Congruența triunghiurilor dreptunghice

Două triunghiuri dreptunghice au deja câte un unghi egal de 90°. De aceea, pentru a demonstra că se suprapun perfect, putem folosi patru cazuri scurte: CC, IC, CU și IU.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

CC: două catete corespunzătoare sunt egale.

Ipotenuză, catete și cazul CC

Într-un triunghi dreptunghic, laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura din fața unghiului drept se numește ipotenuză și este întotdeauna cea mai lungă.

Înainte să alegi un caz de congruență, marchează pe desen unghiurile de 90°, apoi identifică ipotenuza și catetele fiecărui triunghi.

Primul caz este CC — catetă, catetă: dacă cele două catete ale unui triunghi dreptunghic sunt respectiv egale cu catetele altui triunghi dreptunghic, triunghiurile sunt congruente. De fapt, este cazul LUL, cu unghiul drept cuprins între catete.

ipotenuza = latura opusă unghiului drept

CC: catetă = catetă și catetă = catetă

Ipotenuza nu formează niciodată unghiul drept.
Literele cazului spun exact ce date folosești: C = catetă, I = ipotenuză, U = unghi ascuțit.

Exemplu rezolvat

ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în C și F, cu AC = DF și BC = EF. Ce concluzie tragem?

1.Unghiurile drepte fiind în C și F, laturile AC, BC și DF, EF sunt catetele.
2.Avem două perechi de catete respectiv egale.
3.Aplicăm cazul CC și obținem ΔABC ≡ ΔDEF.

Cazul IC

Cazul IC — ipotenuză, catetă: dacă ipotenuzele a două triunghiuri dreptunghice sunt egale și câte o catetă este egală, atunci triunghiurile sunt congruente.

Explicația vine din teorema lui Pitagora: cunoscând ipotenuza și o catetă, a doua catetă este determinată, deci ajungem la cazul CC.

Atenție: ipotenuzele egale, singure, nu sunt de ajuns. Mai trebuie o catetă egală sau un unghi ascuțit egal.

IC: ipotenuză = ipotenuză și catetă = catetă

cateta lipsă rezultă din Pitagora

Verifică întâi care laturi sunt ipotenuze: cele opuse unghiurilor drepte.
Două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuzele egale pot avea forme complet diferite.

Exemplu rezolvat

ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în A și D, cu BC = EF și AB = DE. Ce caz aplicăm?

1.Unghiurile drepte fiind în A și D, ipotenuzele sunt BC și EF.
2.Acestea sunt egale, iar AB și DE sunt catete egale.
3.Avem ipotenuza și o catetă, deci aplicăm cazul IC.

Cazurile CU și IU

Cazul CU — catetă, unghi ascuțit: dacă o catetă și un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt respectiv egale cu o catetă și un unghi ascuțit din alt triunghi dreptunghic, triunghiurile sunt congruente.

Cazul IU — ipotenuză, unghi ascuțit: dacă ipotenuzele și câte un unghi ascuțit sunt egale, triunghiurile sunt congruente.

Ambele funcționează fiindcă într-un triunghi dreptunghic unghiurile ascuțite însumează 90°: dacă știi unul, îl știi și pe celălalt, deci ajungi de fapt la cazul ULU.

CU: catetă = catetă și unghi ascuțit = unghi ascuțit

IU: ipotenuză = ipotenuză și unghi ascuțit = unghi ascuțit

cele două unghiuri ascuțite fac 90°

Stabilește dacă latura dată este catetă sau ipotenuză înainte să numești cazul.
Un al doilea unghi ascuțit nu aduce informație nouă — se deduce din primul.

Exemplu rezolvat

ΔMNP și ΔRST sunt dreptunghice în M și R, cu NP = ST și ∢N = ∢S. Ce caz aplicăm?

1.Unghiurile drepte fiind în M și R, laturile NP și ST sunt ipotenuzele.
2.Ele sunt egale, iar ∢N și ∢S sunt unghiuri ascuțite egale.
3.Avem ipotenuza și un unghi ascuțit, deci aplicăm cazul IU.

Ce rezultă după demonstrație

Odată demonstrată congruența prin oricare dintre cele patru cazuri, toate laturile și toate unghiurile corespunzătoare sunt egale, fără alte verificări.

De aici rezultă și că triunghiurile au același perimetru și aceeași arie. La un triunghi dreptunghic, aria se calculează ușor: catetele sunt baza și înălțimea, deci A = (catetă × catetă) : 2.

congruente ⇒ toate elementele corespunzătoare egale

A = (c₁ × c₂) : 2

Congruența se demonstrează cu două date și se folosește pentru toate celelalte.
La triunghiul dreptunghic, cele două catete sunt perpendiculare, deci una este înălțimea celeilalte.

