Încărcăm partea curentă…

Legi de compoziție, grupuri și corpuri · nivel M2

Legea de compoziție: calculăm cu formula

O lege de compoziție x*y este o regulă care, din două numere, face un al treilea. Ca să calculăm 2*5, înlocuim x = 2 și y = 5 în formula legii.

La mai multe operații respectăm parantezele: (1*2)*3 înseamnă întâi 1*2, apoi rezultatul compus cu 3. Legea este comutativă dacă x*y = y*x pentru orice x și y.

În viața reală

Media a două note, x + y2, este o lege de compoziție: din două note face o a treia. Ea este comutativă, dar nu are element neutru.

De ținut minte

a*b: înlocuim x = a și y = b
comutativă: x*y = y*x

Exemplu cu alte date

Pe ℝ, x*y = 2x + y − 1. Calculează 3*4 și 4*3.

  1. 13*4 = 2 · 3 + 4 − 1 = 9.
  2. 24*3 = 2 · 4 + 3 − 1 = 10.
  3. 33*4 ≠ 4*3, deci legea nu este comutativă.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Legi de compoziție, grupuri și corpuri · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Legea de compoziție: calculăm cu formula

O lege de compoziție x*y este o regulă care, din două numere, face un al treilea. Ca să calculăm 2*5, înlocuim x = 2 și y = 5 în formula legii.

La mai multe operații respectăm parantezele: (1*2)*3 înseamnă întâi 1*2, apoi rezultatul compus cu 3. Legea este comutativă dacă x*y = y*x pentru orice x și y.

  • a*b: înlocuim x = a și y = b
  • comutativă: x*y = y*x

Exemplu cu alte date

Pe ℝ, x*y = 2x + y − 1. Calculează 3*4 și 4*3.

  1. 3*4 = 2 · 3 + 4 − 1 = 9.
  2. 4*3 = 2 · 4 + 3 − 1 = 10.
  3. 3*4 ≠ 4*3, deci legea nu este comutativă.

Elementul neutru și simetricul

Elementul neutru e lasă orice x neschimbat: x*e = x. Scriem condiția cu formula legii și aflăm e.

Simetricul lui x este x′ pentru care x*x′ = e: compus cu x, dă chiar elementul neutru, nu 0.

  • x*e = x
  • x*x′ = e

Exemplu cu alte date

Pentru x*y = x + y + 4, află elementul neutru și simetricul lui 1.

  1. x + e + 4 = x, deci e = −4.
  2. Simetricul verifică 1 + x′ + 4 = −4.
  3. x′ = −9. Verificare: 1*(−9) = 1 − 9 + 4 = −4.

Forma canonică (x − a)(y − a) + a

Multe legi de la Bac se pot scrie x*y = (x − a)(y − a) + a sau (x + a)(y + a) − a. Desfacem parantezele și comparăm cu legea dată.

În forma (x − a)(y − a) + a, elementul neutru este a + 1, iar calculele devin mult mai scurte. Intervalul (a, ∞) este parte stabilă: produsul a două numere pozitive este pozitiv.

  • (x − a)(y − a) + a = xy − ax − ay + a2 + a
  • elementul neutru: e = a + 1

Exemplu cu alte date

Scrie x*y = xy − 3x − 3y + 12 în forma (x − a)(y − a) + a.

  1. (x − 3)(y − 3) = xy − 3x − 3y + 9.
  2. 9 + 3 = 12, deci a = 3.
  3. x*y = (x − 3)(y − 3) + 3, cu elementul neutru e = 4.

Grup, inel, corp

Un grup cere o lege asociativă, un element neutru și simetric pentru fiecare element. Dacă legea este și comutativă, grupul este abelian.

Un inel are două operații: grup abelian la adunare, înmulțire asociativă și distributivitate. Un corp este un inel în care orice element nenul are invers la înmulțire.

  • grup: asociativ + neutru + simetric
  • corp: inel + invers pentru orice element nenul

Exemplu cu alte date

Este (ℚ*, ·) grup?

  1. Înmulțirea este asociativă, iar neutrul este 1.
  2. Orice fracție nenulă pq are inversul qp, tot în ℚ*.
  3. Da, (ℚ*, ·) este grup abelian.

Clasele de resturi ℤn

În ℤn lucrăm doar cu resturile împărțirii la n. Adunăm sau înmulțim reprezentanții, apoi păstrăm restul împărțirii la n.

ℤn are n elemente: 0̂, 1̂, …, până la clasa lui n − 1.

