Determinanți, metoda lui Cramer, rang și compatibilitate · nivel M1
Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Recunoaștem matricele · grupa 12
Dimensiunea m×n înseamnă m linii și n coloane. Matricea pătratică are m=n; numai ei îi calculăm determinantul și îi putem căuta inversa obișnuită. Ordinul este numărul liniilor unei matrice pătratice.
Matricea nulă are toate elementele 0. O matrice diagonală este pătratică și are 0 în afara diagonalei principale; pe diagonală poate avea și 0. Identitatea I are 1 pe diagonală și 0 în rest. O matrice triunghiulară are 0 sub sau deasupra diagonalei principale. Aceste clase se pot suprapune: identitatea este și diagonală, și triunghiulară.
✏️Exemplu cu alte date
Clasifică A=3005.
1Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
2Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
3Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Determinanți, metoda lui Cramer, rang și compatibilitate · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.
Recunoaștem matricele · grupa 12
Dimensiunea m×n înseamnă m linii și n coloane. Matricea pătratică are m=n; numai ei îi calculăm determinantul și îi putem căuta inversa obișnuită. Ordinul este numărul liniilor unei matrice pătratice.
Matricea nulă are toate elementele 0. O matrice diagonală este pătratică și are 0 în afara diagonalei principale; pe diagonală poate avea și 0. Identitatea I are 1 pe diagonală și 0 în rest. O matrice triunghiulară are 0 sub sau deasupra diagonalei principale. Aceste clase se pot suprapune: identitatea este și diagonală, și triunghiulară.
Exemplu cu alte date
Clasifică A=3005.
Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.
Recunoaștem matricele · grupa 22
Dimensiunea m×n înseamnă m linii și n coloane. Matricea pătratică are m=n; numai ei îi calculăm determinantul și îi putem căuta inversa obișnuită. Ordinul este numărul liniilor unei matrice pătratice.
Matricea nulă are toate elementele 0. O matrice diagonală este pătratică și are 0 în afara diagonalei principale; pe diagonală poate avea și 0. Identitatea I are 1 pe diagonală și 0 în rest. O matrice triunghiulară are 0 sub sau deasupra diagonalei principale. Aceste clase se pot suprapune: identitatea este și diagonală, și triunghiulară.
Exemplu cu alte date
Clasifică A=3005.
Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.
Din ecuații în matrice: A, X și B
Un sistem este o listă de ecuații care trebuie să fie adevărate simultan. Păstrăm aceeași ordine a necunoscutelor în toate liniile. La termenul x coeficientul este 1; la −x este −1; când lipsește x, coeficientul este 0.
A este matricea coeficienților, X este coloana necunoscutelor, B este coloana termenilor liberi. AX=B reproduce sistemul: fiecare linie se înmulțește cu coloana X. Termenii din dreapta egalului intră în B, nu în A.
AX=B
Exemplu rezolvat · alte date
2x +1y = 5; 1x +1y = 3
Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → 2111. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → 53. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=xy. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Greșeală frecventă:Pun termenii liberi în matricea A.A are câte o coloană pentru fiecare necunoscută. Termenii liberi formează coloana separată B.
Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 14
Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.
La abcd, diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.
Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.
Δ=ad−bc
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 3−122.
Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:ad+bcAl doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.
Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 24
Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.
La abcd, diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.
Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.
Δ=ad−bc
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 3−122.
Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:ad+bcAl doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.
Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 34
Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.
La abcd, diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.
Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.
Δ=ad−bc
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 3−122.
Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:ad+bcAl doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.
Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 44
Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.
La abcd, diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.
Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.
Δ=ad−bc
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 3−122.
Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:ad+bcAl doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.
Determinant 2×2: două produse și o scădere
Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.
La abcd, diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.
Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.
Δ=ad−bc
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 3−122.
Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:ad+bcAl doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.
Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 14
Sarrus se aplică numai unui determinant de ordin 3. Sub cele trei linii ale matricei copiem, în aceeași ordine, primele două linii. Tabelul are acum cinci linii și trei coloane; copiile completează diagonalele, fără să schimbe matricea inițială.
Pornim din prima coloană, pe rând din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre dreapta: obținem trei diagonale principale, colorate verde. Fiecare are trei numere. Înmulțim numerele pe fiecare diagonală, apoi adunăm cele trei produse.
Pornim din ultima coloană, tot din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre stânga: obținem trei diagonale secundare, colorate roșu și desenate întrerupt. Adunăm produsele lor cu semnele numerelor originale. Abia la final scădem întreaga sumă secundară din cea principală.
De exemplu, un produs secundar negativ rămâne negativ în suma lui; scăderea sumei se face după calcul. Sarrus nu se extinde prin copiere la ordinul 4. Dezvoltarea pe minori rămâne o altă metodă, utilă la rang sau când o linie conține multe zerouri.
det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=abcdefghi
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 110011101.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:Scad fiecare număr de pe diagonala secundară.Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.
Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 24
Sarrus se aplică numai unui determinant de ordin 3. Sub cele trei linii ale matricei copiem, în aceeași ordine, primele două linii. Tabelul are acum cinci linii și trei coloane; copiile completează diagonalele, fără să schimbe matricea inițială.
Pornim din prima coloană, pe rând din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre dreapta: obținem trei diagonale principale, colorate verde. Fiecare are trei numere. Înmulțim numerele pe fiecare diagonală, apoi adunăm cele trei produse.
Pornim din ultima coloană, tot din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre stânga: obținem trei diagonale secundare, colorate roșu și desenate întrerupt. Adunăm produsele lor cu semnele numerelor originale. Abia la final scădem întreaga sumă secundară din cea principală.
De exemplu, un produs secundar negativ rămâne negativ în suma lui; scăderea sumei se face după calcul. Sarrus nu se extinde prin copiere la ordinul 4. Dezvoltarea pe minori rămâne o altă metodă, utilă la rang sau când o linie conține multe zerouri.
det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=abcdefghi
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 110011101.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:Scad fiecare număr de pe diagonala secundară.Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.
Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 34
Sarrus se aplică numai unui determinant de ordin 3. Sub cele trei linii ale matricei copiem, în aceeași ordine, primele două linii. Tabelul are acum cinci linii și trei coloane; copiile completează diagonalele, fără să schimbe matricea inițială.
Pornim din prima coloană, pe rând din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre dreapta: obținem trei diagonale principale, colorate verde. Fiecare are trei numere. Înmulțim numerele pe fiecare diagonală, apoi adunăm cele trei produse.
Pornim din ultima coloană, tot din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre stânga: obținem trei diagonale secundare, colorate roșu și desenate întrerupt. Adunăm produsele lor cu semnele numerelor originale. Abia la final scădem întreaga sumă secundară din cea principală.
De exemplu, un produs secundar negativ rămâne negativ în suma lui; scăderea sumei se face după calcul. Sarrus nu se extinde prin copiere la ordinul 4. Dezvoltarea pe minori rămâne o altă metodă, utilă la rang sau când o linie conține multe zerouri.
det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=abcdefghi
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 110011101.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:Scad fiecare număr de pe diagonala secundară.Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.
Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 44
Sarrus se aplică numai unui determinant de ordin 3. Sub cele trei linii ale matricei copiem, în aceeași ordine, primele două linii. Tabelul are acum cinci linii și trei coloane; copiile completează diagonalele, fără să schimbe matricea inițială.
Pornim din prima coloană, pe rând din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre dreapta: obținem trei diagonale principale, colorate verde. Fiecare are trei numere. Înmulțim numerele pe fiecare diagonală, apoi adunăm cele trei produse.
Pornim din ultima coloană, tot din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre stânga: obținem trei diagonale secundare, colorate roșu și desenate întrerupt. Adunăm produsele lor cu semnele numerelor originale. Abia la final scădem întreaga sumă secundară din cea principală.
De exemplu, un produs secundar negativ rămâne negativ în suma lui; scăderea sumei se face după calcul. Sarrus nu se extinde prin copiere la ordinul 4. Dezvoltarea pe minori rămâne o altă metodă, utilă la rang sau când o linie conține multe zerouri.
det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=abcdefghi
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 110011101.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:Scad fiecare număr de pe diagonala secundară.Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.
Determinant 3×3: Sarrus, cu primele două linii copiate
Sarrus se aplică numai unui determinant de ordin 3. Sub cele trei linii ale matricei copiem, în aceeași ordine, primele două linii. Tabelul are acum cinci linii și trei coloane; copiile completează diagonalele, fără să schimbe matricea inițială.
Pornim din prima coloană, pe rând din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre dreapta: obținem trei diagonale principale, colorate verde. Fiecare are trei numere. Înmulțim numerele pe fiecare diagonală, apoi adunăm cele trei produse.
Pornim din ultima coloană, tot din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre stânga: obținem trei diagonale secundare, colorate roșu și desenate întrerupt. Adunăm produsele lor cu semnele numerelor originale. Abia la final scădem întreaga sumă secundară din cea principală.
De exemplu, un produs secundar negativ rămâne negativ în suma lui; scăderea sumei se face după calcul. Sarrus nu se extinde prin copiere la ordinul 4. Dezvoltarea pe minori rămâne o altă metodă, utilă la rang sau când o linie conține multe zerouri.
det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=abcdefghi
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează det 110011101.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Greșeală frecventă:Scad fiecare număr de pe diagonala secundară.Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.
Inversabilitate · grupa 12
Pentru o matrice pătratică, det A≠0 înseamnă inversabilă: există A−1. Dacă det A=0, matricea este singulară și nu are inversă. Un determinant negativ este la fel de bun ca unul pozitiv pentru inversabilitate.
La sistemul pătratic AX=B, un determinant nenul dă soluție unică și permite Cramer sau X=A−1B. Determinantul zero interzice aceste formule, dar nu spune singur dacă sistemul are nicio soluție sau o infinitate. Matricea și sistemul se clasifică separat.
Exemplu cu alte date
Este A=1321 inversabilă?
A este pătratică de ordin 2, deci calculăm determinantul.
det A=1·1−3·2=−5.
−5≠0: A este inversabilă. Semnul negativ nu împiedică existența inversei.
Inversabilitate · grupa 22
Pentru o matrice pătratică, det A≠0 înseamnă inversabilă: există A−1. Dacă det A=0, matricea este singulară și nu are inversă. Un determinant negativ este la fel de bun ca unul pozitiv pentru inversabilitate.
La sistemul pătratic AX=B, un determinant nenul dă soluție unică și permite Cramer sau X=A−1B. Determinantul zero interzice aceste formule, dar nu spune singur dacă sistemul are nicio soluție sau o infinitate. Matricea și sistemul se clasifică separat.
Exemplu cu alte date
Este A=1321 inversabilă?
A este pătratică de ordin 2, deci calculăm determinantul.
det A=1·1−3·2=−5.
−5≠0: A este inversabilă. Semnul negativ nu împiedică existența inversei.
Numărul de soluții · grupa 12
Compatibil determinat înseamnă o soluție, compatibil nedeterminat o infinitate, iar incompatibil nicio soluție. Pentru un sistem pătratic, Δ≠0 dă prima situație. La Δ=0 trebuie studiate și ecuațiile ori, pe M1, rangurile.
În exemplele de ordin 2 de aici, dacă a doua linie a coeficienților este dublul primei, comparăm și termenii liberi. Dacă și termenul liber este dublu, cele două ecuații spun același lucru. Dacă nu este, apare o contradicție. Această verificare de proporționalitate se aplică acestei familii, nu oricărui sistem de ordin 3.
Exemplu cu alte date
Clasifică x+y=4, 2x+2y=8, apoi x+y=4, 2x+2y=9.
În ambele cazuri Δ=1·2−1·2=0; Cramer nu se aplică.
În primul caz și 8=2·4: rămâne x+y=4, deci perechile (4−t,t) pentru orice t real. Sistem compatibil nedeterminat.
