Cercul

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Cercul și elementele lui

Cercul este mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la aceeași distanță față de un punct fix, numit centru. Distanța constantă de la centru la orice punct al cercului se numește rază și se notează r. Cercul cu centrul O și raza r se scrie C(O, r).

Raza este segmentul de la centru la un punct de pe cerc. Diametrul unește două puncte de pe cerc trecând prin centru, deci este de două ori mai lung decât raza: d = 2r. Coarda unește două puncte de pe cerc fără să treacă neapărat prin centru, iar arcul este o porțiune din cerc.

Diametrul este cea mai lungă coardă posibilă. Este important și să deosebești cercul de disc: cercul este doar conturul, iar discul este toată suprafața din interior.

De ținut minte

C(O, r)

d = 2 × r

r = d : 2

Toate razele aceluiași cerc sunt egale.
„Lungimea cercului” se referă la contur, iar „aria discului” la suprafață.

Exemplu rezolvat

Un cerc are diametrul de 9 cm. Cât este raza?

1Diametrul este de două ori mai mare decât raza.
2Împărțim la 2: 9 : 2.
3Raza este 4,5 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Cercul: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Cercul este linia formată din punctele aflate la aceeași distanță de centru, iar discul include și interiorul. Raza, diametrul, lungimea și aria descriu mărimea lor.

Cercul și elementele lui

Diametrul este cea mai lungă coardă posibilă. Este important și să deosebești cercul de disc: cercul este doar conturul, iar discul este toată suprafața din interior.

C(O, r)
d = 2 × r
r = d : 2

Toate razele aceluiași cerc sunt egale.
„Lungimea cercului” se referă la contur, iar „aria discului” la suprafață.

Exemplu rezolvat

Un cerc are diametrul de 9 cm. Cât este raza?

Diametrul este de două ori mai mare decât raza.
Împărțim la 2: 9 : 2.
Raza este 4,5 cm.

Lungimea cercului

Lungimea cercului, adică perimetrul lui, se calculează cu formula L = 2 × π × r sau, echivalent, L = π × d.

Numărul π este o constantă matematică, aproximată de obicei cu 3,14. Un cerc cu raza de 5 cm are lungimea 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.

Formula funcționează și invers: dacă știi lungimea, afli raza împărțind la 2π.

L = 2πr = πd
L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm
r = L : (2π)

Dacă în enunț apare diametrul, folosește direct L = πd, fără să mai împarți la 2.
Rezultatul lungimii se exprimă în unități de lungime: cm, m.

Exemplu rezolvat

Lungimea unui cerc este 18,84 cm. Folosind π = 3,14, află raza.

Pornim de la formula L = 2πr, deci 18,84 = 2 × 3,14 × r.
Calculăm 2 × 3,14 = 6,28, deci 6,28 × r = 18,84.
Împărțim: r = 18,84 : 6,28 = 3 cm.

Aria discului

Aria discului se calculează cu formula A = π × r². Se folosește raza, nu diametrul, iar raza se ridică la pătrat înainte de înmulțirea cu π.

Un disc cu raza de 10 cm are aria 3,14 × 100 = 314 cm². Rezultatul se exprimă în unități pătrate.

Când problema cere răspunsul „în funcție de π”, nu înlocuiești π cu 3,14, ci lași simbolul: aria unui disc cu raza 6 cm este 36π cm².

A = π × r²
A = 3,14 × 10² = 314 cm²
r = 6 ⇒ A = 36π cm²

Nu confunda formulele: L = 2πr are raza la puterea întâi, A = πr² o are la pătrat.
Dacă în enunț este dat diametrul, împarte întâi la 2 ca să obții raza.

Exemplu rezolvat

Calculează aria discului cu raza de 3 cm, folosind π = 3,14.

Ridicăm raza la pătrat: 3² = 9.
Înmulțim cu π: 3,14 × 9.
Aria este 28,26 cm².

