Probleme cu proporții simple

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Mărimi direct proporționale

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una se mărește de un anumit număr de ori, și cealaltă se mărește de tot atâtea ori. La fel se întâmplă și când una se micșorează.

Dacă un caiet costă 3 lei, atunci 2 caiete costă 6 lei, 3 caiete costă 9 lei, iar 4 caiete costă 12 lei. Numărul de caiete și prețul total sunt direct proporționale: dublând numărul, se dublează și prețul.

Semnul care le recunoaște este că raportul dintre valorile corespunzătoare rămâne mereu același: 3 : 1 = 6 : 2 = 9 : 3 = 3 lei pentru fiecare caiet.

De ținut minte

preț : cantitate = constant

1 caiet → 3 lei, 4 caiete → 12 lei

Direct proporțional înseamnă „împreună”: cresc amândouă sau scad amândouă.
Prețul pe bucată, viteza constantă sau consumul la 100 km rămân neschimbate.

Exemplu rezolvat

Numărul de produse cumpărate se dublează, iar prețul unitar rămâne același. Ce se întâmplă cu costul total?

1Costul total și numărul de produse sunt direct proporționale, fiindcă prețul unei bucăți nu se schimbă.
2Dacă numărul de produse se înmulțește cu 2, și costul se înmulțește cu 2.
3Deci costul total se dublează.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Probleme cu proporții simple: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Două mărimi pot varia în același sens (direct proporționale) sau în sensuri opuse (invers proporționale).

Mărimi direct proporționale

Semnul care le recunoaște este că raportul dintre valorile corespunzătoare rămâne mereu același: 3 : 1 = 6 : 2 = 9 : 3 = 3 lei pentru fiecare caiet.

preț : cantitate = constant
1 caiet → 3 lei, 4 caiete → 12 lei

Direct proporțional înseamnă „împreună”: cresc amândouă sau scad amândouă.
Prețul pe bucată, viteza constantă sau consumul la 100 km rămân neschimbate.

Exemplu rezolvat

Numărul de produse cumpărate se dublează, iar prețul unitar rămâne același. Ce se întâmplă cu costul total?

Costul total și numărul de produse sunt direct proporționale, fiindcă prețul unei bucăți nu se schimbă.
Dacă numărul de produse se înmulțește cu 2, și costul se înmulțește cu 2.
Deci costul total se dublează.

Metoda reducerii la unitate

Metoda reducerii la unitate înseamnă să afli întâi cât îi revine unei singure unități, apoi să înmulțești cu numărul cerut. Este cea mai sigură metodă, fiindcă lucrezi doar cu o împărțire și o înmulțire.

Exemplu: dacă 5 kg de mere costă 20 de lei, atunci 1 kg costă 20 : 5 = 4 lei, iar 8 kg costă 4 × 8 = 32 de lei.

valoarea unei unități = total : număr de unități
20 : 5 = 4, apoi 4 × 8 = 32

Împarte întotdeauna la numărul care însoțește valoarea cunoscută.
Verifică rezultatul: dacă ai cerut mai multe unități, răspunsul trebuie să fie mai mare.

Exemplu rezolvat

Cu 2 kg de făină se fac 24 de clătite. Câte clătite se fac cu 5 kg?

Aflăm câte clătite ies dintr-un kilogram: 24 : 2 = 12.
Înmulțim cu numărul de kilograme cerut: 12 × 5.
Se fac 60 de clătite.

Regula de trei simplă

Regula de trei simplă scrie datele într-un tabel, cu mărimile de același fel una sub alta, apoi calculează necunoscuta dintr-o singură formulă. Pentru mărimi direct proporționale, din a → b și c → x rezultă x = (b × c) : a.

Exemplu: dacă 3 caiete costă 15 lei, atunci pentru 7 caiete avem x = (15 × 7) : 3 = 105 : 3 = 35 de lei.

Așezarea corectă a datelor este jumătate din rezolvare: lei sub lei, caiete sub caiete, altfel formula dă alt rezultat.

a → b
c → x
x = (b × c) : a

Necunoscuta x stă întotdeauna în colțul din dreapta jos al tabelului.
Regula de trei și reducerea la unitate dau același rezultat; alege metoda care ți se pare mai clară.

Exemplu rezolvat

O mașină parcurge 180 km în 3 ore, cu viteză constantă. Câți kilometri parcurge în 5 ore?

Scriem datele: 3 ore → 180 km, 5 ore → x km.
Aplicăm formula: x = (180 × 5) : 3 = 900 : 3.
Mașina parcurge 300 km.

