Legi de compoziție, grupuri și clase de resturi · nivel M3

Lecția M3 exersează legile de compoziție, structurile grup, inel și corp, calculul în ℤ_n și morfismele de grupuri.

Programa M3 nu cere grupuri sau inele de matrice, deci fișa lucrează cu legi pe ℝ și cu clasele de resturi.

Legea de compoziție și proprietățile ei

O lege de compoziție pe o mulțime M este o regulă care asociază oricăror două elemente din M un al treilea element. O notăm de obicei cu * și o dăm printr-o formulă, de exemplu x*y = x + y − 3. Toate structurile din acest capitol se construiesc verificând pe rând aceleași patru proprietăți.

Parte stabilă: pentru orice x, y ∈ H rezultă x*y ∈ H

Comutativitate: x*y = y*x

Asociativitate: (x*y)*z = x*(y*z)

Element neutru: x*e = e*x = x

Element simetric: x*x′ = x′*x = e

Elementul neutru se află punând condiția x*e = x și reducând x.
Simetricul se află abia după ce cunoști elementul neutru.
Comutativitatea se verifică schimbând între ele rolurile lui x și y în formulă.

Grup, inel, corp

Structurile se construiesc una peste alta, adăugând de fiecare dată câte o cerință. Când ți se cere să identifici o structură, parcurge lista în ordine și oprește-te la prima condiție care nu este îndeplinită.

Grup: asociativitate, element neutru, simetric pentru fiecare element

Grup abelian: grup în care legea este și comutativă

Inel (A, +, ·): (A, +) grup abelian, · asociativă și distributivă față de +

Corp: inel în care orice element nenul are invers față de înmulțire

Exemple: (ℤ, +) grup, (ℤ, +, ·) inel, (ℚ, +, ·) și (ℝ, +, ·) corpuri

ℤ este inel, dar nu corp: lui 2 îi lipsește inversul.
Într-un corp nu există divizori ai lui zero.
Verifică proprietățile în ordine și oprește-te la primul contraexemplu.

Clasele de resturi modulo n

În ℤ_n lucrăm cu resturile împărțirii la n. Clasa k̂ adună la un loc toate numerele care dau restul k. Calculele se fac pe reprezentanți, iar la final se reduce modulo n.

ℤ_n are n clase: 0̂, 1̂, 2̂ și așa mai departe, până la clasa lui n − 1

â + b̂ este clasa sumei a + b, redusă modulo n

â · b̂ este clasa produsului a·b, redusă modulo n

(ℤ_n, +) este grup abelian, cu neutrul 0̂

(ℤ_n, +, ·) este inel comutativ, cu unitatea 1̂

ℤ_n este corp ⇔ n este număr prim

Clasa k̂ este inversabilă exact când k și n sunt prime între ele.
Dacă n nu este prim, apar divizori ai lui zero: în ℤ₄ avem 2̂·2̂ = 0̂.
Inversul se caută prin încercări: sunt cel mult n − 1 variante.

Morfisme și izomorfisme de grupuri

Un morfism este o funcție care transportă legea primului grup în legea celui de-al doilea. Atenție la legile diferite: dacă pleci dintr-un grup aditiv și ajungi într-unul multiplicativ, suma se transformă în produs.

Morfism: f(x*y) = f(x)∘f(y), unde * și ∘ sunt legile celor două grupuri

Izomorfism: morfism bijectiv

Orice morfism duce neutrul în neutru: f(e) = e′

Orice morfism duce simetricul în simetric: f(x′) = f(x)′

Exemplu clasic: f: (ℝ, +) → ((0, ∞), ·), f(x) = a^x

Scrie explicit ambele legi înainte de a verifica condiția de morfism.
Pentru izomorfism mai adaugi doar demonstrația bijectivității.
f(x) = x + 1 nu este morfism aditiv: apare o unitate în plus.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · grup și morfism

Pe ℝ se definește x*y = x + y + 5. Arătați că (ℝ, *) este grup și că f: ℝ → ℝ, f(x) = x + 5, este izomorfism de la (ℝ, *) la (ℝ, +).

1.Pasul 1 — parte stabilă: suma a trei numere reale este număr real, deci x*y ∈ ℝ.
2.Pasul 2 — asociativitate: (x*y)*z = x + y + 5 + z + 5 = x + y + z + 10, iar x*(y*z) dă același rezultat.
3.Pasul 3 — element neutru: din x + e + 5 = x rezultă e = −5.
4.Pasul 4 — simetric: din x + x′ + 5 = −5 rezultă x′ = −x − 10, număr real pentru orice x. Deci (ℝ, *) este grup.
5.Pasul 5 — morfism: f(x*y) = f(x + y + 5) = x + y + 5 + 5 = x + y + 10, iar f(x) + f(y) = (x + 5) + (y + 5) = x + y + 10. Cele două coincid.
6.Pasul 6 — bijectivitate: f este funcție de gradul întâi cu panta 1, deci strict crescătoare și surjectivă pe ℝ; inversa ei este f⁻¹(t) = t − 5.
7.Pasul 7 — concluzie: f este morfism bijectiv, deci izomorfism. Verificare pe neutru: f(−5) = 0, exact neutrul adunării, cum era de așteptat.

