Teorie înainte de exerciții
Elemente de geometrie
Geometria descrie formele și pozițiile din jurul nostru folosind obiecte ideale precum punctul, dreapta și planul.
Figura de referință
Citește desenul înainte de formule
Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.
Punctul
Punctul este cel mai simplu element geometric: nu are lungime, lățime sau grosime, ci arată doar o poziție. Se notează cu literă mare de tipar: A, B, C, M, N.
Printr-un singur punct trec o infinitate de drepte, fiindcă un punct nu fixează nicio direcție. Abia două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.
- Punctul se desenează ca o urmă mică de creion, dar în geometrie nu are dimensiuni.
- Semnul ∈ se citește „aparține”, iar ∉ se citește „nu aparține”.
Exemplu rezolvat
Câte drepte trec printr-un singur punct dat?
- 1.Un punct nu impune nicio direcție dreptei care trece prin el.
- 2.Putem roti dreapta în jurul punctului oricât de puțin și obținem altă dreaptă.
- 3.Prin urmare, printr-un punct trec o infinitate de drepte.
Dreapta, semidreapta și segmentul
Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte și se întinde la nesfârșit în ambele sensuri, deci nu are capete și nu i se poate măsura lungimea. Se notează cu o literă mică, d sau a, ori prin două puncte ale ei.
Semidreapta are un capăt, numit origine, și se întinde la infinit într-o singură direcție. Se notează cu originea scrisă prima: [AB. Atenție, [AB și [BA nu sunt aceeași semidreaptă, fiindcă au origini diferite.
Segmentul este partea de dreaptă cuprinsă între două puncte, numite capete, și se notează [AB] sau [BA] — este același segment. Spre deosebire de dreaptă și semidreaptă, segmentul are o lungime care se poate măsura cu rigla; lungimea se scrie fără paranteze, AB = 5 cm.
- Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
- Doar segmentul are lungime măsurabilă; dreapta și semidreapta sunt infinite.
Exemplu rezolvat
Care element geometric are o origine și este nelimitat într-un singur sens?
- 1.Dreapta este nelimitată în ambele sensuri, deci nu ea este.
- 2.Segmentul are două capete, deci este mărginit.
- 3.Rămâne semidreapta: are origine și se întinde la infinit într-o singură direcție.
Puncte coliniare
Punctele care se află pe aceeași dreaptă se numesc coliniare, iar cele care nu se află pe aceeași dreaptă se numesc necoliniare. Oricare două puncte sunt întotdeauna coliniare, fiindcă prin ele trece o dreaptă.
Când trei puncte coliniare sunt scrise în ordinea în care apar pe dreaptă, unul dintre ele este între celelalte două. Din același punct pornesc două semidrepte opuse, câte una în fiecare sens.
- Trei puncte necoliniare determină un triunghi.
- Două semidrepte cu aceeași origine, în sensuri opuse, formează împreună o dreaptă.
Exemplu rezolvat
A, B și C sunt coliniare, iar A este între B și C. Câte semidrepte diferite cu originea în A trec prin B sau prin C?
- 1.Punctul A este între B și C, deci B și C sunt de o parte și de alta a lui A.
- 2.Semidreapta [AB pornește din A spre B, iar [AC pornește din A spre C, în sens opus.
- 3.Sunt 2 semidrepte diferite, opuse una alteia.
Câte segmente determină mai multe puncte
Fiecare pereche de puncte determină un segment, așa că numărarea segmentelor înseamnă numărarea perechilor. Pentru trei puncte A, B și C perechile sunt A–B, B–C și A–C, deci 3 segmente.
Pentru patru puncte ies 6 segmente, iar pentru cinci puncte ies 10. Regula generală: primul punct se unește cu toate celelalte, al doilea cu cele rămase și tot așa, adunând 1 + 2 + … până la numărul de puncte minus 1.
- Segmentul [AB] și [BA] sunt același segment, deci se numără o singură dată.
- Regula nu depinde de faptul că punctele sunt sau nu coliniare.
Exemplu rezolvat
Pe o dreaptă sunt 5 puncte distincte. Câte segmente cu capetele în aceste puncte există?
- 1.Primul punct se unește cu celelalte 4, deci dă 4 segmente.
- 2.Al doilea dă 3 segmente noi, al treilea 2, al patrulea 1.