În al doilea caz, 9≠2·4: din prima ecuație ar rezulta 2x+2y=8, în contradicție cu a doua. Sistem incompatibil.
Numărul de soluții · grupa 22
Compatibil determinat înseamnă o soluție, compatibil nedeterminat o infinitate, iar incompatibil nicio soluție. Pentru un sistem pătratic, Δ≠0 dă prima situație. La Δ=0 trebuie studiate și ecuațiile ori, pe M1, rangurile.
În exemplele de ordin 2 de aici, dacă a doua linie a coeficienților este dublul primei, comparăm și termenii liberi. Dacă și termenul liber este dublu, cele două ecuații spun același lucru. Dacă nu este, apare o contradicție. Această verificare de proporționalitate se aplică acestei familii, nu oricărui sistem de ordin 3.
Exemplu cu alte date
Clasifică x+y=4, 2x+2y=8, apoi x+y=4, 2x+2y=9.
În ambele cazuri Δ=1·2−1·2=0; Cramer nu se aplică.
În primul caz și 8=2·4: rămâne x+y=4, deci perechile (4−t,t) pentru orice t real. Sistem compatibil nedeterminat.
În al doilea caz, 9≠2·4: din prima ecuație ar rezulta 2x+2y=8, în contradicție cu a doua. Sistem incompatibil.
Soluția este deja dată · o verificăm · grupa 11
O soluție dată se verifică prin substituție în toate ecuațiile: nu trebuie găsită din nou. Pentru necunoscute care trebuie aflate, scriem AX=B și calculăm Δ. La Δ≠0 putem folosi Cramer sau inversa; la Δ=0 studiem compatibilitatea, fără împărțire la zero.
În AX=B, inversa se aplică la stânga: X=A−1B. În XA=B, se aplică la dreapta: X=BA−1. La AX+X=B scoatem X la dreapta: (A+I)X=B; verificăm determinantul noii matrice A+I. Nu există împărțire obișnuită la matrice.
Exemplu cu alte date
Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?
Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.
Alegerea metodei · grupa 12
O soluție dată se verifică prin substituție în toate ecuațiile: nu trebuie găsită din nou. Pentru necunoscute care trebuie aflate, scriem AX=B și calculăm Δ. La Δ≠0 putem folosi Cramer sau inversa; la Δ=0 studiem compatibilitatea, fără împărțire la zero.
În AX=B, inversa se aplică la stânga: X=A−1B. În XA=B, se aplică la dreapta: X=BA−1. La AX+X=B scoatem X la dreapta: (A+I)X=B; verificăm determinantul noii matrice A+I. Nu există împărțire obișnuită la matrice.
Exemplu cu alte date
Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?
Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.
Alegerea metodei · grupa 22
O soluție dată se verifică prin substituție în toate ecuațiile: nu trebuie găsită din nou. Pentru necunoscute care trebuie aflate, scriem AX=B și calculăm Δ. La Δ≠0 putem folosi Cramer sau inversa; la Δ=0 studiem compatibilitatea, fără împărțire la zero.
În AX=B, inversa se aplică la stânga: X=A−1B. În XA=B, se aplică la dreapta: X=BA−1. La AX+X=B scoatem X la dreapta: (A+I)X=B; verificăm determinantul noii matrice A+I. Nu există împărțire obișnuită la matrice.
Exemplu cu alte date
Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?
Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.
Cramer 2×2: toate matricele, calculele și verificarea
Un sistem este o listă de ecuații care trebuie să fie adevărate simultan. Păstrăm aceeași ordine a necunoscutelor în toate liniile. La termenul x coeficientul este 1; la −x este −1; când lipsește x, coeficientul este 0.
A este matricea coeficienților, X este coloana necunoscutelor, B este coloana termenilor liberi. AX=B reproduce sistemul: fiecare linie se înmulțește cu coloana X. Termenii din dreapta egalului intră în B, nu în A.
Cramer se aplică numai unui sistem pătratic cu Δ=det A≠0. Pentru Δx înlocuim coloana lui x cu B; pentru Δy, coloana lui y. Nu înlocuim linii. La trei necunoscute calculăm și Δz. Fiecare determinant se calculează de la început pe noua matrice.
La final x=ΔxΔ, y=ΔyΔ, z=ΔzΔ. Un Δ negativ este permis; zero nu este. Verificăm fiecare ecuație și scriem soluția în ordinea necunoscutelor. La Bac prezentăm matricele, calculele și concluzia, nu doar un triplet.
x=ΔxΔ; y=ΔyΔ; Δ≠0
Exemplu rezolvat · alte date
2x +1y = 5; 1x +1y = 3
Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → 2111. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → 53. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=xy. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Determinantul calculat permite formulele lui Cramer? → Da, Δ≠0. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Pentru Δx, ce înlocuim în A? → Coloana 1, a lui x. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δx? → 5131. Înlocuim coloana 1 cu 5; 3; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Δx: produsul diagonalei principale 5·1 → 5. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 5·1=5.
Δx: produsul diagonalei secundare 1·3 → 3. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·3=3. Acest produs se va scădea.
Δx, principală minus secundară: 5 − 3 → 2. Δx, principală minus secundară: 5 − 3 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 2 : 1 → 2. Aflăm x: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δy, ce înlocuim în A? → Coloana 2, a lui y. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δy? → 2513. Înlocuim coloana 2 cu 5; 3; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Δy: produsul diagonalei principale 2·3 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·3=6.
Δy: produsul diagonalei secundare 5·1 → 5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 5·1=5. Acest produs se va scădea.
Δy, principală minus secundară: 6 − 5 → 1. Δy, principală minus secundară: 6 − 5 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 1 : 1 → 1. Aflăm y: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Înlocuim soluția în ecuația 1. Este 2·2+1·1 egal cu 5? → Da. 2·2+1·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 2. Este 1·2+1·1 egal cu 3? → Da. 1·2+1·1=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Scriem coloana soluției în ordinea necunoscutelor. → 21. X=21. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=1 și am păstrat ordinea x, y.
Greșeală frecventă:Schimb o linie pentru Δx sau scriu x=ΔΔx.Schimbăm numai coloana lui x. Determinantul nou stă la numărător, iar Δ la numitor.
Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral
Un sistem este o listă de ecuații care trebuie să fie adevărate simultan. Păstrăm aceeași ordine a necunoscutelor în toate liniile. La termenul x coeficientul este 1; la −x este −1; când lipsește x, coeficientul este 0.
A este matricea coeficienților, X este coloana necunoscutelor, B este coloana termenilor liberi. AX=B reproduce sistemul: fiecare linie se înmulțește cu coloana X. Termenii din dreapta egalului intră în B, nu în A.
Cramer se aplică numai unui sistem pătratic cu Δ=det A≠0. Pentru Δx înlocuim coloana lui x cu B; pentru Δy, coloana lui y. Nu înlocuim linii. La trei necunoscute calculăm și Δz. Fiecare determinant se calculează de la început pe noua matrice.
La final x=ΔxΔ, y=ΔyΔ, z=ΔzΔ. Un Δ negativ este permis; zero nu este. Verificăm fiecare ecuație și scriem soluția în ordinea necunoscutelor. La Bac prezentăm matricele, calculele și concluzia, nu doar un triplet.
x=ΔxΔ; y=ΔyΔ; z=ΔzΔ; Δ≠0
Exemplu rezolvat · alte date
1x +1y +0z = 5; 0x +1y +1z = 3; 1x +0y +1z = 4
Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → 110011101. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → 534. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Determinantul calculat permite formulele lui Cramer? → Da, Δ≠0. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Pentru Δx, ce înlocuim în A? → Coloana 1, a lui x. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δx? → 510311401. Înlocuim coloana 1 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δx, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δx, diagonala principală 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma principală.
Δx, diagonala principală 2: 3·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 3, 0, 0, deci produsul este 3·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δx, diagonala principală 3: 4·1·1 → 4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 4, 1, 1, deci produsul este 4·1·1=4. Îl includem în suma principală.
Δx: suma celor trei produse principale 5+0+4 → 9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+4=9.
Δx, diagonala secundară 1: 0·1·4 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 4, deci produsul este 0·1·4=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx, diagonala secundară 2: 1·0·5 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 5, deci produsul este 1·0·5=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx, diagonala secundară 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx: suma celor trei produse secundare 0+0+3 → 3. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+3=3.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 → 6. Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 6 : 2 → 3. Aflăm x: 6 : 2 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δy, ce înlocuim în A? → Coloana 2, a lui y. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δy? → 150031141. Înlocuim coloana 2 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δy, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δy, diagonala principală 1: 1·3·1 → 3. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 3, 1, deci produsul este 1·3·1=3. Îl includem în suma principală.
Δy, diagonala principală 2: 0·4·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma principală.
Δy, diagonala principală 3: 1·5·1 → 5. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 5, 1, deci produsul este 1·5·1=5. Îl includem în suma principală.
Δy: suma celor trei produse principale 3+0+5 → 8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 3+0+5=8.
Δy, diagonala secundară 1: 0·3·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 3, 1, deci produsul este 0·3·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy, diagonala secundară 2: 1·4·1 → 4. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy, diagonala secundară 3: 1·5·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 5, 0, deci produsul este 1·5·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy: suma celor trei produse secundare 0+4+0 → 4. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+4+0=4.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 → 4. Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 4 : 2 → 2. Aflăm y: 4 : 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δz, ce înlocuim în A? → Coloana 3, a lui z. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δz? → 115013104. Înlocuim coloana 3 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δz, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δz, diagonala principală 1: 1·1·4 → 4. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 4, deci produsul este 1·1·4=4. Îl includem în suma principală.
Δz, diagonala principală 2: 0·0·5 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 5, deci produsul este 0·0·5=0. Îl includem în suma principală.
Δz, diagonala principală 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma principală.
Δz: suma celor trei produse principale 4+0+3 → 7. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+3=7.
Δz, diagonala secundară 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz, diagonala secundară 2: 3·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 1, deci produsul este 3·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz, diagonala secundară 3: 4·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 0, deci produsul este 4·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz: suma celor trei produse secundare 5+0+0 → 5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+0=5.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 → 2. Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 2 : 2 → 1. Aflăm z: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Înlocuim soluția în ecuația 1. Este 1·3+1·2+0·1 egal cu 5? → Da. 1·3+1·2+0·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 2. Este 0·3+1·2+1·1 egal cu 3? → Da. 0·3+1·2+1·1=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 3. Este 1·3+0·2+1·1 egal cu 4? → Da. 1·3+0·2+1·1=4 = 4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Scriem coloana soluției în ordinea necunoscutelor. → 321. X=321. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea x, y, z.
Greșeală frecventă:Schimb o linie pentru Δx sau scriu x=ΔΔx.Schimbăm numai coloana lui x. Determinantul nou stă la numărător, iar Δ la numitor.
Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral
Un sistem este o listă de ecuații care trebuie să fie adevărate simultan. Păstrăm aceeași ordine a necunoscutelor în toate liniile. La termenul x coeficientul este 1; la −x este −1; când lipsește x, coeficientul este 0.
A este matricea coeficienților, X este coloana necunoscutelor, B este coloana termenilor liberi. AX=B reproduce sistemul: fiecare linie se înmulțește cu coloana X. Termenii din dreapta egalului intră în B, nu în A.
Cramer se aplică numai unui sistem pătratic cu Δ=det A≠0. Pentru Δx înlocuim coloana lui x cu B; pentru Δy, coloana lui y. Nu înlocuim linii. La trei necunoscute calculăm și Δz. Fiecare determinant se calculează de la început pe noua matrice.
