Încărcăm partea curentă…

Legi de compoziție, monoid, grup, inel și corp · nivel M4

Legea de compoziție: calculăm cu formula

O lege de compoziție x*y este o regulă care, din două numere, face un al treilea. Ca să calculăm 2*5, înlocuim x = 2 și y = 5 în formula legii.

La mai multe operații respectăm parantezele: (1*2)*3 înseamnă întâi 1*2, apoi rezultatul compus cu 3. Legea este comutativă dacă x*y = y*x pentru orice x și y.

În viața reală

Media a două note, x + y2, este o lege de compoziție: din două note face o a treia. Ea este comutativă, dar nu are element neutru.

De ținut minte

a*b: înlocuim x = a și y = b
comutativă: x*y = y*x

Exemplu cu alte date

Pe ℝ, x*y = 2x + y − 1. Calculează 3*4 și 4*3.

  1. 13*4 = 2 · 3 + 4 − 1 = 9.
  2. 24*3 = 2 · 4 + 3 − 1 = 10.
  3. 33*4 ≠ 4*3, deci legea nu este comutativă.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Legi de compoziție, monoid, grup, inel și corp · nivel M4: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Legea de compoziție: calculăm cu formula

O lege de compoziție x*y este o regulă care, din două numere, face un al treilea. Ca să calculăm 2*5, înlocuim x = 2 și y = 5 în formula legii.

La mai multe operații respectăm parantezele: (1*2)*3 înseamnă întâi 1*2, apoi rezultatul compus cu 3. Legea este comutativă dacă x*y = y*x pentru orice x și y.

  • a*b: înlocuim x = a și y = b
  • comutativă: x*y = y*x

Exemplu cu alte date

Pe ℝ, x*y = 2x + y − 1. Calculează 3*4 și 4*3.

  1. 3*4 = 2 · 3 + 4 − 1 = 9.
  2. 4*3 = 2 · 4 + 3 − 1 = 10.
  3. 3*4 ≠ 4*3, deci legea nu este comutativă.

Elementul neutru și simetricul

Elementul neutru e lasă orice x neschimbat: x*e = x. Scriem condiția cu formula legii și aflăm e.

Simetricul lui x este x′ pentru care x*x′ = e: compus cu x, dă chiar elementul neutru, nu 0.

  • x*e = x
  • x*x′ = e

Exemplu cu alte date

Pentru x*y = x + y + 4, află elementul neutru și simetricul lui 1.

  1. x + e + 4 = x, deci e = −4.
  2. Simetricul verifică 1 + x′ + 4 = −4.
  3. x′ = −9. Verificare: 1*(−9) = 1 − 9 + 4 = −4.

Neutru și simetric: exersăm pe o lege nouă

Pașii rămân aceiași: condiția x*e = x dă elementul neutru, apoi condiția x*x′ = e dă simetricul.

Verificăm la final: x compus cu simetricul lui trebuie să dea exact elementul neutru.

  • x*e = x
  • x*x′ = e

Exemplu cu alte date

Pentru x*y = x + y − 6, află elementul neutru și simetricul lui 10.

  1. x + e − 6 = x, deci e = 6.
  2. 10 + x′ − 6 = 6.
  3. x′ = 2. Verificare: 10*2 = 10 + 2 − 6 = 6.

Forma canonică (x − a)(y − a) + a

Multe legi de la Bac se pot scrie x*y = (x − a)(y − a) + a sau (x + a)(y + a) − a. Desfacem parantezele și comparăm cu legea dată.

În forma (x − a)(y − a) + a, elementul neutru este a + 1, iar calculele devin mult mai scurte. Intervalul (a, ∞) este parte stabilă: produsul a două numere pozitive este pozitiv.

  • (x − a)(y − a) + a = xy − ax − ay + a2 + a
  • elementul neutru: e = a + 1

Exemplu cu alte date

Scrie x*y = xy − 3x − 3y + 12 în forma (x − a)(y − a) + a.

  1. (x − 3)(y − 3) = xy − 3x − 3y + 9.
  2. 9 + 3 = 12, deci a = 3.
  3. x*y = (x − 3)(y − 3) + 3, cu elementul neutru e = 4.

