Cercul

Cercul este linia formată din punctele aflate la aceeași distanță de centru, iar discul include și interiorul. Raza, diametrul, lungimea și aria descriu mărimea lor.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Cercul are centrul O. OA și OB sunt raze egale. Segmentul AB trece prin centru, deci este diametru și are lungimea 2r. Cercul este conturul; discul cuprinde și interiorul.

Cercul și elementele lui

Cercul este mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la aceeași distanță față de un punct fix, numit centru. Distanța constantă de la centru la orice punct al cercului se numește rază și se notează r. Cercul cu centrul O și raza r se scrie C(O, r).

Raza este segmentul de la centru la un punct de pe cerc. Diametrul unește două puncte de pe cerc trecând prin centru, deci este de două ori mai lung decât raza: d = 2r. Coarda unește două puncte de pe cerc fără să treacă neapărat prin centru, iar arcul este o porțiune din cerc.

Diametrul este cea mai lungă coardă posibilă. Este important și să deosebești cercul de disc: cercul este doar conturul, iar discul este toată suprafața din interior.

C(O, r)

d = 2 × r

r = d : 2

Toate razele aceluiași cerc sunt egale.
„Lungimea cercului” se referă la contur, iar „aria discului” la suprafață.

Exemplu rezolvat

Un cerc are diametrul de 9 cm. Cât este raza?

1.Diametrul este de două ori mai mare decât raza.
2.Împărțim la 2: 9 : 2.
3.Raza este 4,5 cm.

Lungimea cercului

Lungimea cercului, adică perimetrul lui, se calculează cu formula L = 2 × π × r sau, echivalent, L = π × d.

Numărul π este o constantă matematică, aproximată de obicei cu 3,14. Un cerc cu raza de 5 cm are lungimea 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.

Formula funcționează și invers: dacă știi lungimea, afli raza împărțind la 2π.

L = 2πr = πd

L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm

r = L : (2π)

Dacă în enunț apare diametrul, folosește direct L = πd, fără să mai împarți la 2.
Rezultatul lungimii se exprimă în unități de lungime: cm, m.

Exemplu rezolvat

Lungimea unui cerc este 18,84 cm. Folosind π = 3,14, află raza.

1.Pornim de la formula L = 2πr, deci 18,84 = 2 × 3,14 × r.
2.Calculăm 2 × 3,14 = 6,28, deci 6,28 × r = 18,84.
3.Împărțim: r = 18,84 : 6,28 = 3 cm.

Aria discului

Aria discului se calculează cu formula A = π × r². Se folosește raza, nu diametrul, iar raza se ridică la pătrat înainte de înmulțirea cu π.

Un disc cu raza de 10 cm are aria 3,14 × 100 = 314 cm². Rezultatul se exprimă în unități pătrate.

Când problema cere răspunsul „în funcție de π”, nu înlocuiești π cu 3,14, ci lași simbolul: aria unui disc cu raza 6 cm este 36π cm².

A = π × r²

A = 3,14 × 10² = 314 cm²

r = 6 ⇒ A = 36π cm²

Nu confunda formulele: L = 2πr are raza la puterea întâi, A = πr² o are la pătrat.
Dacă în enunț este dat diametrul, împarte întâi la 2 ca să obții raza.

Exemplu rezolvat

Calculează aria discului cu raza de 3 cm, folosind π = 3,14.

1.Ridicăm raza la pătrat: 3² = 9.
2.Înmulțim cu π: 3,14 × 9.
3.Aria este 28,26 cm².