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Un cerc are raza 8 cm. Cât este diametrul?
Vezi rezolvarea
1. Toate razele unui cerc sunt egale; diametrul conține două raze, iar discul cuprinde interiorul cercului.
2. Diametrul este de două ori raza: d = 2r.
3. d = 2 × 8 = 16 cm.
Răspuns: 16
Exercițiul 2
Un cerc are diametrul 30 cm. Cât este raza?
Vezi rezolvarea
1. Toate razele unui cerc sunt egale; diametrul conține două raze, iar discul cuprinde interiorul cercului.
2. Raza este jumătate din diametru: r = d2.
3. r = 30 : 2 = 15 cm.
Răspuns: 15
Exercițiul 3
Calculează lungimea cercului cu raza 5 cm, folosind π = 3,14.
Vezi rezolvarea
1. Toate razele unui cerc sunt egale; diametrul conține două raze, iar discul cuprinde interiorul cercului.
2. Pentru contur folosim L = 2πr și înlocuim valoarea lui π cerută.
3. L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.
Răspuns: 31,4
Exercițiul 4
Calculează aria discului cu raza 3 cm, folosind π = 3,14.
Vezi rezolvarea
1. Toate razele unui cerc sunt egale; diametrul conține două raze, iar discul cuprinde interiorul cercului.
2. Pentru suprafața discului folosim A = πr² și calculăm mai întâi pătratul razei.
3. A = 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 cm².
Răspuns: 28,26
Exercițiul 5
Care segment este cel mai lung?
Vezi rezolvarea
1. Toate razele unui cerc sunt egale; diametrul conține două raze, iar discul cuprinde interiorul cercului.
2. Comparăm raza cu diametrul aceluiași cerc, folosind d = 2r.
3. Diametrul are lungimea dublă față de rază.
Răspuns: Diametrul
Exercițiul 6
Un cerc are raza 12 cm. Cât este diametrul, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. d = 2r.
2. d = 2 × 12.
3. d = 24 cm.
Răspuns: 24
Exercițiul 7
Un cerc are diametrul 9 cm. Cât este raza, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. r = d : 2.
2. r = 9 : 2.
3. r = 4,5 cm.
Răspuns: 4,5
Exercițiul 8
Calculează lungimea unui cerc cu diametrul 20 cm, folosind π = 3,14.
Vezi rezolvarea
1. L = π × d.
2. L = 3,14 × 20.
3. L = 62,8 cm.
Răspuns: 62,8
Exercițiul 9
Calculează aria discului cu raza 10 cm, folosind π = 3,14.
Vezi rezolvarea
1. r² = 10 × 10 = 100.
2. A = 3,14 × 100.
3. A = 314 cm².
Răspuns: 314
Exercițiul 10
Lungimea unui cerc cu raza 7 cm, scrisă în funcție de π, este:
Vezi rezolvarea
1. L = 2 × π × 7.
2. 2 × 7 = 14.
3. L = 14π cm.
Răspuns: 14π cm
Exercițiul 11
Aria unui disc cu raza 6 cm, scrisă în funcție de π, este:
Vezi rezolvarea
1. r² = 6 × 6 = 36.
2. A = π × 36.
3. A = 36π cm² (12π ar fi 2r, o greșeală frecventă).
Răspuns: 36π cm²
Exercițiul 12
Lungimea unui cerc este 18,84 cm. Folosind π = 3,14, află raza, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. 2π = 2 × 3,14 = 6,28.
2. r = 18,84 : 6,28.
3. r = 3 cm.
Răspuns: 3