Grup, inel, corp

Un grup cere o lege asociativă, un element neutru și simetric pentru fiecare element. Dacă legea este și comutativă, grupul este abelian.

Un inel are două operații: grup abelian la adunare, înmulțire asociativă și distributivitate. Un corp este un inel în care orice element nenul are invers la înmulțire.

  • grup: asociativ + neutru + simetric
  • corp: inel + invers pentru orice element nenul

Exemplu cu alte date

Este (ℚ*, ·) grup?

  1. Înmulțirea este asociativă, iar neutrul este 1.
  2. Orice fracție nenulă pq are inversul qp, tot în ℚ*.
  3. Da, (ℚ*, ·) este grup abelian.

Monoid: neutru fără simetrice

Un monoid are o lege asociativă și un element neutru, dar nu toate elementele au simetric.

(ℕ, +) are neutrul 0, dar 3 nu are simetric natural, pentru că −3 nu este număr natural. La (ℕ, ·) neutrul este 1.

  • monoid: asociativ + neutru
  • grup: monoid + simetric pentru fiecare element

Exemplu cu alte date

Ce structură este (ℕ, ·)?

  1. Produsul a două numere naturale este natural, iar înmulțirea este asociativă.
  2. Neutrul este 1, pentru că n · 1 = n.
  3. 2 nu are invers natural, 12 ∉ ℕ, deci (ℕ, ·) este monoid, nu grup.

Grup sau nu? Inel sau corp?

Ca să spunem că o structură nu este grup, ajunge un singur element fără simetric. Ca să spunem că nu este corp, ajunge un element nenul fără invers.

ℤ este inel, dar nu corp, pentru că 2 nu are invers întreg. ℚ și ℝ sunt corpuri.

  • un contraexemplu ajunge pentru „nu”

Exemplu cu alte date

Este (ℤ, ·) grup?

  1. Înmulțirea este asociativă, iar neutrul este 1.
  2. 2 ar avea inversul 12, care nu este întreg.
  3. Nu, (ℤ, ·) nu este grup.

Clasele de resturi ℤn

În ℤn lucrăm doar cu resturile împărțirii la n. Adunăm sau înmulțim reprezentanții, apoi păstrăm restul împărțirii la n.

ℤn are n elemente: 0̂, 1̂, …, până la clasa lui n − 1.

  • â + b̂ = clasa restului lui a + b
  • â · b̂ = clasa restului lui a · b

Exemplu cu alte date

În ℤ6 calculează 4̂ + 5̂ și 4̂ · 5̂.

  1. 4 + 5 = 9 = 6 + 3, deci 3̂.
  2. 4 · 5 = 20 = 18 + 2, deci 2̂.
  3. Rezultatele sunt 3̂ și 2̂.

Inversul unei clase în ℤn

Căutăm x̂ cu â · x̂ = 1̂: încercăm pe rând clasele 1̂, 2̂, … până când produsul dă restul 1.

Dacă a și n au un divizor comun mai mare decât 1, inversul nu există. De aceea ℤn este corp exact când n este prim.

  • â · x̂ = 1̂
  • ℤn corp ⇔ n prim

Exemplu cu alte date

În ℤ7 află inversul lui 4̂.

  1. 4 · 1 = 4, iar 4 · 2 = 8 = 7 + 1.
  2. Restul este 1 la a doua încercare.
  3. Inversul lui 4̂ este 2̂.

Soluții întregi: de la produs la perechi de divizori

Dacă două numere întregi au produsul 6, fiecare este un divizor al lui 6. Verificăm și factorii negativi. Ordinea contează: (1, 6) și (6, 1) sunt perechi diferite.

După ce aflăm factorii, revenim la necunoscutele inițiale. Dacă se cer numere naturale, păstrăm numai valori întregi cel puțin egale cu 0. O expresie de forma 2m + 1 trebuie să fie impară.

Metoda listei finite de divizori se aplică unui produs egal cu un număr nenul. Pentru produsul 0, unul dintre factori este 0; pot exista infinit de multe soluții.

