Legi de compoziție, monoid, grup, inel și corp · nivel M4

Lecția M4 construiește temeinic noțiunile de lege de compoziție și structurile monoid, grup, inel și corp, cu exemple pe ℕ, ℤ, ℚ, ℝ și ℤ_n.

Monoidul apare numai în programa profilului Pedagogic; în schimb aici nu se cer morfismele și nici structurile de matrice.

Legea de compoziție și proprietățile ei

O lege de compoziție pe o mulțime M este o regulă care asociază oricăror două elemente din M un al treilea element. O notăm de obicei cu * și o dăm printr-o formulă, de exemplu x*y = x + y − 3. Toate structurile din acest capitol se construiesc verificând pe rând aceleași patru proprietăți.

Parte stabilă: pentru orice x, y ∈ H rezultă x*y ∈ H

Comutativitate: x*y = y*x

Asociativitate: (x*y)*z = x*(y*z)

Element neutru: x*e = e*x = x

Element simetric: x*x′ = x′*x = e

Elementul neutru se află punând condiția x*e = x și reducând x.
Simetricul se află abia după ce cunoști elementul neutru.
Comutativitatea se verifică schimbând între ele rolurile lui x și y în formulă.

Grup, inel, corp

Structurile se construiesc una peste alta, adăugând de fiecare dată câte o cerință. Când ți se cere să identifici o structură, parcurge lista în ordine și oprește-te la prima condiție care nu este îndeplinită.

Grup: asociativitate, element neutru, simetric pentru fiecare element

Grup abelian: grup în care legea este și comutativă

Inel (A, +, ·): (A, +) grup abelian, · asociativă și distributivă față de +

Corp: inel în care orice element nenul are invers față de înmulțire

Exemple: (ℤ, +) grup, (ℤ, +, ·) inel, (ℚ, +, ·) și (ℝ, +, ·) corpuri

ℤ este inel, dar nu corp: lui 2 îi lipsește inversul.
Într-un corp nu există divizori ai lui zero.
Verifică proprietățile în ordine și oprește-te la primul contraexemplu.

Clasele de resturi modulo n

În ℤ_n lucrăm cu resturile împărțirii la n. Clasa k̂ adună la un loc toate numerele care dau restul k. Calculele se fac pe reprezentanți, iar la final se reduce modulo n.

ℤ_n are n clase: 0̂, 1̂, 2̂ și așa mai departe, până la clasa lui n − 1

â + b̂ este clasa sumei a + b, redusă modulo n

â · b̂ este clasa produsului a·b, redusă modulo n

(ℤ_n, +) este grup abelian, cu neutrul 0̂

(ℤ_n, +, ·) este inel comutativ, cu unitatea 1̂

ℤ_n este corp ⇔ n este număr prim

Clasa k̂ este inversabilă exact când k și n sunt prime între ele.
Dacă n nu este prim, apar divizori ai lui zero: în ℤ₄ avem 2̂·2̂ = 0̂.
Inversul se caută prin încercări: sunt cel mult n − 1 variante.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · monoid sau grup

Pe ℕ se consideră adunarea obișnuită. Stabiliți ce structură este (ℕ, +) și justificați.

1.Pasul 1 — parte stabilă: suma a două numere naturale este tot un număr natural, de exemplu 4 + 9 = 13.
2.Pasul 2 — asociativitate: adunarea numerelor este asociativă, deci (a + b) + c = a + (b + c).
3.Pasul 3 — element neutru: căutăm e cu n + e = n. Numărul 0 funcționează și este natural.
4.Pasul 4 — elemente simetrice: pentru 3 am avea nevoie de x cu 3 + x = 0, deci x = −3.
5.Pasul 5 — verificăm dacă −3 aparține mulțimii: nu, pentru că numerele naturale nu sunt negative.
6.Pasul 6 — concluzie: avem asociativitate și element neutru, dar nu și simetrice, deci (ℕ, +) este monoid, nu grup. Dacă am înlocui ℕ cu ℤ, am obține grup.

