M2 · Științe⏱ 3 sesiuni

M2·G

Teorie înainte de exerciții

Legi de compoziție, grupuri și corpuri · nivel M2

Lecția M2 pornește de la legile de compoziție și forma canonică și ajunge la grupurile de matrice, inelele de matrice și morfismele de grupuri.

Programa M2 include grupurile și inelele de matrice, dar nu cere subgrupul, ordinul unui element sau morfismele de inele.

Legea de compoziție și proprietățile ei

O lege de compoziție pe o mulțime M este o regulă care asociază oricăror două elemente din M un al treilea element. O notăm de obicei cu * și o dăm printr-o formulă, de exemplu x*y = x + y − 3. Toate structurile din acest capitol se construiesc verificând pe rând aceleași patru proprietăți.

Parte stabilă: pentru orice x, y ∈ H rezultă x*y ∈ H

Comutativitate: x*y = y*x

Asociativitate: (x*y)*z = x*(y*z)

Element neutru: x*e = e*x = x

Element simetric: x*x′ = x′*x = e

Elementul neutru se află punând condiția x*e = x și reducând x.
Simetricul se află abia după ce cunoști elementul neutru.
Comutativitatea se verifică schimbând între ele rolurile lui x și y în formulă.

Forma canonică — scurtătura de la examen

Majoritatea legilor din subiecte se pot scrie ca o înmulțire translatată. Odată adusă la forma canonică, legea devine transparentă: asociativitatea este imediată, elementul neutru se citește direct, iar simetricul se obține dintr-o simplă împărțire.

x*y = xy − ax − ay + a² + a se scrie (x − a)(y − a) + a

Pentru forma (x − a)(y − a) + a: element neutru e = a + 1

Simetricul: x′ = 1x − a + a

Intervalul (a, ∞) este parte stabilă față de această lege

Recunoaște forma canonică după coeficienții egali ai lui x și y.
Verifică întotdeauna desfăcând parantezele că ai obținut legea inițială.
Pe forma canonică, asociativitatea rezultă din asociativitatea înmulțirii.

Grup, inel, corp

Structurile se construiesc una peste alta, adăugând de fiecare dată câte o cerință. Când ți se cere să identifici o structură, parcurge lista în ordine și oprește-te la prima condiție care nu este îndeplinită.

Grup: asociativitate, element neutru, simetric pentru fiecare element

Grup abelian: grup în care legea este și comutativă

Inel (A, +, ·): (A, +) grup abelian, · asociativă și distributivă față de +

Corp: inel în care orice element nenul are invers față de înmulțire

Exemple: (ℤ, +) grup, (ℤ, +, ·) inel, (ℚ, +, ·) și (ℝ, +, ·) corpuri

ℤ este inel, dar nu corp: lui 2 îi lipsește inversul.
Într-un corp nu există divizori ai lui zero.
Verifică proprietățile în ordine și oprește-te la primul contraexemplu.

Clasele de resturi modulo n

În ℤ_n lucrăm cu resturile împărțirii la n. Clasa k̂ adună la un loc toate numerele care dau restul k. Calculele se fac pe reprezentanți, iar la final se reduce modulo n.

ℤ_n are n clase: 0̂, 1̂, 2̂ și așa mai departe, până la clasa lui n − 1

â + b̂ este clasa sumei a + b, redusă modulo n

â · b̂ este clasa produsului a·b, redusă modulo n

(ℤ_n, +) este grup abelian, cu neutrul 0̂

(ℤ_n, +, ·) este inel comutativ, cu unitatea 1̂

ℤ_n este corp ⇔ n este număr prim

Clasa k̂ este inversabilă exact când k și n sunt prime între ele.
Dacă n nu este prim, apar divizori ai lui zero: în ℤ₄ avem 2̂·2̂ = 0̂.
Inversul se caută prin încercări: sunt cel mult n − 1 variante.