  • uv = k ≠ 0 ⇒ u divide k, v = ku

Exemplu complet, diferit de exerciții

Găsește m, n naturale dacă (m − 4)(n − 4) = 2.

  1. Perechile de factori sunt (1,2), (2,1), (−1,−2), (−2,−1).
  2. Adăugăm 4 fiecărui factor: (m,n) = (5,6), (6,5), (3,2), (2,3).
  3. Toate valorile sunt naturale. Verificăm, de exemplu, (3−4)(2−4)=2. Lista este completă fiindcă am folosit toți divizorii lui 2.

Factor cu coeficient: 2m + 1 divide 6

Dacă un factor are forma 2m + 1, el este mereu impar, deci poate lua doar divizorii impari ai numărului din dreapta, pozitivi sau negativi.

Pentru fiecare valoare a factorului aflăm m și celălalt factor, apoi păstrăm doar perechile cerute: întregi sau naturale.

  • 2m + 1 = divizor impar
  • celălalt factor = produsul : (2m + 1)

Exemplu cu alte date

Câte perechi întregi (m, n) verifică (2m + 1)(n − 1) = 3?

  1. 2m + 1 poate fi −3, −1, 1 sau 3.
  2. Obținem (−2, 0), (−1, −2), (0, 4) și (1, 2).
  3. Sunt 4 perechi.

Un pătrat întreg într-un produs egal cu −1

Un pătrat de număr întreg este întotdeauna nenegativ. Dacă înmulțit cu un alt întreg dă −1, pătratul nu poate fi 0 și trebuie să fie un divizor pozitiv al lui 1. Singura valoare posibilă este 1; celălalt factor este −1.

Ecuația t2=1 are două soluții, t=1 și t=−1. Revenim la necunoscutele inițiale și numărăm perechile ordonate distincte. Aici folosim convenția ℕ={0,1,2,…}: păstrăm 0, dar eliminăm valorile negative.

  • t2≥0 și t2·k=−1 ⇒ t2=1, k=−1
  • t2=1 ⇒ t=±1

Exemplu diferit, rezolvat complet

Câte perechi naturale (u,v) satisfac (u+1)2(v−3)=−1?

  1. Pătratul (u+1)2 este întreg, pozitiv și divide 1. Prin urmare (u+1)2=1 și v−3=−1.
  2. Din u+1=±1 rezultă u=0 sau u=−2; din v−3=−1 obținem v=2.
  3. Păstrăm numai valori naturale: u=−2 nu este permis. Perechea (0,2) verifică produsul −1, deci avem o singură pereche.

Exerciții rezolvate din lecție (42)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.

    Vezi rezolvarea
    1. O lege de compoziție este o regulă care asociază oricăror două numere un al treilea număr.
    2. Înlocuim x = 2 și y = 5 în formula legii: 2*5 = 2 + 5 − 3.
    3. Obținem 7 − 3.
    4. Răspuns final: 2*5 = 4.

    Răspuns: 4

  2. Exercițiul 2

    Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. O lege este comutativă dacă x*y = y*x pentru orice x și y.
    2. Calculăm y*x schimbând între ele rolurile: y*x = yx + y + x.
    3. Cum înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative, xy + x + y = yx + y + x.
    4. Cele două expresii coincid, deci răspunsul este da.

    Răspuns: da

  3. Exercițiul 3

    Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru e este numărul care lasă orice x neschimbat: x*e = x.
    2. Scriem condiția cu formula legii: x + e − 3 = x.
    3. Reducem x din ambii membri: e − 3 = 0.
    4. Răspuns final: e = 3. Verificare: 7*3 = 7 + 3 − 3 = 7.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Simetricul lui 5 este numărul x′ pentru care 5*x′ = e, unde e = 3 este elementul neutru.
    2. Scriem condiția: 5 + x′ − 3 = 3.
    3. Rezultă x′ + 2 = 3, deci x′ = 1.
    4. Verificare: 5*1 = 5 + 1 − 3 = 3 = e. Răspuns final: x′ = 1.

    Răspuns: 1

  5. Exercițiul 5

    Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.

