Clasa a V-aGimnaziu⏱ 15–20 min
{ }

Teorie înainte de exerciții

Mulțimi

O mulțime este o colecție bine determinată de obiecte, numite elementele mulțimii.

Parcurge exemplul pas cu pas, apoi încearcă exercițiile fără să sari direct la răspuns.
1

Ce este o mulțime și cum o notăm

O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate, numite elementele mulțimii. „Bine determinate” înseamnă că, pentru orice obiect, poți spune sigur dacă face parte din mulțime sau nu.

În jurul tău sunt mulțimi peste tot: elevii din clasa ta, zilele săptămânii, fructele dintr-un coș, numerele 1, 2, 3, 4, 5. În schimb, „elevii înalți din clasă” nu este o mulțime: nu se știe de la ce înălțime începe „înalt”, deci nu poți decide sigur cine intră.

Mulțimea se notează cu o literă mare — A, B, C, M — iar elementele se scriu între acolade, despărțite prin virgulă. În A = {1, 2, 3, 4, 5}, litera A este numele mulțimii, iar 1, 2, 3, 4 și 5 sunt elementele ei.

A = {1, 2, 3, 4, 5}
M = {luni, marți, miercuri, joi, vineri, sâmbătă, duminică}
  • Numele mulțimii se scrie cu literă mare.
  • Elementele stau între acolade, despărțite prin virgulă.
  • O colecție fără o regulă clară nu este mulțime.

Exemplu rezolvat

Scrie mulțimea Z a zilelor săptămânii care încep cu litera „m”.

  1. 1.Parcurgem zilele: luni, marți, miercuri, joi, vineri, sâmbătă, duminică.
  2. 2.Păstrăm doar zilele care încep cu „m”: marți și miercuri.
  3. 3.Scriem Z = {marți, miercuri}.
2

Apartenența: ∈ și ∉

Ca să arăți că un element face parte dintr-o mulțime, folosești simbolul ∈, care se citește „aparține”. Dacă elementul nu face parte din mulțime, folosești ∉, adică „nu aparține”.

Fie A = {1, 2, 3, 4, 5}. Scrierea 3 ∈ A este adevărată, pentru că 3 se află printre elementele lui A. Și 7 ∉ A este adevărată, fiindcă 7 nu apare în mulțime. În schimb, 7 ∈ A este falsă.

3 ∈ A se citește „3 aparține mulțimii A”
7 ∉ A se citește „7 nu aparține mulțimii A”
  • Simbolul se scrie între element și mulțime, în această ordine.
  • Ca să decizi, cauți elementul printre cele scrise între acolade.

Exemplu rezolvat

Fie B = {0, 5, 10}. Completează cu ∈ sau ∉: 5 … B și 7 … B.

  1. 1.Căutăm 5 printre elementele lui B: apare, deci 5 ∈ B.
  2. 2.Căutăm 7: elementele sunt 0, 5 și 10, iar 7 nu e printre ele.
  3. 3.Prin urmare, 7 ∉ B.
3

Moduri de a defini o mulțime

O mulțime se poate scrie în două feluri. Prin enumerare scrii toate elementele, unul câte unul: A = {2, 4, 6, 8, 10}.

Prin proprietate caracteristică descrii regula pe care o îndeplinesc toate elementele: A = {x | x este număr par, 2 ≤ x ≤ 10}. Bara „|” se citește „cu proprietatea că”, deci rândul se citește „A este mulțimea numerelor x, cu proprietatea că x este par și cuprins între 2 și 10”.

Cele două scrieri descriu aceeași mulțime. Când primești o proprietate, treci prin numere pe rând și le păstrezi doar pe cele care o respectă.

prin enumerare: A = {2, 4, 6, 8, 10}
prin proprietate: A = {x | x este număr par, 2 ≤ x ≤ 10}
  • Semnul ≤ include capătul, iar < nu îl include.
  • Verifică fiecare număr înainte să îl treci în mulțime.

Exemplu rezolvat

Scrie prin enumerare mulțimea B = {x | x este număr natural impar, x < 10} și află câte elemente are.

  1. 1.Condiția cere numere naturale impare, mai mici decât 10.
  2. 2.Numerele naturale mai mici decât 10 sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
  3. 3.Dintre ele păstrăm doar impare: 1, 3, 5, 7, 9.
  4. 4.Scriem B = {1, 3, 5, 7, 9}, deci B are 5 elemente.
4

Mulțimea vidă

Mulțimea vidă este mulțimea care nu are niciun element. Se notează cu ∅ sau cu { }.

Apare din condiții pe care nu le îndeplinește nimic. Mulțimea elevilor din clasă mai înalți de 3 metri este vidă, pentru că nu există niciun elev care să respecte condiția.

