Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Punctul
Punctul este cel mai simplu element geometric: nu are lungime, lățime sau grosime, ci arată doar o poziție. Se notează cu literă mare de tipar: A, B, C, M, N.
Printr-un singur punct trec o infinitate de drepte, fiindcă un punct nu fixează nicio direcție. Abia două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.
🧮 De ținut minte
A ∈ d: punctul A aparține dreptei d
A ∉ d: punctul A nu aparține dreptei d
✓Punctul se desenează ca o urmă mică de creion, dar în geometrie nu are dimensiuni.
✓Semnul ∈ se citește „aparține”, iar ∉ se citește „nu aparține”.
✏️Exemplu rezolvat
Câte drepte trec printr-un singur punct dat?
1Un punct nu impune nicio direcție dreptei care trece prin el.
2Putem roti dreapta în jurul punctului oricât de puțin și obținem altă dreaptă.
3Prin urmare, printr-un punct trec o infinitate de drepte.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Elemente de geometrie: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Geometria descrie formele și pozițiile din jurul nostru folosind obiecte ideale precum punctul, dreapta și planul.
Punctul
Punctul este cel mai simplu element geometric: nu are lungime, lățime sau grosime, ci arată doar o poziție. Se notează cu literă mare de tipar: A, B, C, M, N.
Printr-un singur punct trec o infinitate de drepte, fiindcă un punct nu fixează nicio direcție. Abia două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.
A ∈ d: punctul A aparține dreptei d
A ∉ d: punctul A nu aparține dreptei d
•Punctul se desenează ca o urmă mică de creion, dar în geometrie nu are dimensiuni.
•Semnul ∈ se citește „aparține”, iar ∉ se citește „nu aparține”.
Exemplu rezolvat
Câte drepte trec printr-un singur punct dat?
Un punct nu impune nicio direcție dreptei care trece prin el.
Putem roti dreapta în jurul punctului oricât de puțin și obținem altă dreaptă.
Prin urmare, printr-un punct trec o infinitate de drepte.
Dreapta, semidreapta și segmentul
Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte și se întinde la nesfârșit în ambele sensuri, deci nu are capete și nu i se poate măsura lungimea. Se notează cu o literă mică, d sau a, ori prin două puncte ale ei.
Semidreapta are un capăt, numit origine, și se întinde la infinit într-o singură direcție. Se notează cu originea scrisă prima: [AB. Atenție, [AB și [BA nu sunt aceeași semidreaptă, fiindcă au origini diferite.
Segmentul este partea de dreaptă cuprinsă între două puncte, numite capete, și se notează [AB] sau [BA] — este același segment. Spre deosebire de dreaptă și semidreaptă, segmentul are o lungime care se poate măsura cu rigla; lungimea se scrie fără paranteze, AB = 5 cm.
dreapta AB — fără capete
semidreapta [AB — origine în A
segmentul [AB] — două capete
•Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
•Doar segmentul are lungime măsurabilă; dreapta și semidreapta sunt infinite.
Exemplu rezolvat
Care element geometric are o origine și este nelimitat într-un singur sens?
Dreapta este nelimitată în ambele sensuri, deci nu ea este.
Segmentul are două capete, deci este mărginit.
Rămâne semidreapta: are origine și se întinde la infinit într-o singură direcție.
Puncte coliniare
Punctele care se află pe aceeași dreaptă se numesc coliniare, iar cele care nu se află pe aceeași dreaptă se numesc necoliniare. Oricare două puncte sunt întotdeauna coliniare, fiindcă prin ele trece o dreaptă.
Când trei puncte coliniare sunt scrise în ordinea în care apar pe dreaptă, unul dintre ele este între celelalte două. Din același punct pornesc două semidrepte opuse, câte una în fiecare sens.
A, B, C ∈ d → A, B, C sunt coliniare
din A pornesc semidreptele [AB și [AC
•Trei puncte necoliniare determină un triunghi.
•Două semidrepte cu aceeași origine, în sensuri opuse, formează împreună o dreaptă.
Exemplu rezolvat · alte date
P, Q și R sunt coliniare, cu Q între P și R. Compară semidreptele QP și QR.
Ambele pornesc din Q.
P și R sunt de părți opuse ale lui Q.
Semidreptele sunt opuse și sunt două semidrepte distincte.