    Vezi rezolvarea
    1. Respectăm ordinea parantezelor: mai întâi 1*2.
    2. 1*2 = 1 + 2 − 3 = 0.
    3. Apoi 0*3 = 0 + 3 − 3 = 0.
    4. Răspuns final: (1*2)*3 = 0. Legea fiind asociativă, și 1*(2*3) dă tot 0.

    Răspuns: 0

  6. Exercițiul 6

    Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm forma (x − a)(y − a) + a, care simplifică toate calculele ulterioare.
    2. Desfacem (x − 2)(y − 2) + 2 = xy − 2x − 2y + 4 + 2.
    3. Obținem xy − 2x − 2y + 6, adică exact legea dată.
    4. Răspuns final: x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.

    Răspuns: (x−2)(y−2)+2

  7. Exercițiul 7

    Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem condiția x*e = x: (x − 2)(e − 2) + 2 = x.
    2. Trecem 2 în membrul drept: (x − 2)(e − 2) = x − 2.
    3. Pentru ca egalitatea să fie adevărată la orice x, trebuie ca e − 2 = 1.
    4. Răspuns final: e = 3. La forma (x − a)(y − a) + a elementul neutru este mereu a + 1.

    Răspuns: 3

  8. Exercițiul 8

    În ℤ4 calculați 2̂ + 3̂.

    Vezi rezolvarea
    1. În ℤ4 lucrăm cu resturile împărțirii la 4, deci clasele sunt 0̂, 1̂, 2̂ și 3̂.
    2. Adunăm reprezentanții: 2 + 3 = 5.
    3. Împărțim 5 la 4 și păstrăm restul: 5 = 4·1 + 1.
    4. Răspuns final: 2̂ + 3̂ = 1̂.

    Răspuns: 1̂

  9. Exercițiul 9

    În ℤ5 calculați 3̂ · 4̂.

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțim reprezentanții: 3 · 4 = 12.
    2. Reducem modulo 5: 12 = 5·2 + 2.
    3. Restul este 2.
    4. Răspuns final: 3̂ · 4̂ = 2̂.

    Răspuns: 2̂

  10. Exercițiul 10

    Rezolvați în ℤ5 ecuația 3̂ · x = 1̂.

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm clasa care înmulțită cu 3̂ dă 1̂, adică inversul lui 3̂.
    2. Încercăm pe rând: 3·1 = 3, 3·2 = 6 = 1 modulo 5.
    3. Am găsit soluția la a doua încercare.
    4. Răspuns final: x = 2̂, adică inversul lui 3̂ în ℤ5 este 2̂.

    Răspuns: 2̂

  11. Exercițiul 11

    Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm cele trei condiții de grup pentru înmulțirea numerelor reale nenule.
    2. Înmulțirea este asociativă, iar elementul neutru este 1.
    3. Orice număr real nenul x are inversul 1x, care este tot în ℝ*.
    4. Răspuns final: (ℝ*, ·) este grup, chiar abelian, pentru că înmulțirea este și comutativă.

    Răspuns: grup

  12. Exercițiul 12

    Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?

    Vezi rezolvarea
    1. Un inel cere: grup abelian față de prima operație, asociativitate pentru a doua și distributivitate.
    2. (ℤ, +) este grup abelian, cu neutrul 0 și simetricul lui x egal cu −x.
    3. Înmulțirea este asociativă, comutativă, are unitatea 1 și este distributivă față de adunare.
    4. Răspuns final: inel comutativ cu unitate. Nu este corp, pentru că 2 nu are invers în ℤ.

    Răspuns: inel

  13. Exercițiul 13

    Este ℤ6 corp? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. ℤn este corp exact atunci când n este număr prim.
    2. 6 nu este prim, pentru că 6 = 2 · 3.
    3. Concret, clasa 2̂ nu are invers: 2̂·0̂ = 0̂, 2̂·1̂ = 2̂, 2̂·2̂ = 4̂, 2̂·3̂ = 0̂, 2̂·4̂ = 2̂, 2̂·5̂ = 4̂ și niciunul nu este 1̂.
    4. Răspuns final: nu. În schimb ℤ5 și ℤ7 sunt corpuri.