La final x=ΔxΔ, y=ΔyΔ, z=ΔzΔ. Un Δ negativ este permis; zero nu este. Verificăm fiecare ecuație și scriem soluția în ordinea necunoscutelor. La Bac prezentăm matricele, calculele și concluzia, nu doar un triplet.
x=ΔxΔ; y=ΔyΔ; z=ΔzΔ; Δ≠0
Exemplu rezolvat · alte date
1x +1y +0z = 5; 0x +1y +1z = 3; 1x +0y +1z = 4
Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → 110011101. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → 534. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Determinantul calculat permite formulele lui Cramer? → Da, Δ≠0. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Pentru Δx, ce înlocuim în A? → Coloana 1, a lui x. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δx? → 510311401. Înlocuim coloana 1 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δx, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δx, diagonala principală 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma principală.
Δx, diagonala principală 2: 3·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 3, 0, 0, deci produsul este 3·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δx, diagonala principală 3: 4·1·1 → 4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 4, 1, 1, deci produsul este 4·1·1=4. Îl includem în suma principală.
Δx: suma celor trei produse principale 5+0+4 → 9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+4=9.
Δx, diagonala secundară 1: 0·1·4 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 4, deci produsul este 0·1·4=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx, diagonala secundară 2: 1·0·5 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 5, deci produsul este 1·0·5=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx, diagonala secundară 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx: suma celor trei produse secundare 0+0+3 → 3. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+3=3.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 → 6. Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 6 : 2 → 3. Aflăm x: 6 : 2 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δy, ce înlocuim în A? → Coloana 2, a lui y. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δy? → 150031141. Înlocuim coloana 2 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δy, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δy, diagonala principală 1: 1·3·1 → 3. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 3, 1, deci produsul este 1·3·1=3. Îl includem în suma principală.
Δy, diagonala principală 2: 0·4·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma principală.
Δy, diagonala principală 3: 1·5·1 → 5. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 5, 1, deci produsul este 1·5·1=5. Îl includem în suma principală.
Δy: suma celor trei produse principale 3+0+5 → 8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 3+0+5=8.
Δy, diagonala secundară 1: 0·3·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 3, 1, deci produsul este 0·3·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy, diagonala secundară 2: 1·4·1 → 4. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy, diagonala secundară 3: 1·5·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 5, 0, deci produsul este 1·5·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy: suma celor trei produse secundare 0+4+0 → 4. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+4+0=4.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 → 4. Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 4 : 2 → 2. Aflăm y: 4 : 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δz, ce înlocuim în A? → Coloana 3, a lui z. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δz? → 115013104. Înlocuim coloana 3 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δz, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δz, diagonala principală 1: 1·1·4 → 4. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 4, deci produsul este 1·1·4=4. Îl includem în suma principală.
Δz, diagonala principală 2: 0·0·5 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 5, deci produsul este 0·0·5=0. Îl includem în suma principală.
Δz, diagonala principală 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma principală.
Δz: suma celor trei produse principale 4+0+3 → 7. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+3=7.
Δz, diagonala secundară 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz, diagonala secundară 2: 3·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 1, deci produsul este 3·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz, diagonala secundară 3: 4·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 0, deci produsul este 4·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz: suma celor trei produse secundare 5+0+0 → 5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+0=5.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 → 2. Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 2 : 2 → 1. Aflăm z: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Înlocuim soluția în ecuația 1. Este 1·3+1·2+0·1 egal cu 5? → Da. 1·3+1·2+0·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 2. Este 0·3+1·2+1·1 egal cu 3? → Da. 0·3+1·2+1·1=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 3. Este 1·3+0·2+1·1 egal cu 4? → Da. 1·3+0·2+1·1=4 = 4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Scriem coloana soluției în ordinea necunoscutelor. → 321. X=321. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea x, y, z.
Greșeală frecventă:Schimb o linie pentru Δx sau scriu x=ΔΔx.Schimbăm numai coloana lui x. Determinantul nou stă la numărător, iar Δ la numitor.
Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral
Un sistem este o listă de ecuații care trebuie să fie adevărate simultan. Păstrăm aceeași ordine a necunoscutelor în toate liniile. La termenul x coeficientul este 1; la −x este −1; când lipsește x, coeficientul este 0.
A este matricea coeficienților, X este coloana necunoscutelor, B este coloana termenilor liberi. AX=B reproduce sistemul: fiecare linie se înmulțește cu coloana X. Termenii din dreapta egalului intră în B, nu în A.
Cramer se aplică numai unui sistem pătratic cu Δ=det A≠0. Pentru Δx înlocuim coloana lui x cu B; pentru Δy, coloana lui y. Nu înlocuim linii. La trei necunoscute calculăm și Δz. Fiecare determinant se calculează de la început pe noua matrice.
La final x=ΔxΔ, y=ΔyΔ, z=ΔzΔ. Un Δ negativ este permis; zero nu este. Verificăm fiecare ecuație și scriem soluția în ordinea necunoscutelor. La Bac prezentăm matricele, calculele și concluzia, nu doar un triplet.
x=ΔxΔ; y=ΔyΔ; z=ΔzΔ; Δ≠0
Exemplu rezolvat · alte date
1x +1y +0z = 5; 0x +1y +1z = 3; 1x +0y +1z = 4
Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → 110011101. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → 534. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Determinantul calculat permite formulele lui Cramer? → Da, Δ≠0. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Pentru Δx, ce înlocuim în A? → Coloana 1, a lui x. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δx? → 510311401. Înlocuim coloana 1 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δx, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δx, diagonala principală 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma principală.
Δx, diagonala principală 2: 3·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 3, 0, 0, deci produsul este 3·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δx, diagonala principală 3: 4·1·1 → 4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 4, 1, 1, deci produsul este 4·1·1=4. Îl includem în suma principală.
Δx: suma celor trei produse principale 5+0+4 → 9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+4=9.
Δx, diagonala secundară 1: 0·1·4 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 4, deci produsul este 0·1·4=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx, diagonala secundară 2: 1·0·5 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 5, deci produsul este 1·0·5=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx, diagonala secundară 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx: suma celor trei produse secundare 0+0+3 → 3. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+3=3.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 → 6. Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 6 : 2 → 3. Aflăm x: 6 : 2 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δy, ce înlocuim în A? → Coloana 2, a lui y. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δy? → 150031141. Înlocuim coloana 2 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δy, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δy, diagonala principală 1: 1·3·1 → 3. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 3, 1, deci produsul este 1·3·1=3. Îl includem în suma principală.
Δy, diagonala principală 2: 0·4·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma principală.
Δy, diagonala principală 3: 1·5·1 → 5. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 5, 1, deci produsul este 1·5·1=5. Îl includem în suma principală.
Δy: suma celor trei produse principale 3+0+5 → 8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 3+0+5=8.
Δy, diagonala secundară 1: 0·3·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 3, 1, deci produsul este 0·3·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy, diagonala secundară 2: 1·4·1 → 4. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy, diagonala secundară 3: 1·5·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 5, 0, deci produsul este 1·5·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy: suma celor trei produse secundare 0+4+0 → 4. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+4+0=4.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 → 4. Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 4 : 2 → 2. Aflăm y: 4 : 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δz, ce înlocuim în A? → Coloana 3, a lui z. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δz? → 115013104. Înlocuim coloana 3 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δz, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δz, diagonala principală 1: 1·1·4 → 4. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 4, deci produsul este 1·1·4=4. Îl includem în suma principală.
Δz, diagonala principală 2: 0·0·5 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 5, deci produsul este 0·0·5=0. Îl includem în suma principală.
Δz, diagonala principală 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma principală.
Δz: suma celor trei produse principale 4+0+3 → 7. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+3=7.
Δz, diagonala secundară 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz, diagonala secundară 2: 3·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 1, deci produsul este 3·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz, diagonala secundară 3: 4·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 0, deci produsul este 4·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz: suma celor trei produse secundare 5+0+0 → 5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+0=5.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 → 2. Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 2 : 2 → 1. Aflăm z: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Înlocuim soluția în ecuația 1. Este 1·3+1·2+0·1 egal cu 5? → Da. 1·3+1·2+0·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 2. Este 0·3+1·2+1·1 egal cu 3? → Da. 0·3+1·2+1·1=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 3. Este 1·3+0·2+1·1 egal cu 4? → Da. 1·3+0·2+1·1=4 = 4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Scriem coloana soluției în ordinea necunoscutelor. → 321. X=321. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea x, y, z.
Greșeală frecventă:Schimb o linie pentru Δx sau scriu x=ΔΔx.Schimbăm numai coloana lui x. Determinantul nou stă la numărător, iar Δ la numitor.
Cramer 3×3: cei patru determinanți, calculați integral
Un sistem este o listă de ecuații care trebuie să fie adevărate simultan. Păstrăm aceeași ordine a necunoscutelor în toate liniile. La termenul x coeficientul este 1; la −x este −1; când lipsește x, coeficientul este 0.
A este matricea coeficienților, X este coloana necunoscutelor, B este coloana termenilor liberi. AX=B reproduce sistemul: fiecare linie se înmulțește cu coloana X. Termenii din dreapta egalului intră în B, nu în A.
Cramer se aplică numai unui sistem pătratic cu Δ=det A≠0. Pentru Δx înlocuim coloana lui x cu B; pentru Δy, coloana lui y. Nu înlocuim linii. La trei necunoscute calculăm și Δz. Fiecare determinant se calculează de la început pe noua matrice.
La final x=ΔxΔ, y=ΔyΔ, z=ΔzΔ. Un Δ negativ este permis; zero nu este. Verificăm fiecare ecuație și scriem soluția în ordinea necunoscutelor. La Bac prezentăm matricele, calculele și concluzia, nu doar un triplet.
x=ΔxΔ; y=ΔyΔ; z=ΔzΔ; Δ≠0
Exemplu rezolvat · alte date
1x +1y +0z = 5; 0x +1y +1z = 3; 1x +0y +1z = 4
Păstrăm ordinea necunoscutelor. Care este matricea coeficienților A? → 110011101. Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
Care este coloana termenilor liberi B? → 534. B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
Cum scriem sistemul folosind matricele? → AX=B. X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Determinantul calculat permite formulele lui Cramer? → Da, Δ≠0. Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Pentru Δx, ce înlocuim în A? → Coloana 1, a lui x. Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δx? → 510311401. Înlocuim coloana 1 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δx, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δx, diagonala principală 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma principală.
Δx, diagonala principală 2: 3·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 3, 0, 0, deci produsul este 3·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δx, diagonala principală 3: 4·1·1 → 4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 4, 1, 1, deci produsul este 4·1·1=4. Îl includem în suma principală.
Δx: suma celor trei produse principale 5+0+4 → 9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+4=9.
Δx, diagonala secundară 1: 0·1·4 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 4, deci produsul este 0·1·4=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx, diagonala secundară 2: 1·0·5 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 5, deci produsul este 1·0·5=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx, diagonala secundară 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δx: suma celor trei produse secundare 0+0+3 → 3. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+3=3.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 → 6. Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 9 − 3 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 6 : 2 → 3. Aflăm x: 6 : 2 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δy, ce înlocuim în A? → Coloana 2, a lui y. Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δy? → 150031141. Înlocuim coloana 2 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δy, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δy, diagonala principală 1: 1·3·1 → 3. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 3, 1, deci produsul este 1·3·1=3. Îl includem în suma principală.
Δy, diagonala principală 2: 0·4·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma principală.
Δy, diagonala principală 3: 1·5·1 → 5. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 5, 1, deci produsul este 1·5·1=5. Îl includem în suma principală.
Δy: suma celor trei produse principale 3+0+5 → 8. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 3+0+5=8.
