Încărcăm partea curentă…

Trigonometrie și triunghiuri · nivel M3

Valorile exacte pentru 30°, 45° și 60°

La Bac, sinusul, cosinusul și tangenta unghiurilor de 30°, 45° și 60° se folosesc fără calculator. Sinusul crește: 12, √22, √32; cosinusul are aceleași valori în ordine inversă.

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus: tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Într-un calcul înlocuim întâi fiecare valoare, apoi facem operațiile.

În viața reală

Un acoperiș cu panta de 45° urcă exact cât înaintează pe orizontală, pentru că tg 45° = 1: la 3 m de streașină, coama este cu 3 m mai sus.

De ținut minte

sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32
cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12
tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3

Exemplu cu alte date

Calculați 2 · cos 30° + tg 60°.

  1. 1cos 30° = √32 și tg 60° = √3.
  2. 22 · cos 30° = 2 · √32 = √3.
  3. 3√3 + √3 = 2√3.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Trigonometrie și triunghiuri · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Valorile exacte pentru 30°, 45° și 60°

La Bac, sinusul, cosinusul și tangenta unghiurilor de 30°, 45° și 60° se folosesc fără calculator. Sinusul crește: 12, √22, √32; cosinusul are aceleași valori în ordine inversă.

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus: tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Într-un calcul înlocuim întâi fiecare valoare, apoi facem operațiile.

  • sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32
  • cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12
  • tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3

Exemplu cu alte date

Calculați 2 · cos 30° + tg 60°.

  1. cos 30° = √32 și tg 60° = √3.
  2. 2 · cos 30° = 2 · √32 = √3.
  3. √3 + √3 = 2√3.

Rapoarte și sume de valori exacte

Înlocuim fiecare funcție cu valoarea din tabel și abia apoi calculăm: întâi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările.

Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său: sin 60° = cos 30° = √32. Două valori egale împărțite dau 1.

  • sin x = cos(90° − x)
  • tg 45° = 1

Exemplu cu alte date

Calculați sin 30°cos 60° + tg 60° · tg 30°.

  1. sin 30° = 12 și cos 60° = 12, deci raportul lor este 1.
  2. tg 60° · tg 30° = √3 · √33 = 33 = 1.
  3. 1 + 1 = 2.

Pătratele valorilor și sin2x + cos2x = 1

sin2x înseamnă (sin x)2: aflăm valoarea, apoi o ridicăm la pătrat, sus și jos. De exemplu, sin230° = (12)2 = 14, iar radicalul dispare: (√32)2 = 34.

Pentru orice unghi, sin2x + cos2x = 1. Dacă vedem suma pătratelor pentru același unghi, rezultatul este 1 fără alte calcule.

  • sin2x = (sin x)2
  • sin2x + cos2x = 1
  • (√32)2 = 34

Exemplu cu alte date

Calculați 4 · cos245° − 1.

  1. cos 45° = √22.
  2. cos245° = (√22)2 = 24 = 12.
  3. 4 · 12 − 1 = 2 − 1 = 1.

Din sinus aflăm cosinusul și tangenta

Dacă știm sin α pentru un unghi ascuțit, aflăm cos α din sin2α + cos2α = 1: cos2α = 1 − sin2α, apoi luăm radicalul pozitiv, pentru că la un unghi ascuțit cosinusul este pozitiv. La fel aflăm sinusul din cosinus.

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus. Dacă tg α = 1, sinusul și cosinusul sunt egale, iar unghiul ascuțit este 45°.

  • cos2α = 1 − sin2α
  • tg α = sin αcos α

Exemplu cu alte date

Unghiul α este ascuțit și sin α = 725. Calculați cos α și tg α.

  1. cos2α = 1 − 49625 = 576625.
  2. α este ascuțit, deci cos α = 2425.
  3. tg α = 7252425 = 724.

Teorema lui Pitagora și reciproca ei

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza la pătrat este suma pătratelor catetelor. Dacă știm ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă se află scăzând pătratele. Dacă cele două catete sunt egale, unghiurile ascuțite au câte 45°.

Reciproca: dacă pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus celei mai lungi laturi.

