Încărcăm partea curentă…

Reprezentarea și compararea numerelor

Axa numerelor

Pe axa numerelor alegi un punct de plecare, numit origine, un sens în care numerele cresc și o unitate de măsură. Fiecărui număr îi corespunde exact un punct pe axă.

Regula de bază este simplă: cu cât un număr este așezat mai spre dreapta, cu atât valoarea lui este mai mare. Pe aceeași axă încap numere scrise oricum — naturale, fracții sau zecimale — fiindcă toate exprimă o valoare.

Între oricare două numere zecimale se află alte numere: între 2,3 și 2,4 stau 2,31, 2,35, 2,38 și multe altele. Spre deosebire de numerele naturale, aici nu există „numărul următor”.

De ținut minte

a < b ⇔ punctul lui a este la stânga punctului lui b
pe aceeași axă: 1 < 32 < 2 < 2,5
  • Unitatea aleasă rămâne aceeași pe toată axa.
  • Ca să compari o fracție cu un zecimal, uită-te unde cade fiecare pe axă.

Exemplu rezolvat

Scrie un număr cuprins între 2,3 și 2,4.

  1. 1Scriem capetele cu același număr de zecimale: 2,30 și 2,40.
  2. 2Între 30 de sutimi și 40 de sutimi se află 31, 32, …, 39 de sutimi.
  3. 3Un răspuns potrivit este 2,35, care pe axă cade chiar la mijloc.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Reprezentarea și compararea numerelor: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Axa numerelor ne ajută să vedem ordinea și distanța dintre numere: un număr aflat mai la dreapta este mai mare.

Axa numerelor

Pe axa numerelor alegi un punct de plecare, numit origine, un sens în care numerele cresc și o unitate de măsură. Fiecărui număr îi corespunde exact un punct pe axă.

Regula de bază este simplă: cu cât un număr este așezat mai spre dreapta, cu atât valoarea lui este mai mare. Pe aceeași axă încap numere scrise oricum — naturale, fracții sau zecimale — fiindcă toate exprimă o valoare.

Între oricare două numere zecimale se află alte numere: între 2,3 și 2,4 stau 2,31, 2,35, 2,38 și multe altele. Spre deosebire de numerele naturale, aici nu există „numărul următor”.

  • a < b ⇔ punctul lui a este la stânga punctului lui b
  • pe aceeași axă: 1 < 32 < 2 < 2,5
  • Unitatea aleasă rămâne aceeași pe toată axa.
  • Ca să compari o fracție cu un zecimal, uită-te unde cade fiecare pe axă.

Exemplu rezolvat

Scrie un număr cuprins între 2,3 și 2,4.

  1. Scriem capetele cu același număr de zecimale: 2,30 și 2,40.
  2. Între 30 de sutimi și 40 de sutimi se află 31, 32, …, 39 de sutimi.
  3. Un răspuns potrivit este 2,35, care pe axă cade chiar la mijloc.

Compararea numerelor scrise în forme diferite

Ca să compari numere scrise altfel unul față de altul — natural, fracție, zecimal — le aduci la aceeași formă. Cel mai simplu este să le transformi pe toate în numere zecimale: 74 = 1,75, iar 1,75 > 1,6.

A doua cale este să le scrii ca fracții cu același numitor: 0,5 = 12, iar comparând 35 = 610 cu 12 = 510 rezultă 35 > 0,5.

La numerele zecimale se compară întâi partea întreagă, apoi zecimile, sutimile și așa mai departe. Zerourile de la sfârșit nu schimbă valoarea: 3,50 = 3,5.

  • 74 = 1,75 > 1,6
  • 35 = 610 > 510 = 0,5
  • 3,50 = 3,5
  • Un număr cu mai multe zecimale nu este automat mai mare: 4,07 < 4,7.
  • Egalează numărul de zecimale înainte să compari, ca să nu te încurci.

Exemplu rezolvat

Compară 4,07 cu 4,7.

  1. Egalăm zecimalele: 4,07 și 4,70.
  2. Părțile întregi sunt egale, deci trecem la zecimi: 0 față de 7.
  3. Cum 0 < 7, rezultă 4,07 < 4,7.

Ordonarea unui șir de numere

Ca să ordonezi mai multe numere scrise diferit, le transformi pe toate în numere zecimale, le compari, apoi scrii răspunsul păstrând forma inițială a fiecăruia.

Pentru 2, 32, 1,25 și 94 obții 2,00, 1,50, 1,25 și 2,25, deci ordinea crescătoare este 1,25 < 32 < 2 < 94. Crescător înseamnă de la mic la mare, descrescător invers.

  • 32 = 1,50, 94 = 2,25
  • 1,25 < 32 < 2 < 94
  • Scrie toate numerele cu același număr de zecimale înainte să le ordonezi.
  • Verifică la final: fiecare număr trebuie să fie mai mare decât cel dinaintea lui.