Δy, diagonala secundară 1: 0·3·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 3, 1, deci produsul este 0·3·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy, diagonala secundară 2: 1·4·1 → 4. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy, diagonala secundară 3: 1·5·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 5, 0, deci produsul este 1·5·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δy: suma celor trei produse secundare 0+4+0 → 4. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+4+0=4.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 → 4. Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 4 : 2 → 2. Aflăm y: 4 : 2 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Pentru Δz, ce înlocuim în A? → Coloana 3, a lui z. Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Care este matricea pentru Δz? → 115013104. Înlocuim coloana 3 cu 5; 3; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Pentru Sarrus la Δz, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δz, diagonala principală 1: 1·1·4 → 4. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 4, deci produsul este 1·1·4=4. Îl includem în suma principală.
Δz, diagonala principală 2: 0·0·5 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 5, deci produsul este 0·0·5=0. Îl includem în suma principală.
Δz, diagonala principală 3: 1·1·3 → 3. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma principală.
Δz: suma celor trei produse principale 4+0+3 → 7. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+3=7.
Δz, diagonala secundară 1: 5·1·1 → 5. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz, diagonala secundară 2: 3·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 1, deci produsul este 3·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz, diagonala secundară 3: 4·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 0, deci produsul este 4·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δz: suma celor trei produse secundare 5+0+0 → 5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+0=5.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 → 2. Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 5 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 2 : 2 → 1. Aflăm z: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Înlocuim soluția în ecuația 1. Este 1·3+1·2+0·1 egal cu 5? → Da. 1·3+1·2+0·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 2. Este 0·3+1·2+1·1 egal cu 3? → Da. 0·3+1·2+1·1=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Înlocuim soluția în ecuația 3. Este 1·3+0·2+1·1 egal cu 4? → Da. 1·3+0·2+1·1=4 = 4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Scriem coloana soluției în ordinea necunoscutelor. → 321. X=321. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=2 și am păstrat ordinea x, y, z.
Greșeală frecventă:Schimb o linie pentru Δx sau scriu x=ΔΔx.Schimbăm numai coloana lui x. Determinantul nou stă la numărător, iar Δ la numitor.
Metoda matricei inverse: X=A−1B, element cu element
Dacă Δ≠0, există A−1 cu A−1A=AA−1=I. Din AX=B înmulțim la stânga cu A−1 și obținem X=A−1B. Nu există o operație obișnuită de «împărțire la matrice». La XA=B am înmulți la dreapta și am obține X=BA−1.
Pentru A=abcd, A−1=(1Δ)d−b−ca. Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.
În produsul A−1B, fiecare element se obține dintr-o linie și o coloană. Înmulțim elementele corespondente și adunăm produsele. La B coloană obținem soluția sistemului; la B matrice obținem o matrice X. Verificăm produsul AX=B.
A−1=(1ad−bc)d−b−ca
AX=B ⇒ X=A−1B, det A≠0
Exemplu rezolvat · alte date
2x +1y = 5; 1x +1y = 3
Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A−1B. Înmulțim la stânga cu A−1: A−1AX=A−1B. Asociativitatea și A−1A=I dau X=A−1B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → 1−1−12. Pentru A=abcd, inversa este (1Δ)d−b−ca. Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → 1−1−12. A−1=1−1−12. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → 21. Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
Greșeală frecventă:X=BA−1 pentru AX=B.Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.
Parametrul: determinant și valorile critice
Parametrul m este un număr încă necunoscut din coeficienții sistemului. Înainte de Cramer calculăm Δ(m), păstrând litera m. Nu înlocuim m cu termenul liber și nu îl confundăm cu necunoscutele x,y.
Pentru soluție unică cerem Δ(m)≠0. Rezolvăm Δ(m)=0 ca să aflăm valorile excluse. Pentru fiecare valoare critică înlocuim m în toate ecuațiile și comparăm coeficienții cu termenii liberi. Determinantul zero nu decide singur compatibilitatea.
Dacă enunțul cere Δ(m)=k, rezolvăm ecuația pentru k dat; nu impunem automat zero. La o soluție dată, substituim valorile necunoscutelor în toate ecuațiile, inclusiv cele care conțin parametrul.
soluție unică ⇔ Δ(m)≠0 (sistem pătratic)
Exemplu rezolvat · alte date
Discută mx+y=2, x+y=1.
A=m111, B=21. Ordinea necunoscutelor este x,y.
Produsul principal este m·1=m; produsul secundar este 1·1=1. Δ=m−1.
Δ=0 când m=1. Pentru m≠1 sistemul este de tip Cramer.
Înlocuim coloana lui x: Δx=2·1−1·1=1. Pentru y: Δy=m·1−2·1=m−2.
Pentru m≠1, x=1m−1, y=m−2m−1. Am păstrat restricția.
Pentru m=1, ecuațiile sunt x+y=2 și x+y=1, incompatibile. Nu folosim rapoarte cu numitorul zero.
Greșeală frecventă:Δ=0 pentru m=1, deci pentru orice m nu există soluții.Concluzia se separă pe cazuri. Doar valoarea critică m=1 cere studiu suplimentar; celelalte dau soluție unică.
Parametrul: determinant și valorile critice
Parametrul m este un număr încă necunoscut din coeficienții sistemului. Înainte de Cramer calculăm Δ(m), păstrând litera m. Nu înlocuim m cu termenul liber și nu îl confundăm cu necunoscutele x,y.
Pentru soluție unică cerem Δ(m)≠0. Rezolvăm Δ(m)=0 ca să aflăm valorile excluse. Pentru fiecare valoare critică înlocuim m în toate ecuațiile și comparăm coeficienții cu termenii liberi. Determinantul zero nu decide singur compatibilitatea.
Dacă enunțul cere Δ(m)=k, rezolvăm ecuația pentru k dat; nu impunem automat zero. La o soluție dată, substituim valorile necunoscutelor în toate ecuațiile, inclusiv cele care conțin parametrul.
soluție unică ⇔ Δ(m)≠0 (sistem pătratic)
Exemplu rezolvat · alte date
Discută mx+y=2, x+y=1.
A=m111, B=21. Ordinea necunoscutelor este x,y.
Produsul principal este m·1=m; produsul secundar este 1·1=1. Δ=m−1.
Δ=0 când m=1. Pentru m≠1 sistemul este de tip Cramer.
Înlocuim coloana lui x: Δx=2·1−1·1=1. Pentru y: Δy=m·1−2·1=m−2.
Pentru m≠1, x=1m−1, y=m−2m−1. Am păstrat restricția.
Pentru m=1, ecuațiile sunt x+y=2 și x+y=1, incompatibile. Nu folosim rapoarte cu numitorul zero.
Greșeală frecventă:Δ=0 pentru m=1, deci pentru orice m nu există soluții.Concluzia se separă pe cazuri. Doar valoarea critică m=1 cere studiu suplimentar; celelalte dau soluție unică.
Parametrul: determinant și valorile critice
Parametrul m este un număr încă necunoscut din coeficienții sistemului. Înainte de Cramer calculăm Δ(m), păstrând litera m. Nu înlocuim m cu termenul liber și nu îl confundăm cu necunoscutele x,y.
Pentru soluție unică cerem Δ(m)≠0. Rezolvăm Δ(m)=0 ca să aflăm valorile excluse. Pentru fiecare valoare critică înlocuim m în toate ecuațiile și comparăm coeficienții cu termenii liberi. Determinantul zero nu decide singur compatibilitatea.
Dacă enunțul cere Δ(m)=k, rezolvăm ecuația pentru k dat; nu impunem automat zero. La o soluție dată, substituim valorile necunoscutelor în toate ecuațiile, inclusiv cele care conțin parametrul.
soluție unică ⇔ Δ(m)≠0 (sistem pătratic)
Exemplu rezolvat · alte date
Discută mx+y=2, x+y=1.
A=m111, B=21. Ordinea necunoscutelor este x,y.
Produsul principal este m·1=m; produsul secundar este 1·1=1. Δ=m−1.
Δ=0 când m=1. Pentru m≠1 sistemul este de tip Cramer.
Înlocuim coloana lui x: Δx=2·1−1·1=1. Pentru y: Δy=m·1−2·1=m−2.
Pentru m≠1, x=1m−1, y=m−2m−1. Am păstrat restricția.
Pentru m=1, ecuațiile sunt x+y=2 și x+y=1, incompatibile. Nu folosim rapoarte cu numitorul zero.
Greșeală frecventă:Δ=0 pentru m=1, deci pentru orice m nu există soluții.Concluzia se separă pe cazuri. Doar valoarea critică m=1 cere studiu suplimentar; celelalte dau soluție unică.
Parametrul: determinant și valorile critice
Parametrul m este un număr încă necunoscut din coeficienții sistemului. Înainte de Cramer calculăm Δ(m), păstrând litera m. Nu înlocuim m cu termenul liber și nu îl confundăm cu necunoscutele x,y.
Pentru soluție unică cerem Δ(m)≠0. Rezolvăm Δ(m)=0 ca să aflăm valorile excluse. Pentru fiecare valoare critică înlocuim m în toate ecuațiile și comparăm coeficienții cu termenii liberi. Determinantul zero nu decide singur compatibilitatea.
Dacă enunțul cere Δ(m)=k, rezolvăm ecuația pentru k dat; nu impunem automat zero. La o soluție dată, substituim valorile necunoscutelor în toate ecuațiile, inclusiv cele care conțin parametrul.
soluție unică ⇔ Δ(m)≠0 (sistem pătratic)
Exemplu rezolvat · alte date
Discută mx+y=2, x+y=1.
A=m111, B=21. Ordinea necunoscutelor este x,y.
Produsul principal este m·1=m; produsul secundar este 1·1=1. Δ=m−1.
Δ=0 când m=1. Pentru m≠1 sistemul este de tip Cramer.
Înlocuim coloana lui x: Δx=2·1−1·1=1. Pentru y: Δy=m·1−2·1=m−2.
Pentru m≠1, x=1m−1, y=m−2m−1. Am păstrat restricția.
Pentru m=1, ecuațiile sunt x+y=2 și x+y=1, incompatibile. Nu folosim rapoarte cu numitorul zero.
Greșeală frecventă:Δ=0 pentru m=1, deci pentru orice m nu există soluții.Concluzia se separă pe cazuri. Doar valoarea critică m=1 cere studiu suplimentar; celelalte dau soluție unică.
Parametrul: determinant și valorile critice
Parametrul m este un număr încă necunoscut din coeficienții sistemului. Înainte de Cramer calculăm Δ(m), păstrând litera m. Nu înlocuim m cu termenul liber și nu îl confundăm cu necunoscutele x,y.
Pentru soluție unică cerem Δ(m)≠0. Rezolvăm Δ(m)=0 ca să aflăm valorile excluse. Pentru fiecare valoare critică înlocuim m în toate ecuațiile și comparăm coeficienții cu termenii liberi. Determinantul zero nu decide singur compatibilitatea.
Dacă enunțul cere Δ(m)=k, rezolvăm ecuația pentru k dat; nu impunem automat zero. La o soluție dată, substituim valorile necunoscutelor în toate ecuațiile, inclusiv cele care conțin parametrul.
soluție unică ⇔ Δ(m)≠0 (sistem pătratic)
Exemplu rezolvat · alte date
Discută mx+y=2, x+y=1.
A=m111, B=21. Ordinea necunoscutelor este x,y.
Produsul principal este m·1=m; produsul secundar este 1·1=1. Δ=m−1.
Δ=0 când m=1. Pentru m≠1 sistemul este de tip Cramer.
Înlocuim coloana lui x: Δx=2·1−1·1=1. Pentru y: Δy=m·1−2·1=m−2.
Pentru m≠1, x=1m−1, y=m−2m−1. Am păstrat restricția.
Pentru m=1, ecuațiile sunt x+y=2 și x+y=1, incompatibile. Nu folosim rapoarte cu numitorul zero.