  • ipotenuza2 = catetă2 + catetă2
  • catetă2 = ipotenuza2 − catetă2

Exemplu cu alte date

Laturile 9, 40 și 41 formează un triunghi dreptunghic?

  1. Cea mai lungă latură este 41, iar 412 = 1681.
  2. 92 + 402 = 81 + 1600 = 1681.
  3. Rezultatele sunt egale, deci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii 41.

Triunghiul dreptunghic în A: ipotenuza este BC

Când unghiul drept este în A, ipotenuza este BC, latura opusă lui A, iar catetele sunt AB și AC. Dacă lipsește o latură, o aflăm întâi cu Pitagora.

Față de B, cateta opusă este AC și cea alăturată este AB. Față de C este invers: cateta opusă este AB, iar cea alăturată este AC.

  • sin B = ACBC, cos B = ABBC
  • sin C = ABBC, cos C = ACBC
  • tg B = ACAB

Exemplu cu alte date

Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 20 și AC = 21. Calculați sin B și cos C.

  1. BC2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 841, deci BC = 29.
  2. Față de B, cateta opusă este AC: sin B = 2129.
  3. Față de C, cateta alăturată este AC: cos C = 2129.

Înălțimea în triunghiul isoscel și cateta necunoscută

În triunghiul isoscel, înălțimea pe bază cade în mijlocul bazei și formează două triunghiuri dreptunghice: ipotenuza este latura egală, iar o catetă este jumătate din bază.

Când știm ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă se află scăzând pătratele. Aria triunghiului este baza ori înălțimea, împărțit la 2.

  • h2 = (latura egală)2 − (jumătate din bază)2
  • aria = bază · înălțime2

Exemplu cu alte date

Un triunghi isoscel are laturile egale de 17 și baza 16. Calculați înălțimea pe bază și aria.

  1. Înălțimea împarte baza în 8 și 8.
  2. h2 = 172 − 82 = 289 − 64 = 225, deci h = 15.
  3. Aria = 16 · 152 = 120.

Aria cu sinusul unghiului dintre două laturi

Dacă știm două laturi și unghiul dintre ele, aria este produsul celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului, totul împărțit la 2.

Unghiul trebuie să fie chiar cel dintre cele două laturi: pentru AB și AC folosim unghiul A. Dacă știm aria, aceeași formulă ne dă sinusul unghiului.

  • S = AB · AC · sin A2

Exemplu cu alte date

În triunghiul ABC, AB = 16, AC = 5 și ∠A = 30°. Calculați aria.

  1. S = AB · AC · sin A2, iar sin 30° = 12.
  2. 16 · 5 · 12 = 40.
  3. S = 402 = 20.

Teorema cosinusului cu un unghi obtuz

Pentru un unghi obtuz, cosinusul este negativ: cos 120° = −cos 60° = −12.

În teorema cosinusului, termenul −2 · AB · AC · cos A devine plus, pentru că minus înmulțit cu minus dă plus. De aceea latura opusă unghiului obtuz este cea mai lungă.

  • cos 120° = −12
  • BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC · cos A

Exemplu cu alte date

În triunghiul ABC, AB = 3, AC = 5 și ∠A = 120°. Calculați BC.

  1. −2 · 3 · 5 · (−12) = +15.
  2. BC2 = 9 + 25 + 15 = 49.
  3. BC = 7, cea mai lungă latură a triunghiului.

Teorema sinusurilor

În orice triunghi, fiecare latură împărțită la sinusul unghiului opus dă același rezultat, egal cu 2R, unde R este raza cercului circumscris.

Ca să aflăm o latură, egalăm raportul cunoscut cu cel căutat, de exemplu BCsin A = ACsin B, și izolăm latura. Împărțirea la 12 înseamnă înmulțire cu 2.

  • BCsin A = ACsin B = ABsin C = 2R
  • AC = BC · sin Bsin A

Exemplu cu alte date

În triunghiul ABC, BC = 4, ∠A = 45° și ∠B = 30°. Calculați AC.

  1. BC este opusă lui A, iar AC este opusă lui B: BCsin A = ACsin B.
  2. AC = 4 · 12√22 = 2 · 2√2 = 4√2.
  3. AC = 4√22 = 2√2.