Exemplu rezolvat

Ordonează descrescător 1,5; 1,05; 1,55 și 1,505.

  1. Scriem toate numerele cu trei zecimale: 1,500; 1,050; 1,550; 1,505.
  2. Comparăm ca pe numere întregi de trei cifre după virgulă: 550 > 505 > 500 > 050.
  3. Ordinea descrescătoare este 1,55; 1,505; 1,5; 1,05.

Distanța dintre două numere și mijlocul

Distanța dintre două numere de pe axă este diferența dintre cel mai mare și cel mai mic. Ea nu este niciodată negativă, oricare ar fi ordinea în care sunt date numerele.

Mijlocul distanței dintre două numere se află adunându-le și împărțind rezultatul la 2. Pentru 18 și 42: (18 + 42) : 2 = 30, iar 30 se află la 12 unități de fiecare capăt.

  • d(a, b) = numărul mai mare − numărul mai mic
  • mijlocul = (a + b) : 2
  • Scade întotdeauna numărul mic din cel mare, indiferent cum sunt scrise în enunț.
  • Verifică mijlocul măsurând distanța până la ambele capete: trebuie să fie egale.

Exemplu rezolvat · alte date

Află mijlocul numerelor 17 și 49 pe axă.

  1. Distanța dintre numere este 49 − 17 = 32.
  2. Jumătate din distanță este 16.
  3. Mijlocul este 17 + 16 = 33, egal cu 17 + 492.

Câte numere naturale sunt între două numere

Când numeri numerele naturale dintre două capete, trebuie să fii atent dacă acestea intră sau nu la socoteală. Strict între a și b se află b − a − 1 numere, fiindcă niciunul dintre capete nu se numără.

Dacă enunțul cere și capetele, numărul lor este b − a + 1. Cel mai sigur este să verifici regula pe un exemplu mic, cu numere pe care le poți enumera.

  • strict între a și b: b − a − 1
  • de la a la b, cu capete: b − a + 1
  • Strict între 46 și 52 sunt 47, 48, 49, 50 și 51, adică 5 numere.
  • Diferența b − a numără pașii de la a la b, nu numerele.

Exemplu rezolvat · alte date

Câte numere naturale sunt strict între 31 și 39?

  1. Capetele 31 și 39 nu se includ.
  2. Enumerăm 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38.
  3. Sunt 7 numere, egal cu 39 − 31 − 1.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Care număr se află cel mai la dreapta pe axa numerelor?

    Vezi rezolvarea
    1. Comparăm numerele.
    2. 180 este mai mare decât 118, 108 și 81.
    3. El se află cel mai la dreapta.

    Răspuns: 180

  2. Exercițiul 2

    Completează corect: 4,07 □ 4,7

    Vezi rezolvarea
    1. 4,07 are 7 sutimi.
    2. 4,70 are 70 sutimi.
    3. 7 < 70, deci 4,07 < 4,7.

    Răspuns: <

  3. Exercițiul 3

    Care este distanța pe axă dintre 35 și 82?

    Vezi rezolvarea
    1. 82 este numărul mai mare.
    2. Calculăm 82 − 35 = 47.
    3. Distanța este 47 de unități.

    Răspuns: 47

  4. Exercițiul 4

    Care șir este ordonat crescător?

    Vezi rezolvarea
    1. 0,9 = 0,90, iar 0,90 < 0,99.
    2. Orice număr cu partea întreagă 0 este mai mic decât 1,09.
    3. Șirul corect este 0,9; 0,99; 1,09.

    Răspuns: 0,9; 0,99; 1,09

  5. Exercițiul 5

    Câte numere naturale sunt strict între 46 și 52?

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele sunt 47, 48, 49, 50 și 51.
    2. Nu includem 46 și 52.
    3. Sunt 5 numere.

    Răspuns: 5

  6. Exercițiul 6

    Care număr se află cel mai la stânga pe axa numerelor?

    Vezi rezolvarea
    1. Cel mai mic număr este cel mai la stânga.
    2. 9 < 19 < 90 < 91.
    3. 9 este cel mai la stânga.

    Răspuns: 9

  7. Exercițiul 7

    Care este distanța pe axă dintre 128 și 75?

    Vezi rezolvarea
    1. Numărul mai mare este 128.
    2. 128 − 75 = 53.
    3. Distanța este 53.

    Răspuns: 53

  8. Exercițiul 8

    Completează corect: 3,50 □ 3,5

    Vezi rezolvarea
    1. 3,5 = 3,50.
    2. Cele două numere sunt egale.
    3. 3,50 = 3,5.

    Răspuns: =

  9. Exercițiul 9

    Care număr este cuprins între 2,3 și 2,4?

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm un număr între 2,30 și 2,40.
    2. 2,35 este mai mare decât 2,30 și mai mic decât 2,40.
    3. Răspunsul este 2,35.

