Încărcăm partea curentă…

Elemente de calcul algebric

Expresii algebrice: termeni și coeficienți

O expresie algebrică este o scriere care conține numere, litere și operații: 3x + 5, 2a − 7b + 4 sau x2 − 3x + 1.

Expresia este formată din termeni, despărțiți prin semnele + și −. În 3x + 5y − 7, termenii sunt 3x, 5y și −7.

Numărul care înmulțește litera dintr-un termen se numește coeficient: în 3x coeficientul este 3, iar în −5y coeficientul este −5. Partea cu litere se numește parte literală.

De ținut minte

3x + 5y − 7 are termenii 3x, 5y și −7
în −5y, coeficientul este −5
  • Semnul din fața unui termen îi aparține.
  • Când litera apare fără număr în față, coeficientul este 1: y înseamnă 1y.

Exemplu rezolvat

Care dintre termenii 3x, 7x, 4y și 2x2 sunt asemenea?

  1. 1Termenii asemenea au aceeași parte literală, adică aceeași literă la aceeași putere.
  2. 23x și 7x au amândoi litera x la puterea întâi.
  3. 34y are altă literă, iar 2x2 are altă putere, deci doar 3x și 7x sunt asemenea.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Elemente de calcul algebric: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O expresie algebrică folosește numere, litere și operații. Literele reprezintă valori, iar termenii asemenea au aceeași parte literală și pot fi reduși.

Expresii algebrice: termeni și coeficienți

O expresie algebrică este o scriere care conține numere, litere și operații: 3x + 5, 2a − 7b + 4 sau x2 − 3x + 1.

Expresia este formată din termeni, despărțiți prin semnele + și −. În 3x + 5y − 7, termenii sunt 3x, 5y și −7.

Numărul care înmulțește litera dintr-un termen se numește coeficient: în 3x coeficientul este 3, iar în −5y coeficientul este −5. Partea cu litere se numește parte literală.

  • 3x + 5y − 7 are termenii 3x, 5y și −7
  • în −5y, coeficientul este −5
  • Semnul din fața unui termen îi aparține.
  • Când litera apare fără număr în față, coeficientul este 1: y înseamnă 1y.

Exemplu rezolvat

Care dintre termenii 3x, 7x, 4y și 2x2 sunt asemenea?

  1. Termenii asemenea au aceeași parte literală, adică aceeași literă la aceeași putere.
  2. 3x și 7x au amândoi litera x la puterea întâi.
  3. 4y are altă literă, iar 2x2 are altă putere, deci doar 3x și 7x sunt asemenea.

Valoarea numerică a unei expresii

Valoarea numerică se obține înlocuind litera cu un număr dat și efectuând calculele, în ordinea obișnuită a operațiilor.

Exemplu: pentru x = 3, expresia 2x + 5 devine 2 × 3 + 5 = 11. Pentru a = 4 și b = 1, expresia 3a − 2b devine 12 − 2 = 10.

Când expresia conține puteri, acestea se calculează primele: pentru x = 5, x2 + 3x înseamnă 25 + 15 = 40.

  • 2x + 5, pentru x = 3 → 11
  • x2 + 3x, pentru x = 5 → 40
  • Scrie semnul înmulțirii când înlocuiești: 2x devine 2 × 3, nu 23.
  • Puterile se calculează înaintea înmulțirilor.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează x2 + 4x pentru x = 6.

  1. Înlocuim fiecare x cu 6.
  2. 62 + 4 × 6 = 36 + 24.
  3. Valoarea este 60.

Reducerea termenilor asemenea

Termenii asemenea sunt cei care au aceeași parte literală. A-i reduce înseamnă a aduna sau a scădea coeficienții, păstrând partea literală neschimbată.

Exemple: 3x + 5x = 8x, iar 7a − 2a + 4a = 9a. Când expresia are mai multe litere, grupezi termenii pe litere: 4x + 3y − 2x + y = 2x + 4y.

Termenii cu litere diferite nu se pot aduna între ei — 2x + 4y rămâne așa, nu devine 6xy.

  • 3x + 5x = 8x
  • 4x + 3y − 2x + y = 2x + 4y
  • Se adună coeficienții, nu literele.
  • Un termen fără coeficient scris are coeficientul 1: y + 3y = 4y.

Exemplu rezolvat · alte date

Redu 8a + 2b − 3a + 5b.

  1. Termenii în a: 8a − 3a = 5a.
  2. Termenii în b: 2b + 5b = 7b.
  3. Rezultatul este 5a + 7b; a și b nu se adună între ele.