Greșeală frecventă:Δ=0 pentru m=1, deci pentru orice m nu există soluții.Concluzia se separă pe cazuri. Doar valoarea critică m=1 cere studiu suplimentar; celelalte dau soluție unică.
Parametrul: determinant și valorile critice
Parametrul m este un număr încă necunoscut din coeficienții sistemului. Înainte de Cramer calculăm Δ(m), păstrând litera m. Nu înlocuim m cu termenul liber și nu îl confundăm cu necunoscutele x,y.
Pentru soluție unică cerem Δ(m)≠0. Rezolvăm Δ(m)=0 ca să aflăm valorile excluse. Pentru fiecare valoare critică înlocuim m în toate ecuațiile și comparăm coeficienții cu termenii liberi. Determinantul zero nu decide singur compatibilitatea.
Dacă enunțul cere Δ(m)=k, rezolvăm ecuația pentru k dat; nu impunem automat zero. La o soluție dată, substituim valorile necunoscutelor în toate ecuațiile, inclusiv cele care conțin parametrul.
soluție unică ⇔ Δ(m)≠0 (sistem pătratic)
Exemplu rezolvat · alte date
Discută mx+y=2, x+y=1.
A=m111, B=21. Ordinea necunoscutelor este x,y.
Produsul principal este m·1=m; produsul secundar este 1·1=1. Δ=m−1.
Δ=0 când m=1. Pentru m≠1 sistemul este de tip Cramer.
Înlocuim coloana lui x: Δx=2·1−1·1=1. Pentru y: Δy=m·1−2·1=m−2.
Pentru m≠1, x=1m−1, y=m−2m−1. Am păstrat restricția.
Pentru m=1, ecuațiile sunt x+y=2 și x+y=1, incompatibile. Nu folosim rapoarte cu numitorul zero.
Greșeală frecventă:Δ=0 pentru m=1, deci pentru orice m nu există soluții.Concluzia se separă pe cazuri. Doar valoarea critică m=1 cere studiu suplimentar; celelalte dau soluție unică.
Sistemul omogen: soluția zero și soluțiile nebanale
Calculăm matricea coeficienților și determinantul înainte de a decide metoda. Nu folosim formulele lui Cramer la Δ=0. Pentru o matrice pătratică, Δ≠0 înseamnă inversabilitate și soluție unică.
La AX=0, coloana zero este mereu soluție. Dacă Δ≠0, Cramer dă toate necunoscutele zero și este singura soluție. La Δ=0, pentru un sistem pătratic omogen există și soluții nebanale. Rezolvăm condiția Δ(m)=0.
La Δ=0 putem compara ecuațiile sau, la M1, rangurile matricei coeficienților și matricei extinse [A|B]. Ranguri diferite înseamnă incompatibil; ranguri egale, mai mici decât numărul necunoscutelor, înseamnă infinitate de soluții. Eliminarea este utilă aici, după constatarea că Cramer nu se aplică.
Δ≠0 ⇔ soluție unică (sistem pătratic)
AX=0 și Δ≠0 ⇒ X=0
Exemplu rezolvat · alte date
Discută x+2y=4, 2x+4y=t.
A=1224, deci Δ=1·4−2·2=0.
A doua linie a coeficienților este dublul primei. Aceeași relație trebuie să existe între termenii liberi: t=2·4=8.
Pentru t=8, orice pereche (4−2s,s), s real, verifică ambele ecuații: infinitate de soluții.
Pentru t≠8, aceiași membri stângi ar trebui să aibă termeni liberi diferiți: nicio soluție.
Nu împărțim la Δ=0 și nu declarăm automat sistemul incompatibil.
Greșeală frecventă:Δ=0 ⇒ nicio soluție.Δ=0 exclude numai soluția unică. Termenii liberi decid dacă rămâne o infinitate sau apare o contradicție.
Δ=0: verificăm compatibilitatea, fără împărțire
Calculăm matricea coeficienților și determinantul înainte de a decide metoda. Nu folosim formulele lui Cramer la Δ=0. Pentru o matrice pătratică, Δ≠0 înseamnă inversabilitate și soluție unică.
Dacă un parametru apare în coeficienți, determinantul rămâne o expresie în acel parametru. Rezolvăm Δ(m)=0 ca să găsim valorile excluse pentru soluția unică. Înlocuim fiecare valoare critică în sistem înainte de concluzia despre numărul de soluții.
La Δ=0 putem compara ecuațiile sau, la M1, rangurile matricei coeficienților și matricei extinse [A|B]. Ranguri diferite înseamnă incompatibil; ranguri egale, mai mici decât numărul necunoscutelor, înseamnă infinitate de soluții. Eliminarea este utilă aici, după constatarea că Cramer nu se aplică.
Δ≠0 ⇔ soluție unică (sistem pătratic)
AX=0 și Δ≠0 ⇒ X=0
Exemplu rezolvat · alte date
Discută x+2y=4, 2x+4y=t.
A=1224, deci Δ=1·4−2·2=0.
A doua linie a coeficienților este dublul primei. Aceeași relație trebuie să existe între termenii liberi: t=2·4=8.
Pentru t=8, orice pereche (4−2s,s), s real, verifică ambele ecuații: infinitate de soluții.
Pentru t≠8, aceiași membri stângi ar trebui să aibă termeni liberi diferiți: nicio soluție.
Nu împărțim la Δ=0 și nu declarăm automat sistemul incompatibil.
Greșeală frecventă:Δ=0 ⇒ nicio soluție.Δ=0 exclude numai soluția unică. Termenii liberi decid dacă rămâne o infinitate sau apare o contradicție.
Rangul și compatibilitatea · M1
Rangul este ordinul celui mai mare minor nenul. Un determinant de ordin 3 nul exclude rangul 3; nu dovedește încă rangul 2. Căutăm efectiv un minor 2×2 nenul. Dacă toate sunt nule, căutăm un element nenul; numai matricea nulă are rang 0.
Matricea extinsă [A|B] se obține adăugând coloana termenilor liberi. Teorema Kronecker–Capelli spune că sistemul este compatibil exact când cele două ranguri sunt egale. Dacă rangul comun este numărul necunoscutelor, soluția este unică; dacă este mai mic, rămân necunoscute libere.
Numărul necunoscutelor secundare este numărul total al necunoscutelor minus rangul, pentru un sistem compatibil. Nu aplicăm această concluzie înainte de a compara rangurile.
rang A=rang [A|B] ⇔ compatibil
necunoscute secundare=n−rang A
Exemplu rezolvat · alte date
A=123246011. Află rangul.
Linia 2 este dublul liniei 1. Determinantul 3×3 este 0, deci rangul nu poate fi 3.
Alegem liniile 1 și 3, coloanele 1 și 2: minorul 1201.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·0=0. Acest produs se va scădea.
M, principală minus secundară: 1 − 0 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Minorul este 1≠0. Rangul este cel puțin 2 și cel mult 2, deci exact 2.
Greșeală frecventă:det A=0, deci rang A=2.Trebuie să găsești un minor de ordin 2 nenul. Dacă toți ar fi nuli, rangul ar fi mai mic.
Rangul și compatibilitatea · M1
Rangul este ordinul celui mai mare minor nenul. Un determinant de ordin 3 nul exclude rangul 3; nu dovedește încă rangul 2. Căutăm efectiv un minor 2×2 nenul. Dacă toate sunt nule, căutăm un element nenul; numai matricea nulă are rang 0.
Matricea extinsă [A|B] se obține adăugând coloana termenilor liberi. Teorema Kronecker–Capelli spune că sistemul este compatibil exact când cele două ranguri sunt egale. Dacă rangul comun este numărul necunoscutelor, soluția este unică; dacă este mai mic, rămân necunoscute libere.
Numărul necunoscutelor secundare este numărul total al necunoscutelor minus rangul, pentru un sistem compatibil. Nu aplicăm această concluzie înainte de a compara rangurile.
rang A=rang [A|B] ⇔ compatibil
necunoscute secundare=n−rang A
Exemplu rezolvat · alte date
A=123246011. Află rangul.
Linia 2 este dublul liniei 1. Determinantul 3×3 este 0, deci rangul nu poate fi 3.
Alegem liniile 1 și 3, coloanele 1 și 2: minorul 1201.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·0=0. Acest produs se va scădea.
M, principală minus secundară: 1 − 0 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Minorul este 1≠0. Rangul este cel puțin 2 și cel mult 2, deci exact 2.
Greșeală frecventă:det A=0, deci rang A=2.Trebuie să găsești un minor de ordin 2 nenul. Dacă toți ar fi nuli, rangul ar fi mai mic.
Exerciții rezolvate din lecție (108)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
A=123456. Ce dimensiune are?
Vezi rezolvarea
Numărăm 2 linii, cu câte 3 elemente: 2×3. Nu este pătratică.
Răspuns: 2×3
Exercițiul 2
A=1023. Putem calcula determinantul acestei matrice?
Vezi rezolvarea
Are 2 linii și 2 coloane. Existența zerourilor nu interzice determinantul.
Răspuns: Da, este pătratică de ordin 2
Exercițiul 3
A=100010001. Care afirmație este corectă?
Vezi rezolvarea
Pe diagonala principală avem numai 1, în rest numai 0. Identitatea este elementul neutru al produsului.
Răspuns: A=I3, matricea identitate de ordin 3
Exercițiul 4
A=0000. Care afirmație este corectă?
Vezi rezolvarea
Toate cele patru elemente sunt 0. Matricea este și diagonală, însă nu este identitate.
Răspuns: A este matricea nulă de ordin 2
Exercițiul 5
A=200000003. Este diagonală?
Vezi rezolvarea
Condiția privește elementele din afara diagonalei. Un zero pe diagonală este permis; această matrice nu este identitate.
Răspuns: Da, toate elementele din afara diagonalei principale sunt 0
Exercițiul 6
A=123021004. Ce proprietate observăm?
Vezi rezolvarea
Pozițiile (2,1), (3,1), (3,2) sunt 0. Elementele de deasupra diagonalei pot fi nenule; nu este diagonală.
