Trigonometrie și triunghiuri · nivel M4

Lecția M4 construiește temeinic valorile exacte, triunghiul dreptunghic și aplicațiile teoremei cosinusului și ale teoremei sinusurilor.

Scrie întotdeauna formula înainte de a înlocui numerele; baremul acordă puncte separat pentru formulă, înlocuire și calcul.

Valorile exacte și identitatea fundamentală

Exercițiul 6 verifică trigonometria și geometria în triunghi. Începe prin a stabili tipul triunghiului și datele: laturi, unghiuri, arie sau un raport trigonometric. Apoi alege o singură formulă principală și lucrează ordonat.

sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32

cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12

tg 45° = 1, tg 30° = √33, tg 60° = √3

sin²x + cos²x = 1 (identitatea fundamentală)

tg x = sin x / cos x, pentru cos x ≠ 0

Pentru un unghi ascuțit, sin, cos și tg sunt pozitive: alege mereu rădăcina pozitivă.
Observă că sin 30° = cos 60° și sin 60° = cos 30°.
Verifică la final: |sin x| ≤ 1 și |cos x| ≤ 1.

Triunghiul dreptunghic

„Opusă” și „alăturată” se stabilesc întotdeauna față de unghiul cerut, iar ipotenuza este latura opusă unghiului drept. Confuzia dintre cateta opusă și cea alăturată este greșeala cea mai frecventă la acest exercițiu.

Teorema lui Pitagora: ipotenuză² = catetă₁² + catetă₂²

sin A = cateta opusă / ipotenuză

cos A = cateta alăturată / ipotenuză

tg A = cateta opusă / cateta alăturată

Aria unui triunghi dreptunghic: S = catetă₁·catetă₂2

Ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură — folosește asta ca verificare.
Conversa teoremei lui Pitagora: dacă a² + b² = c², triunghiul este dreptunghic.
Nu folosi teorema lui Pitagora într-un triunghi oarecare.

Teorema cosinusului și teorema sinusurilor

Într-un triunghi oarecare, aceste două teoreme înlocuiesc teorema lui Pitagora. Alegerea este simplă: dacă știi două laturi și unghiul dintre ele, sau toate trei laturile, folosești teorema cosinusului; dacă ai o latură și unghiul ei opus, folosești teorema sinusurilor.

Teorema cosinusului: c² = a² + b² − 2ab·cos C, unde c este opusă lui C

Izolat: cos C = a² + b² − c²2ab

Teorema sinusurilor: a/sin A = b/sin B = c/sin C

Aria cu sinus: S = a·b·sin C/2, unde C este unghiul dintre a și b

În teorema cosinusului, latura din stânga este întotdeauna opusă unghiului din formulă.
În teorema sinusurilor, fiecare latură merge împreună cu unghiul ei opus.
La aria cu sinus, unghiul trebuie să fie cel cuprins între cele două laturi folosite.

Unghiuri obtuze

Când unghiul din teorema cosinusului este obtuz, cosinusul său este negativ, iar termenul scăzut devine adunat. Aceasta este cea mai frecventă capcană de calcul.

cos(180° − x) = −cos x, pentru 0° < x < 180°

sin(180° − x) = sin x

cos 120° = −cos 60° = −12

sin 120° = sin 60° = √32

Un unghi obtuz are cosinusul negativ și sinusul pozitiv.
La −2ab·cos C cu cos C negativ, cei doi de minus se anulează și termenul se adună.
Latura opusă unui unghi obtuz este mai mare decât dacă unghiul ar fi drept.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · aria unui triunghi dreptunghic

Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 9 și 12. Calculați aria.

1.Pasul 1 — marcăm tipul: triunghiul este dreptunghic, deci catetele sunt perpendiculare.
2.Pasul 2 — observăm că o catetă poate fi bază, iar cealaltă înălțime.
3.Pasul 3 — scriem formula: S = catetă₁·catetă₂2.
4.Pasul 4 — înlocuim: S = 9·122.
5.Pasul 5 — calculăm: 1082 = 54.
6.Pasul 6 — verificăm: aria este un număr pozitiv. Răspuns final: aria este 54.

Algoritmul universal în 6 pași

Marchează tipul triunghiului: dreptunghic, isoscel sau oarecare.
Identifică unghiul cerut și stabilește latura opusă și laturile care îl formează.
Alege o singură formulă: Pitagora, raport trigonometric, arie, cosinus sau sinusuri.
Scrie valorile exacte, de exemplu sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
Calculează cu paranteze și simplifică radicalii, extrăgând factorii pătrați perfecți.
Verifică: lungimile sunt pozitive, ipotenuza este cea mai mare, iar sinusul și cosinusul sunt în [−1, 1].

