Test final mixt 5 · M2 · Științe

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Itemul 140 · Două laturi ale unui triunghi au lungimile 6 și 8, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

   Vezi rezolvarea

   1. Aria este 24.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 24

2. Exercițiul 2

   Itemul 142 · Fie f(x)=(2x−1)⁵. Calculați f′(x).

   Vezi rezolvarea

   1. f′(x)=10(2x−1)⁴.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

3. Exercițiul 3

   Itemul 143 · Pentru dreapta d: 3x + 4y − 2 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

   Vezi rezolvarea

   1. n = (3,4), v = (-4,3).
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

4. Exercițiul 4

   Itemul 144 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 2, q = 3. Calculați b₅.

   Vezi rezolvarea

   1. b₅ = b₁·q⁴ = 162.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 162

5. Exercițiul 5

   Itemul 145 · Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 513. Calculați cos α.

   Vezi rezolvarea

   1. cos α = 1213.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 1213

6. Exercițiul 6

   Itemul 146 · Calculați i¹⁹⁹⁹.

   Vezi rezolvarea

   1. i¹⁹⁹⁹ = −i.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

7. Exercițiul 7

   Itemul 147 · Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = −(x + 2)² + 1.

   Vezi rezolvarea

   1. Funcția crește pe (−∞,-2), descrește pe (-2,+∞), maxim 1.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

8. Exercițiul 8

   Itemul 148 · Într-o progresie geometrică, b₁ = 1, q = 4. Calculați S₇.

   Vezi rezolvarea

   1. S₇ = 5461.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

   Răspuns: 5461

9. Exercițiul 9

   Itemul 150 · Arătați că legea x ∘ y = x + y − 2 este comutativă pe ℝ.

   Vezi rezolvarea

   1. x ∘ y = y ∘ x deoarece adunarea este comutativă.
   2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
   3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

10. Exercițiul 10

    Itemul 151 · Calculați limx→0 e^2x − 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

11. Exercițiul 11

    Itemul 152 · Rezolvați ecuația log₂ x = 3.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 8.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 8

12. Exercițiul 12

    Itemul 153 · În reperul xOy, A(0,2) și B(6,-4). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi rezolvarea

    1. M(3,−1).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

13. Exercițiul 13

    Itemul 154 · Determinați x și y dacă x + y00x − y = 8002.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 5, y = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

14. Exercițiul 14

    Itemul 155 · Într-o progresie aritmetică, a₄ = -7, r = -2. Determinați a₁.

    Vezi rezolvarea

    1. a₁ = a₄ − 3r = -1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -1

15. Exercițiul 15

    Itemul 156 · Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,10}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

16. Exercițiul 16

    Itemul 157 · Arătați că legea x ∘ y = x + y + 3 este asociativă pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. Ambele asocieri sunt x + y + z + 6; legea este asociativă.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

17. Exercițiul 17

    Itemul 158 · Fie f(x)=e^x2. Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x)=2x·e^x2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

18. Exercițiul 18

    Itemul 159 · Se alege la întâmplare x din {−2,−1,0,1,2}. Calculați probabilitatea ca |x| < 2.

    Vezi rezolvarea

    1. P = 35.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 35

19. Exercițiul 19

    Itemul 160 · În progresia geometrică cu b₁ = 1, q = 4, determinați n dacă b_n = 256.

    Vezi rezolvarea

    1. n = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

20. Exercițiul 20

    Itemul 161 · Rezolvați ecuația (1 − 2i)z + (4 + i) = 9 + 6i.

    Vezi rezolvarea

    1. z = -1 + 3i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

21. Exercițiul 21

    Itemul 162 · Fie A = 1-235. Calculați det A.

    Vezi rezolvarea

    1. det A = 11.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 11

22. Exercițiul 22

    Itemul 164 · Pentru dreapta d: −x + 2y + 5 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi rezolvarea

    1. n = (-1,2), v = (-2,-1).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

23. Exercițiul 23

    Itemul 165 · Calculați cos 60°.

    Vezi rezolvarea

    1. cos 60° = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

24. Exercițiul 24

    Itemul 166 · Calculați limx→0 e^x − 1x.

    Vezi rezolvarea

    1. Limita este 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

25. Exercițiul 25

    Itemul 167 · Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5, r = 2. Calculați S₁₅.

    Vezi rezolvarea

    1. S₁₅ = 152[2·5+14·2] = 285.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 285

26. Exercițiul 26

    Itemul 168 · Rezolvați ecuația √x − 2 = 4.

    Vezi rezolvarea

    1. Condiția de existență este îndeplinită; x = 18.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 18

27. Exercițiul 27

    Itemul 169 · Calculați limx→-1 x² − 1x + 1.

    Vezi rezolvarea

    1. După factorizare, limita este -2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -2

28. Exercițiul 28

    Itemul 170 · Fie A = 4012 și B = -1321. Calculați A + B.

    Vezi rezolvarea

    1. A + B = 3333.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

29. Exercițiul 29

    Itemul 172 · Rezolvați ecuația 2(x − 3) = x + 4.

    Vezi rezolvarea

    1. x = 10.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 10

30. Exercițiul 30

    Itemul 173 · Într-un triunghi, două laturi au lungimile 5 și 7, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi rezolvarea

    1. Prin teorema cosinusului, latura este √39.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

31. Exercițiul 31

    Itemul 174 · Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 3. Calculați -1 ∘ 2.

    Vezi rezolvarea

    1. -1 ∘ 2 = 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 4

32. Exercițiul 32

    Itemul 175 · Rezolvați în ℂ ecuația z² = -4.