Mărimi invers proporționale

Sunt situații în care, dacă o mărime crește, cealaltă scade în aceeași măsură: acestea sunt mărimi invers proporționale. Dacă 4 muncitori termină o lucrare în 12 zile, atunci 8 muncitori, adică de două ori mai mulți, o termină în 6 zile, adică în jumătate din timp.

Semnul lor este că produsul valorilor corespunzătoare rămâne constant: 4 × 12 = 48 și 8 × 6 = 48. De aici vine și formula regulii de trei pentru acest caz: x = (a × b) : c.

a × b = c × x
x = (a × b) : c
4 × 12 = 6 × 8 = 48

Mai mulți muncitori înseamnă mai puține zile; mai multă viteză înseamnă mai puțin timp.
Dacă te înșeli asupra tipului, rezultatul iese în direcția greșită — verifică-l cu bunul-simț.

Exemplu rezolvat · alte date

5 pompe identice umplu un bazin în 12 ore. În câte ore îl umplu 10 pompe?

La același volum, numărul de pompe și timpul au produs constant.
5 × 12 = 60, deci 10 × t = 60.
t = 6 ore; dublarea numărului de pompe înjumătățește timpul.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
5 pixuri costă 20 de lei. Cât costă 8 pixuri?
Vezi rezolvarea
1. Un pix costă 20 : 5 = 4 lei.
2. 8 pixuri costă 8 × 4 = 32 lei.
3. Răspunsul este 32 de lei.
Răspuns: 32
Exercițiul 2
O mașină parcurge 180 km în 3 ore cu viteză constantă. Câți kilometri parcurge în 5 ore?
Vezi rezolvarea
1. Într-o oră parcurge 180 : 3 = 60 km.
2. În 5 ore parcurge 60 × 5 = 300 km.
3. Răspunsul este 300 km.
Răspuns: 300
Exercițiul 3
Dacă numărul de produse cumpărate se dublează și prețul unitar rămâne același, costul total:
Vezi rezolvarea
1. Costul este număr de produse × preț unitar.
2. Numărul produselor se dublează.
3. Și costul total se dublează.
Răspuns: Se dublează
Exercițiul 4
6 muncitori termină o lucrare în 10 zile. În câte zile o termină 12 muncitori, în aceleași condiții?
Vezi rezolvarea
1. Muncitori × zile = constant.
2. 6 × 10 = 12 × x.
3. x = 60 : 12 = 5 zile.
Răspuns: 5
Exercițiul 5
Pentru 4 persoane sunt necesare 600 g de paste. Câte grame sunt necesare pentru 10 persoane?
Vezi rezolvarea
1. Pentru o persoană: 600 : 4 = 150 g.
2. Pentru 10 persoane: 150 × 10 = 1 500 g.
3. Răspunsul este 1 500 g.
Răspuns: 1500
Exercițiul 6
3 caiete costă 12 lei. Cât costă 7 caiete, în lei?
Vezi rezolvarea
1. Un caiet costă 12 : 3 = 4 lei.
2. 7 caiete costă 7 × 4 lei.
3. 7 × 4 = 28 de lei.
Răspuns: 28
Exercițiul 7
Un robinet umple 40 L în 5 minute. Câți litri umple în 8 minute?
Vezi rezolvarea
1. Într-un minut curg 40 : 5 = 8 L.
2. În 8 minute curg 8 × 8 L.
3. 8 × 8 = 64 L.
Răspuns: 64
Exercițiul 8
Timpul de lucru se înjumătățește, iar ritmul rămâne același. Cantitatea de lucru făcută:
Vezi rezolvarea
1. La același ritm, lucrul este direct proporțional cu timpul.
2. Timpul scade de 2 ori.
3. Și cantitatea de lucru scade de 2 ori.
Răspuns: se înjumătățește
Exercițiul 9
4 muncitori sapă un șanț în 9 ore. În câte ore îl sapă 6 muncitori, lucrând la fel?
Vezi rezolvarea
1. Lucrarea înseamnă 4 × 9 = 36 de ore de muncă.
2. Împărțim la 6 muncitori.
3. 36 : 6 = 6 ore.
Răspuns: 6
Exercițiul 10
Cu 2 kg de făină se fac 24 de clătite. Câte clătite se fac cu 5 kg de făină?
Vezi rezolvarea
1. Dintr-un kilogram ies 24 : 2 = 12 clătite.
2. Din 5 kg ies 5 × 12 clătite.
3. 5 × 12 = 60 de clătite.
Răspuns: 60
Exercițiul 11
Care situație este de proporționalitate inversă?
Vezi rezolvarea
1. Pe același drum, viteza dublă înseamnă timp înjumătățit.
2. Produsul viteză × timp rămâne egal cu distanța.
3. Celelalte perechi sunt direct proporționale.
Răspuns: Viteza unei mașini și timpul pentru același drum
Exercițiul 12
O mașină consumă 6 L de benzină la 100 km. Câți litri consumă la 350 km?
Vezi rezolvarea
1. 350 : 100 = 3,5.
2. 3,5 × 6 L = 21 L.
3. La 350 km consumă 21 de litri.
Răspuns: 21