- 3.În total 4 + 3 + 2 + 1 = 10 segmente.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții
Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.
- Ex. 1Dificultate redusă
Desenează și notează 3 puncte: M, N, P.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trei puncte mici, fiecare notat cu o literă mare alături: M, N, P.
- Ex. 2Dificultate redusă
Desenează o dreaptă și marchează pe ea două puncte, X și Y. Notează dreapta.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O linie dreaptă, prelungită la ambele capete, cu punctele X și Y pe ea; o notezi XY sau cu o literă mică, de exemplu d.
- Ex. 3Dificultate redusă
Desenează o semidreaptă cu originea în punctul O, care trece prin punctul Q. Notează semidreapta.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pornește din O, trece prin Q și continuă la nesfârșit dincolo de Q; se notează [OQ.
- Ex. 4Dificultate redusă
Desenează segmentul [GH]. Dacă GH = 8 cm, ce lungime are acest segment?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8 cm: lungimea segmentului [GH] este chiar GH = 8 cm.
- Ex. 5Dificultate redusă
Sunt punctele situate pe drepte diferite numite coliniare sau necoliniare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Necoliniare: punctele sunt coliniare doar dacă se află toate pe aceeași dreaptă.
- Ex. 6Dificultate medie
Desenează două drepte concurente, m și n, și marchează punctul lor de intersecție cu litera K.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Două drepte care se taie într-un singur punct, notat K: m ∩ n = {K}.
- Ex. 7Dificultate medie
Desenează două drepte paralele, e și f. Notează corect relația dintre ele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Două drepte care nu se întâlnesc oricât le-ai prelungi; se notează e ∥ f.
- Ex. 8Dificultate medie
Se dau punctele M, N, P, coliniare, în această ordine pe dreaptă. Scrie toate segmentele care se pot forma.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[MN], [NP] și [MP].
- Ex. 9Dificultate medie
Explică diferența dintre o semidreaptă și un segment.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Semidreapta are un singur capăt (originea) și continuă la nesfârșit; segmentul are două capete, deci o lungime pe care o poți măsura.
- Ex. 10Dificultate medie
Se dau 4 puncte, dintre care 3 sunt coliniare, iar unul nu. Câte segmente diferite se pot forma folosind cele 4 puncte?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 segmente: oricare două puncte formează un segment, iar din 4 puncte se pot alege 4 × 3 : 2 = 6 perechi.
- Ex. 11Dificultate ridicată
Se dau 6 puncte, oricare 3 dintre ele fiind necoliniare. Câte segmente diferite se pot forma folosind aceste 6 puncte?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
15 segmente (6 × 5 : 2)
- Ex. 12Dificultate ridicată
Pe o dreaptă d se află punctele M, N, P, Q, în această ordine. Punctul R nu se află pe dreapta d. Stabilește care dintre următoarele afirmații sunt adevărate: (a) M, N, P sunt coliniare; (b) N, P, R sunt coliniare; (c) M, Q, R sunt coliniare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(a) adevărată; (b) falsă; (c) falsă. R nu este pe d, iar prin două puncte ale lui d trece doar dreapta d.
- Ex. 13Dificultate ridicată
Două drepte, a și b, sunt paralele. O a treia dreaptă, c, intersectează dreapta a. Este posibil ca dreapta c să nu intersecteze și dreapta b? Explică, folosind proprietatea dreptelor paralele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu. Dacă c nu ar tăia b, ar fi paralelă cu b; atunci prin punctul în care c taie a ar trece două paralele la b (a și c). Dar printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la ea.
- Ex. 14Dificultate ridicată
Se dau punctele A, B, C, D, astfel încât [AB] și [CD] au aceeași lungime de 5 cm, dar sunt segmente diferite, situate pe drepte diferite. Desenează o situație posibilă și explică de ce cele două segmente pot avea aceeași lungime, fără să fie același segment.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
De exemplu, [AB] orizontal și [CD] vertical, fiecare de 5 cm. Sunt congruente (au aceeași lungime), dar sunt segmente diferite, pentru că au alte capete.
- Ex. 15Dificultate ridicată
Pe o dreaptă sunt marcate 7 puncte distincte. Câte segmente diferite se pot forma, folosind aceste 7 puncte coliniare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
21 de segmente (7 × 6 : 2)