Congruența triunghiurilor dreptunghice

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Ipotenuză, catete și cazul CC

Într-un triunghi dreptunghic, laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura din fața unghiului drept se numește ipotenuză și este întotdeauna cea mai lungă.

Înainte să alegi un caz de congruență, marchează pe desen unghiurile de 90°, apoi identifică ipotenuza și catetele fiecărui triunghi.

Primul caz este CC — catetă, catetă: dacă cele două catete ale unui triunghi dreptunghic sunt respectiv egale cu catetele altui triunghi dreptunghic, triunghiurile sunt congruente. De fapt, este cazul LUL, cu unghiul drept cuprins între catete.

De ținut minte

ipotenuza = latura opusă unghiului drept

CC: catetă = catetă și catetă = catetă

Ipotenuza nu formează niciodată unghiul drept.
Literele cazului spun exact ce date folosești: C = catetă, I = ipotenuză, U = unghi ascuțit.

Exemplu rezolvat

ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în C și F, cu AC = DF și BC = EF. Ce concluzie tragem?

1Unghiurile drepte fiind în C și F, laturile AC, BC și DF, EF sunt catetele.
2Avem două perechi de catete respectiv egale.
3Aplicăm cazul CC și obținem ΔABC ≡ ΔDEF.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Congruența triunghiurilor dreptunghice: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Două triunghiuri dreptunghice au deja câte un unghi egal de 90°. De aceea, pentru a demonstra că se suprapun perfect, putem folosi patru cazuri scurte: CC, IC, CU și IU.

Ipotenuză, catete și cazul CC

Într-un triunghi dreptunghic, laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura din fața unghiului drept se numește ipotenuză și este întotdeauna cea mai lungă.

Înainte să alegi un caz de congruență, marchează pe desen unghiurile de 90°, apoi identifică ipotenuza și catetele fiecărui triunghi.

ipotenuza = latura opusă unghiului drept
CC: catetă = catetă și catetă = catetă

Ipotenuza nu formează niciodată unghiul drept.
Literele cazului spun exact ce date folosești: C = catetă, I = ipotenuză, U = unghi ascuțit.

Exemplu rezolvat

ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în C și F, cu AC = DF și BC = EF. Ce concluzie tragem?

Unghiurile drepte fiind în C și F, laturile AC, BC și DF, EF sunt catetele.
Avem două perechi de catete respectiv egale.
Aplicăm cazul CC și obținem ΔABC ≡ ΔDEF.

Cazul IC

Cazul IC — ipotenuză, catetă: dacă ipotenuzele a două triunghiuri dreptunghice sunt egale și câte o catetă este egală, atunci triunghiurile sunt congruente.

Explicația vine din teorema lui Pitagora: cunoscând ipotenuza și o catetă, a doua catetă este determinată, deci ajungem la cazul CC.

Atenție: ipotenuzele egale, singure, nu sunt de ajuns. Mai trebuie o catetă egală sau un unghi ascuțit egal.

IC: ipotenuză = ipotenuză și catetă = catetă
cateta lipsă rezultă din Pitagora

Verifică întâi care laturi sunt ipotenuze: cele opuse unghiurilor drepte.
Două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuzele egale pot avea forme complet diferite.

Exemplu rezolvat

ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în A și D, cu BC = EF și AB = DE. Ce caz aplicăm?

Unghiurile drepte fiind în A și D, ipotenuzele sunt BC și EF.
Acestea sunt egale, iar AB și DE sunt catete egale.
Avem ipotenuza și o catetă, deci aplicăm cazul IC.

Cazurile CU și IU

Cazul CU — catetă, unghi ascuțit: dacă o catetă și un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt respectiv egale cu o catetă și un unghi ascuțit din alt triunghi dreptunghic, triunghiurile sunt congruente.

Cazul IU — ipotenuză, unghi ascuțit: dacă ipotenuzele și câte un unghi ascuțit sunt egale, triunghiurile sunt congruente.

Ambele funcționează fiindcă într-un triunghi dreptunghic unghiurile ascuțite însumează 90°: dacă știi unul, îl știi și pe celălalt, deci ajungi de fapt la cazul ULU.

CU: catetă = catetă și unghi ascuțit = unghi ascuțit
IU: ipotenuză = ipotenuză și unghi ascuțit = unghi ascuțit
cele două unghiuri ascuțite fac 90°

Stabilește dacă latura dată este catetă sau ipotenuză înainte să numești cazul.
Un al doilea unghi ascuțit nu aduce informație nouă — se deduce din primul.

Exemplu rezolvat

ΔMNP și ΔRST sunt dreptunghice în M și R, cu NP = ST și ∢N = ∢S. Ce caz aplicăm?

Unghiurile drepte fiind în M și R, laturile NP și ST sunt ipotenuzele.
Ele sunt egale, iar ∢N și ∢S sunt unghiuri ascuțite egale.
Avem ipotenuza și un unghi ascuțit, deci aplicăm cazul IU.

Ce rezultă după demonstrație

Odată demonstrată congruența prin oricare dintre cele patru cazuri, toate laturile și toate unghiurile corespunzătoare sunt egale, fără alte verificări.

De aici rezultă și că triunghiurile au același perimetru și aceeași arie. La un triunghi dreptunghic, aria se calculează ușor: catetele sunt baza și înălțimea, deci A = (catetă × catetă) : 2.

congruente ⇒ toate elementele corespunzătoare egale
A = (c₁ × c₂) : 2

Congruența se demonstrează cu două date și se folosește pentru toate celelalte.
La triunghiul dreptunghic, cele două catete sunt perpendiculare, deci una este înălțimea celeilalte.