    Răspuns: nu

  14. Exercițiul 14

    Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ6?

    Vezi rezolvarea
    1. O clasă k̂ este inversabilă în ℤn exact când k și n sunt prime între ele.
    2. Verificăm care dintre 1, 2, 3, 4, 5 este prim cu 6: doar 1 și 5.
    3. Deci elementele inversabile sunt 1̂ și 5̂, iar 5̂·5̂ = 25̂ = 1̂.
    4. Răspuns final: 2 elemente inversabile.

    Răspuns: 2

  15. Exercițiul 15

    Exercițiul 15 ghidat · Vrem să stabilim ce structură este (ℕ, +). Pasul 1: adunarea a două numere naturale dă tot un număr natural?

    Vezi rezolvarea
    1. Prima verificare la orice structură este dacă rezultatul rămâne în mulțime.
    2. Adunând două numere naturale obținem tot un număr natural: 3 + 5 = 8.
    3. Nu putem obține un rezultat negativ adunând numere pozitive sau nule.
    4. Deci ℕ este parte stabilă față de adunare.

    Răspuns: Da, suma a două numere naturale este tot naturală

  16. Exercițiul 16

    Pasul 2: care este elementul neutru al adunării în ℕ?

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru e verifică n + e = n pentru orice n.
    2. Numărul 1 nu este bun: n + 1 este mai mare decât n.
    3. Numărul 0 funcționează: n + 0 = n.
    4. Deci elementul neutru este 0, iar el aparține lui ℕ.

    Răspuns: 0, pentru că n + 0 = n

  17. Exercițiul 17

    Pasul 3: numărul 3 are simetric în ℕ față de adunare?

    Vezi rezolvarea
    1. Simetricul lui 3 este numărul x cu 3 + x = 0.
    2. Rezultă x = −3.
    3. Numărul −3 este întreg, dar nu este natural, deci nu aparține mulțimii pe care lucrăm.
    4. Prin urmare 3 nu are simetric în ℕ.

    Răspuns: Nu, ar trebui să fie −3, care nu este natural

  18. Exercițiul 18

    Pasul 4: ce structură este (ℕ, +)?

    Vezi rezolvarea
    1. Avem parte stabilă, asociativitate și element neutru, dar nu avem simetrice.
    2. Exact aceste trei condiții definesc monoidul.
    3. Lipsa simetricelor este singurul lucru care ne oprește să spunem grup.
    4. Răspuns final: (ℕ, +) este monoid. Prin comparație, (ℤ, +) este grup.

    Răspuns: monoid

  19. Exercițiul 19

    Determinați elementul neutru al monoidului (ℕ, ·).

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm numărul e cu proprietatea n · e = n pentru orice n natural.
    2. Numărul 0 nu este bun: n · 0 = 0, nu n.
    3. Numărul 1 funcționează: n · 1 = n.
    4. Răspuns final: e = 1.

    Răspuns: 1

  20. Exercițiul 20

    Este (ℕ, ·) grup? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru grup avem nevoie ca fiecare element să aibă simetric în mulțime.
    2. Simetricul lui 2 față de înmulțire ar fi 12.
    3. Dar 12 nu este număr natural, deci condiția nu este îndeplinită.
    4. Răspuns final: nu, este doar monoid.

    Răspuns: nu

  21. Exercițiul 21

    Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea?

    Vezi rezolvarea
    1. Adunarea numerelor întregi este asociativă și comutativă.
    2. Elementul neutru este 0.
    3. Simetricul lui k este −k, care este tot număr întreg. Aceasta este diferența față de ℕ.
    4. Răspuns final: grup abelian.

    Răspuns: grup

  22. Exercițiul 22

    Este ℚ corp față de adunare și înmulțire? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. (ℚ, +) este grup abelian, cu neutrul 0.
    2. Înmulțirea este asociativă, comutativă, distributivă și are unitatea 1.
    3. Orice fracție nenulă ab are inversul ba, tot număr rațional.
    4. Răspuns final: da, ℚ este corp.