  • â + b̂ = clasa restului lui a + b
  • â · b̂ = clasa restului lui a · b

Exemplu cu alte date

În ℤ6 calculează 4̂ + 5̂ și 4̂ · 5̂.

  1. 4 + 5 = 9 = 6 + 3, deci 3̂.
  2. 4 · 5 = 20 = 18 + 2, deci 2̂.
  3. Rezultatele sunt 3̂ și 2̂.

Inversul unei clase în ℤn

Căutăm x̂ cu â · x̂ = 1̂: încercăm pe rând clasele 1̂, 2̂, … până când produsul dă restul 1.

Dacă a și n au un divizor comun mai mare decât 1, inversul nu există. De aceea ℤn este corp exact când n este prim.

  • â · x̂ = 1̂
  • ℤn corp ⇔ n prim

Exemplu cu alte date

În ℤ7 află inversul lui 4̂.

  1. 4 · 1 = 4, iar 4 · 2 = 8 = 7 + 1.
  2. Restul este 1 la a doua încercare.
  3. Inversul lui 4̂ este 2̂.

Grupuri de matrice A(a)

Pentru A(a) = , produsul este A(a) · A(b) = A(a + b): parametrii se adună. Neutrul este A(0) = I2, iar inversul lui A(a) este A(−a).

Aplicând regula de mai multe ori, A(a)n = A(na).

  • A(a) · A(b) = A(a + b)
  • A(a)−1 = A(−a)

Exemplu cu alte date

Calculează A(4) · A(−1) și inversa lui A(4).

  1. A(4) · A(−1) = A(4 + (−1)) = A(3).
  2. Inversa lui A(4) are parametrul −4.
  3. Verificare: A(4) · A(−4) = A(0) = I2.

Inverse și ordinea factorilor la matrice

În grupul A(a), inversul lui A(3) este A(−3), pentru că A(3) · A(−3) = A(0) = I2.

Ca să arătăm că un inel de matrice nu este comutativ, ajunge o singură pereche concretă cu AB ≠ BA.

  • A(a)−1 = A(−a)
  • un contraexemplu AB ≠ BA ajunge

Exemplu cu alte date

Pentru A = și B = , calculează elementul (1,2) din AB și din BA.

  1. AB: linia 1 din A, (1, 0), cu coloana 2 din B, (1, 0): 1.
  2. BA: linia 1 din B, (0, 1), cu coloana 2 din A, (0, 2): 2.
  3. 1 ≠ 2, deci AB ≠ BA.

Morfisme: funcții care păstrează operația

f este morfism între (G, *) și (H, ∘) dacă f(x * y) = f(x) ∘ f(y). Dacă f este și bijectivă, este izomorfism.

Un morfism duce elementul neutru în elementul neutru: la grupuri aditive f(0) = 0, iar la corpuri f(1) = 1. Din f(x) · f(−x) = f(0) rezultă și f(−x).

  • f(x * y) = f(x) ∘ f(y)
  • morfism + bijectiv = izomorfism

Exemplu cu alte date

Este f(x) = 5x morfism de la (ℝ, +) la (ℝ, +)?

  1. f(x + y) = 5(x + y) = 5x + 5y.
  2. f(x) + f(y) = 5x + 5y.
  3. Sunt egale, deci f este morfism.

Soluții întregi: de la produs la perechi de divizori

Dacă două numere întregi au produsul 6, fiecare este un divizor al lui 6. Verificăm și factorii negativi. Ordinea contează: (1, 6) și (6, 1) sunt perechi diferite.

După ce aflăm factorii, revenim la necunoscutele inițiale. Dacă se cer numere naturale, păstrăm numai valori întregi cel puțin egale cu 0. O expresie de forma 2m + 1 trebuie să fie impară.

Metoda listei finite de divizori se aplică unui produs egal cu un număr nenul. Pentru produsul 0, unul dintre factori este 0; pot exista infinit de multe soluții.

  • uv = k ≠ 0 ⇒ u divide k, v = ku

Exemplu complet, diferit de exerciții

Găsește m, n naturale dacă (m − 4)(n − 4) = 2.

  1. Perechile de factori sunt (1,2), (2,1), (−1,−2), (−2,−1).
  2. Adăugăm 4 fiecărui factor: (m,n) = (5,6), (6,5), (3,2), (2,3).
  3. Toate valorile sunt naturale. Verificăm, de exemplu, (3−4)(2−4)=2. Lista este completă fiindcă am folosit toți divizorii lui 2.