Exemplu rezolvat

Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente prin CC, iar catetele unuia au 6 cm și 8 cm. Află aria celuilalt.

Fiind congruente, al doilea triunghi are tot catetele de 6 cm și 8 cm.
Catetele sunt perpendiculare, deci aria este (6 × 8) : 2.
Aria este 24 cm².

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Ce caz este reprezentat când sunt marcate ambele catete?
Vezi rezolvarea
1. Catetă + catetă înseamnă cazul CC.
Răspuns: CC
Exercițiul 2
Ipotenuza și o catetă sunt egale în două triunghiuri dreptunghice. Ce caz aplicăm?
Vezi rezolvarea
1. Datele sunt exact ipotenuză + catetă, deci IC.
Răspuns: IC
Exercițiul 3
O catetă și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi rezolvarea
1. Catetă + unghi ascuțit înseamnă CU.
Răspuns: CU
Exercițiul 4
Ipotenuza și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi rezolvarea
1. Ipotenuză + unghi ascuțit înseamnă IU.
Răspuns: IU
Exercițiul 5
Într-un triunghi dreptunghic, care latură este ipotenuza?
Vezi rezolvarea
1. Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este cea mai lungă.
Răspuns: Latura din fața unghiului drept
Exercițiul 6
Două triunghiuri dreptunghice au doar ipotenuzele egale. Putem demonstra congruența?
Vezi rezolvarea
1. Ipotenuza singură nu este suficientă; există multe triunghiuri dreptunghice cu aceeași ipotenuză.
Răspuns: Nu, mai trebuie o catetă sau un unghi ascuțit
Exercițiul 7
ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în C și F, AC = DF, BC = EF. Ce concluzie este corectă?
Vezi rezolvarea
1. AC și BC sunt catetele primului, DF și EF catetele celui de-al doilea; aplicăm CC.
Răspuns: Triunghiurile sunt congruente prin CC
Exercițiul 8
După ce ai demonstrat că două triunghiuri sunt congruente, ce poți spune despre laturile și unghiurile corespunzătoare?
Vezi rezolvarea
1. Toate elementele corespunzătoare ale triunghiurilor congruente sunt egale.
Răspuns: Sunt egale
Exercițiul 9
ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în A și D, BC = EF și AB = DE. Ce caz aplicăm?
Vezi rezolvarea
1. BC și EF sunt opuse unghiurilor drepte A și D, deci sunt ipotenuze.
2. AB și DE sunt catete.
3. Ipotenuză + catetă: cazul IC.
Răspuns: IC
Exercițiul 10
ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în A și D, AB = DE și ∠B = ∠E. Ce caz aplicăm?
Vezi rezolvarea
1. AB și DE sunt catete.
2. ∠B și ∠E sunt unghiuri ascuțite.
3. Catetă + unghi ascuțit: cazul CU.
Răspuns: CU
Exercițiul 11
ΔMNP și ΔRST sunt dreptunghice în M și R, NP = ST și ∠N = ∠S. Ce caz aplicăm?
Vezi rezolvarea
1. NP și ST sunt opuse unghiurilor drepte, deci sunt ipotenuze.
2. ∠N și ∠S sunt unghiuri ascuțite.
3. Ipotenuză + unghi ascuțit: cazul IU.
Răspuns: IU
Exercițiul 12
Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente prin CC, iar catetele unuia au 6 cm și 8 cm. Află aria celuilalt triunghi, în cm².
Vezi rezolvarea
1. Aria triunghiului dreptunghic este catetă × catetă : 2.
2. 6 × 8 : 2 = 24.
3. Celălalt triunghi are și el 24 cm².
Răspuns: 24

Fișă de consolidare din material (8)

1. Dificultate redusă
Ce caz este reprezentat când sunt marcate ambele catete?
Vezi răspunsul
Cazul C.C. (catetă–catetă).
2. Dificultate redusă
Ipotenuza și o catetă sunt egale în două triunghiuri dreptunghice. Ce caz aplicăm?
Vezi răspunsul
Cazul I.C. (ipotenuză–catetă).
3. Dificultate redusă
O catetă și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi răspunsul
Cazul C.U. (catetă–unghi ascuțit).
4. Dificultate redusă
Ipotenuza și un unghi ascuțit sunt egale. Ce caz folosim?
Vezi răspunsul
Cazul I.U. (ipotenuză–unghi ascuțit).
5. Dificultate redusă
Într-un triunghi dreptunghic, care latură este ipotenuza?
Vezi răspunsul
Latura opusă unghiului drept; este cea mai lungă latură.
6. Dificultate medie
Două triunghiuri dreptunghice au doar ipotenuzele egale. Putem demonstra congruența?
Vezi răspunsul
Nu: pe lângă ipotenuză mai trebuie o catetă sau un unghi ascuțit.
7. Dificultate medie
ΔABC și ΔDEF sunt dreptunghice în C și F, AC = DF, BC = EF. Ce concluzie este corectă?
Vezi răspunsul
ΔABC ≡ ΔDEF (cazul C.C.), deci AB = DE, ∢A ≡ ∢D și ∢B ≡ ∢E.
8. Dificultate medie
După ce ai demonstrat că două triunghiuri sunt congruente, ce poți spune despre laturile și unghiurile corespunzătoare?
Vezi răspunsul
Laturile corespunzătoare sunt congruente, iar unghiurile corespunzătoare sunt congruente.