Algoritmul universal în 6 pași

Scrie legea și verifică dacă rezultatul rămâne în mulțime (parte stabilă).
Încearcă forma canonică: coeficienți egali pentru x și y trădează o înmulțire translatată.
Verifică asociativitatea calculând ambele grupări, sau invocă forma canonică.
Află elementul neutru din condiția x*e = x, reducând x.
Află simetricul din x*x′ = e, folosind valoarea deja găsită pentru e.
Numește structura: oprește-te la prima condiție care nu se verifică și dă contraexemplul.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 26 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Calcul pe legeM3 · Tehnologic
Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 * 5 = 2 + 5 − 3 = 4
Ex. 2ComutativitateM3 · Tehnologic
Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: xy + x + y = yx + y + x.
Ex. 3Element neutruM3 · Tehnologic
Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + e − 3 = x, deci e = 3.
Ex. 4Element simetricM3 · Tehnologic
Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 + x′ − 3 = 3, deci x′ = 1.
Ex. 5AsociativitateM3 · Tehnologic
Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 * 2 = 0, apoi 0 * 3 = 0.
Ex. 6Formă canonicăM3 · Tehnologic
Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x * y = (x − 2)(y − 2) + 2 (a = 2).
Ex. 7Neutru din forma canonicăM3 · Tehnologic
Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 2)(e − 2) + 2 = x pentru orice x, deci e − 2 = 1 și e = 3.
Ex. 8Clase de resturiM3 · Tehnologic
În ℤ₄ calculați 2̂ + 3̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2̂ + 3̂ = 5̂ = 1̂
Ex. 9Înmulțire în ℤ₅M3 · Tehnologic
În ℤ₅ calculați 3̂ · 4̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3̂ · 4̂ = 12̂ = 2̂
Ex. 10Ecuație în ℤ₅M3 · Tehnologic
Rezolvați în ℤ₅ ecuația 3̂ · x = 1̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 2̂, pentru că 3̂ · 2̂ = 6̂ = 1̂.
Ex. 11Recunoașterea grupuluiM3 · Tehnologic
Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Grup comutativ (abelian).
Ex. 12Recunoașterea ineluluiM3 · Tehnologic
Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Inel comutativ cu unitate (nu este corp).
Ex. 13Corp sau nuM3 · Tehnologic
Este ℤ₆ corp? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: 2̂ · 3̂ = 0̂, deci are divizori ai lui zero.
Ex. 14Elemente inversabileM3 · Tehnologic
Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ₆?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: 1̂ și 5̂.
Ex. 27Element neutruM3 · Tehnologic
Pe ℝ se definește x*y = x + y + 5. Determinați elementul neutru.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + e + 5 = x, deci e = −5.
Ex. 28Element simetricM3 · Tehnologic
Pentru legea x*y = x + y + 5 pe ℝ, determinați simetricul lui 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 + x′ + 5 = −5, deci x′ = −13.
Ex. 29GrupM3 · Tehnologic
Este (ℝ, *) grup pentru legea x*y = x + y + 5? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: legea este asociativă, are neutrul −5, iar simetricul lui x este −10 − x.
Ex. 30Adunare în ℤ₉M3 · Tehnologic
În ℤ₉ calculați 5̂ + 7̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5̂ + 7̂ = 12̂ = 3̂
Ex. 31Înmulțire în ℤ₄M3 · Tehnologic
În ℤ₄ calculați 2̂ · 3̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2̂ · 3̂ = 6̂ = 2̂
Ex. 32Divizori ai lui zeroM3 · Tehnologic
În ℤ₄ există două clase nenule al căror produs este 0̂? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 2̂ · 2̂ = 4̂ = 0̂.
Ex. 33CorpM3 · Tehnologic
Este ℤ₇ corp? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 7 este prim.
Ex. 34Morfism de grupuriM3 · Tehnologic
Funcția f: ℤ → ℤ, f(x) = 3x, este morfism între (ℤ, +) și (ℤ, +)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 3(x + y) = 3x + 3y.
Ex. 35Morfism falsM3 · Tehnologic
Funcția f: ℤ → ℤ, f(x) = x + 1, este morfism între (ℤ, +) și (ℤ, +)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: f(x + y) = x + y + 1, dar f(x) + f(y) = x + y + 2.
Ex. 36Imaginea neutruluiM3 · Tehnologic
Dacă f: (ℤ, +) → (ℤ, +) este morfism de grupuri, cât este f(0)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0) = 0
Ex. 37IzomorfismM3 · Tehnologic
Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x, este izomorfism de la (ℝ, +) la (ℝ, +)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 2(x + y) = 2x + 2y, iar f este bijectivă.
Ex. 38Parte stabilăM3 · Tehnologic
Mulțimea numerelor pare este parte stabilă a lui ℤ față de adunare? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: suma a două numere pare este pară.