Grupuri și inele de matrice

Familiile de matrice care depind de un parametru sunt cele mai frecvente exemple de grup din subiecte. Calculul produsului arată de obicei că parametrii se adună, ceea ce rezolvă dintr-o dată partea stabilă, neutrul și inversele.

A(a) = : A(a)·A(b) = A(a + b)

Neutrul familiei: A(0) = I₂

Inversa: A(a)⁻¹ = A(−a), iar A(a)ⁿ = A(na)

M₂(ℝ) este inel necomutativ față de adunare și înmulțire

Grupurile de matrice inversabile cer det(A) ≠ 0

Calculează întâi produsul general A(a)·A(b): el conține tot ce ai nevoie.
Pentru inel necomutativ ajunge un singur contraexemplu cu AB ≠ BA.
Verifică dacă parametrul rezultat rămâne în mulțimea din enunț.

Morfisme și izomorfisme de grupuri

Un morfism este o funcție care transportă legea primului grup în legea celui de-al doilea. Atenție la legile diferite: dacă pleci dintr-un grup aditiv și ajungi într-unul multiplicativ, suma se transformă în produs.

Morfism: f(x*y) = f(x)∘f(y), unde * și ∘ sunt legile celor două grupuri

Izomorfism: morfism bijectiv

Orice morfism duce neutrul în neutru: f(e) = e′

Orice morfism duce simetricul în simetric: f(x′) = f(x)′

Exemplu clasic: f: (ℝ, +) → ((0, ∞), ·), f(x) = a^x

Scrie explicit ambele legi înainte de a verifica condiția de morfism.
Pentru izomorfism mai adaugi doar demonstrația bijectivității.
f(x) = x + 1 nu este morfism aditiv: apare o unitate în plus.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · grup de matrice

Se consideră G = {A(a) = | a ∈ ℝ}. Arătați că G este grup abelian față de înmulțirea matricelor și calculați A(2)⁵.

1.Pasul 1 — produsul general: elementul (1,2) al lui A(a)·A(b) este 1·b + a·1 = a + b, iar celelalte poziții rămân 1, 0 și 1.
2.Pasul 2 — parte stabilă: A(a)·A(b) = A(a + b) are aceeași formă, deci produsul rămâne în G.
3.Pasul 3 — asociativitate: înmulțirea matricelor este asociativă, deci se transmite automat lui G.
4.Pasul 4 — element neutru: din a + x = a rezultă x = 0, deci neutrul este A(0) = I₂ ∈ G.
5.Pasul 5 — inverse: din a + x = 0 rezultă x = −a, deci A(a)⁻¹ = A(−a) ∈ G. Prin urmare G este grup.
6.Pasul 6 — comutativitate: A(a)·A(b) = A(a + b) = A(b + a) = A(b)·A(a), deci grupul este abelian.
7.Pasul 7 — puterea: aplicând repetat regula, A(2)⁵ = A(2 + 2 + 2 + 2 + 2) = A(10) = .