Câte segmente determină mai multe puncte
Fiecare pereche de puncte determină un segment, așa că numărarea segmentelor înseamnă numărarea perechilor. Pentru trei puncte A, B și C perechile sunt A–B, B–C și A–C, deci 3 segmente.
Pentru patru puncte ies 6 segmente, iar pentru cinci puncte ies 10. Regula generală: primul punct se unește cu toate celelalte, al doilea cu cele rămase și tot așa, adunând 1 + 2 + … până la numărul de puncte minus 1.
3 puncte → 1 + 2 = 3 segmente
4 puncte → 1 + 2 + 3 = 6
5 puncte → 1 + 2 + 3 + 4 = 10
•Segmentul [AB] și [BA] sunt același segment, deci se numără o singură dată.
•Regula nu depinde de faptul că punctele sunt sau nu coliniare.
Exemplu rezolvat · alte date
Șase puncte distincte pe o dreaptă determină câte segmente?
Un segment se alege prin două capete distincte.
Primul punct formează 5 segmente noi, apoi 4, 3, 2, 1.
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 segmente.
Exerciții rezolvate din lecție (12)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Care obiect geometric nu are dimensiuni?
Vezi rezolvarea
Punctul nu are lungime, lățime sau grosime.
El reprezintă doar o poziție.
Răspunsul este punctul.
Răspuns: Punctul
Exercițiul 2
Care obiect are două capete?
Vezi rezolvarea
Dreapta nu are capete, iar semidreapta are unul.
Segmentul are două capete.
Răspunsul este segmentul.
Răspuns: Segmentul
Exercițiul 3
Câte drepte distincte trec prin două puncte distincte A și B?
Vezi rezolvarea
Două puncte distincte determină o dreaptă.
Dreapta este unică.
Răspunsul este 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 4
Notația A ∉ d înseamnă:
Vezi rezolvarea
Simbolul ∉ înseamnă «nu aparține».
A este un punct, iar d este o dreaptă.
A nu aparține dreptei d.
Răspuns: A nu aparține dreptei d
Exercițiul 5
Câte segmente determină trei puncte distincte A, B și C?
Vezi rezolvarea
Perechile sunt AB, AC și BC.
Fiecare pereche determină un segment.
În total sunt 3 segmente.
Răspuns: 3
Exercițiul 6
Care obiect geometric are o origine și este nelimitat într-un singur sens?
Vezi rezolvarea
Dreapta este nelimitată în ambele sensuri.
Segmentul are două capete.
Semidreapta are o origine și continuă la nesfârșit într-un sens.
Răspuns: Semidreapta
Exercițiul 7
Câte capete are un segment?
Vezi rezolvarea
Segmentul AB începe în A și se termină în B.
A și B sunt capetele lui.
Un segment are 2 capete.
Răspuns: 2
Exercițiul 8
Punctele A, B și C se află pe aceeași dreaptă. Cum se numesc ele?
Vezi rezolvarea
Punctele aflate pe aceeași dreaptă se numesc coliniare.
Punctele care nu sunt pe aceeași dreaptă sunt necoliniare.
A, B și C sunt coliniare.
Răspuns: coliniare
Exercițiul 9
Câte segmente determină 4 puncte distincte?
Vezi rezolvarea
Cu punctele A, B, C, D, segmentele sunt AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Le numărăm.
Sunt 6 segmente.
Răspuns: 6
Exercițiul 10
Câte drepte trec printr-un singur punct?
Vezi rezolvarea
Printr-un punct putem duce drepte în orice direcție.
Nu există o limită a direcțiilor.
Printr-un punct trec o infinitate de drepte.
Răspuns: o infinitate
Exercițiul 11
Pe o dreaptă sunt 5 puncte distincte. Câte segmente cu capetele în aceste puncte există?
Vezi rezolvarea
Fiecare dintre cele 5 puncte formează segmente cu celelalte 4: 5 × 4 = 20.
Fiecare segment a fost numărat de două ori.
Sunt 20 : 2 = 10 segmente.
Răspuns: 10
Exercițiul 12
A, B și C sunt coliniare, iar A este între B și C. Câte semidrepte diferite cu originea în A trec prin B sau prin C?
Vezi rezolvarea
A este între B și C, deci B și C sunt de o parte și de alta a lui A.
Semidreapta AB și semidreapta AC au direcții opuse.
Sunt 2 semidrepte diferite.