Factor cu coeficient: 2m + 1 divide 6

Dacă un factor are forma 2m + 1, el este mereu impar, deci poate lua doar divizorii impari ai numărului din dreapta, pozitivi sau negativi.

Pentru fiecare valoare a factorului aflăm m și celălalt factor, apoi păstrăm doar perechile cerute: întregi sau naturale.

  • 2m + 1 = divizor impar
  • celălalt factor = produsul : (2m + 1)

Exemplu cu alte date

Câte perechi întregi (m, n) verifică (2m + 1)(n − 1) = 3?

  1. 2m + 1 poate fi −3, −1, 1 sau 3.
  2. Obținem (−2, 0), (−1, −2), (0, 4) și (1, 2).
  3. Sunt 4 perechi.

Un pătrat întreg într-un produs egal cu −1

Un pătrat de număr întreg este întotdeauna nenegativ. Dacă înmulțit cu un alt întreg dă −1, pătratul nu poate fi 0 și trebuie să fie un divizor pozitiv al lui 1. Singura valoare posibilă este 1; celălalt factor este −1.

Ecuația t2=1 are două soluții, t=1 și t=−1. Revenim la necunoscutele inițiale și numărăm perechile ordonate distincte. Aici folosim convenția ℕ={0,1,2,…}: păstrăm 0, dar eliminăm valorile negative.

  • t2≥0 și t2·k=−1 ⇒ t2=1, k=−1
  • t2=1 ⇒ t=±1

Exemplu diferit, rezolvat complet

Câte perechi naturale (u,v) satisfac (u+1)2(v−3)=−1?

  1. Pătratul (u+1)2 este întreg, pozitiv și divide 1. Prin urmare (u+1)2=1 și v−3=−1.
  2. Din u+1=±1 rezultă u=0 sau u=−2; din v−3=−1 obținem v=2.
  3. Păstrăm numai valori naturale: u=−2 nu este permis. Perechea (0,2) verifică produsul −1, deci avem o singură pereche.

Exerciții rezolvate din lecție (43)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.

    Vezi rezolvarea
    1. O lege de compoziție este o regulă care asociază oricăror două numere un al treilea număr.
    2. Înlocuim x = 2 și y = 5 în formula legii: 2*5 = 2 + 5 − 3.
    3. Obținem 7 − 3.
    4. Răspuns final: 2*5 = 4.

    Răspuns: 4

  2. Exercițiul 2

    Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. O lege este comutativă dacă x*y = y*x pentru orice x și y.
    2. Calculăm y*x schimbând între ele rolurile: y*x = yx + y + x.
    3. Cum înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative, xy + x + y = yx + y + x.
    4. Cele două expresii coincid, deci răspunsul este da.

    Răspuns: da

  3. Exercițiul 3

    Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru e este numărul care lasă orice x neschimbat: x*e = x.
    2. Scriem condiția cu formula legii: x + e − 3 = x.
    3. Reducem x din ambii membri: e − 3 = 0.
    4. Răspuns final: e = 3. Verificare: 7*3 = 7 + 3 − 3 = 7.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Simetricul lui 5 este numărul x′ pentru care 5*x′ = e, unde e = 3 este elementul neutru.
    2. Scriem condiția: 5 + x′ − 3 = 3.
    3. Rezultă x′ + 2 = 3, deci x′ = 1.
    4. Verificare: 5*1 = 5 + 1 − 3 = 3 = e. Răspuns final: x′ = 1.

    Răspuns: 1

  5. Exercițiul 5

    Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.

    Vezi rezolvarea
    1. Respectăm ordinea parantezelor: mai întâi 1*2.
    2. 1*2 = 1 + 2 − 3 = 0.
    3. Apoi 0*3 = 0 + 3 − 3 = 0.
    4. Răspuns final: (1*2)*3 = 0. Legea fiind asociativă, și 1*(2*3) dă tot 0.

    Răspuns: 0

  6. Exercițiul 6

    Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm forma (x − a)(y − a) + a, care simplifică toate calculele ulterioare.
    2. Desfacem (x − 2)(y − 2) + 2 = xy − 2x − 2y + 4 + 2.
    3. Obținem xy − 2x − 2y + 6, adică exact legea dată.
    4. Răspuns final: x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.

