Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
2x

Teorie înainte de exerciții

Elemente de calcul algebric

O expresie algebrică folosește numere, litere și operații. Literele reprezintă valori, iar termenii asemenea au aceeași parte literală și pot fi reduși.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.
1

Expresii algebrice: termeni și coeficienți

O expresie algebrică este o scriere care conține numere, litere și operații: 3x + 5, 2a − 7b + 4 sau x2 − 3x + 1.

Expresia este formată din termeni, despărțiți prin semnele + și −. În 3x + 5y − 7, termenii sunt 3x, 5y și −7.

Numărul care înmulțește litera dintr-un termen se numește coeficient: în 3x coeficientul este 3, iar în −5y coeficientul este −5. Partea cu litere se numește parte literală.

3x + 5y − 7 are termenii 3x, 5y și −7
în −5y, coeficientul este −5
  • Semnul din fața unui termen îi aparține.
  • Când litera apare fără număr în față, coeficientul este 1: y înseamnă 1y.

Exemplu rezolvat

Care dintre termenii 3x, 7x, 4y și 2x2 sunt asemenea?

  1. 1.Termenii asemenea au aceeași parte literală, adică aceeași literă la aceeași putere.
  2. 2.3x și 7x au amândoi litera x la puterea întâi.
  3. 3.4y are altă literă, iar 2x2 are altă putere, deci doar 3x și 7x sunt asemenea.
2

Valoarea numerică a unei expresii

Valoarea numerică se obține înlocuind litera cu un număr dat și efectuând calculele, în ordinea obișnuită a operațiilor.

Exemplu: pentru x = 3, expresia 2x + 5 devine 2 × 3 + 5 = 11. Pentru a = 4 și b = 1, expresia 3a − 2b devine 12 − 2 = 10.

Când expresia conține puteri, acestea se calculează primele: pentru x = 5, x2 + 3x înseamnă 25 + 15 = 40.

2x + 5, pentru x = 3 → 11
x2 + 3x, pentru x = 5 → 40
  • Scrie semnul înmulțirii când înlocuiești: 2x devine 2 × 3, nu 23.
  • Puterile se calculează înaintea înmulțirilor.

Exemplu rezolvat

Calculează x2 + 3x pentru x = 5.

  1. 1.Înlocuim litera: 52 + 3 × 5.
  2. 2.Calculăm puterea și înmulțirea: 25 + 15.
  3. 3.Adunăm: rezultatul este 40.
3

Reducerea termenilor asemenea

Termenii asemenea sunt cei care au aceeași parte literală. A-i reduce înseamnă a aduna sau a scădea coeficienții, păstrând partea literală neschimbată.

Exemple: 3x + 5x = 8x, iar 7a − 2a + 4a = 9a. Când expresia are mai multe litere, grupezi termenii pe litere: 4x + 3y − 2x + y = 2x + 4y.

Termenii cu litere diferite nu se pot aduna între ei — 2x + 4y rămâne așa, nu devine 6xy.

3x + 5x = 8x
4x + 3y − 2x + y = 2x + 4y
  • Se adună coeficienții, nu literele.
  • Un termen fără coeficient scris are coeficientul 1: y + 3y = 4y.

Exemplu rezolvat

Simplifică 7a + 3b − 2a + b.

  1. 1.Grupăm termenii cu a: 7a − 2a = 5a.
  2. 2.Grupăm termenii cu b: 3b + b = 4b.
  3. 3.Rezultatul este 5a + 4b, care nu se mai poate reduce.
4

Desfacerea parantezelor

Când un număr înmulțește o paranteză, aplici proprietatea distributivă: a(b + c) = ab + ac și a(b − c) = ab − ac. Astfel, 3(x + 4) = 3x + 12, iar 4(2x − 3) = 8x − 12.

Dacă în fața parantezei este doar semnul minus, este ca și cum ai înmulți cu −1: fiecare termen din paranteză își schimbă semnul, deci −(x − 5) = −x + 5.

În expresiile cu mai multe paranteze, le desfaci pe toate, apoi reduci termenii asemenea.

a(b + c) = ab + ac
−(a − b) = −a + b
2(x + 4) + 3(x − 1) = 5x + 5
  • Numărul din fața parantezei se înmulțește cu fiecare termen dinăuntru, nu doar cu primul.
  • Minusul din fața parantezei schimbă semnul tuturor termenilor.

Exemplu rezolvat

Simplifică 2(x + 4) + 3(x − 1), apoi calculează rezultatul pentru x = 2.