    Răspuns: 2,35

  10. Exercițiul 10

    Câte numere naturale sunt strict între 99 și 110?

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele sunt 100, 101, …, 109.
    2. Sunt 109 − 100 + 1 = 10 numere.
    3. Răspunsul este 10.

    Răspuns: 10

  11. Exercițiul 11

    Care este ordinea descrescătoare a numerelor 1,5; 1,05; 1,55; 1,505?

    Vezi rezolvarea
    1. 1,500; 1,050; 1,550; 1,505.
    2. În ordine descrescătoare: 1,550 > 1,505 > 1,500 > 1,050.
    3. 1,55; 1,505; 1,5; 1,05.

    Răspuns: 1,55; 1,505; 1,5; 1,05

  12. Exercițiul 12

    Ce număr se află pe axă exact la mijlocul distanței dintre 18 și 42?

    Vezi rezolvarea
    1. Distanța este 42 − 18 = 24.
    2. Jumătatea distanței este 12.
    3. 18 + 12 = 30.

    Răspuns: 30

Fișă de consolidare din material (15)

  1. 1. Dificultate redusă

    Reprezintă pe axa numerelor: 1, 2, 52, 3,5.

    Vezi răspunsul

    În ordine pe axă: 1, 2, 52 = 2,5 (la jumătatea dintre 2 și 3) și 3,5 (la jumătatea dintre 3 și 4).

  2. 2. Dificultate redusă

    Compară, transformând în număr zecimal: 25 și 0,3.

    Vezi răspunsul

    25 = 0,4 > 0,3

  3. 3. Dificultate redusă

    Compară, transformând în număr zecimal: 72 și 3,4.

    Vezi răspunsul

    72 = 3,5 > 3,4

  4. 4. Dificultate redusă

    Este 34 mai mare sau mai mic decât 0,6? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Mai mare: 34 = 0,75, iar 0,75 > 0,6.

  5. 5. Dificultate redusă

    Ordonează crescător numerele: 1, 0,25, 54.

    Vezi răspunsul

    0,25 < 1 < 54

  6. 6. Dificultate medie

    Compară, aducând la același numitor: 910 și 45.

    Vezi răspunsul

    45 = 810, deci 910 > 45.

  7. 7. Dificultate medie

    Ordonează crescător numerele: 1,8, 74, 2, 95.

    Vezi răspunsul

    74 = 1,75 și 95 = 1,8: 74 < 1,8 = 95 < 2.

  8. 8. Dificultate medie

    Compară numerele 35 și 0,65, apoi scrie și un al treilea număr, de orice tip, cuprins între ele.

    Vezi răspunsul

    35 = 0,6 < 0,65; între ele este, de exemplu, 0,62.

  9. 9. Dificultate medie

    Ordonează descrescător numerele: 52, 2,3, 3, 114.

    Vezi răspunsul

    52 = 2,5 și 114 = 2,75: 3 > 114 > 52 > 2,3.

  10. 10. Dificultate medie

    Transformă în aceeași formă (zecimală) numerele 2, 94 și 1,8, apoi ordonează-le crescător.

    Vezi răspunsul

    2 = 2,00, 94 = 2,25, 1,8: 1,8 < 2 < 94.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Trei cicliști au parcurs următoarele distanțe: primul 94 km, al doilea 2,3 km, al treilea 115 km. Ordonează cicliștii în funcție de distanța parcursă, de la cel mai mic la cel mai mare parcurs.

    Vezi răspunsul

    Al treilea (115 = 2,2 km), primul (94 = 2,25 km), al doilea (2,3 km).

  12. 12. Dificultate ridicată

    Găsește un număr zecimal cu o singură cifră zecimală, cuprins strict între fracțiile 38 și 12.

    Vezi răspunsul

    0,4 (38 = 0,375 și 12 = 0,5)

  13. 13. Dificultate ridicată

    Se dau numerele a = 94, b = 1,7 și c = 115. Calculează a + b − c, transformând mai întâi toate numerele în aceeași formă.

    Vezi răspunsul

    2,25 + 1,7 − 2,2 = 1,75

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un elev afirmă că 25 este mai mare decât 0,5, deoarece numărul 2 este mai mic decât numărul 5, iar diferența e mică. Este corect raționamentul lui? Compară corect cele două numere și explică.

    Vezi răspunsul

    Nu: 25 = 0,4, iar 0,4 < 0,5. Fracția se compară după valoarea ei, nu după cât de mici sunt numerele din ea.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Patru bazine conțin următoarele cantități de apă, exprimate ca fracție din capacitatea lor totală: 35, 0,55, 710 și 1320. Ordonează bazinele descrescător, după cantitatea de apă din ele, raportată la capacitate.

    Vezi răspunsul

    710 (0,7) > 1320 (0,65) > 35 (0,6) > 0,55

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.