Desfacerea parantezelor

Când un număr înmulțește o paranteză, aplici proprietatea distributivă: a(b + c) = ab + ac și a(b − c) = ab − ac. Astfel, 3(x + 4) = 3x + 12, iar 4(2x − 3) = 8x − 12.

Dacă în fața parantezei este doar semnul minus, este ca și cum ai înmulți cu −1: fiecare termen din paranteză își schimbă semnul, deci −(x − 5) = −x + 5.

În expresiile cu mai multe paranteze, le desfaci pe toate, apoi reduci termenii asemenea.

  • a(b + c) = ab + ac
  • −(a − b) = −a + b
  • 2(x + 4) + 3(x − 1) = 5x + 5
  • Numărul din fața parantezei se înmulțește cu fiecare termen dinăuntru, nu doar cu primul.
  • Minusul din fața parantezei schimbă semnul tuturor termenilor.

Exemplu rezolvat · alte date

Simplifică 3(x + 2) + 2(x − 4), apoi evaluează în x = 5.

  1. Desfacem: 3x + 6 + 2x − 8.
  2. Reducem: 5x − 2.
  3. În x = 5, rezultatul este 25 − 2 = 23.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează 5x + 3 pentru x = 4.

    Vezi rezolvarea
    1. 5 × 4 + 3 = 20 + 3 = 23.

    Răspuns: 23

  2. Exercițiul 2

    Care sunt termenii asemenea?

    Vezi rezolvarea
    1. 3x și 7x au aceeași parte literală x.

    Răspuns: 3x și 7x

  3. Exercițiul 3

    Simplifică 8x + 4x.

    Vezi rezolvarea
    1. (8 + 4)x = 12x.

    Răspuns: 12x

  4. Exercițiul 4

    Desfă paranteza 3(x + 6).

    Vezi rezolvarea
    1. 3 × x + 3 × 6 = 3x + 18.

    Răspuns: 3x + 18

  5. Exercițiul 5

    Simplifică 6x + 2y − 3x + 5y și scrie suma coeficienților rezultatului.

    Vezi rezolvarea
    1. 6x − 3x = 3x și 2y + 5y = 7y.
    2. Expresia este 3x + 7y, iar suma coeficienților este 3 + 7 = 10.

    Răspuns: 10

  6. Exercițiul 6

    Calculează 2a − 7 pentru a = 10.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 × 10 − 7.
    2. 20 − 7.
    3. Rezultatul este 13.

    Răspuns: 13

  7. Exercițiul 7

    Simplifică 9y − 4y.

    Vezi rezolvarea
    1. 9y și 4y au aceeași parte literală, y.
    2. 9 − 4 = 5.
    3. 9y − 4y = 5y.

    Răspuns: 5y

  8. Exercițiul 8

    Desfă paranteza 4(2x − 3).

    Vezi rezolvarea
    1. 4 × 2x = 8x.
    2. 4 × (−3) = −12.
    3. 4(2x − 3) = 8x − 12.

    Răspuns: 8x − 12

  9. Exercițiul 9

    Desfă paranteza −(x − 5).

    Vezi rezolvarea
    1. x devine −x.
    2. −5 devine +5.
    3. −(x − 5) = −x + 5.

    Răspuns: −x + 5

  10. Exercițiul 10

    Calculează x2 + 3x pentru x = 5.

    Vezi rezolvarea
    1. 52 = 25.
    2. 3 × 5 = 15.
    3. 25 + 15 = 40.

    Răspuns: 40

  11. Exercițiul 11

    Simplifică 7a + 3b − 2a + b.

    Vezi rezolvarea
    1. 7a − 2a = 5a.
    2. 3b + b = 4b.
    3. Rezultatul este 5a + 4b.

    Răspuns: 5a + 4b

  12. Exercițiul 12

    Simplifică 2(x + 4) + 3(x − 1), apoi calculează rezultatul pentru x = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 8 + 3x − 3 = 5x + 5.
    2. Pentru x = 2: 5 × 2 + 5.
    3. Rezultatul este 15.

    Răspuns: 15

Fișă de consolidare din material (19)

  1. 1. Dificultate redusă

    Identifică termenii și coeficienții din expresia 7x + 2y − 5.

    Vezi răspunsul

    Termenii: 7x, 2y și −5. Coeficienții: 7 pentru x și 2 pentru y; −5 este termenul liber.

  2. 2. Dificultate redusă

    Calculează valoarea expresiei 5x + 3, pentru x = 4.