    Răspuns: (x−2)(y−2)+2

  7. Exercițiul 7

    Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem condiția x*e = x: (x − 2)(e − 2) + 2 = x.
    2. Trecem 2 în membrul drept: (x − 2)(e − 2) = x − 2.
    3. Pentru ca egalitatea să fie adevărată la orice x, trebuie ca e − 2 = 1.
    4. Răspuns final: e = 3. La forma (x − a)(y − a) + a elementul neutru este mereu a + 1.

    Răspuns: 3

  8. Exercițiul 8

    În ℤ4 calculați 2̂ + 3̂.

    Vezi rezolvarea
    1. În ℤ4 lucrăm cu resturile împărțirii la 4, deci clasele sunt 0̂, 1̂, 2̂ și 3̂.
    2. Adunăm reprezentanții: 2 + 3 = 5.
    3. Împărțim 5 la 4 și păstrăm restul: 5 = 4·1 + 1.
    4. Răspuns final: 2̂ + 3̂ = 1̂.

    Răspuns: 1̂

  9. Exercițiul 9

    În ℤ5 calculați 3̂ · 4̂.

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțim reprezentanții: 3 · 4 = 12.
    2. Reducem modulo 5: 12 = 5·2 + 2.
    3. Restul este 2.
    4. Răspuns final: 3̂ · 4̂ = 2̂.

    Răspuns: 2̂

  10. Exercițiul 10

    Rezolvați în ℤ5 ecuația 3̂ · x = 1̂.

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm clasa care înmulțită cu 3̂ dă 1̂, adică inversul lui 3̂.
    2. Încercăm pe rând: 3·1 = 3, 3·2 = 6 = 1 modulo 5.
    3. Am găsit soluția la a doua încercare.
    4. Răspuns final: x = 2̂, adică inversul lui 3̂ în ℤ5 este 2̂.

    Răspuns: 2̂

  11. Exercițiul 11

    Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm cele trei condiții de grup pentru înmulțirea numerelor reale nenule.
    2. Înmulțirea este asociativă, iar elementul neutru este 1.
    3. Orice număr real nenul x are inversul 1x, care este tot în ℝ*.
    4. Răspuns final: (ℝ*, ·) este grup, chiar abelian, pentru că înmulțirea este și comutativă.

    Răspuns: grup

  12. Exercițiul 12

    Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?

    Vezi rezolvarea
    1. Un inel cere: grup abelian față de prima operație, asociativitate pentru a doua și distributivitate.
    2. (ℤ, +) este grup abelian, cu neutrul 0 și simetricul lui x egal cu −x.
    3. Înmulțirea este asociativă, comutativă, are unitatea 1 și este distributivă față de adunare.
    4. Răspuns final: inel comutativ cu unitate. Nu este corp, pentru că 2 nu are invers în ℤ.

    Răspuns: inel

  13. Exercițiul 13

    Este ℤ6 corp? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. ℤn este corp exact atunci când n este număr prim.
    2. 6 nu este prim, pentru că 6 = 2 · 3.
    3. Concret, clasa 2̂ nu are invers: 2̂·0̂ = 0̂, 2̂·1̂ = 2̂, 2̂·2̂ = 4̂, 2̂·3̂ = 0̂, 2̂·4̂ = 2̂, 2̂·5̂ = 4̂ și niciunul nu este 1̂.
    4. Răspuns final: nu. În schimb ℤ5 și ℤ7 sunt corpuri.

    Răspuns: nu

  14. Exercițiul 14

    Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ6?

    Vezi rezolvarea
    1. O clasă k̂ este inversabilă în ℤn exact când k și n sunt prime între ele.
    2. Verificăm care dintre 1, 2, 3, 4, 5 este prim cu 6: doar 1 și 5.
    3. Deci elementele inversabile sunt 1̂ și 5̂, iar 5̂·5̂ = 25̂ = 1̂.
    4. Răspuns final: 2 elemente inversabile.

    Răspuns: 2

  15. Exercițiul 15

    Scrieți legea x*y = xy + 2x + 2y + 2 sub forma (x + a)(y + a) − a. Precizați expresia obținută.

    Vezi rezolvarea
    1. Desfacem (x + 2)(y + 2) − 2 = xy + 2x + 2y + 4 − 2.
    2. Obținem xy + 2x + 2y + 2, adică exact legea dată.
    3. Forma canonică transformă legea într-o înmulțire deghizată.
    4. Răspuns final: x*y = (x + 2)(y + 2) − 2.