∅ = { }
card(∅) = 0
  • ∅ nu este același lucru cu {0}: mulțimea {0} are un element, numărul 0.
  • Nici {∅} nu este mulțimea vidă: are un element, chiar mulțimea vidă.

Exemplu rezolvat

Este mulțimea numerelor naturale cuprinse strict între 4 și 5 o mulțime vidă?

  1. 1.„Strict între 4 și 5” înseamnă mai mare decât 4 și mai mic decât 5.
  2. 2.Între 4 și 5 nu există niciun număr natural.
  3. 3.Mulțimea nu are elemente, deci este vidă: ∅.
5

Cardinalul unei mulțimi

Cardinalul unei mulțimi este numărul elementelor ei. Se notează card(A) sau |A|.

Fiecare element se numără o singură dată, chiar dacă apare scris de mai multe ori. În {1, 1, 2, 3, 3} sunt doar trei elemente diferite: 1, 2 și 3.

A = {1, 2, 3, 4, 5} → card(A) = 5
card(∅) = 0
  • Numeri elementele diferite, nu de câte ori sunt scrise.
  • La literele dintr-un cuvânt, o literă repetată se numără o singură dată.

Exemplu rezolvat

Află card(C), unde C este mulțimea literelor din cuvântul ACASA.

  1. 1.Literele cuvântului sunt A, C, A, S, A.
  2. 2.Păstrăm fiecare literă o singură dată: A, C, S.
  3. 3.Mulțimea are 3 elemente, deci card(C) = 3.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Scrie mulțimea vocalelor din alfabet.

    Vezi răspunsul

    {a, ă, â, e, i, î, o, u} (vocalele alfabetului românesc)

  2. Ex. 3Dificultate redusă

    Câte elemente are mulțimea C = {a, b, c, d, e}? Scrie card(C).

    Vezi răspunsul

    card(C) = 5

  3. Ex. 4Dificultate redusă

    Este mulțimea D = {x | x este ziua din săptămână care începe cu litera "T"} o mulțime vidă? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Da, D = ∅: nicio zi a săptămânii (luni, marți, miercuri, joi, vineri, sâmbătă, duminică) nu începe cu litera „T”.

  4. Ex. 5Dificultate redusă

    Scrie mulțimea F = {1, 2, 3, 4, 5} prin enumerare și precizează câte elemente are.

    Vezi răspunsul

    F = {1, 2, 3, 4, 5}; are 5 elemente.

  5. Ex. 6Dificultate medie

    Scrie prin enumerare mulțimea E = {x | x este număr natural par, x < 12}.

    Vezi răspunsul

    E = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

  6. Ex. 7Dificultate medie

    Scrie prin proprietate caracteristică mulțimea G = {5, 10, 15, 20, 25}.

    Vezi răspunsul

    G = {x | x = 5 · k, k ∈ {1, 2, 3, 4, 5}}, adică multiplii nenuli ai lui 5 mai mici sau egali cu 25.

  7. Ex. 10Dificultate medie

    O mulțime M conține primele 6 numere naturale impare.

    Vezi răspunsul

    M = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

  8. Ex. 11Dificultate ridicată

    Scrie două moduri diferite (enumerare și proprietate caracteristică) prin care poți defini mulțimea numerelor naturale mai mici decât 5.

    Vezi răspunsul

    Enumerare: {0, 1, 2, 3, 4}. Proprietate caracteristică: {x | x este număr natural, x < 5}.

  9. Ex. 12Dificultate ridicată

    Fie mulțimea N = {x | x este număr natural, 3 ≤ x ≤ 15, x se obține înmulțind 3 cu un număr natural}.

    Vezi răspunsul

    N = {3, 6, 9, 12, 15}

  10. Ex. 13Dificultate ridicată

    Un elev afirmă: "Mulțimea zilelor săptămânii care se termină cu litera 'a' este o mulțime vidă." Este afirmația adevărată sau falsă? Scrie mulțimea respectivă și justifică răspunsul.

    Vezi răspunsul

    Adevărată: nicio zi nu se termină cu litera „a” (sâmbătă și duminică se termină cu „ă”), deci mulțimea este ∅.

  11. Ex. 14Dificultate ridicată

    Scrie o mulțime P, prin proprietate caracteristică, care să aibă exact 4 elemente, formată din numere naturale pare mai mici decât 20. (Există mai multe variante corecte — scrie una singură.)

    Vezi răspunsul

    De exemplu P = {x | x este număr natural par, 12 ≤ x < 20} = {12, 14, 16, 18}.

  12. Ex. 15Dificultate ridicată

    Fie mulțimea Q = {x | x este număr natural, x < 20, x se obține înmulțind 4 cu un număr natural}.

    Vezi răspunsul

    Q = {0, 4, 8, 12, 16}

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.