Fișă de consolidare din material (15)

1. Dificultate redusă
Dacă 4 pixuri costă 12 lei, cât costă 6 pixuri, la același preț?
Vezi răspunsul
18 lei (un pix costă 12 : 4 = 3 lei)
2. Dificultate redusă
Dacă 3 kg de orez costă 15 lei, cât costă 7 kg de orez?
Vezi răspunsul
35 de lei (un kilogram costă 15 : 3 = 5 lei)
3. Dificultate redusă
Un robinet umple 20 litri de apă în 4 minute. Câți litri umple în 6 minute, cu același debit?
Vezi răspunsul
30 de litri (5 litri pe minut)
4. Dificultate redusă
Dacă 5 caiete costă 25 lei, cât costă 1 caiet? Dar 8 caiete?
Vezi răspunsul
Un caiet: 25 : 5 = 5 lei; 8 caiete: 40 de lei.
5. Dificultate redusă
O rețetă pentru 3 persoane necesită 450 g de făină. Câtă făină este necesară pentru 5 persoane?
Vezi răspunsul
750 g (150 g de persoană)
6. Dificultate medie
Dacă 4 muncitori termină o lucrare în 15 zile, în câte zile ar termina-o 6 muncitori, lucrând în același ritm?
Vezi răspunsul
10 zile: lucrarea înseamnă 4 × 15 = 60 de zile de muncă, iar 60 : 6 = 10.
7. Dificultate medie
Un vehicul parcurge 180 km cu 15 litri de combustibil. Câți litri sunt necesari pentru 300 km?
Vezi răspunsul
25 de litri (180 : 15 = 12 km cu un litru, iar 300 : 12 = 25)
8. Dificultate medie
Dacă 6 mașini transportă o marfă în 6 curse fiecare, câte curse ar face 4 mașini, pentru a transporta aceeași cantitate de marfă?
Vezi răspunsul
9 curse fiecare (6 × 6 = 36 de curse în total, 36 : 4 = 9)
9. Dificultate medie
Un zidar construiește un gard de 24 metri în 8 ore. Câți metri de gard construiește în 5 ore, cu același ritm de lucru?
Vezi răspunsul
15 m (3 m pe oră)
10. Dificultate medie
Pentru a umple o piscină sunt necesare 6 ore, folosind 3 pompe identice. În câte ore s-ar umple piscina folosind doar 1 pompă?
Vezi răspunsul
18 ore (3 × 6)
11. Dificultate ridicată
O echipă de 6 muncitori termină o lucrare în 20 de zile. După 8 zile de lucru, la echipă se mai alătură 3 muncitori noi. În câte zile se va termina lucrarea rămasă, considerând că toți muncitorii lucrează în același ritm?
Vezi răspunsul
8 zile: lucrarea = 6 × 20 = 120 de zile de muncă; după 8 zile au rămas 120 − 48 = 72, iar 72 : 9 = 8.
12. Dificultate ridicată
Un rezervor este umplut de 4 robinete identice în 9 ore. Dacă se deschide un al cincilea robinet, identic cu celelalte, în câte ore se va umple rezervorul?
Vezi răspunsul
7,2 ore, adică 7 ore și 12 minute (4 × 9 = 36, iar 36 : 5 = 7,2).
13. Dificultate ridicată
Pentru a tipări 300 de pagini, o imprimantă are nevoie de 10 minute. Câte pagini poate tipări aceeași imprimantă în 25 de minute, cu același ritm?
Vezi răspunsul
750 de pagini (30 de pagini pe minut)
14. Dificultate ridicată
O fabrică produce 360 de piese identice cu ajutorul a 4 mașini, într-o zi de lucru. Dacă se folosesc doar 3 mașini identice, câte piese se produc într-o zi de lucru, cu același ritm?
Vezi răspunsul
270 de piese (90 de piese pe mașină)
15. Dificultate ridicată
Un grup de 10 elevi ar termina de plantat un număr de puieți în 6 ore. Dacă li se alătură alți 5 elevi, care lucrează în același ritm, în câte ore se termină plantatul aceluiași număr de puieți?
Vezi răspunsul
4 ore (10 × 6 = 60, iar 60 : 15 = 4)