    Răspuns: da

  23. Exercițiul 23

    Este ℤ corp? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. ℤ îndeplinește toate condițiile de inel comutativ cu unitate.
    2. Pentru corp ar trebui ca orice element nenul să aibă invers față de înmulțire.
    3. Inversul lui 2 ar fi 12, care nu este număr întreg.
    4. Răspuns final: nu, ℤ este inel, dar nu corp.

    Răspuns: nu

  24. Exercițiul 24

    În ℤ3 calculați 2̂ + 2̂.

    Vezi rezolvarea
    1. Adunăm reprezentanții: 2 + 2 = 4.
    2. Împărțim la 3: 4 = 3·1 + 1.
    3. Restul este 1.
    4. Răspuns final: 2̂ + 2̂ = 1̂.

    Răspuns: 1̂

  25. Exercițiul 25

    Exercițiul 22 semi-ghidat · În ℤ5 vrem inversul lui 2̂. Ce condiție trebuie să verifice clasa căutată?

    Vezi rezolvarea
    1. Inversul față de înmulțire dă elementul neutru al înmulțirii, care este 1̂.
    2. Condiția este deci 2̂ · x̂ = 1̂.
    3. Atenție: 2̂ + x̂ = 0̂ ar da opusul, adică simetricul față de adunare.
    4. Pentru ℤ5 verificăm pe rând cele patru clase nenule.

    Răspuns: 2̂ · x̂ = 1̂

  26. Exercițiul 26

    Acum determinați inversul lui 2̂ în ℤ5.

    Vezi rezolvarea
    1. Încercăm clasele pe rând: 2·1 = 2, 2·2 = 4, 2·3 = 6.
    2. Reducem 6 modulo 5: 6 = 5 + 1, deci 6̂ = 1̂.
    3. Am obținut exact condiția cerută.
    4. Răspuns final: inversul lui 2̂ este 3̂.

    Răspuns: 3̂

  27. Exercițiul 27

    Exercițiul 23 semi-ghidat · Pentru legea x*y = x + y − 4, scrieți condiția pe care o verifică elementul neutru e.

    Vezi rezolvarea
    1. Prin definiție, elementul neutru verifică x*e = x pentru orice x.
    2. Înlocuim legea în membrul stâng: x*e = x + e − 4.
    3. Condiția devine x + e − 4 = x.
    4. De aici se află e printr-o reducere simplă.

    Răspuns: x + e − 4 = x

  28. Exercițiul 28

    Acum determinați elementul neutru.

    Vezi rezolvarea
    1. Din x + e − 4 = x reducem x din ambii membri.
    2. Rămâne e − 4 = 0.
    3. Verificare: 9*4 = 9 + 4 − 4 = 9, deci 4 chiar lasă numerele neschimbate.
    4. Răspuns final: e = 4.

    Răspuns: 4

  29. Exercițiul 29

    Pentru legea x*y = x + y − 4 pe ℝ, determinați simetricul lui 7.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru este e = 4, calculat la exercițiul anterior.
    2. Simetricul lui 7 verifică 7*x′ = 4, adică 7 + x′ − 4 = 4.
    3. Rezultă x′ + 3 = 4, deci x′ = 1.
    4. Verificare: 7*1 = 7 + 1 − 4 = 4 = e. Răspuns final: x′ = 1.

    Răspuns: 1

  30. Exercițiul 30

    Ce structură formează ℝ împreună cu adunarea și înmulțirea?

    Vezi rezolvarea
    1. (ℝ, +) este grup abelian, cu neutrul 0.
    2. Înmulțirea este asociativă, comutativă și distributivă, cu unitatea 1.
    3. Orice număr real nenul x are inversul 1x, tot număr real.
    4. Răspuns final: corp comutativ.

    Răspuns: corp

  31. Exercițiul 31

    Care este structura cea mai bogată dintre monoid, grup și inel, adică cea care cere cele mai multe proprietăți?

    Vezi rezolvarea
    1. Monoidul cere doar asociativitate și element neutru, pentru o singură operație.
    2. Grupul adaugă condiția ca fiecare element să aibă simetric, tot pentru o operație.
    3. Inelul lucrează cu două operații: grup abelian față de prima și asociativitate plus distributivitate pentru a doua.
    4. Răspuns final: inelul. Ordinea crescătoare a cerințelor este monoid, grup, inel, corp.