Algoritmul universal în 6 pași

Scrie legea și verifică dacă rezultatul rămâne în mulțime (parte stabilă).
Încearcă forma canonică: coeficienți egali pentru x și y trădează o înmulțire translatată.
Verifică asociativitatea calculând ambele grupări, sau invocă forma canonică.
Află elementul neutru din condiția x*e = x, reducând x.
Află simetricul din x*x′ = e, folosind valoarea deja găsită pentru e.
Numește structura: oprește-te la prima condiție care nu se verifică și dă contraexemplul.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic · 26 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Calcul pe legeM4 · Pedagogic
Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 * 5 = 2 + 5 − 3 = 4
Ex. 2ComutativitateM4 · Pedagogic
Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: xy + x + y = yx + y + x.
Ex. 3Element neutruM4 · Pedagogic
Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + e − 3 = x, deci e = 3.
Ex. 4Element simetricM4 · Pedagogic
Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 + x′ − 3 = 3, deci x′ = 1.
Ex. 5AsociativitateM4 · Pedagogic
Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 * 2 = 0, apoi 0 * 3 = 0.
Ex. 6Formă canonicăM4 · Pedagogic
Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x * y = (x − 2)(y − 2) + 2 (a = 2).
Ex. 7Neutru din forma canonicăM4 · Pedagogic
Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 2)(e − 2) + 2 = x pentru orice x, deci e − 2 = 1 și e = 3.
Ex. 8Clase de resturiM4 · Pedagogic
În ℤ₄ calculați 2̂ + 3̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2̂ + 3̂ = 5̂ = 1̂
Ex. 9Înmulțire în ℤ₅M4 · Pedagogic
În ℤ₅ calculați 3̂ · 4̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3̂ · 4̂ = 12̂ = 2̂
Ex. 10Ecuație în ℤ₅M4 · Pedagogic
Rezolvați în ℤ₅ ecuația 3̂ · x = 1̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 2̂, pentru că 3̂ · 2̂ = 6̂ = 1̂.
Ex. 11Recunoașterea grupuluiM4 · Pedagogic
Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Grup comutativ (abelian).
Ex. 12Recunoașterea ineluluiM4 · Pedagogic
Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Inel comutativ cu unitate (nu este corp).
Ex. 13Corp sau nuM4 · Pedagogic
Este ℤ₆ corp? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: 2̂ · 3̂ = 0̂, deci are divizori ai lui zero.
Ex. 14Elemente inversabileM4 · Pedagogic
Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ₆?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: 1̂ și 5̂.
Ex. 15MonoidM4 · Pedagogic
Ce structură formează ℕ împreună cu adunarea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Monoid comutativ (neutrul este 0; nu este grup, pentru că numerele nenule nu au opus în ℕ).
Ex. 16Neutrul unui monoidM4 · Pedagogic
Determinați elementul neutru al monoidului (ℕ, ·).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 17Monoid sau grupM4 · Pedagogic
Este (ℕ, ·) grup? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: de exemplu, 2 nu are invers în ℕ.
Ex. 18GrupM4 · Pedagogic
Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Grup comutativ (abelian).
Ex. 19CorpM4 · Pedagogic
Este ℚ corp față de adunare și înmulțire? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 20Contraexemplu de corpM4 · Pedagogic
Este ℤ corp? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: de exemplu, 2 nu are invers în ℤ.
Ex. 21Adunare în ℤ₃M4 · Pedagogic
În ℤ₃ calculați 2̂ + 2̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2̂ + 2̂ = 4̂ = 1̂
Ex. 22Invers în ℤ₅M4 · Pedagogic
În ℤ₅ determinați inversul clasei 2̂ față de înmulțire.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3̂, pentru că 2̂ · 3̂ = 6̂ = 1̂.
Ex. 23Lege de compozițieM4 · Pedagogic
Pe ℝ se definește x*y = x + y − 4. Determinați elementul neutru.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + e − 4 = x, deci e = 4.
Ex. 24SimetricM4 · Pedagogic
Pentru legea x*y = x + y − 4 pe ℝ, determinați simetricul lui 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 + x′ − 4 = 4, deci x′ = 1.
Ex. 25Structura completăM4 · Pedagogic
Ce structură formează ℝ împreună cu adunarea și înmulțirea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Corp comutativ.
Ex. 26Comparație de structuriM4 · Pedagogic
Care este structura cea mai bogată dintre monoid, grup și inel, adică cea care cere cele mai multe proprietăți?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Inelul: cere două legi (grup comutativ la adunare, monoid la înmulțire) și distributivitatea.