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Un cerc are raza de 8 cm. Calculează diametrul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d = 2 × 8 = 16 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Un cerc are diametrul de 30 cm. Calculează raza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r = 30 : 2 = 15 cm
Ex. 3Dificultate redusă
Calculează lungimea unui cerc cu raza de 5 cm, folosind π ≈ 3,14.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm
Ex. 4Dificultate redusă
Calculează aria unui disc cu raza de 3 cm, folosind π ≈ 3,14.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = 3,14 × 3² = 28,26 cm²
Ex. 5Dificultate redusă
Ce reprezintă diametrul unui cerc?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Coarda care trece prin centrul cercului; lungimea ei este dublul razei.
Ex. 6Dificultate medie
Un cerc are raza de 12 cm. Calculează lungimea cercului și aria discului corespunzător.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
L = 2 × 3,14 × 12 = 75,36 cm; A = 3,14 × 144 = 452,16 cm².
Ex. 7Dificultate medie
Un cerc are lungimea de 43,96 cm. Calculează raza cercului, folosind formula inversă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r = 43,96 : (2 × 3,14) = 43,96 : 6,28 = 7 cm
Ex. 8Dificultate medie
Diametrul unei roți de bicicletă este 70 cm. Calculează distanța parcursă de roată la o rotație completă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
L = 3,14 × 70 = 219,8 cm
Ex. 9Dificultate medie
Un disc are aria de 452,16 cm². Estimează raza discului, testând valori întregi pentru r în formula A = π × r².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r = 12 cm: 452,16 : 3,14 = 144 = 12².
Ex. 10Dificultate medie
Compară lungimea a două cercuri, unul cu raza de 3 cm, celălalt cu raza de 9 cm. De câte ori este mai mare lungimea celui de-al doilea cerc?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
De 3 ori: 2π × 9 = 3 × (2π × 3); în cm, 56,52 față de 18,84.
Ex. 11Dificultate ridicată
O fântână circulară are raza de 2 m. Se dorește montarea unei balustrade de protecție, de-a lungul marginii. Calculează lungimea balustradei necesare, folosind π ≈ 3,14.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
L = 2 × 3,14 × 2 = 12,56 m
Ex. 12Dificultate ridicată
Un disc are aria de 200,96 cm². Calculează raza discului, apoi calculează diametrul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r² = 200,96 : 3,14 = 64, deci r = 8 cm și d = 16 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Roata unui camion are diametrul de 80 cm. Calculează câte rotații complete face roata pentru a parcurge o distanță de 2512 m.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O rotație = 3,14 × 0,8 = 2,512 m, deci 2.512 : 2,512 = 1.000 de rotații.
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dă un cerc cu raza de 8 cm. Calculează aria discului, apoi calculează aria unui pătrat cu latura egală cu diametrul cercului. Care dintre cele două arii este mai mare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Discul: 3,14 × 64 = 200,96 cm². Pătratul (latura 16 cm): 256 cm². Aria pătratului este mai mare.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un teren circular are aria de 314 m². Se dorește pavarea unei alei circulare, în jurul terenului, cu lățimea de exact 2 metri. Calculează aria aleii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r² = 314 : 3,14 = 100, deci r = 10 m. Cu aleea, raza este 12 m: 3,14 × 144 = 452,16 m². Aria aleii: 452,16 − 314 = 138,16 m².
Ex. 16Excelență
Un cerc este înscris exact într-un pătrat (cercul atinge toate cele 4 laturi ale pătratului). Dacă latura pătratului este 20 cm, calculează aria discului înscris, apoi calculează diferența dintre aria pătratului și aria discului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Raza discului este 10 cm: A = 3,14 × 100 = 314 cm². Diferența: 400 − 314 = 86 cm².
Ex. 17Excelență
Două cercuri concentrice (cu același centru) au razele de 5 cm și 8 cm. Calculează aria coroanei circulare (zona cuprinsă între cele două cercuri), scăzând aria discului mic din aria discului mare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3,14 × (64 − 25) = 3,14 × 39 = 122,46 cm²
Ex. 18Excelență
O piscină circulară are diametrul de 8 m. Se dorește acoperirea ei cu o folie care depășește marginea cu 50 cm pe toată circumferința (deci folia are raza cu 50 cm mai mare decât piscina). Calculează aria foliei necesare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Raza foliei: 4 + 0,5 = 4,5 m; A = 3,14 × 20,25 = 63,585 m².
Ex. 19Excelență
Un disc are aria egală cu perimetrul unui pătrat cu latura de 25 cm (numeric, ignorând unitățile de măsură diferite). Calculează raza discului, folosind π ≈ 3,14 și testând valori pentru r.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Perimetrul pătratului este 100, deci 3,14 × r² = 100 și r² ≈ 31,85: r ≈ 5,64 (între 5,6 și 5,7).
Ex. 20Excelență
Se dă un semicerc (jumătate de cerc) cu raza de 10 cm. Calculează perimetrul semicercului (jumătate din lungimea cercului plus diametrul) și aria semidiscului (jumătate din aria discului).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Perimetrul: 3,14 × 10 + 20 = 51,4 cm. Aria: 3,14 × 100 : 2 = 157 cm².