Determinanți, metoda lui Cramer, rang și compatibilitate · nivel M1

Lecția M1 pornește de la determinanți și metoda lui Cramer și ajunge la rangul unei matrice și la studiul compatibilității prin teorema Kronecker-Capelli.

Programa M1 este singura care cere rangul unei matrice, studiul compatibilității și sisteme cu până la 4 necunoscute.

Determinanți

Determinantul este numărul care decide totul la sistemele liniare: dacă este nenul, sistemul are soluție unică și matricea este inversabilă. Pentru ordinul 2 formula se memorează direct, iar pentru ordinul 3 se dezvoltă după o linie, alternând semnele.

Ordin 2: || = ad − bc

Ordin 3, dezvoltare după prima linie: a·|| − b·|| + c·||

Semnele alternează: plus, minus, plus

Matrice diagonală: determinantul este produsul elementelor de pe diagonală

Dacă două linii sunt proporționale, determinantul este 0

Alege pentru dezvoltare linia sau coloana cu cele mai multe zerouri.
Un determinant nul înseamnă linii dependente, deci informație care se repetă.
Determinantul matricei sistemului conține doar coeficienții, nu și termenii liberi.

Metoda lui Cramer

Metoda se aplică sistemelor cu tot atâtea ecuații câte necunoscute și cu determinantul nenul. Ideea este simplă: pentru fiecare necunoscută se înlocuiește coloana ei cu coloana termenilor liberi, se calculează noul determinant și se împarte la determinantul sistemului.

Condiția de aplicare: d = det(A) ≠ 0

x = d_x/d, y = d_yd, z = d_zd

d_x se obține înlocuind coloana lui x cu coloana termenilor liberi

Forma matriceală: AX = B, cu soluția X = A⁻¹B

Sistem de tip Cramer ⇔ matrice pătratică cu determinant nenul

Calculează întâi d: dacă este 0, oprește-te, metoda nu se aplică.
Se schimbă o singură coloană pentru fiecare necunoscută, restul rămâne neatins.
Verifică soluția într-o ecuație pe care nu ai folosit-o la calcul.

Exemplu rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · sistem 3×3 cu metoda lui Cramer

Rezolvați sistemul x + y + z = 5, 2x + y + 3z = 9, x + 4z = 6.

1.Pasul 1 — atenție la a treia ecuație: nu conține y, deci coeficientul lui y este 0. O rescriem ca x + 0·y + 4z = 6.
2.Pasul 2 — matricea sistemului este , iar coloana termenilor liberi este (5, 9, 6).
3.Pasul 3 — calculăm determinantul: 1·(1·4 − 3·0) − 1·(2·4 − 3·1) + 1·(2·0 − 1·1) = 4 − 5 − 1 = −2.
4.Pasul 4 — determinantul fiind nenul, sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.
5.Pasul 5 — pentru d_x înlocuim prima coloană cu termenii liberi: || = −4.
6.Pasul 6 — analog obținem d_y = −4 și d_z = −2.
7.Pasul 7 — împărțim la d = −2: x = 2, y = 2, z = 1.
8.Pasul 8 — verificăm în a treia ecuație, pe care nu am folosit-o direct: 2 + 4·1 = 6 ✓. Soluția este (2, 2, 1).

Sisteme omogene și cazul determinantului nul

Când determinantul se anulează, sistemul nu mai are soluție unică: fie nu are niciuna, fie are o infinitate. La sistemele omogene, cu toți termenii liberi nuli, situația este mai simplă, pentru că soluția banală există întotdeauna.

Sistem omogen: toate ecuațiile de forma … = 0

Soluția banală (0, 0, 0) verifică orice sistem omogen

det ≠ 0 ⇒ numai soluția banală

det = 0 ⇒ există și soluții nebanale, o infinitate

La sisteme neomogene cu det = 0: fie incompatibil, fie o infinitate de soluții

Întrebarea „are soluții nebanale?” se traduce imediat în „determinantul este 0”.
Dacă ecuațiile se contrazic, sistemul este incompatibil.
Dacă o ecuație este multiplu al alteia, ea nu aduce informație nouă.

Rangul unei matrice și compatibilitatea

Rangul este ordinul celui mai mare minor nenul al matricei și măsoară câtă informație independentă conțin ecuațiile. Împreună cu rangul matricei extinse, el decide complet natura sistemului, prin teorema Kronecker-Capelli.

Rangul: ordinul celui mai mare minor nenul

Matricea extinsă: matricea sistemului plus coloana termenilor liberi

Kronecker-Capelli: sistemul este compatibil ⇔ rang(A) = rang(Ā)

rang = numărul de necunoscute ⇒ compatibil determinat

rang < numărul de necunoscute ⇒ compatibil nedeterminat

Necunoscute secundare = numărul de necunoscute − rangul

Caută întâi un minor de ordin maxim; dacă e nul, coboară cu un ordin.
Rangul extinsei nu poate fi mai mic decât rangul matricei sistemului.
Necunoscutele secundare se tratează ca parametri, iar soluția se scrie în funcție de ele.