    Răspuns: inel

  32. Exercițiul 32

    Câte perechi ordonate de întregi pozitivi (u,v) au uv = 6?

    Vezi rezolvarea
    1. Divizorii pozitivi sunt 1,2,3,6.
    2. Perechile sunt (1,6),(2,3),(3,2),(6,1): 4.

    Răspuns: 4

  33. Exercițiul 33

    Câte perechi ordonate de întregi (u,v) au uv = 6, incluzând numerele negative?

    Vezi rezolvarea
    1. Există 4 perechi pozitive.
    2. Adăugăm (−1,−6),(−2,−3),(−3,−2),(−6,−1): în total 8.

    Răspuns: 8

  34. Exercițiul 34

    În (m−3)(n−3)=2, factorii sunt m−3=−1 și n−3=−2. Cât este n?

    Vezi rezolvarea
    1. n−3=−2.
    2. Adunăm 3: n=1; m=2, ambele naturale.

    Răspuns: 1

  35. Exercițiul 35

    Câte perechi naturale (m,n) satisfac (m−3)(n−3)=2?

    Vezi rezolvarea
    1. Factorii sunt (1,2),(2,1),(−1,−2),(−2,−1).
    2. Perechile sunt (4,5),(5,4),(2,1),(1,2). Toate sunt naturale.

    Răspuns: 4

  36. Exercițiul 36

    Câte perechi naturale (x,y) satisfac xy−4x−4y+20=7?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem (x−4)(y−4)+4=7, deci produsul este 3.
    2. Factorii: (1,3),(3,1),(−1,−3),(−3,−1).
    3. Soluții: (5,7),(7,5),(3,1),(1,3). Sunt 4.

    Răspuns: 4

  37. Exercițiul 37

    Câte valori întregi poate lua factorul 2m+1 în (2m+1)(n−2)=6?

    Vezi rezolvarea
    1. Factorul trebuie să fie un divizor impar al lui 6.
    2. Divizorii impari sunt −3,−1,1,3: 4 valori.

    Răspuns: 4

  38. Exercițiul 38

    În (2m+1)(n−2)=6, dacă 2m+1=−3, cât este n?

    Vezi rezolvarea
    1. n−2=6−3=−2.
    2. n=0; m=−2, deci perechea este întreagă.

    Răspuns: 0

  39. Exercițiul 39

    Câte perechi întregi satisfac (2m+1)(n−2)=6?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru factorul 1 obținem (0,8); pentru 3: (1,4).
    2. Pentru −1: (−1,−4); pentru −3: (−2,0). Sunt 4.

    Răspuns: 4

  40. Exercițiul 40

    Câte perechi naturale satisfac (2m+1)(n−2)=6?

    Vezi rezolvarea
    1. Dintre (0,8),(1,4),(−1,−4),(−2,0), eliminăm valorile negative.
    2. Rămân (0,8) și (1,4): 2 perechi.

    Răspuns: 2

  41. Exercițiul 41

    Câte perechi naturale (m,n) satisfac (m−2)2(n−2)=−1?

    Vezi rezolvarea
    1. Pătratul întreg trebuie să fie 1, iar n−2=−1.
    2. m−2=±1, deci m=1 sau 3; n=1.
    3. Soluțiile sunt (1,1),(3,1): 2.

    Răspuns: 2

  42. Exercițiul 42

    Pe ℝ definim x*y=x+y+2. Află elementul neutru și simetricul lui 5.

    Vezi rezolvarea
    1. x+e+2=x, pentru orice x. Elementul neutru trebuie să lase orice element neschimbat. Legea este comutativă, deci verificarea este aceeași în ambele ordine.
    2. e=−2. Scădem x: e+2=0, deci e=−2.
    3. 5+y+2=−2, deci y=−9. Compunerea cu simetricul trebuie să dea elementul neutru al legii, aici −2, nu neapărat 0.

    Răspuns: 5+y+2=−2, deci y=−9

Fișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic (26)

  1. 1. Calcul pe lege

    Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.