    Răspuns: (x+2)(y+2)−2

  16. Exercițiul 16

    Exercițiul 40 semi-ghidat · Pentru legea x*y = (x + 2)(y + 2) − 2, scrieți condiția verificată de elementul neutru.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția de element neutru este x*e = x.
    2. Scriem legea: (x + 2)(e + 2) − 2 = x.
    3. Trecem −2 în membrul drept: (x + 2)(e + 2) = x + 2.
    4. De aici se citește imediat valoarea lui e + 2.

    Răspuns: (x + 2)(e + 2) = x + 2

  17. Exercițiul 17

    Acum determinați elementul neutru.

    Vezi rezolvarea
    1. Din (x + 2)(e + 2) = x + 2, simplificăm cu x + 2, care este nenul pentru x ≠ −2.
    2. Rămâne e + 2 = 1, deci e = −1.
    3. Verificare: 3*(−1) = (3 + 2)(−1 + 2) − 2 = 5 − 2 = 3.
    4. Răspuns final: e = −1.

    Răspuns: −1

  18. Exercițiul 18

    Pentru legea x*y = (x + 2)(y + 2) − 2, determinați simetricul lui 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru este e = −1.
    2. Simetricul lui 0 verifică 0*x′ = −1, adică (0 + 2)(x′ + 2) − 2 = −1.
    3. Rezultă 2(x′ + 2) = 1, deci x′ + 2 = 12.
    4. Răspuns final: x′ = 12 − 2 = −32.

    Răspuns: −32

  19. Exercițiul 19

    Exercițiul 42 ghidat · Vrem să arătăm că G = {A(a) = | a ∈ ℝ} este grup față de înmulțirea matricelor. Pasul 1: calculați A(a)·A(b).

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul (1,1): 1·1 + a·0 = 1.
    2. Elementul (1,2): 1·b + a·1 = a + b.
    3. Elementul (2,1): 0·1 + 1·0 = 0, iar elementul (2,2): 0·b + 1·1 = 1.
    4. Deci A(a)·A(b) = = A(a + b): parametrii se adună.

    Răspuns:

  20. Exercițiul 20

    Pasul 2: ce înseamnă rezultatul de mai sus pentru G?

    Vezi rezolvarea
    1. Elementele lui G sunt exact matricele de forma .
    2. Produsul A(a)·A(b) = A(a + b) are chiar această formă, cu t = a + b.
    3. Deci înmulțind două elemente din G rămânem în G.
    4. Aceasta este condiția de parte stabilă, primul pas obligatoriu.

    Răspuns: G este parte stabilă, pentru că A(a + b) are aceeași formă

  21. Exercițiul 21

    Pasul 3: care este elementul neutru al lui G?

    Vezi rezolvarea
    1. Din A(a)·A(x) = A(a + x) impunem a + x = a, deci x = 0.
    2. Matricea A(0) = este chiar matricea unitate I2.
    3. Matricea nulă nu poate fi neutru pentru înmulțire.
    4. Deci elementul neutru este A(0) = I2, care aparține lui G.

    Răspuns: A(0) = I2

  22. Exercițiul 22

    Pasul 4: precizați parametrul inversei lui A(a).

    Vezi rezolvarea
    1. Inversa verifică A(a)·A(x) = A(0), adică a + x = 0.
    2. Rezultă x = −a, care este număr real pentru orice a real.
    3. Deci inversa lui A(a) este A(−a), tot element al lui G.
    4. Cele trei condiții fiind îndeplinite, G este grup. Răspuns final: parametrul este −a.

    Răspuns: −a

  23. Exercițiul 23

    În grupul G = {A(a) = }, calculați A(2)·A(5) și precizați parametrul rezultat.

    Vezi rezolvarea
    1. Regula grupului este A(a)·A(b) = A(a + b): parametrii se adună.
    2. Verificăm prin calcul: elementul (1,2) al produsului este 1·5 + 2·1 = 7.
    3. Deci A(2)·A(5) = A(7) = .
    4. Răspuns final: parametrul este 7.

    Răspuns: 7

  24. Exercițiul 24

    În grupul G = {A(a) = }, precizați parametrul inversei lui A(3).

    Vezi rezolvarea
    1. Inversa trebuie să dea elementul neutru A(0) = I2.
    2. Din A(3)·A(x) = A(3 + x) impunem 3 + x = 0.
    3. Rezultă x = −3.
    4. Răspuns final: inversa lui A(3) este A(−3) = .

    Răspuns: −3

  25. Exercițiul 25

    Exercițiul 45 semi-ghidat · Vrem să arătăm că inelul M2(ℝ) nu este comutativ. Ce este suficient să facem?