Algoritmul universal în 6 pași

Scrie legea și verifică dacă rezultatul rămâne în mulțime (parte stabilă).
Încearcă forma canonică: coeficienți egali pentru x și y trădează o înmulțire translatată.
Verifică asociativitatea calculând ambele grupări, sau invocă forma canonică.
Află elementul neutru din condiția x*e = x, reducând x.
Află simetricul din x*x′ = e, folosind valoarea deja găsită pentru e.
Numește structura: oprește-te la prima condiție care nu se verifică și dă contraexemplul.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Științe · 26 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Calcul pe legeM2 · Științe
Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 * 5 = 2 + 5 − 3 = 4
Ex. 2ComutativitateM2 · Științe
Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: xy + x + y = yx + y + x.
Ex. 3Element neutruM2 · Științe
Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + e − 3 = x, deci e = 3.
Ex. 4Element simetricM2 · Științe
Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 + x′ − 3 = 3, deci x′ = 1.
Ex. 5AsociativitateM2 · Științe
Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 * 2 = 0, apoi 0 * 3 = 0.
Ex. 6Formă canonicăM2 · Științe
Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x * y = (x − 2)(y − 2) + 2 (a = 2).
Ex. 7Neutru din forma canonicăM2 · Științe
Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 2)(e − 2) + 2 = x pentru orice x, deci e − 2 = 1 și e = 3.
Ex. 8Clase de resturiM2 · Științe
În ℤ₄ calculați 2̂ + 3̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2̂ + 3̂ = 5̂ = 1̂
Ex. 9Înmulțire în ℤ₅M2 · Științe
În ℤ₅ calculați 3̂ · 4̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3̂ · 4̂ = 12̂ = 2̂
Ex. 10Ecuație în ℤ₅M2 · Științe
Rezolvați în ℤ₅ ecuația 3̂ · x = 1̂.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 2̂, pentru că 3̂ · 2̂ = 6̂ = 1̂.
Ex. 11Recunoașterea grupuluiM2 · Științe
Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Grup comutativ (abelian).
Ex. 12Recunoașterea ineluluiM2 · Științe
Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Inel comutativ cu unitate (nu este corp).
Ex. 13Corp sau nuM2 · Științe
Este ℤ₆ corp? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: 2̂ · 3̂ = 0̂, deci are divizori ai lui zero.
Ex. 14Elemente inversabileM2 · Științe
Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ₆?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: 1̂ și 5̂.
Ex. 39Formă canonicăM2 · Științe
Scrieți legea x*y = xy + 2x + 2y + 2 sub forma (x + a)(y + a) − a. Precizați expresia obținută.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x * y = (x + 2)(y + 2) − 2 (a = 2).
Ex. 40NeutruM2 · Științe
Determinați elementul neutru al legii x*y = (x + 2)(y + 2) − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 2)(e + 2) − 2 = x pentru orice x, deci e + 2 = 1 și e = −1.
Ex. 41SimetricM2 · Științe
Pentru legea x*y = (x + 2)(y + 2) − 2, determinați simetricul lui 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2(x′ + 2) − 2 = −1, deci x′ = −32.
Ex. 42Grup de matriceM2 · Științe
Mulțimea G = {A(a) = | a ∈ ℝ} este grup față de înmulțirea matricelor? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 43Produs în grup de matriceM2 · Științe
În grupul G = {A(a) = }, calculați A(2)·A(5) și precizați parametrul rezultat.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(2) · A(5) = A(7); parametrul este 7.
Ex. 44Inversa în grup de matriceM2 · Științe
În grupul G = {A(a) = }, precizați parametrul inversei lui A(3).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−3: inversa lui A(3) este A(−3).
Ex. 45Inel de matriceM2 · Științe
Este inelul M₂(ℝ) comutativ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: în general AB ≠ BA.
Ex. 46Corp ℤₚM2 · Științe
În ℤ₇ determinați inversul clasei 2̂ față de înmulțire.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4̂, pentru că 2̂ · 4̂ = 8̂ = 1̂.
Ex. 47Morfism de grupuriM2 · Științe
Funcția f: ℝ → (0, ∞), f(x) = 3^x, este morfism de la (ℝ, +) la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 3^(x + y) = 3^x · 3^y.
Ex. 48IzomorfismM2 · Științe
Funcția f: ℝ → (0, ∞), f(x) = 3^x, este izomorfism de la (ℝ, +) la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: este morfism și bijectivă (inversa este log₃).
Ex. 49Imaginea simetriculuiM2 · Științe
Dacă f: (ℝ, +) → ((0, ∞), ·) este morfism și f(2) = 9, cât este f(−2)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(−2) = 1f(2) = 19
Ex. 50Parte stabilăM2 · Științe
Intervalul (−2, ∞) este parte stabilă a lui ℝ față de legea x*y = (x + 2)(y + 2) − 2? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: dacă x, y > −2, atunci (x + 2)(y + 2) > 0, deci x * y > −2.