    Vezi răspunsul

    2 * 5 = 2 + 5 − 3 = 4

  2. 2. Comutativitate

    Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: xy + x + y = yx + y + x.

  3. 3. Element neutru

    Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x + e − 3 = x, deci e = 3.

  4. 4. Element simetric

    Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.

    Vezi răspunsul

    5 + x′ − 3 = 3, deci x′ = 1.

  5. 5. Asociativitate

    Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.

    Vezi răspunsul

    1 * 2 = 0, apoi 0 * 3 = 0.

  6. 6. Formă canonică

    Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.

    Vezi răspunsul

    x * y = (x − 2)(y − 2) + 2 (a = 2).

  7. 7. Neutru din forma canonică

    Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.

    Vezi răspunsul

    (x − 2)(e − 2) + 2 = x pentru orice x, deci e − 2 = 1 și e = 3.

  8. 8. Clase de resturi

    În ℤ4 calculați 2̂ + 3̂.

    Vezi răspunsul

    2̂ + 3̂ = 5̂ = 1̂

  9. 9. Înmulțire în ℤ₅

    În ℤ5 calculați 3̂ · 4̂.

    Vezi răspunsul

    3̂ · 4̂ = 12̂ = 2̂

  10. 10. Ecuație în ℤ₅

    Rezolvați în ℤ5 ecuația 3̂ · x = 1̂.

    Vezi răspunsul

    x = 2̂, pentru că 3̂ · 2̂ = 6̂ = 1̂.

  11. 11. Recunoașterea grupului

    Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?

    Vezi răspunsul

    Grup comutativ (abelian).

  12. 12. Recunoașterea inelului

    Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?

    Vezi răspunsul

    Inel comutativ cu unitate (nu este corp).

  13. 13. Corp sau nu

    Este ℤ6 corp? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: 2̂ · 3̂ = 0̂, deci are divizori ai lui zero.

  14. 14. Elemente inversabile

    Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ6?

    Vezi răspunsul

    2: 1̂ și 5̂.

  15. 15. Monoid

    Ce structură formează ℕ împreună cu adunarea?

    Vezi răspunsul

    Monoid comutativ (neutrul este 0; nu este grup, pentru că numerele nenule nu au opus în ℕ).

  16. 16. Neutrul unui monoid

    Determinați elementul neutru al monoidului (ℕ, ·).

    Vezi răspunsul

    1

  17. 17. Monoid sau grup

    Este (ℕ, ·) grup? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: de exemplu, 2 nu are invers în ℕ.

  18. 18. Grup

    Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea?

    Vezi răspunsul

    Grup comutativ (abelian).

  19. 19. Corp

    Este ℚ corp față de adunare și înmulțire? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  20. 20. Contraexemplu de corp

    Este ℤ corp? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: de exemplu, 2 nu are invers în ℤ.

  21. 21. Adunare în ℤ₃

    În ℤ3 calculați 2̂ + 2̂.

    Vezi răspunsul

    2̂ + 2̂ = 4̂ = 1̂

  22. 22. Invers în ℤ₅

    În ℤ5 determinați inversul clasei 2̂ față de înmulțire.

    Vezi răspunsul

    3̂, pentru că 2̂ · 3̂ = 6̂ = 1̂.

  23. 23. Lege de compoziție

    Pe ℝ se definește x*y = x + y − 4. Determinați elementul neutru.

    Vezi răspunsul

    x + e − 4 = x, deci e = 4.

  24. 24. Simetric

    Pentru legea x*y = x + y − 4 pe ℝ, determinați simetricul lui 7.

    Vezi răspunsul

    7 + x′ − 4 = 4, deci x′ = 1.

  25. 25. Structura completă

    Ce structură formează ℝ împreună cu adunarea și înmulțirea?

    Vezi răspunsul

    Corp comutativ.

  26. 26. Comparație de structuri

    Care este structura cea mai bogată dintre monoid, grup și inel, adică cea care cere cele mai multe proprietăți?

    Vezi răspunsul

    Inelul: cere două legi (grup comutativ la adunare, monoid la înmulțire) și distributivitatea.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.