    Vezi rezolvarea
    1. Comutativitatea este o afirmație „pentru orice A și B”, deci se neagă printr-un singur contraexemplu.
    2. Nu avem nevoie de o demonstrație generală.
    3. Varianta cu determinanți nu ajută: det(AB) = det(BA) întotdeauna.
    4. Alegem două matrice simple și calculăm ambele produse.

    Răspuns: Să găsim două matrice concrete cu AB ≠ BA

  26. Exercițiul 26

    Pentru A = și B = , calculați elementul de pe poziția (1,1) din AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul (1,1) al produsului combină linia 1 din A cu coloana 1 din B.
    2. Linia 1 din A este 1, 1, iar coloana 1 din B este 1, 1.
    3. Calculăm 1·1 + 1·1 = 2.
    4. Cum elementul (1,1) din BA este 1·1 + 0·1 = 1, avem AB ≠ BA. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  27. Exercițiul 27

    În ℤ7 determinați inversul clasei 2̂ față de înmulțire.

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm clasa x̂ cu 2̂ · x̂ = 1̂.
    2. Încercăm: 2·2 = 4, 2·3 = 6, 2·4 = 8 = 1 modulo 7.
    3. Am găsit inversul.
    4. Răspuns final: inversul lui 2̂ este 4̂.

    Răspuns: 4̂

  28. Exercițiul 28

    Funcția f: ℝ → (0, ∞), f(x) = 3x, este morfism de la (ℝ, +) la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Aici prima structură are adunarea, iar a doua înmulțirea, deci condiția devine f(x + y) = f(x)·f(y).
    2. Membrul stâng: f(x + y) = 3x+y.
    3. Membrul drept: f(x)·f(y) = 3x·3y = 3x+y, prin regula puterilor cu aceeași bază.
    4. Cele două coincid, deci răspunsul este da.

    Răspuns: da

  29. Exercițiul 29

    Funcția f: ℝ → (0, ∞), f(x) = 3x, este izomorfism de la (ℝ, +) la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Am arătat deja că f este morfism.
    2. Funcția exponențială cu baza 3 este strict crescătoare, deci injectivă.
    3. Orice y > 0 se scrie y = 3log3 y, deci f este surjectivă pe (0, ∞).
    4. Fiind morfism bijectiv, f este izomorfism. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

  30. Exercițiul 30

    Dacă f: (ℝ, +) → ((0, ∞), ·) este morfism și f(2) = 9, cât este f(−2)?

    Vezi rezolvarea
    1. Un morfism duce simetricul în simetric: f(−x) este inversul lui f(x).
    2. Pornim de la 2 + (−2) = 0, deci f(2)·f(−2) = f(0) = 1.
    3. Înlocuim f(2) = 9: 9 · f(−2) = 1.
    4. Răspuns final: f(−2) = 19.

    Răspuns: 19

  31. Exercițiul 31

    Intervalul (−2, ∞) este parte stabilă a lui ℝ față de legea x*y = (x + 2)(y + 2) − 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Luăm x și y mai mari decât −2, deci x + 2 > 0 și y + 2 > 0.
    2. Produsul a două numere pozitive este pozitiv: (x + 2)(y + 2) > 0.
    3. Atunci x*y = (x + 2)(y + 2) − 2 > −2, deci rezultatul rămâne în interval.
    4. Răspuns final: da, (−2, ∞) este parte stabilă.

    Răspuns: da

  32. Exercițiul 32

    Câte perechi ordonate de întregi pozitivi (u,v) au uv = 6?

    Vezi rezolvarea
    1. Divizorii pozitivi sunt 1,2,3,6.
    2. Perechile sunt (1,6),(2,3),(3,2),(6,1): 4.

    Răspuns: 4

  33. Exercițiul 33

    Câte perechi ordonate de întregi (u,v) au uv = 6, incluzând numerele negative?

    Vezi rezolvarea
    1. Există 4 perechi pozitive.
    2. Adăugăm (−1,−6),(−2,−3),(−3,−2),(−6,−1): în total 8.

    Răspuns: 8

  34. Exercițiul 34

    În (m−3)(n−3)=2, factorii sunt m−3=−1 și n−3=−2. Cât este n?

    Vezi rezolvarea
    1. n−3=−2.
    2. Adunăm 3: n=1; m=2, ambele naturale.

    Răspuns: 1

  35. Exercițiul 35

    Câte perechi naturale (m,n) satisfac (m−3)(n−3)=2?

