Determinanți și metoda lui Cramer · nivel M3

Lecția M3 construiește temeinic calculul determinanților de ordin 2 și 3 și rezolvarea sistemelor cu formulele lui Cramer.

La profilul Tehnologic sistemele au cel mult 3 necunoscute, iar determinanții sunt de ordin cel mult 3.

Determinanți

Determinantul este numărul care decide totul la sistemele liniare: dacă este nenul, sistemul are soluție unică și matricea este inversabilă. Pentru ordinul 2 formula se memorează direct, iar pentru ordinul 3 se dezvoltă după o linie, alternând semnele.

Ordin 2: || = ad − bc

Ordin 3, dezvoltare după prima linie: a·|| − b·|| + c·||

Semnele alternează: plus, minus, plus

Matrice diagonală: determinantul este produsul elementelor de pe diagonală

Dacă două linii sunt proporționale, determinantul este 0

Alege pentru dezvoltare linia sau coloana cu cele mai multe zerouri.
Un determinant nul înseamnă linii dependente, deci informație care se repetă.
Determinantul matricei sistemului conține doar coeficienții, nu și termenii liberi.

Metoda lui Cramer

Metoda se aplică sistemelor cu tot atâtea ecuații câte necunoscute și cu determinantul nenul. Ideea este simplă: pentru fiecare necunoscută se înlocuiește coloana ei cu coloana termenilor liberi, se calculează noul determinant și se împarte la determinantul sistemului.

Condiția de aplicare: d = det(A) ≠ 0

x = d_x/d, y = d_yd, z = d_zd

d_x se obține înlocuind coloana lui x cu coloana termenilor liberi

Forma matriceală: AX = B, cu soluția X = A⁻¹B

Sistem de tip Cramer ⇔ matrice pătratică cu determinant nenul

Calculează întâi d: dacă este 0, oprește-te, metoda nu se aplică.
Se schimbă o singură coloană pentru fiecare necunoscută, restul rămâne neatins.
Verifică soluția într-o ecuație pe care nu ai folosit-o la calcul.

Exemplu rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · sistem 3×3 cu metoda lui Cramer

Rezolvați sistemul x + y + z = 5, 2x + y + 3z = 9, x + 4z = 6.

1.Pasul 1 — atenție la a treia ecuație: nu conține y, deci coeficientul lui y este 0. O rescriem ca x + 0·y + 4z = 6.
2.Pasul 2 — matricea sistemului este , iar coloana termenilor liberi este (5, 9, 6).
3.Pasul 3 — calculăm determinantul: 1·(1·4 − 3·0) − 1·(2·4 − 3·1) + 1·(2·0 − 1·1) = 4 − 5 − 1 = −2.
4.Pasul 4 — determinantul fiind nenul, sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.
5.Pasul 5 — pentru d_x înlocuim prima coloană cu termenii liberi: || = −4.
6.Pasul 6 — analog obținem d_y = −4 și d_z = −2.
7.Pasul 7 — împărțim la d = −2: x = 2, y = 2, z = 1.
8.Pasul 8 — verificăm în a treia ecuație, pe care nu am folosit-o direct: 2 + 4·1 = 6 ✓. Soluția este (2, 2, 1).

Sisteme omogene și cazul determinantului nul

Când determinantul se anulează, sistemul nu mai are soluție unică: fie nu are niciuna, fie are o infinitate. La sistemele omogene, cu toți termenii liberi nuli, situația este mai simplă, pentru că soluția banală există întotdeauna.

Sistem omogen: toate ecuațiile de forma … = 0

Soluția banală (0, 0, 0) verifică orice sistem omogen

det ≠ 0 ⇒ numai soluția banală

det = 0 ⇒ există și soluții nebanale, o infinitate

La sisteme neomogene cu det = 0: fie incompatibil, fie o infinitate de soluții

Întrebarea „are soluții nebanale?” se traduce imediat în „determinantul este 0”.
Dacă ecuațiile se contrazic, sistemul este incompatibil.
Dacă o ecuație este multiplu al alteia, ea nu aduce informație nouă.