Răspuns: Este triunghiulară superior: sub diagonala principală sunt zerouri
Exercițiul 7
Scrie în formă matriceală: 1x +1y = 7; 2x +1y = 10.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xy. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Răspuns: AX=B
Exercițiul 8
Scrie în formă matriceală: 2x +1y = 8; 1x −1y = 1.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xy. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Răspuns: AX=B
Exercițiul 9
Scrie în formă matriceală: 3x +1y = 10; 1x +1y = 6.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xy. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Răspuns: AX=B
Exercițiul 10
Calculează det 1213 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·1=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 11
Calculează det 2112 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 4 − 1 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 3
Exercițiul 12
Calculează det 3121 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·1=3.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 13
Calculează det 1−123 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 3 − (−2) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 14
Calculează det −2112 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−2)·2=−4.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−4) − 1 = −5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −5
Exercițiul 15
Calculează det 23−11 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 3·(−1)=−3. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − (−3) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 16
Calculează det 0231 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 0·1=0.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·3=6. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 0 − 6 = −6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −6
Exercițiul 17
Calculează det 201−2 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−2)=−4.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 0·1=0. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−4) − 0 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −4
Exercițiul 18
Calculează det 1224 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·4=4.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·2=4. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 19
Calculează det 3−2−12 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·(−1)=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − 2 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 4
Exercițiul 20
Calculează det −1−213 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·3=−3.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·1=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−3) − (−2) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −1
Exercițiul 21
Calculează det 2142 folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·4=4. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 22
Calculați determinantul |7−34−1|.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·(−1)=−7.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−3)·4=−12. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−7) − (−12) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Rezultatul cerut este 5. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 5
Exercițiul 23
Calculează determinantul 1121.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 1 − 2 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −1
Exercițiul 24
Calculează determinantul 211−1.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−1)=−2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−2) − 1 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −3
Exercițiul 25
Calculează prin Sarrus det 110021101.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+0+1=3.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 1, deci produsul este 0·2·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 3 − 0 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 3
Exercițiul 26
Calculează prin Sarrus det 201110012.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 1, 2, deci produsul este 2·1·2=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+1+0=5.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 1, 2, deci produsul este 0·1·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 0, 1, deci produsul este 2·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − 0 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 27
Calculează prin Sarrus det 120011201.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+4=5.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 2, deci produsul este 0·1·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 2, 0, deci produsul este 1·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − 0 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 28
Calculează prin Sarrus det 1−10121012.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 2, deci produsul este 1·2·2=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, (−1), 1, deci produsul este 0·(−1)·1=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+0=4.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 0, deci produsul este 0·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, (−1), 1, deci produsul este 2·(−1)·1=−2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+1+(−2)=−1.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 4 − (−1) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 29
Calculează prin Sarrus det −112011101.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt (−1), 1, 1, deci produsul este (−1)·1·1=−1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 2, deci produsul este 0·0·2=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+0+1=0.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, (−1), deci produsul este 1·0·(−1)=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+0+0=2.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 0 − 2 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −2
Exercițiul 30
Calculează prin Sarrus det 210−121101.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt (−1), 0, 0, deci produsul este (−1)·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+1=5.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 1, deci produsul este 0·2·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 2, deci produsul este 1·0·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, (−1), deci produsul este 1·1·(−1)=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+(−1)=−1.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − (−1) = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 6
Exercițiul 31
Calculează prin Sarrus det 121012101.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 1, deci produsul este 0·0·1=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 2, 2, deci produsul este 1·2·2=4. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+4=5.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 2, 0, 1, deci produsul este 2·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 2, 0, deci produsul este 1·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+0=1.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − 1 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 4
Exercițiul 32
Calculează prin Sarrus det 10−1210021.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, (−1), deci produsul este 2·2·(−1)=−4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+(−4)+0=−3.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−1), 1, 0, deci produsul este (−1)·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 2, 1, deci produsul este 0·2·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 0, 2, deci produsul este 1·0·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−3) − 0 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −3
Exercițiul 33
Calculează prin Sarrus det 111210012.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 1, 0, deci produsul este 0·1·0=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+2+0=4.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 2, deci produsul este 2·1·2=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+4=4.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 34
Calculează prin Sarrus det 120240011.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 0, deci produsul este 2·1·0=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 2, 0, deci produsul este 0·2·0=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+0=4.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 2, 2, deci produsul este 1·2·2=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+4=4.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 35
Calculează prin Sarrus det 2−1111002−1.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 1, (−1), deci produsul este 2·1·(−1)=−2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, (−1), 0, deci produsul este 0·(−1)·0=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−2)+2+0=0.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 2, 2, deci produsul este 0·2·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), (−1), 1, deci produsul este (−1)·(−1)·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+1=1.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 0 − 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −1
Exercițiul 36
Calculează prin Sarrus det 102121−110.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 0, deci produsul este 1·2·0=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt (−1), 0, 1, deci produsul este (−1)·0·1=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+2+0=2.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 2, 2, (−1), deci produsul este 2·2·(−1)=−4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 0, 0, 1, deci produsul este 0·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−4)+1+0=−3.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − (−3) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 37
Calculați determinantul |1234567810|.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 5, 10, deci produsul este 1·5·10=50. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 4, 8, 3, deci produsul este 4·8·3=96. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 7, 2, 6, deci produsul este 7·2·6=84. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 50+96+84=230.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 3, 5, 7, deci produsul este 3·5·7=105. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 6, 8, 1, deci produsul este 6·8·1=48. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 10, 2, 4, deci produsul este 10·2·4=80. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 105+48+80=233.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 230 − 233 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Rezultatul cerut este −3. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: −3
Exercițiul 38
Calculați determinantul matricei asociate sistemului x + y + z = 2, 2x + y − z = 3, x − y + 2z = a.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, (−1), 1, deci produsul este 2·(−1)·1=−2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, (−1), deci produsul este 1·1·(−1)=−1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+(−2)+(−1)=−1.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt (−1), (−1), 1, deci produsul este (−1)·(−1)·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 2, deci produsul este 2·1·2=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+1+4=6.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−1) − 6 = −7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Rezultatul cerut este −7. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: −7
Exercițiul 39
Determinați rangul matricei 11121−11−12.
Vezi rezolvarea
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, (−1), 1, deci produsul este 2·(−1)·1=−2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, (−1), deci produsul este 1·1·(−1)=−1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+(−2)+(−1)=−1.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt (−1), (−1), 1, deci produsul este (−1)·(−1)·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 2, deci produsul este 2·1·2=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+1+4=6.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−1) − 6 = −7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Rezultatul cerut este 3. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 3
Exercițiul 40
Calculează determinantul și spune dacă A=1213 este inversabilă.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·1=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
det A=1. Este nenul, deci A−1 există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 41
Calculează determinantul și spune dacă A=−2112 este inversabilă.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−2)·2=−4.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−4) − 1 = −5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
det A=-5. Este nenul, deci A−1 există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 42
Calculează determinantul și spune dacă A=1224 este inversabilă.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·4=4.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·2=4. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
det A=0. Este zero, deci A−1 nu există. Aceasta este o concluzie despre matrice, nu despre compatibilitatea unui sistem.
Răspuns: Singulară, det A=0
Exercițiul 43
Calculează determinantul și spune dacă A=3−2−12 este inversabilă.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·(−1)=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − 2 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
det A=4. Este nenul, deci A−1 există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 44
Calculează determinantul și spune dacă A=−1−213 este inversabilă.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·3=−3.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·1=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−3) − (−2) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
det A=-1. Este nenul, deci A−1 există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 45
Calculează determinantul și spune dacă A=2142 este inversabilă.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·4=4. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
det A=0. Este zero, deci A−1 nu există. Aceasta este o concluzie despre matrice, nu despre compatibilitatea unui sistem.
Răspuns: Singulară, det A=0
Exercițiul 46
Clasifică sistemul x+y=1, x−y=1, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·(−1)=−1.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−1) − 1 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ=−2≠0, deci soluția este unică.
Răspuns: Compatibil determinat: soluție unică
Exercițiul 47
Clasifică sistemul x+y=2, 2x+2y=4, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
A doua ecuație este exact dublul primei, inclusiv 4=2·2. Rămâne x+y=2, cu soluțiile (2−t,t), t∈ℝ.
Răspuns: Compatibil nedeterminat: o infinitate de soluții
Exercițiul 48
Clasifică sistemul x+y=3, 2x+2y=7, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Coeficienții celei de-a doua ecuații sunt dubli, însă 7≠2·3. Cele două ecuații se contrazic.
Răspuns: Incompatibil: nicio soluție
Exercițiul 49
Clasifică sistemul x+y=4, x−y=1, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·(−1)=−1.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−1) − 1 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ=−2≠0, deci soluția este unică.
Răspuns: Compatibil determinat: soluție unică
Exercițiul 50
Clasifică sistemul x+y=5, 2x+2y=10, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
A doua ecuație este exact dublul primei, inclusiv 10=2·5. Rămâne x+y=5, cu soluțiile (5−t,t), t∈ℝ.
Răspuns: Compatibil nedeterminat: o infinitate de soluții
Exercițiul 51
Clasifică sistemul x+y=6, 2x+2y=13, înainte de a-l rezolva.
Vezi rezolvarea
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Coeficienții celei de-a doua ecuații sunt dubli, însă 13≠2·6. Cele două ecuații se contrazic.
Răspuns: Incompatibil: nicio soluție
Exercițiul 52
Verifică perechea (1;2) în sistemul x·1+y·(1)=3, x·2+y·(-1)=0.
Vezi rezolvarea
1·1+1·2=3 = 3. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2·1+(−1)·2=0 = 0. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Ambele egalități sunt adevărate. Perechea este soluție, fără să o mai căutăm prin Cramer.
Răspuns: Este soluție
Exercițiul 53
Verifică perechea (2;2) în sistemul x·1+y·(-1)=0, x·1+y·(1)=5.
Vezi rezolvarea
1·2+(−1)·2=0 = 0. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·2+1·2=4 ≠ 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Prima egalitate este adevărată, a doua falsă. O soluție trebuie să le verifice pe toate.
Răspuns: Nu este soluție
Exercițiul 54
Verifică perechea (3;2) în sistemul x·2+y·(1)=8, x·1+y·(2)=7.
Vezi rezolvarea
2·3+1·2=8 = 8. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·3+2·2=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
Ambele egalități sunt adevărate. Perechea este soluție, fără să o mai căutăm prin Cramer.
Răspuns: Este soluție
Exercițiul 55
Ți se dă perechea (1,2). Cum verifici că este soluția unui sistem?
Vezi rezolvarea
Enunțul cere verificarea unei perechi cunoscute. Substituția în toate ecuațiile este suficientă; un singur rând adevărat nu ajunge.
Răspuns: O înlocuiesc în fiecare ecuație
Exercițiul 56
Trebuie să afli X din AX=B, iar det A=−3. Ce metode sunt permise?
Vezi rezolvarea
−3≠0. Matricea este inversabilă și sistemul pătratic are soluție unică; ambele metode sunt valabile.
Răspuns: Cramer sau X=A−1B
Exercițiul 57
În AX=B ai găsit det A=0. Care este următorul lucru de făcut?
Vezi rezolvarea
Determinantul zero exclude Cramer și inversa. Termenii liberi trebuie analizați; pot exista o infinitate de soluții sau nicio soluție.
Răspuns: Studiez compatibilitatea ecuațiilor; pe M1 pot compara rangurile
Exercițiul 58
În XA=B se știe că A este inversabilă. Cum izolezi X?
Vezi rezolvarea
Înmulțim la dreapta cu A−1: XAA−1=BA−1, deci XI=BA−1. Ordinea este obligatorie.
Răspuns: X=BA−1
Exercițiul 59
În AX=B, inversa A−1 este deja dată. Care este calculul direct?
Vezi rezolvarea
Înmulțim la stânga cu inversa. Nu este necesar să reconstruim inversa deja dată în enunț.
Răspuns: X=A−1B
Exercițiul 60
În AX+X=B, ce matrice trebuie studiată înainte de folosirea inversei?
Vezi rezolvarea
X=IX și distributivitatea dau (A+I)X=B. Inversa necesară este a matricei A+I, dacă determinantul ei este nenul.
Răspuns: A+I
Exercițiul 61
Rezolvați cu formulele lui Cramer sistemul 7x − 3y = 2, 4x − y = 4.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xy. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·(−1)=−7.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−3)·4=−12. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−7) − (−12) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 2; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−1)=−2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−3)·4=−12. Acest produs se va scădea.
Δx, principală minus secundară: (−2) − (−12) = 10. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 10 : 5 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 2; 4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·4=28.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·4=8. Acest produs se va scădea.
Δy, principală minus secundară: 28 − 8 = 20. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 20 : 5 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7·2+(−3)·4=2 = 2. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
4·2+(−1)·4=4 = 4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=24. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=5 și am păstrat ordinea x, y.
Rezultatul cerut este 2,4. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Redactare pentru Bac: AX=B, A=7−34−1, B=24. Δ=5≠0, deci soluție unică. Δx=10; x=105=2. Δy=20; y=205=4. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: 2,4
Exercițiul 62
Rezolvă integral prin Cramer: 1x +1y = 7; 2x +1y = 10.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xy. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 1 − 2 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 7; 10; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·1=7.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·10=10. Acest produs se va scădea.
Δx, principală minus secundară: 7 − 10 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: (−3) : (−1) = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 7; 10; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·10=10.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 7·2=14. Acest produs se va scădea.
