x = 10
  • Scapi întâi de termenul liber, apoi de coeficient.
  • Termenii cu x se mută cu semn schimbat dintr-o parte în alta.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 5x + 2 = 3x + 12.

  1. 1.Scădem 3x din ambele părți: 2x + 2 = 12.
  2. 2.Scădem 2: 2x = 10.
  3. 3.Împărțim la 2: x = 5. Verificare: 27 = 27.
5

Ecuații cu paranteze și probleme

Când ecuația are paranteze, ai două căi: împarți ambele părți la numărul din fața parantezei sau desfaci paranteza înmulțind fiecare termen. Pentru 5(x + 3) = 45, cel mai rapid este să împarți la 5: x + 3 = 9, deci x = 6.

Problemele în cuvinte se rezolvă notând necunoscuta cu x și traducând enunțul într-o ecuație. „Suma dintre un număr și triplul lui este 48” se scrie x + 3x = 48, adică 4x = 48, deci x = 12.

a(x + b) = c ⇒ x + b = c : a
x + 3x = 4x
  • Triplul unui număr înseamnă 3x, dublul înseamnă 2x.
  • Verifică soluția în enunț, nu doar în ecuație: așa prinzi și greșelile de traducere.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 2(x − 4) = 18.

  1. 1.Împărțim ambele părți la 2: x − 4 = 9.
  2. 2.Adunăm 4 în ambele părți: x = 13.
  3. 3.Verificare: 2 × (13 − 4) = 2 × 9 = 18.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația: x + 11 = 18.

    Vezi răspunsul

    x = 7

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația: x − 9 = 13.

    Vezi răspunsul

    x = 22

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația: 6 × x = 42.

    Vezi răspunsul

    x = 7

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația: x : 5 = 9.

    Vezi răspunsul

    x = 45

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Verifică dacă x = 8 este soluția ecuației x + 3 = 11.

    Vezi răspunsul

    Da: 8 + 3 = 11.

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: 25 − x = 9.

    Vezi răspunsul

    x = 16

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: 4 × x + 3 = 23.

    Vezi răspunsul

    4x = 20, x = 5

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: x : 4 − 1 = 6.

    Vezi răspunsul

    x : 4 = 7, x = 28

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: 54 : x = 9.

    Vezi răspunsul

    x = 6

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: 3 × x − 4 = 20.

    Vezi răspunsul

    3x = 24, x = 8

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația: 5 × (x + 3) = 45.

    Vezi răspunsul

    x + 3 = 9, x = 6

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația: 2 × (x − 4) + 9 = 19.

    Vezi răspunsul

    2(x − 4) = 10, x − 4 = 5, x = 9

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația: (x + 5) : 3 = 8.

    Vezi răspunsul

    x + 5 = 24, x = 19

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Suma dintre un număr și dublul lui este 51. Scrie ecuația corespunzătoare și află numărul.

    Vezi răspunsul

    x + 2x = 51, deci 3x = 51 și x = 17.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația: 7 × x − 3 × x + 6 = 30.

    Vezi răspunsul

    4x + 6 = 30, 4x = 24, x = 6

  16. Ex. 16Excelență

    Rezolvă ecuația: 3 × (2x − 1) + 4 = 5 × x + 9.

    Vezi răspunsul

    6x − 3 + 4 = 5x + 9, deci 6x + 1 = 5x + 9 și x = 8.

  17. Ex. 17Excelență

    Un elev se gândește la un număr. Îl înmulțește cu 4, apoi adună triplul aceluiași număr, obținând în final 84. Scrie ecuația corespunzătoare și află numărul.

    Vezi răspunsul

    4x + 3x = 84, deci 7x = 84 și x = 12.

  18. Ex. 18Excelență

    Rezolvă ecuația: (x + 4) : 2 + (x − 1) : 3 = 9, aducând termenii la un numitor comun.

    Vezi răspunsul

    Înmulțim cu 6: 3(x + 4) + 2(x − 1) = 54, deci 5x + 10 = 54 și x = 445 = 8,8.

  19. Ex. 19Excelență

    Perimetrul unui dreptunghi este 54 cm, iar lungimea este exprimată ca 2x + 3, iar lățimea ca x. Scrie ecuația corespunzătoare perimetrului și află dimensiunile dreptunghiului.

    Vezi răspunsul

    2(2x + 3 + x) = 54, deci 3x + 3 = 27 și x = 8: lățimea 8 cm, lungimea 19 cm.

  20. Ex. 20Excelență

    Suma a trei numere consecutive este egală cu dublul celui mai mare dintre ele, plus 15. Notează numerele ca x, x+1, x+2 și scrie ecuația corespunzătoare, apoi află cele trei numere.

    Vezi răspunsul

    x + (x + 1) + (x + 2) = 2(x + 2) + 15, deci 3x + 3 = 2x + 19 și x = 16: numerele 16, 17, 18.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.