Exemplu rezolvat

Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente prin CC, iar catetele unuia au 6 cm și 8 cm. Află aria celuilalt.

1.Fiind congruente, al doilea triunghi are tot catetele de 6 cm și 8 cm.
2.Catetele sunt perpendiculare, deci aria este (6 × 8) : 2.
3.Aria este 24 cm².

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce caz este reprezentat când sunt marcate ambele catete?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cazul C.C. (catetă–catetă).
Ex. 2Dificultate redusă
Ipotenuza și o catetă sunt egale în două triunghiuri dreptunghice. Ce caz aplicăm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cazul I.C. (ipotenuză–catetă).
Ex. 3Dificultate redusă
O catetă și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cazul C.U. (catetă–unghi ascuțit).
Ex. 4Dificultate redusă
Ipotenuza și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cazul I.U. (ipotenuză–unghi ascuțit).
Ex. 5Dificultate redusă
Într-un triunghi dreptunghic, care latură este ipotenuza?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Latura opusă unghiului drept; este cea mai lungă latură.
Ex. 6Dificultate medie
Două triunghiuri dreptunghice au doar ipotenuzele egale. Putem demonstra congruența?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: pe lângă ipotenuză mai trebuie o catetă sau un unghi ascuțit.
Ex. 7Dificultate medie
ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în C și F, AC = DF, BC = EF. Ce concluzie este corectă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ΔABC ≡ ΔDEF (cazul C.C.), deci AB = DE, ∢A ≡ ∢D și ∢B ≡ ∢E.
Ex. 8Dificultate medie
După ce ai demonstrat că două triunghiuri sunt congruente, ce poți spune despre laturile și unghiurile corespunzătoare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Laturile corespunzătoare sunt congruente, iar unghiurile corespunzătoare sunt congruente.
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce caz este reprezentat când sunt marcate ambele catete?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cazul C.C.: două triunghiuri dreptunghice cu ambele catete respectiv congruente sunt congruente (este LUL, cu unghiul drept între catete).
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ipotenuza și o catetă sunt egale în două triunghiuri dreptunghice. Ce caz aplicăm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cazul I.C.: ipotenuza și o catetă respectiv congruente sunt suficiente pentru triunghiurile dreptunghice.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: O catetă și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cazul C.U.: o catetă și un unghi ascuțit respectiv congruente; împreună cu unghiul drept, dau cazul ULU sau LUU.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ipotenuza și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cazul I.U.: ipotenuza și un unghi ascuțit respectiv congruente; al treilea unghi rezultă din suma de 180°, deci se ajunge la ULU.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Într-un triunghi dreptunghic, care latură este ipotenuza?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Latura opusă unghiului drept; este cea mai lungă latură a triunghiului.
Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Două triunghiuri dreptunghice au doar ipotenuzele egale. Putem demonstra congruența?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: ipotenuza singură nu fixează triunghiul. Există multe triunghiuri dreptunghice cu aceeași ipotenuză, dar cu alte catete.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în C și F, AC = DF, BC = EF. Ce concluzie este corectă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ΔABC ≡ ΔDEF prin cazul C.C.: catetele AC = DF și BC = EF, cu unghiul drept între ele. Rezultă AB = DE, ∢A ≡ ∢D, ∢B ≡ ∢E.
Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: După ce ai demonstrat că două triunghiuri sunt congruente, ce poți spune despre laturile și unghiurile corespunzătoare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Toate elementele corespunzătoare sunt congruente: laturile corespunzătoare sunt egale, iar unghiurile corespunzătoare au aceleași măsuri.
Ex. 17Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Ce caz este reprezentat când sunt marcate ambele catete?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: la triunghiurile dreptunghice, două catete respectiv congruente ajung, pentru că unghiul drept dintre ele este același. Cazul este C.C.
Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Ipotenuza și o catetă sunt egale în două triunghiuri dreptunghice. Ce caz aplicăm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: la triunghiurile dreptunghice, ipotenuza și o catetă congruente ajung. Cazul este I.C.
Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: O catetă și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: o catetă și un unghi ascuțit congruente, împreună cu unghiul drept, determină triunghiul. Cazul este C.U.
Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Ipotenuza și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: ipotenuza și un unghi ascuțit congruente determină triunghiul dreptunghic. Cazul este I.U.