Δy, principală minus secundară: 10 − 14 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: (−4) : (−1) = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
1·3+1·4=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2·3+1·4=10 = 10. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=34. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-1 și am păstrat ordinea x, y.
Redactare pentru Bac: AX=B, A=1121, B=710. Δ=-1≠0, deci soluție unică. Δx=-3; x=-3-1=3. Δy=-4; y=-4-1=4. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: 34
Exercițiul 63
Rezolvă integral prin Cramer: 2x +1y = 8; 1x −1y = 1.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xy. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−1)=−2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−2) − 1 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 8; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 8·(−1)=−8.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δx, principală minus secundară: (−8) − 1 = −9. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: (−9) : (−3) = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 8; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 8·1=8. Acest produs se va scădea.
Δy, principală minus secundară: 2 − 8 = −6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: (−6) : (−3) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
2·3+1·2=8 = 8. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·3+(−1)·2=1 = 1. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=32. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-3 și am păstrat ordinea x, y.
Redactare pentru Bac: AX=B, A=211−1, B=81. Δ=-3≠0, deci soluție unică. Δx=-9; x=-9-3=3. Δy=-6; y=-6-3=2. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: 32
Exercițiul 64
Exercițiul 5 ghidat · Vrem să rezolvăm x + y − 4z = 6, 2x − 3y + z = 9, 5x + y − 6z = 14. Pasul 1: ce calculăm mai întâi?
1x +1y −4z = 6; 2x −3y +1z = 9; 5x +1y −6z = 14
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Rezultatul cerut este Determinantul sistemului, ca să vedem dacă este nenul. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: Determinantul sistemului, ca să vedem dacă este nenul
Exercițiul 65
Pasul 2: determinantul sistemului este −34. Cum obținem dx?
1x +1y −4z = 6; 2x −3y +1z = 9; 5x +1y −6z = 14
Vezi rezolvarea
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 6; 9; 14; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 6, (−3), (−6), deci produsul este 6·(−3)·(−6)=108. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 9, 1, (−4), deci produsul este 9·1·(−4)=−36. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 14, 1, 1, deci produsul este 14·1·1=14. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 108+(−36)+14=86.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−4), (−3), 14, deci produsul este (−4)·(−3)·14=168. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 6, deci produsul este 1·1·6=6. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−6), 1, 9, deci produsul este (−6)·1·9=−54. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 168+6+(−54)=120.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 86 − 120 = −34. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Rezultatul cerut este Înlocuim coloana coeficienților lui x cu termenii liberi. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: Înlocuim coloana coeficienților lui x cu termenii liberi
Exercițiul 66
Pasul 3: știind că dx = −34, dy = 102 și dz = 68, cum aflăm necunoscutele?
1x +1y −4z = 6; 2x −3y +1z = 9; 5x +1y −6z = 14
Vezi rezolvarea
Aflăm x: (−34) : (−34) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 102 : (−34) = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 68 : (−34) = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Rezultatul cerut este Împărțim fiecare determinant la determinantul sistemului. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: Împărțim fiecare determinant la determinantul sistemului
Exercițiul 67
Pasul 4: scrieți soluția sistemului.
1x +1y −4z = 6; 2x −3y +1z = 9; 5x +1y −6z = 14
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−3), (−6), deci produsul este 1·(−3)·(−6)=18. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, (−4), deci produsul este 2·1·(−4)=−8. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 18+(−8)+5=15.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−4), (−3), 5, deci produsul este (−4)·(−3)·5=60. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−6), 1, 2, deci produsul este (−6)·1·2=−12. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 60+1+(−12)=49.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 15 − 49 = −34. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 6; 9; 14; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 6, (−3), (−6), deci produsul este 6·(−3)·(−6)=108. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 9, 1, (−4), deci produsul este 9·1·(−4)=−36. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 14, 1, 1, deci produsul este 14·1·1=14. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 108+(−36)+14=86.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−4), (−3), 14, deci produsul este (−4)·(−3)·14=168. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 6, deci produsul este 1·1·6=6. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−6), 1, 9, deci produsul este (−6)·1·9=−54. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 168+6+(−54)=120.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 86 − 120 = −34. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: (−34) : (−34) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 6; 9; 14; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 9, (−6), deci produsul este 1·9·(−6)=−54. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 14, (−4), deci produsul este 2·14·(−4)=−112. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 5, 6, 1, deci produsul este 5·6·1=30. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−54)+(−112)+30=−136.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−4), 9, 5, deci produsul este (−4)·9·5=−180. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 14, 1, deci produsul este 1·14·1=14. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−6), 6, 2, deci produsul este (−6)·6·2=−72. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−180)+14+(−72)=−238.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−136) − (−238) = 102. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 102 : (−34) = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 3 cu 6; 9; 14; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−3), 14, deci produsul este 1·(−3)·14=−42. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 6, deci produsul este 2·1·6=12. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 5, 1, 9, deci produsul este 5·1·9=45. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−42)+12+45=15.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 6, (−3), 5, deci produsul este 6·(−3)·5=−90. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 9, 1, 1, deci produsul este 9·1·1=9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 14, 1, 2, deci produsul este 14·1·2=28. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−90)+9+28=−53.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 15 − (−53) = 68. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 68 : (−34) = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
1·1+1·(−3)+(−4)·(−2)=6 = 6. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2·1+(−3)·(−3)+1·(−2)=9 = 9. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
5·1+1·(−3)+(−6)·(−2)=14 = 14. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=1−3−2. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-34 și am păstrat ordinea x, y, z.
Rezultatul cerut este 1,−3,−2. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 1,−3,−2
Exercițiul 68
Rezolvați sistemul x + y + z = 5, 2x + y + 3z = 9, x + 4z = 6.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 4, deci produsul este 1·1·4=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 0, 1, deci produsul este 2·0·1=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 3, deci produsul este 1·1·3=3. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+3=7.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 1, deci produsul este 3·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 2, deci produsul este 4·1·2=8. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+8=9.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 7 − 9 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 5; 9; 6; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 5, 1, 4, deci produsul este 5·1·4=20. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 9, 0, 1, deci produsul este 9·0·1=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 6, 1, 3, deci produsul este 6·1·3=18. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 20+0+18=38.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 6, deci produsul este 1·1·6=6. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 0, 5, deci produsul este 3·0·5=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 1, 9, deci produsul este 4·1·9=36. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 6+0+36=42.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 38 − 42 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: (−4) : (−2) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 5; 9; 6; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 9, 4, deci produsul este 1·9·4=36. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 6, 1, deci produsul este 2·6·1=12. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 5, 3, deci produsul este 1·5·3=15. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 36+12+15=63.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 9, 1, deci produsul este 1·9·1=9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 3, 6, 1, deci produsul este 3·6·1=18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 4, 5, 2, deci produsul este 4·5·2=40. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 9+18+40=67.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 63 − 67 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: (−4) : (−2) = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 3 cu 5; 9; 6; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 6, deci produsul este 1·1·6=6. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 0, 5, deci produsul este 2·0·5=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 9, deci produsul este 1·1·9=9. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 6+0+9=15.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 5, 1, 1, deci produsul este 5·1·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 9, 0, 1, deci produsul este 9·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 6, 1, 2, deci produsul este 6·1·2=12. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+0+12=17.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 15 − 17 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: (−2) : (−2) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
1·2+1·2+1·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2·2+1·2+3·1=9 = 9. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·2+0·2+4·1=6 = 6. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=221. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-2 și am păstrat ordinea x, y, z.
Rezultatul cerut este 2,2,1. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Redactare pentru Bac: AX=B, A=111213104, B=596. Δ=-2≠0, deci soluție unică. Δx=-4; x=-4-2=2. Δy=-4; y=-4-2=2. Δz=-2; z=-2-2=1. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: 2,2,1
Exercițiul 69
Rezolvați sistemul x + y − z = −6, 4x − 5y − 2z = 5, 3x − y − z = −4.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−5), (−1), deci produsul este 1·(−5)·(−1)=5. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 4, (−1), (−1), deci produsul este 4·(−1)·(−1)=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 3, 1, (−2), deci produsul este 3·1·(−2)=−6. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+4+(−6)=3.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−1), (−5), 3, deci produsul este (−1)·(−5)·3=15. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt (−2), (−1), 1, deci produsul este (−2)·(−1)·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 4, deci produsul este (−1)·1·4=−4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 15+2+(−4)=13.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 3 − 13 = −10. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu -6; 5; -4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt (−6), (−5), (−1), deci produsul este (−6)·(−5)·(−1)=−30. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 5, (−1), (−1), deci produsul este 5·(−1)·(−1)=5. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt (−4), 1, (−2), deci produsul este (−4)·1·(−2)=8. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−30)+5+8=−17.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−1), (−5), (−4), deci produsul este (−1)·(−5)·(−4)=−20. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt (−2), (−1), (−6), deci produsul este (−2)·(−1)·(−6)=−12. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 5, deci produsul este (−1)·1·5=−5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−20)+(−12)+(−5)=−37.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−17) − (−37) = 20. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 20 : (−10) = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu -6; 5; -4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 5, (−1), deci produsul este 1·5·(−1)=−5. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 4, (−4), (−1), deci produsul este 4·(−4)·(−1)=16. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 3, (−6), (−2), deci produsul este 3·(−6)·(−2)=36. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−5)+16+36=47.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−1), 5, 3, deci produsul este (−1)·5·3=−15. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt (−2), (−4), 1, deci produsul este (−2)·(−4)·1=8. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), (−6), 4, deci produsul este (−1)·(−6)·4=24. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−15)+8+24=17.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 47 − 17 = 30. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 30 : (−10) = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 3 cu -6; 5; -4; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−5), (−4), deci produsul este 1·(−5)·(−4)=20. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 4, (−1), (−6), deci produsul este 4·(−1)·(−6)=24. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 3, 1, 5, deci produsul este 3·1·5=15. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 20+24+15=59.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−6), (−5), 3, deci produsul este (−6)·(−5)·3=90. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 5, (−1), 1, deci produsul este 5·(−1)·1=−5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−4), 1, 4, deci produsul este (−4)·1·4=−16. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 90+(−5)+(−16)=69.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 59 − 69 = −10. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: (−10) : (−10) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
1·(−2)+1·(−3)+(−1)·1=−6 = -6. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
4·(−2)+(−5)·(−3)+(−2)·1=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
3·(−2)+(−1)·(−3)+(−1)·1=−4 = -4. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=−2−31. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-10 și am păstrat ordinea x, y, z.
Rezultatul cerut este −2,−3,1. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Redactare pentru Bac: AX=B, A=11−14−5−23−1−1, B=−65−4. Δ=-10≠0, deci soluție unică. Δx=20; x=20-10=−2. Δy=30; y=30-10=−3. Δz=-10; z=-10-10=1. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: −2,−3,1
Exercițiul 70
Rezolvă prin Cramer sistemul 2x+y=7, x−y=2.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xy. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−1)=−2.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: (−2) − 1 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 7; 2; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 7·(−1)=−7.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
Δx, principală minus secundară: (−7) − 2 = −9. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: (−9) : (−3) = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 7; 2; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 7·1=7. Acest produs se va scădea.
Δy, principală minus secundară: 4 − 7 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: (−3) : (−3) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
2·3+1·1=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·3+(−1)·1=2 = 2. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=31. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=-3 și am păstrat ordinea x, y.