  1. 1.Desfacem parantezele: 2x + 8 + 3x − 3.
  2. 2.Reducem termenii asemenea: 5x + 5.
  3. 3.Pentru x = 2: 5 × 2 + 5 = 15.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 19 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Identifică termenii și coeficienții din expresia 7x + 2y − 5.

    Vezi răspunsul

    Termenii: 7x, 2y și −5. Coeficienții: 7 pentru x și 2 pentru y; −5 este termenul liber.

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Calculează valoarea expresiei 5x + 3, pentru x = 4.

    Vezi răspunsul

    5 × 4 + 3 = 23

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Reduce termenii asemenea: 8x + 4x.

    Vezi răspunsul

    12x

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Desfă paranteza: 3 × (x + 6).

    Vezi răspunsul

    3x + 18

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Calculează valoarea expresiei 4a − 5, pentru a = 3.

    Vezi răspunsul

    4 × 3 − 5 = 7

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Reduce termenii asemenea din expresia: 6x + 2y − 3x + 5y.

    Vezi răspunsul

    3x + 7y

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Desfă paranteza și simplifică: 5 × (2x − 4) + 3x.

    Vezi răspunsul

    10x − 20 + 3x = 13x − 20

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Calculează valoarea expresiei 2x2 − 3x, pentru x = 4.

    Vezi răspunsul

    2 × 16 − 12 = 20

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Simplifică expresia: 9a − (4a − 6).

    Vezi răspunsul

    9a − 4a + 6 = 5a + 6

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Desfă parantezele și reduce termenii asemenea: 3 × (x + 2) + 2 × (x − 5).

    Vezi răspunsul

    3x + 6 + 2x − 10 = 5x − 4

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Simplifică expresia: 4 × (3x − 2) − 2 × (x + 5), apoi calculează valoarea ei pentru x = −1.

    Vezi răspunsul

    12x − 8 − 2x − 10 = 10x − 18; pentru x = −1: −10 − 18 = −28.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Se dă expresia E = 5x − 3 × (x − 2) + 4. Simplifică expresia, apoi află valoarea lui x pentru care E = 26.

    Vezi răspunsul

    E = 5x − 3x + 6 + 4 = 2x + 10; 2x + 10 = 26, deci x = 8.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Simplifică expresia: 3 × (2x + 1) − 5 × (x − 3) + 2x, apoi calculează valoarea ei pentru x = 0.

    Vezi răspunsul

    6x + 3 − 5x + 15 + 2x = 3x + 18; pentru x = 0 valoarea este 18.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Perimetrul unui triunghi este exprimat prin expresia algebrică 3 × (x + 2) + (2x − 1), unde x reprezintă lungimea unei laturi. Simplifică expresia perimetrului, apoi calculează perimetrul pentru x = 5.

    Vezi răspunsul

    3x + 6 + 2x − 1 = 5x + 5; pentru x = 5 perimetrul este 30.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Se dau expresiile A = 4x + 3 și B = 2x − 1. Calculează expresia 3A − 2B, simplificând rezultatul, apoi află valoarea ei pentru x = 2.

    Vezi răspunsul

    3A − 2B = 12x + 9 − 4x + 2 = 8x + 11; pentru x = 2 valoarea este 27.

  16. Ex. 16Excelență

    Simplifică expresia: 2 × [3 × (x + 1) − 2 × (x − 2)] + 5x, apoi calculează valoarea ei pentru x = 1.

    Vezi răspunsul

    2 × [3x + 3 − 2x + 4] + 5x = 2x + 14 + 5x = 7x + 14; pentru x = 1 valoarea este 21.

  17. Ex. 18Excelență

    Un dreptunghi are lungimea exprimată ca 3x + 2 și lățimea ca x − 1. Scrie expresia algebrică a perimetrului, simplific-o, apoi calculează perimetrul pentru x = 4.

    Vezi răspunsul

    P = 2 × (3x + 2 + x − 1) = 8x + 2; pentru x = 4: P = 34.

  18. Ex. 19Excelență

    Simplifică expresia: 4 × (x − 2) − 3 × (2x − 1) + 5 × (x + 1), apoi rezolvă ecuația obținută prin egalarea expresiei simplificate cu 15.

    Vezi răspunsul

    4x − 8 − 6x + 3 + 5x + 5 = 3x; 3x = 15, deci x = 5.

  19. Ex. 20Excelență

    Se dau expresiile A = 2x + 3y și B = x − y. Calculează expresia A + 2B, simplificând rezultatul, apoi află valorile lui x și y pentru care expresia simplificată este egală cu 20, știind că x = 2y.

    Vezi răspunsul

    A + 2B = 2x + 3y + 2x − 2y = 4x + y. Cu x = 2y: 9y = 20, deci y = 209 și x = 409.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.