    Vezi răspunsul

    5 × 4 + 3 = 23

  3. 3. Dificultate redusă

    Reduce termenii asemenea: 8x + 4x.

    Vezi răspunsul

    12x

  4. 4. Dificultate redusă

    Desfă paranteza: 3 × (x + 6).

    Vezi răspunsul

    3x + 18

  5. 5. Dificultate redusă

    Calculează valoarea expresiei 4a − 5, pentru a = 3.

    Vezi răspunsul

    4 × 3 − 5 = 7

  6. 6. Dificultate medie

    Reduce termenii asemenea din expresia: 6x + 2y − 3x + 5y.

    Vezi răspunsul

    3x + 7y

  7. 7. Dificultate medie

    Desfă paranteza și simplifică: 5 × (2x − 4) + 3x.

    Vezi răspunsul

    10x − 20 + 3x = 13x − 20

  8. 8. Dificultate medie

    Calculează valoarea expresiei 2x2 − 3x, pentru x = 4.

    Vezi răspunsul

    2 × 16 − 12 = 20

  9. 9. Dificultate medie

    Simplifică expresia: 9a − (4a − 6).

    Vezi răspunsul

    9a − 4a + 6 = 5a + 6

  10. 10. Dificultate medie

    Desfă parantezele și reduce termenii asemenea: 3 × (x + 2) + 2 × (x − 5).

    Vezi răspunsul

    3x + 6 + 2x − 10 = 5x − 4

  11. 11. Dificultate ridicată

    Simplifică expresia: 4 × (3x − 2) − 2 × (x + 5), apoi calculează valoarea ei pentru x = −1.

    Vezi răspunsul

    12x − 8 − 2x − 10 = 10x − 18; pentru x = −1: −10 − 18 = −28.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Se dă expresia E = 5x − 3 × (x − 2) + 4. Simplifică expresia, apoi află valoarea lui x pentru care E = 26.

    Vezi răspunsul

    E = 5x − 3x + 6 + 4 = 2x + 10; 2x + 10 = 26, deci x = 8.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Simplifică expresia: 3 × (2x + 1) − 5 × (x − 3) + 2x, apoi calculează valoarea ei pentru x = 0.

    Vezi răspunsul

    6x + 3 − 5x + 15 + 2x = 3x + 18; pentru x = 0 valoarea este 18.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Perimetrul unui triunghi este exprimat prin expresia algebrică 3 × (x + 2) + (2x − 1), unde x reprezintă lungimea unei laturi. Simplifică expresia perimetrului, apoi calculează perimetrul pentru x = 5.

    Vezi răspunsul

    3x + 6 + 2x − 1 = 5x + 5; pentru x = 5 perimetrul este 30.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Se dau expresiile A = 4x + 3 și B = 2x − 1. Calculează expresia 3A − 2B, simplificând rezultatul, apoi află valoarea ei pentru x = 2.

    Vezi răspunsul

    3A − 2B = 12x + 9 − 4x + 2 = 8x + 11; pentru x = 2 valoarea este 27.

  16. 16. Excelență

    Simplifică expresia: 2 × [3 × (x + 1) − 2 × (x − 2)] + 5x, apoi calculează valoarea ei pentru x = 1.

    Vezi răspunsul

    2 × [3x + 3 − 2x + 4] + 5x = 2x + 14 + 5x = 7x + 14; pentru x = 1 valoarea este 21.

  17. 18. Excelență

    Un dreptunghi are lungimea exprimată ca 3x + 2 și lățimea ca x − 1. Scrie expresia algebrică a perimetrului, simplific-o, apoi calculează perimetrul pentru x = 4.

    Vezi răspunsul

    P = 2 × (3x + 2 + x − 1) = 8x + 2; pentru x = 4: P = 34.

  18. 19. Excelență

    Simplifică expresia: 4 × (x − 2) − 3 × (2x − 1) + 5 × (x + 1), apoi rezolvă ecuația obținută prin egalarea expresiei simplificate cu 15.

    Vezi răspunsul

    4x − 8 − 6x + 3 + 5x + 5 = 3x; 3x = 15, deci x = 5.

  19. 20. Excelență

    Se dau expresiile A = 2x + 3y și B = x − y. Calculează expresia A + 2B, simplificând rezultatul, apoi află valorile lui x și y pentru care expresia simplificată este egală cu 20, știind că x = 2y.

    Vezi răspunsul

    A + 2B = 2x + 3y + 2x − 2y = 4x + y. Cu x = 2y: 9y = 20, deci y = 209 și x = 409.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.