    Vezi rezolvarea
    1. Factorii sunt (1,2),(2,1),(−1,−2),(−2,−1).
    2. Perechile sunt (4,5),(5,4),(2,1),(1,2). Toate sunt naturale.

    Răspuns: 4

  36. Exercițiul 36

    Câte perechi naturale (x,y) satisfac xy−4x−4y+20=7?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem (x−4)(y−4)+4=7, deci produsul este 3.
    2. Factorii: (1,3),(3,1),(−1,−3),(−3,−1).
    3. Soluții: (5,7),(7,5),(3,1),(1,3). Sunt 4.

    Răspuns: 4

  37. Exercițiul 37

    Câte valori întregi poate lua factorul 2m+1 în (2m+1)(n−2)=6?

    Vezi rezolvarea
    1. Factorul trebuie să fie un divizor impar al lui 6.
    2. Divizorii impari sunt −3,−1,1,3: 4 valori.

    Răspuns: 4

  38. Exercițiul 38

    În (2m+1)(n−2)=6, dacă 2m+1=−3, cât este n?

    Vezi rezolvarea
    1. n−2=6−3=−2.
    2. n=0; m=−2, deci perechea este întreagă.

    Răspuns: 0

  39. Exercițiul 39

    Câte perechi întregi satisfac (2m+1)(n−2)=6?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru factorul 1 obținem (0,8); pentru 3: (1,4).
    2. Pentru −1: (−1,−4); pentru −3: (−2,0). Sunt 4.

    Răspuns: 4

  40. Exercițiul 40

    Câte perechi naturale satisfac (2m+1)(n−2)=6?

    Vezi rezolvarea
    1. Dintre (0,8),(1,4),(−1,−4),(−2,0), eliminăm valorile negative.
    2. Rămân (0,8) și (1,4): 2 perechi.

    Răspuns: 2

  41. Exercițiul 41

    Câte perechi naturale (m,n) satisfac (m−2)2(n−2)=−1?

    Vezi rezolvarea
    1. Pătratul întreg trebuie să fie 1, iar n−2=−1.
    2. m−2=±1, deci m=1 sau 3; n=1.
    3. Soluțiile sunt (1,1),(3,1): 2.

    Răspuns: 2

  42. Exercițiul 42

    În ℤ5, află inversul multiplicativ al clasei lui 2.

    Vezi rezolvarea
    1. 2·a≡1 (mod 5). Inversul multiplicativ produce elementul neutru al înmulțirii, clasa lui 1.
    2. 2·3=6≡1 (mod 5). 6 și 1 diferă cu un multiplu al lui 5; celelalte produse au alte resturi.
    3. Inversul clasei lui 2 este clasa lui 3. Produsul celor două clase este clasa lui 1; 2 este prim cu 5, deci inversul există.

    Răspuns: Inversul clasei lui 2 este clasa lui 3

  43. Exercițiul 43

    Pe ℝ definim x*y=x+y+2. Află elementul neutru și simetricul lui 5.

    Vezi rezolvarea
    1. x+e+2=x, pentru orice x. Elementul neutru trebuie să lase orice element neschimbat. Legea este comutativă, deci verificarea este aceeași în ambele ordine.
    2. e=−2. Scădem x: e+2=0, deci e=−2.
    3. 5+y+2=−2, deci y=−9. Compunerea cu simetricul trebuie să dea elementul neutru al legii, aici −2, nu neapărat 0.

    Răspuns: 5+y+2=−2, deci y=−9

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (26)

  1. 1. Calcul pe lege

    Pe ℝ se definește legea x*y = x + y − 3. Calculați 2*5.

    Vezi răspunsul

    2 * 5 = 2 + 5 − 3 = 4

  2. 2. Comutativitate

    Legea x*y = xy + x + y este comutativă? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: xy + x + y = yx + y + x.

  3. 3. Element neutru

    Determinați elementul neutru al legii x*y = x + y − 3 pe ℝ.

    Vezi răspunsul

    x + e − 3 = x, deci e = 3.

  4. 4. Element simetric

    Pentru legea x*y = x + y − 3 pe ℝ, determinați simetricul lui 5.

    Vezi răspunsul

    5 + x′ − 3 = 3, deci x′ = 1.

  5. 5. Asociativitate

    Pentru legea x*y = x + y − 3, calculați (1*2)*3.

    Vezi răspunsul

    1 * 2 = 0, apoi 0 * 3 = 0.