    Vezi rezolvarea

    1. z ∈ {−2i, 2i}.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

Itemii testului 5 (32)

1. 140. Trigonometrie și geometrie · 3p

   Două laturi ale unui triunghi au lungimile 6 și 8, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

   Vezi răspunsul

   6 · 8 : 2 = 24

2. 142. Derivate · 3p

   Fie f(x)=(2x−1)⁵. Calculați f′(x).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 10(2x − 1)⁴

3. 143. Geometrie analitică și vectori · 4p

   Pentru dreapta d: 3x + 4y − 2 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

   Vezi răspunsul

   Normal: n = (3, 4); director: u = (4, −3).

4. 144. Progresii geometrice · 5p

   Într-o progresie geometrică, b₁ = 2, q = 3. Calculați b₅.

   Vezi răspunsul

   b₅ = 2 · 3⁴ = 162

5. 145. Trigonometrie și geometrie · 5p

   Fie α ∈ (0°,90°), cu sin α = 513. Calculați cos α.

   Vezi răspunsul

   cos α = 1213

6. 146. Numere complexe · 5p

   Calculați i¹⁹⁹⁹.

   Vezi răspunsul

   1999 = 4 · 499 + 3, deci i¹⁹⁹⁹ = i³ = −i.

7. 147. Derivate · 3p

   Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = −(x + 2)² + 1.

   Vezi răspunsul

   f′(x) = −2(x + 2): crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, +∞); maximul este f(−2) = 1.

8. 148. Progresii geometrice · 1p

   Într-o progresie geometrică, b₁ = 1, q = 4. Calculați S₇.

   Vezi răspunsul

   S₇ = 4⁷ − 14 − 1 = 5.461

9. 150. Legi de compoziție · 3p

   Arătați că legea x ∘ y = x + y − 2 este comutativă pe ℝ.

   Vezi răspunsul

   x ∘ y = x + y − 2 = y + x − 2 = y ∘ x

10. 151. Limite · 3p

    Calculați limx→0 e^2x − 1x.

    Vezi răspunsul

    2

11. 152. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația log₂ x = 3.

    Vezi răspunsul

    x = 2³ = 8

12. 153. Geometrie analitică și vectori · 5p

    În reperul xOy, A(0,2) și B(6,-4). Determinați mijlocul segmentului AB.

    Vezi răspunsul

    M(3, −1)

13. 154. Matrice · 3p

    Determinați x și y dacă x + y00x − y = 8002.

    Vezi răspunsul

    x + y = 8 și x − y = 2, deci x = 5, y = 3.

14. 155. Progresii aritmetice · 4p

    Într-o progresie aritmetică, a₄ = -7, r = -2. Determinați a₁.

    Vezi răspunsul

    a₁ = a₄ − 3r = −7 + 6 = −1

15. 156. Probabilități · 5p

    Se alege la întâmplare un număr din {1,2,…,10}. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par.

    Vezi răspunsul

    510 = 12

16. 157. Legi de compoziție · 2p

    Arătați că legea x ∘ y = x + y + 3 este asociativă pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    (x ∘ y) ∘ z = x + y + z + 6 = x ∘ (y ∘ z)

17. 158. Derivate · 3p

    Fie f(x)=e^x2. Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x · e^x2

18. 159. Probabilități · 4p

    Se alege la întâmplare x din {−2,−1,0,1,2}. Calculați probabilitatea ca |x| < 2.

    Vezi răspunsul

    35: x ∈ {−1, 0, 1}.

19. 160. Progresii geometrice · 3p

    În progresia geometrică cu b₁ = 1, q = 4, determinați n dacă b_n = 256.

    Vezi răspunsul

    4ⁿ⁻¹ = 256 = 4⁴, deci n = 5.

20. 161. Numere complexe · 4p

    Rezolvați ecuația (1 − 2i)z + (4 + i) = 9 + 6i.

    Vezi răspunsul

    (1 − 2i)z = 5 + 5i, deci z = (5 + 5i)1 + 2i5 = −1 + 3i.

21. 162. Matrice · 5p

    Fie A = 1-235. Calculați det A.

    Vezi răspunsul

    det A = 5 + 6 = 11

22. 164. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Pentru dreapta d: −x + 2y + 5 = 0, indicați un vector normal și un vector director.

    Vezi răspunsul

    Normal: n = (−1, 2); director: u = (2, 1).

23. 165. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Calculați cos 60°.

    Vezi răspunsul

    12

24. 166. Limite · 3p

    Calculați limx→0 e^x − 1x.

    Vezi răspunsul

    1

25. 167. Progresii aritmetice · 1p

    Într-o progresie aritmetică, a₁ = 5, r = 2. Calculați S₁₅.

    Vezi răspunsul

    S₁₅ = 15 · (2 · 5 + 14 · 2) : 2 = 285

26. 168. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația √x − 2 = 4.

    Vezi răspunsul

    x − 2 = 16, deci x = 18.

27. 169. Limite · 5p

    Calculați limx→-1 x² − 1x + 1.

    Vezi răspunsul

    lim (x − 1) = −2

28. 170. Matrice · 5p

    Fie A = 4012 și B = -1321. Calculați A + B.

    Vezi răspunsul

    A + B = 3333

29. 172. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 2(x − 3) = x + 4.

    Vezi răspunsul

    2x − 6 = x + 4, deci x = 10.

30. 173. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Într-un triunghi, două laturi au lungimile 5 și 7, iar unghiul cuprins este 60°. Calculați a treia latură.

    Vezi răspunsul

    c² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · 12 = 39, deci c = √39.

31. 174. Legi de compoziție · 5p

    Pe ℝ se definește x ∘ y = x + y + 3. Calculați -1 ∘ 2.

    Vezi răspunsul

    −1 + 2 + 3 = 4

32. 175. Numere complexe · 2p

    Rezolvați în ℂ ecuația z² = -4.

    Vezi răspunsul

    z = 2i sau z = −2i