Rezultatul cerut este x=3, y=1. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: x=3, y=1
Exercițiul 71
Pentru x + y + z = 15, 2x − y + z = 9, x + 2y − z = 8, află x prin Cramer.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), (−1), deci produsul este 1·(−1)·(−1)=1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+4+1=6.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 1, deci produsul este 1·(−1)·1=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 2, deci produsul este (−1)·1·2=−2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+2+(−2)=−1.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 6 − (−1) = 7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 15; 9; 8; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 15, (−1), (−1), deci produsul este 15·(−1)·(−1)=15. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 9, 2, 1, deci produsul este 9·2·1=18. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 8, 1, 1, deci produsul este 8·1·1=8. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 15+18+8=41.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 8, deci produsul este 1·(−1)·8=−8. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 15, deci produsul este 1·2·15=30. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 9, deci produsul este (−1)·1·9=−9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−8)+30+(−9)=13.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 41 − 13 = 28. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 28 : 7 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 15; 9; 8; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 9, (−1), deci produsul este 1·9·(−1)=−9. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 8, 1, deci produsul este 2·8·1=16. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 15, 1, deci produsul este 1·15·1=15. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−9)+16+15=22.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 9, 1, deci produsul este 1·9·1=9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 8, 1, deci produsul este 1·8·1=8. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 15, 2, deci produsul este (−1)·15·2=−30. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 9+8+(−30)=−13.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 22 − (−13) = 35. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 35 : 7 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 3 cu 15; 9; 8; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), 8, deci produsul este 1·(−1)·8=−8. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 15, deci produsul este 2·2·15=60. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 9, deci produsul este 1·1·9=9. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−8)+60+9=61.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 15, (−1), 1, deci produsul este 15·(−1)·1=−15. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 9, 2, 1, deci produsul este 9·2·1=18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 8, 1, 2, deci produsul este 8·1·2=16. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−15)+18+16=19.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 61 − 19 = 42. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 42 : 7 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
1·4+1·5+1·6=15 = 15. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2·4+(−1)·5+1·6=9 = 9. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·4+2·5+(−1)·6=8 = 8. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=456. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=7 și am păstrat ordinea x, y, z.
Rezultatul cerut este 4. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 4
Exercițiul 72
Pentru x + y + z = 18, 2x − y + z = 11, x + 2y − z = 10, află y prin Cramer.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), (−1), deci produsul este 1·(−1)·(−1)=1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+4+1=6.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 1, deci produsul este 1·(−1)·1=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 2, deci produsul este (−1)·1·2=−2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+2+(−2)=−1.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 6 − (−1) = 7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 18; 11; 10; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 18, (−1), (−1), deci produsul este 18·(−1)·(−1)=18. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 11, 2, 1, deci produsul este 11·2·1=22. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 10, 1, 1, deci produsul este 10·1·1=10. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 18+22+10=50.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 10, deci produsul este 1·(−1)·10=−10. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 18, deci produsul este 1·2·18=36. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 11, deci produsul este (−1)·1·11=−11. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−10)+36+(−11)=15.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 50 − 15 = 35. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 35 : 7 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 18; 11; 10; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 11, (−1), deci produsul este 1·11·(−1)=−11. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 10, 1, deci produsul este 2·10·1=20. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 18, 1, deci produsul este 1·18·1=18. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−11)+20+18=27.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 11, 1, deci produsul este 1·11·1=11. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 10, 1, deci produsul este 1·10·1=10. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 18, 2, deci produsul este (−1)·18·2=−36. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 11+10+(−36)=−15.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 27 − (−15) = 42. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 42 : 7 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 3 cu 18; 11; 10; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), 10, deci produsul este 1·(−1)·10=−10. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 18, deci produsul este 2·2·18=72. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 11, deci produsul este 1·1·11=11. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−10)+72+11=73.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 18, (−1), 1, deci produsul este 18·(−1)·1=−18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 11, 2, 1, deci produsul este 11·2·1=22. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 10, 1, 2, deci produsul este 10·1·2=20. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−18)+22+20=24.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 73 − 24 = 49. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 49 : 7 = 7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
1·5+1·6+1·7=18 = 18. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2·5+(−1)·6+1·7=11 = 11. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·5+2·6+(−1)·7=10 = 10. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=567. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=7 și am păstrat ordinea x, y, z.
Rezultatul cerut este 6. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 6
Exercițiul 73
Pentru x + y + z = 21, 2x − y + z = 13, x + 2y − z = 12, află z prin Cramer.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), (−1), deci produsul este 1·(−1)·(−1)=1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+4+1=6.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 1, deci produsul este 1·(−1)·1=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 2, deci produsul este (−1)·1·2=−2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+2+(−2)=−1.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 6 − (−1) = 7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 21; 13; 12; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 21, (−1), (−1), deci produsul este 21·(−1)·(−1)=21. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 13, 2, 1, deci produsul este 13·2·1=26. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 12, 1, 1, deci produsul este 12·1·1=12. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 21+26+12=59.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 12, deci produsul este 1·(−1)·12=−12. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 21, deci produsul este 1·2·21=42. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 13, deci produsul este (−1)·1·13=−13. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−12)+42+(−13)=17.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 59 − 17 = 42. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm x: 42 : 7 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 21; 13; 12; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 13, (−1), deci produsul este 1·13·(−1)=−13. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 12, 1, deci produsul este 2·12·1=24. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 21, 1, deci produsul este 1·21·1=21. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−13)+24+21=32.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 13, 1, deci produsul este 1·13·1=13. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 12, 1, deci produsul este 1·12·1=12. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 21, 2, deci produsul este (−1)·21·2=−42. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 13+12+(−42)=−17.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 32 − (−17) = 49. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 49 : 7 = 7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 3 cu 21; 13; 12; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), 12, deci produsul este 1·(−1)·12=−12. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 21, deci produsul este 2·2·21=84. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 13, deci produsul este 1·1·13=13. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−12)+84+13=85.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 21, (−1), 1, deci produsul este 21·(−1)·1=−21. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 13, 2, 1, deci produsul este 13·2·1=26. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 12, 1, 2, deci produsul este 12·1·2=24. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−21)+26+24=29.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 85 − 29 = 56. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm z: 56 : 7 = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
1·6+1·7+1·8=21 = 21. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2·6+(−1)·7+1·8=13 = 13. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·6+2·7+(−1)·8=12 = 12. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=678. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=7 și am păstrat ordinea x, y, z.
Rezultatul cerut este 8. Îl raportăm după calculul matriceal de mai sus, păstrând ordinea necunoscutelor și condițiile metodei.
Răspuns: 8
Exercițiul 74
Rezolvă integral prin Cramer: 1x +1y +1z = 9; 2x −1y +1z = 5; 1x +2y −1z = 1.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), (−1), deci produsul este 1·(−1)·(−1)=1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+4+1=6.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 1, deci produsul este 1·(−1)·1=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 2, deci produsul este (−1)·1·2=−2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+2+(−2)=−1.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 6 − (−1) = 7. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 9; 5; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 9, (−1), (−1), deci produsul este 9·(−1)·(−1)=9. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 5, 2, 1, deci produsul este 5·2·1=10. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 9+10+1=20.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, (−1), 1, deci produsul este 1·(−1)·1=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 2, 9, deci produsul este 1·2·9=18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 1, 5, deci produsul este (−1)·1·5=−5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+18+(−5)=12.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 20 − 12 = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
x=87. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 9; 5; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 5, (−1), deci produsul este 1·5·(−1)=−5. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 9, 1, deci produsul este 1·9·1=9. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−5)+2+9=6.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 5, 1, deci produsul este 1·5·1=5. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), 9, 2, deci produsul este (−1)·9·2=−18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 5+1+(−18)=−12.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 6 − (−12) = 18. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
y=187. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 3 cu 9; 5; 1; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, (−1), 1, deci produsul este 1·(−1)·1=−1. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, 9, deci produsul este 2·2·9=36. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 5, deci produsul este 1·1·5=5. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+36+5=40.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 9, (−1), 1, deci produsul este 9·(−1)·1=−9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 5, 2, 1, deci produsul este 5·2·1=10. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−9)+10+2=3.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 40 − 3 = 37. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
z=377. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
1·87+1·187+1·377=9 = 9. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
2·87+(−1)·187+1·377=5 = 5. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·87+2·187+(−1)·377=1 = 1. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=87187377. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=7 și am păstrat ordinea x, y, z.
Redactare pentru Bac: AX=B, A=1112−1112−1, B=951. Δ=7≠0, deci soluție unică. Δx=8; x=87=87. Δy=18; y=187=187. Δz=37; z=377=377. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: 87187377
Exercițiul 75
Rezolvă integral prin Cramer: 2x +1y +0z = 7; 1x +2y +1z = 10; 0x +1y +2z = 9.
Vezi rezolvarea
Fiecare ecuație devine o linie. O coloană conține coeficienții aceleiași necunoscute; un termen lipsă are coeficient 0. Termenii liberi nu intră în A.
B conține numai membrii drepți ai ecuațiilor, în aceeași ordine a liniilor.
X=xyz. Produsul dintre fiecare linie a lui A și coloana X reproduce o ecuație.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 2, 2, deci produsul este 2·2·2=8. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 8+0+0=8.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 0, deci produsul este 0·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+2+2=4.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 8 − 4 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Un determinant nenul, pozitiv sau negativ, dă o soluție unică. Putem împărți la el.
Doar coloana coeficienților lui x devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 1 cu 7; 10; 9; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 7, 2, 2, deci produsul este 7·2·2=28. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 10, 1, 0, deci produsul este 10·1·0=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 9, 1, 1, deci produsul este 9·1·1=9. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 28+0+9=37.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 9, deci produsul este 0·2·9=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 7, deci produsul este 1·1·7=7. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 10, deci produsul este 2·1·10=20. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+7+20=27.
Δx, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 37 − 27 = 10. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
x=104. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
Doar coloana coeficienților lui y devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 2 cu 7; 10; 9; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 10, 2, deci produsul este 2·10·2=40. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 9, 0, deci produsul este 1·9·0=0. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 7, 1, deci produsul este 0·7·1=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 40+0+0=40.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 10, 0, deci produsul este 0·10·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 9, 2, deci produsul este 1·9·2=18. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 7, 1, deci produsul este 2·7·1=14. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+18+14=32.
Δy, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 40 − 32 = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm y: 8 : 4 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Doar coloana coeficienților lui z devine B. Celelalte coloane rămân ca în A.
Înlocuim coloana 3 cu 7; 10; 9; nu schimbăm nicio linie și nu schimbăm celelalte coloane.
Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 2, 9, deci produsul este 2·2·9=36. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 7, deci produsul este 1·1·7=7. Îl includem în suma principală.
Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 1, 10, deci produsul este 0·1·10=0. Îl includem în suma principală.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 36+7+0=43.
Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 7, 2, 0, deci produsul este 7·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 10, 1, 2, deci produsul este 10·1·2=20. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 9, 1, 1, deci produsul este 9·1·1=9. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+20+9=29.
Δz, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 43 − 29 = 14. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
z=144. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
2·52+1·2+0·72=7 = 7. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
1·52+2·2+1·72=10 = 10. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
0·52+1·2+2·72=9 = 9. Am pus fiecare necunoscută la locul ei în ecuația inițială; verificăm toate ecuațiile.
X=52272. Am calculat fiecare Δ al necunoscutei, am împărțit la Δ=4 și am păstrat ordinea x, y, z.
Redactare pentru Bac: AX=B, A=210121012, B=7109. Δ=4≠0, deci soluție unică. Δx=10; x=104=52. Δy=8; y=84=2. Δz=14; z=144=72. Soluția verifică toate ecuațiile, prin substituțiile de mai sus.
Răspuns: 52272
Exercițiul 76
Orice sistem liniar se poate scrie sub forma AX = B, unde A este matricea coeficienților? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
Coeficienții necunoscutelor se așază pe linii, formând matricea A.
Necunoscutele se scriu într-o matrice coloană X, iar termenii liberi într-o matrice coloană B.
Înmulțirea AX reproduce exact membrii stângi ai ecuațiilor.
Răspuns final: da. Când A este inversabilă, soluția se scrie direct X = A−1B.