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic · 26 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Valori exacteM4 · Pedagogic
Calculați sin 30° + cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 + 12 = 1
Ex. 2Valori exacteM4 · Pedagogic
Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 12 + 2 · 12 = 2
Ex. 3IdentitateM4 · Pedagogic
Calculați sin²45° + cos²45°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 + 12 = 1
Ex. 4Valori exacteM4 · Pedagogic
Calculați tg 45°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 5Valori exacteM4 · Pedagogic
Calculați sin 60°·cos 30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(√32) · (√32) = 34
Ex. 6Valori exacteM4 · Pedagogic
Calculați cos²60° − sin²30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
14 − 14 = 0
Ex. 7IdentitateM4 · Pedagogic
Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos α = 1 − 925 = 45
Ex. 8TangentăM4 · Pedagogic
Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin α = 513, deci tg α = 512.
Ex. 9PitagoraM4 · Pedagogic
Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 + 16 = 5
Ex. 10PitagoraM4 · Pedagogic
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
100 − 36 = 8
Ex. 11UnghiuriM4 · Pedagogic
Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
45° și 45°
Ex. 12MixtM4 · Pedagogic
Calculați (sin 60° + cos 60°)² + (sin 60° − cos 60°)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dezvoltând: 2(sin²60° + cos²60°) = 2.
Ex. 13Raport trigonometricM4 · Pedagogic
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 4 și AC = 8. Arătați că sin C = √55. Scrieți valoarea lui sin C.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC = 16 + 64 = 4√5, deci sin C = ABBC = 44√5 = √55.
Ex. 14Raport trigonometricM4 · Pedagogic
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 6 și AC = 8. Calculați cos B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC = 10, deci cos B = ABBC = 610 = 35.
Ex. 15Teorema cosinusuluiM4 · Pedagogic
În triunghiul ABC, AB = 8, AC = 10 și ∠A = 60°. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC² = 64 + 100 − 2 · 8 · 10 · 12 = 84, deci BC = 2√21.
Ex. 16Teorema cosinusuluiM4 · Pedagogic
În triunghiul ABC, AB = 5, AC = 7 și ∠A = 60°. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · 12 = 39, deci BC = √39.
Ex. 17Raport trigonometricM4 · Pedagogic
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 5, AC = 12 și BC = 13. Calculați sin B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin B = ACBC = 1213
Ex. 18Triunghi isoscelM4 · Pedagogic
Un triunghi isoscel are laturile egale de 5 și baza de 6. Calculați aria.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Înălțimea pe bază: 25 − 9 = 4, deci aria = 6 · 4 : 2 = 12.
Ex. 19Valori exacteM4 · Pedagogic
Calculați 2·sin 60°·cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · (√32) · (12) = √32
Ex. 20TangentăM4 · Pedagogic
Unghiul B este ascuțit, sin B = 45 și cos B = 35. Calculați tg B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
tg B = (45) : (35) = 43
Ex. 21Arie cu sinusM4 · Pedagogic
În triunghiul ABC, AB = 8, AC = 6 și ∠A = 30°. Calculați aria.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aria = (12) · 8 · 6 · 12 = 12
Ex. 22PitagoraM4 · Pedagogic
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 17 și o catetă 8. Calculați cealaltă catetă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
289 − 64 = 15
Ex. 23IdentitateM4 · Pedagogic
Arătați că sin²30° + cos²30° = 1. Scrieți valoarea sumei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
14 + 34 = 1
Ex. 24Teorema cosinusuluiM4 · Pedagogic
În triunghiul ABC, BC = 7, CA = 8 și AB = 9. Calculați cos A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos A = (CA² + AB² − BC²) : (2 · CA · AB) = (64 + 81 − 49) : 144 = 23
Ex. 61Teorema sinusurilorM4 · Pedagogic
În triunghiul ABC, BC = 8, ∠A = 30° și ∠B = 45°. Calculați AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC = BC · sin B / sin A = 8 · (√22) : (12) = 8√2
Ex. 62Teorema sinusurilorM4 · Pedagogic
În triunghiul ABC, BC = 10, ∠A = 30° și ∠C = 45°. Calculați AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = BC · sin C / sin A = 10 · (√22) : (12) = 10√2