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Un cerc are raza de 8 cm. Calculează diametrul.
Vezi răspunsul
d = 2 × 8 = 16 cm
2. Dificultate redusă
Un cerc are diametrul de 30 cm. Calculează raza.
Vezi răspunsul
r = 30 : 2 = 15 cm
3. Dificultate redusă
Calculează lungimea unui cerc cu raza de 5 cm, folosind π ≈ 3,14.
Vezi răspunsul
L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm
4. Dificultate redusă
Calculează aria unui disc cu raza de 3 cm, folosind π ≈ 3,14.
Vezi răspunsul
A = 3,14 × 3² = 28,26 cm²
5. Dificultate redusă
Ce reprezintă diametrul unui cerc?
Vezi răspunsul
Coarda care trece prin centrul cercului; lungimea ei este dublul razei.
6. Dificultate medie
Un cerc are raza de 12 cm. Calculează lungimea cercului și aria discului corespunzător.
Vezi răspunsul
L = 2 × 3,14 × 12 = 75,36 cm; A = 3,14 × 144 = 452,16 cm².
7. Dificultate medie
Un cerc are lungimea de 43,96 cm. Calculează raza cercului, folosind formula inversă.
Vezi răspunsul
r = 43,96 : (2 × 3,14) = 43,96 : 6,28 = 7 cm
8. Dificultate medie
Diametrul unei roți de bicicletă este 70 cm. Calculează distanța parcursă de roată la o rotație completă.
Vezi răspunsul
L = 3,14 × 70 = 219,8 cm
9. Dificultate medie
Un disc are aria de 452,16 cm². Estimează raza discului, testând valori întregi pentru r în formula A = π × r².
Vezi răspunsul
r = 12 cm: 452,16 : 3,14 = 144 = 12².
10. Dificultate medie
Compară lungimea a două cercuri, unul cu raza de 3 cm, celălalt cu raza de 9 cm. De câte ori este mai mare lungimea celui de-al doilea cerc?
Vezi răspunsul
De 3 ori: 2π × 9 = 3 × (2π × 3); în cm, 56,52 față de 18,84.
11. Dificultate ridicată
O fântână circulară are raza de 2 m. Se dorește montarea unei balustrade de protecție, de-a lungul marginii. Calculează lungimea balustradei necesare, folosind π ≈ 3,14.
Vezi răspunsul
L = 2 × 3,14 × 2 = 12,56 m
12. Dificultate ridicată
Un disc are aria de 200,96 cm². Calculează raza discului, apoi calculează diametrul.
Vezi răspunsul
r² = 200,96 : 3,14 = 64, deci r = 8 cm și d = 16 cm.
13. Dificultate ridicată
Roata unui camion are diametrul de 80 cm. Calculează câte rotații complete face roata pentru a parcurge o distanță de 2512 m.
Vezi răspunsul
O rotație = 3,14 × 0,8 = 2,512 m, deci 2.512 : 2,512 = 1.000 de rotații.
14. Dificultate ridicată
Se dă un cerc cu raza de 8 cm. Calculează aria discului, apoi calculează aria unui pătrat cu latura egală cu diametrul cercului. Care dintre cele două arii este mai mare?
Vezi răspunsul
Discul: 3,14 × 64 = 200,96 cm². Pătratul (latura 16 cm): 256 cm². Aria pătratului este mai mare.
15. Dificultate ridicată
Un teren circular are aria de 314 m². Se dorește pavarea unei alei circulare, în jurul terenului, cu lățimea de exact 2 metri. Calculează aria aleii.
Vezi răspunsul
r² = 314 : 3,14 = 100, deci r = 10 m. Cu aleea, raza este 12 m: 3,14 × 144 = 452,16 m². Aria aleii: 452,16 − 314 = 138,16 m².
16. Excelență
Un cerc este înscris exact într-un pătrat (cercul atinge toate cele 4 laturi ale pătratului). Dacă latura pătratului este 20 cm, calculează aria discului înscris, apoi calculează diferența dintre aria pătratului și aria discului.
Vezi răspunsul
Raza discului este 10 cm: A = 3,14 × 100 = 314 cm². Diferența: 400 − 314 = 86 cm².
17. Excelență
Două cercuri concentrice (cu același centru) au razele de 5 cm și 8 cm. Calculează aria coroanei circulare (zona cuprinsă între cele două cercuri), scăzând aria discului mic din aria discului mare.
Vezi răspunsul
3,14 × (64 − 25) = 3,14 × 39 = 122,46 cm²
18. Excelență
O piscină circulară are diametrul de 8 m. Se dorește acoperirea ei cu o folie care depășește marginea cu 50 cm pe toată circumferința (deci folia are raza cu 50 cm mai mare decât piscina). Calculează aria foliei necesare.
Vezi răspunsul
Raza foliei: 4 + 0,5 = 4,5 m; A = 3,14 × 20,25 = 63,585 m².
19. Excelență
Un disc are aria egală cu perimetrul unui pătrat cu latura de 25 cm (numeric, ignorând unitățile de măsură diferite). Calculează raza discului, folosind π ≈ 3,14 și testând valori pentru r.
Vezi răspunsul
Perimetrul pătratului este 100, deci 3,14 × r² = 100 și r² ≈ 31,85: r ≈ 5,64 (între 5,6 și 5,7).
20. Excelență
Se dă un semicerc (jumătate de cerc) cu raza de 10 cm. Calculează perimetrul semicercului (jumătate din lungimea cercului plus diametrul) și aria semidiscului (jumătate din aria discului).
Vezi răspunsul
Perimetrul: 3,14 × 10 + 20 = 51,4 cm. Aria: 3,14 × 100 : 2 = 157 cm².