Răspuns: 2
Fișă de consolidare din material (15)
1. Dificultate redusă
Desenează și notează 3 puncte: M, N, P.
Vezi răspunsul
Trei puncte mici, fiecare notat cu o literă mare alături: M, N, P.
2. Dificultate redusă
Desenează o dreaptă și marchează pe ea două puncte, X și Y. Notează dreapta.
Vezi răspunsul
O linie dreaptă, prelungită la ambele capete, cu punctele X și Y pe ea; o notezi XY sau cu o literă mică, de exemplu d.
3. Dificultate redusă
Desenează o semidreaptă cu originea în punctul O, care trece prin punctul Q. Notează semidreapta.
Vezi răspunsul
Pornește din O, trece prin Q și continuă la nesfârșit dincolo de Q; se notează [OQ.
4. Dificultate redusă
Desenează segmentul [GH]. Dacă GH = 8 cm, ce lungime are acest segment?
Vezi răspunsul
8 cm: lungimea segmentului [GH] este chiar GH = 8 cm.
5. Dificultate redusă
Sunt punctele situate pe drepte diferite numite coliniare sau necoliniare?
Vezi răspunsul
Necoliniare: punctele sunt coliniare doar dacă se află toate pe aceeași dreaptă.
6. Dificultate medie
Desenează două drepte concurente, m și n, și marchează punctul lor de intersecție cu litera K.
Vezi răspunsul
Două drepte care se taie într-un singur punct, notat K: m ∩ n = {K}.
7. Dificultate medie
Desenează două drepte paralele, e și f. Notează corect relația dintre ele.
Vezi răspunsul
Două drepte care nu se întâlnesc oricât le-ai prelungi; se notează e ∥ f.
8. Dificultate medie
Se dau punctele M, N, P, coliniare, în această ordine pe dreaptă. Scrie toate segmentele care se pot forma.
Vezi răspunsul
[MN], [NP] și [MP].
9. Dificultate medie
Explică diferența dintre o semidreaptă și un segment.
Vezi răspunsul
Semidreapta are un singur capăt (originea) și continuă la nesfârșit; segmentul are două capete, deci o lungime pe care o poți măsura.
10. Dificultate medie
Se dau 4 puncte, dintre care 3 sunt coliniare, iar unul nu. Câte segmente diferite se pot forma folosind cele 4 puncte?
Vezi răspunsul
6 segmente: oricare două puncte formează un segment, iar din 4 puncte se pot alege 4 × 3 : 2 = 6 perechi.
11. Dificultate ridicată
Se dau 6 puncte, oricare 3 dintre ele fiind necoliniare. Câte segmente diferite se pot forma folosind aceste 6 puncte?
Vezi răspunsul
15 segmente (6 × 5 : 2)
12. Dificultate ridicată
Pe o dreaptă d se află punctele M, N, P, Q, în această ordine. Punctul R nu se află pe dreapta d. Stabilește care dintre următoarele afirmații sunt adevărate: (a) M, N, P sunt coliniare; (b) N, P, R sunt coliniare; (c) M, Q, R sunt coliniare.
Vezi răspunsul
(a) adevărată; (b) falsă; (c) falsă. R nu este pe d, iar prin două puncte ale lui d trece doar dreapta d.
13. Dificultate ridicată
Două drepte, a și b, sunt paralele. O a treia dreaptă, c, intersectează dreapta a. Este posibil ca dreapta c să nu intersecteze și dreapta b? Explică, folosind proprietatea dreptelor paralele.
Vezi răspunsul
Nu. Dacă c nu ar tăia b, ar fi paralelă cu b; atunci prin punctul în care c taie a ar trece două paralele la b (a și c). Dar printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la ea.
14. Dificultate ridicată
Se dau punctele A, B, C, D, astfel încât [AB] și [CD] au aceeași lungime de 5 cm, dar sunt segmente diferite, situate pe drepte diferite. Desenează o situație posibilă și explică de ce cele două segmente pot avea aceeași lungime, fără să fie același segment.
Vezi răspunsul
De exemplu, [AB] orizontal și [CD] vertical, fiecare de 5 cm. Sunt congruente (au aceeași lungime), dar sunt segmente diferite, pentru că au alte capete.
15. Dificultate ridicată
Pe o dreaptă sunt marcate 7 puncte distincte. Câte segmente diferite se pot forma, folosind aceste 7 puncte coliniare?