Algoritmul universal în 5 pași

Scrie matricea sistemului, luând coeficienții în aceeași ordine în fiecare ecuație.
Completează cu 0 coeficienții necunoscutelor care lipsesc dintr-o ecuație.
Calculează determinantul sistemului și decide dacă metoda lui Cramer se aplică.
Dacă da, calculează câte un determinant pentru fiecare necunoscută și împarte.
Verifică soluția într-o ecuație pe care nu ai folosit-o la calcul.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Determinant de ordin 2M3 · Tehnologic
Calculați determinantul ||.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 · (−1) − (−3) · 4 = 5
Ex. 2Sistem 2×2 cu CramerM3 · Tehnologic
Rezolvați cu formulele lui Cramer sistemul 7x − 3y = 2, 4x − y = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 5, Δx = 10, Δy = 20, deci x = 2 și y = 4.
Ex. 3Determinant de ordin 3M3 · Tehnologic
Calculați determinantul ||.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−3
Ex. 4Condiția lui CramerM3 · Tehnologic
Un sistem se poate rezolva cu formulele lui Cramer dacă determinantul lui este 0? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: formulele lui Cramer cer determinant nenul.
Ex. 5Sistem 3×3M3 · Tehnologic
Rezolvați sistemul x + y − 4z = 6, 2x − 3y + z = 9, 5x + y − 6z = 14.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 1, y = −3, z = −2 (Δ = −34)
Ex. 6Sistem cu coeficient nulM3 · Tehnologic
Rezolvați sistemul x + y + z = 5, 2x + y + 3z = 9, x + 4z = 6.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 2, y = 2, z = 1
Ex. 7Sistem cu termeni negativiM3 · Tehnologic
Rezolvați sistemul x + y − z = −6, 4x − 5y − 2z = 5, 3x − y − z = −4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = −2, y = −3, z = 1
Ex. 8Verificarea unei soluțiiM3 · Tehnologic
Pentru ce m tripletul (2, 1, 3) este soluție a sistemului 2x − y + z = 6, x + y + mz = 3, x − (m + 1)y + z = 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m = 0: din a doua ecuație, 2 + 1 + 3m = 3; a treia dă tot m = 0.
Ex. 9Determinant cu parametruM3 · Tehnologic
Determinați m real știind că || = −12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Determinantul este −5m − 2, iar −5m − 2 = −12 dă m = 2.
Ex. 10Forma matricealăM3 · Tehnologic
Orice sistem liniar se poate scrie sub forma AX = B, unde A este matricea coeficienților? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 11Matrice inversabilăM3 · Tehnologic
Dacă determinantul matricei sistemului este nenul, matricea este inversabilă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 12Determinantul unui sistemM3 · Tehnologic
Calculați determinantul matricei asociate sistemului x + y + z = 2, 2x + y − z = 3, x − y + 2z = a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−7
Ex. 13Sistem omogenM3 · Tehnologic
Un sistem omogen, cu toți termenii liberi nuli, are întotdeauna cel puțin o soluție? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: are cel puțin soluția banală (0, 0, 0).
Ex. 14Soluții nebanaleM3 · Tehnologic
Determinați m pentru care sistemul omogen x + 2y + z = 0, x − 3y + 4z = 0, 2x − my + 5z = 0 admite și soluții nebanale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Determinantul este 3m − 3, care se anulează pentru m = 1.
Ex. 21Regula lui SarrusM3 · Tehnologic
Calculați determinantul ||.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8
Ex. 22Sistem 3×3M3 · Tehnologic
Rezolvați sistemul x + y + z = 6, x − y + z = 2, x + y − z = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 1, y = 2, z = 3
Ex. 23Determinant nulM3 · Tehnologic
Determinați m pentru care sistemul x + y = 3, mx + 2y = 5 nu are soluție unică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 2 − m = 0, deci m = 2.
Ex. 24Sistem cu fracțiiM3 · Tehnologic
Rezolvați sistemul 3x + 2y = 8, x − y = 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = y + 1, deci 5y + 3 = 8: y = 1, x = 2.
Ex. 25Matrice inversabilăM3 · Tehnologic
Determinați valorile lui m pentru care matricea este inversabilă, precizând valoarea pozitivă exclusă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m² − 4 ≠ 0, deci m ≠ ±2; valoarea pozitivă exclusă este 2.
Ex. 26Sistem omogenM3 · Tehnologic
Rezolvați sistemul omogen 2x + y = 0, x − y = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 0, y = 0 (Δ = −3 ≠ 0, doar soluția banală).