Algoritmul universal în 5 pași

Scrie matricea sistemului, luând coeficienții în aceeași ordine în fiecare ecuație.
Completează cu 0 coeficienții necunoscutelor care lipsesc dintr-o ecuație.
Calculează determinantul sistemului și decide dacă metoda lui Cramer se aplică.
Dacă da, calculează câte un determinant pentru fiecare necunoscută și împarte.
Verifică soluția într-o ecuație pe care nu ai folosit-o la calcul.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 22 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Determinant de ordin 2M1 · Mate-Info
Calculați determinantul ||.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 · (−1) − (−3) · 4 = 5
Ex. 2Sistem 2×2 cu CramerM1 · Mate-Info
Rezolvați cu formulele lui Cramer sistemul 7x − 3y = 2, 4x − y = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 5, Δx = 10, Δy = 20, deci x = 2 și y = 4.
Ex. 3Determinant de ordin 3M1 · Mate-Info
Calculați determinantul ||.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−3
Ex. 4Condiția lui CramerM1 · Mate-Info
Un sistem se poate rezolva cu formulele lui Cramer dacă determinantul lui este 0? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: formulele lui Cramer cer determinant nenul.
Ex. 5Sistem 3×3M1 · Mate-Info
Rezolvați sistemul x + y − 4z = 6, 2x − 3y + z = 9, 5x + y − 6z = 14.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 1, y = −3, z = −2 (Δ = −34)
Ex. 6Sistem cu coeficient nulM1 · Mate-Info
Rezolvați sistemul x + y + z = 5, 2x + y + 3z = 9, x + 4z = 6.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 2, y = 2, z = 1
Ex. 7Sistem cu termeni negativiM1 · Mate-Info
Rezolvați sistemul x + y − z = −6, 4x − 5y − 2z = 5, 3x − y − z = −4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = −2, y = −3, z = 1
Ex. 8Verificarea unei soluțiiM1 · Mate-Info
Pentru ce m tripletul (2, 1, 3) este soluție a sistemului 2x − y + z = 6, x + y + mz = 3, x − (m + 1)y + z = 4?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m = 0: din a doua ecuație, 2 + 1 + 3m = 3; a treia dă tot m = 0.
Ex. 9Determinant cu parametruM1 · Mate-Info
Determinați m real știind că || = −12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Determinantul este −5m − 2, iar −5m − 2 = −12 dă m = 2.
Ex. 10Forma matricealăM1 · Mate-Info
Orice sistem liniar se poate scrie sub forma AX = B, unde A este matricea coeficienților? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 11Matrice inversabilăM1 · Mate-Info
Dacă determinantul matricei sistemului este nenul, matricea este inversabilă? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 12Determinantul unui sistemM1 · Mate-Info
Calculați determinantul matricei asociate sistemului x + y + z = 2, 2x + y − z = 3, x − y + 2z = a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−7
Ex. 13Sistem omogenM1 · Mate-Info
Un sistem omogen, cu toți termenii liberi nuli, are întotdeauna cel puțin o soluție? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: are cel puțin soluția banală (0, 0, 0).
Ex. 14Soluții nebanaleM1 · Mate-Info
Determinați m pentru care sistemul omogen x + 2y + z = 0, x − 3y + 4z = 0, 2x − my + 5z = 0 admite și soluții nebanale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Determinantul este 3m − 3, care se anulează pentru m = 1.
Ex. 33Rangul unei matriceM1 · Mate-Info
Determinați rangul matricei .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 (liniile sunt proporționale)
Ex. 34Rang maximM1 · Mate-Info
Determinați rangul matricei .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 (determinantul este −7 ≠ 0)
Ex. 35Teorema Kronecker-CapelliM1 · Mate-Info
Un sistem este compatibil dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 36Compatibilitate determinatăM1 · Mate-Info
Un sistem cu 3 necunoscute în care ambele ranguri sunt 3 are soluție unică? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 37Necunoscute secundareM1 · Mate-Info
Un sistem cu 4 necunoscute are rangul matricei egal cu 3, iar sistemul este compatibil. Câte necunoscute secundare apar?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 − 3 = 1
Ex. 38Sistem omogen cu parametruM1 · Mate-Info
Determinați m pentru care sistemul omogen x + 2y + z = 0, x − 3y + 4z = 0, 2x − my + 5z = 0 are numai soluția banală, precizând valoarea exclusă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pentru orice m ≠ 1 (valoarea exclusă este 1).
Ex. 39Rang și determinant nulM1 · Mate-Info
Determinați rangul matricei .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2: determinantul este 0, dar minorul = −1 ≠ 0.
Ex. 40Sistem de tip CramerM1 · Mate-Info
Un sistem cu tot atâtea ecuații câte necunoscute și cu determinantul nenul se numește sistem de tip Cramer. Este corect? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.