  6. 6. Formă canonică

    Scrieți legea x*y = xy − 2x − 2y + 6 sub forma (x − a)(y − a) + a. Precizați expresia obținută.

    Vezi răspunsul

    x * y = (x − 2)(y − 2) + 2 (a = 2).

  7. 7. Neutru din forma canonică

    Determinați elementul neutru al legii x*y = (x − 2)(y − 2) + 2.

    Vezi răspunsul

    (x − 2)(e − 2) + 2 = x pentru orice x, deci e − 2 = 1 și e = 3.

  8. 8. Clase de resturi

    În ℤ4 calculați 2̂ + 3̂.

    Vezi răspunsul

    2̂ + 3̂ = 5̂ = 1̂

  9. 9. Înmulțire în ℤ₅

    În ℤ5 calculați 3̂ · 4̂.

    Vezi răspunsul

    3̂ · 4̂ = 12̂ = 2̂

  10. 10. Ecuație în ℤ₅

    Rezolvați în ℤ5 ecuația 3̂ · x = 1̂.

    Vezi răspunsul

    x = 2̂, pentru că 3̂ · 2̂ = 6̂ = 1̂.

  11. 11. Recunoașterea grupului

    Mulțimea ℝ* = ℝ \ {0} împreună cu înmulțirea formează o structură. Care este ea?

    Vezi răspunsul

    Grup comutativ (abelian).

  12. 12. Recunoașterea inelului

    Ce structură formează ℤ împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite?

    Vezi răspunsul

    Inel comutativ cu unitate (nu este corp).

  13. 13. Corp sau nu

    Este ℤ6 corp? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: 2̂ · 3̂ = 0̂, deci are divizori ai lui zero.

  14. 14. Elemente inversabile

    Câte elemente inversabile față de înmulțire are ℤ6?

    Vezi răspunsul

    2: 1̂ și 5̂.

  15. 39. Formă canonică

    Scrieți legea x*y = xy + 2x + 2y + 2 sub forma (x + a)(y + a) − a. Precizați expresia obținută.

    Vezi răspunsul

    x * y = (x + 2)(y + 2) − 2 (a = 2).

  16. 40. Neutru

    Determinați elementul neutru al legii x*y = (x + 2)(y + 2) − 2.

    Vezi răspunsul

    (x + 2)(e + 2) − 2 = x pentru orice x, deci e + 2 = 1 și e = −1.

  17. 41. Simetric

    Pentru legea x*y = (x + 2)(y + 2) − 2, determinați simetricul lui 0.

    Vezi răspunsul

    2(x′ + 2) − 2 = −1, deci x′ = −32.

  18. 42. Grup de matrice

    Mulțimea G = {A(a) = | a ∈ ℝ} este grup față de înmulțirea matricelor? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  19. 43. Produs în grup de matrice

    În grupul G = {A(a) = }, calculați A(2)·A(5) și precizați parametrul rezultat.

    Vezi răspunsul

    A(2) · A(5) = A(7); parametrul este 7.

  20. 44. Inversa în grup de matrice

    În grupul G = {A(a) = }, precizați parametrul inversei lui A(3).

    Vezi răspunsul

    −3: inversa lui A(3) este A(−3).

  21. 45. Inel de matrice

    Este inelul M2(ℝ) comutativ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: în general AB ≠ BA.

  22. 46. Corp ℤₚ

    În ℤ7 determinați inversul clasei 2̂ față de înmulțire.

    Vezi răspunsul

    4̂, pentru că 2̂ · 4̂ = 8̂ = 1̂.

  23. 47. Morfism de grupuri

    Funcția f: ℝ → (0, ∞), f(x) = 3x, este morfism de la (ℝ, +) la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: 3x + y = 3x · 3y.

  24. 48. Izomorfism

    Funcția f: ℝ → (0, ∞), f(x) = 3x, este izomorfism de la (ℝ, +) la ((0, ∞), ·)? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: este morfism și bijectivă (inversa este log3).

  25. 49. Imaginea simetricului

    Dacă f: (ℝ, +) → ((0, ∞), ·) este morfism și f(2) = 9, cât este f(−2)?

    Vezi răspunsul

    f(−2) = 1f(2) = 19

  26. 50. Parte stabilă

    Intervalul (−2, ∞) este parte stabilă a lui ℝ față de legea x*y = (x + 2)(y + 2) − 2? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: dacă x, y > −2, atunci (x + 2)(y + 2) > 0, deci x * y > −2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.