Exerciții rezolvate din lecție (33)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați sin 30° + cos 60°.

    Vezi rezolvarea
    1. Din tabelul valorilor exacte: sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
    2. Adunăm: 12 + 12.
    3. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  2. Exercițiul 2

    Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.

    Vezi rezolvarea
    1. sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
    2. Înlocuim: 2·(12) + 2·(12) = 1 + 1.
    3. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    Calculați sin245° + cos245°.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim identitatea fundamentală sin2x + cos2x = 1, valabilă pentru orice unghi x.
    2. Aici x = 45°, deci rezultatul este 1.
    3. Verificare directă: (√22)2 + (√22)2 = 12 + 12 = 1.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  4. Exercițiul 4

    Calculați tg 45°.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim tg x = sin xcos x, cu condiția cos x ≠ 0.
    2. sin 45° = √22 și cos 45° = √22.
    3. Raportul este √22√22 = 1.
    4. Răspuns final: tg 45° = 1.

    Răspuns: 1

  5. Exercițiul 5

    Calculați sin 60°·cos 30°.

    Vezi rezolvarea
    1. Din tabel: sin 60° = √32 și cos 30° = √32.
    2. Produsul este (√32)·(√32) = (√3)24.
    3. Cum (√3)2 = 3, obținem 34.
    4. Răspuns final: 34.

    Răspuns: 34

  6. Exercițiul 6

    Calculați cos260° − sin230°.

    Vezi rezolvarea
    1. Observăm că cos 60° = 12 și sin 30° = 12, deci cele două valori sunt egale.
    2. cos260° − sin230° = 14 − 14.
    3. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  7. Exercițiul 7

    Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm sin2α + cos2α = 1.
    2. cos2α = 1 − (35)2 = 1 − 925 = 1625.
    3. Unghiul α este ascuțit, deci cos α > 0 și alegem rădăcina pozitivă.
    4. Răspuns final: cos α = 45.

    Răspuns: 45

  8. Exercițiul 8

    Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.

    Vezi rezolvarea
    1. Aflăm întâi sinusul: sin2α = 1 − (1213)2 = 1 − 144169 = 25169.
    2. Cum α este ascuțit, sin α = 513.
    3. Aplicăm tg α = sin αcos α = 5131213.
    4. Fracțiile de 13 se simplifică. Răspuns final: tg α = 512.

    Răspuns: 512

  9. Exercițiul 9

    Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema lui Pitagora: ipotenuză2 = catetă12 + catetă22.
    2. c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
    3. Lungimea este pozitivă, deci c = √25 = 5.
    4. Control: ipotenuza 5 este cea mai lungă latură. Răspuns final: 5.

    Răspuns: 5

  10. Exercițiul 10

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.

    Vezi rezolvarea
    1. Din Pitagora: catetă2 = ipotenuză2 − catetă2.
    2. catetă2 = 102 − 62 = 100 − 36 = 64.
    3. catetă = √64 = 8.
    4. Control: 62 + 82 = 100 = 102. Răspuns final: 8.

    Răspuns: 8

  11. Exercițiul 11

    Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.

    Vezi rezolvarea
    1. Catetele egale înseamnă că triunghiul este dreptunghic isoscel.
    2. Unghiurile opuse laturilor egale sunt egale.
    3. Suma unghiurilor ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic este 90°.
    4. Fiecare are măsura 90° : 2 = 45°. Răspuns final: 45°.

    Răspuns: 45°

  12. Exercițiul 12

    Calculați (sin 60° + cos 60°)2 + (sin 60° − cos 60°)2.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim identitatea (a + b)2 + (a − b)2 = 2a2 + 2b2.
    2. Expresia devine 2·sin260° + 2·cos260° = 2(sin260° + cos260°).
    3. Din identitatea fundamentală, sin260° + cos260° = 1.
    4. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  13. Exercițiul 13

    Calculați (sin 30° + 3·cos 60°)·sin245°.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm întâi paranteza: sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
    2. sin 30° + 3·cos 60° = 12 + 3·(12) = 12 + 32 = 2.
    3. sin245° = (√22)2 = 24 = 12.
    4. Produsul este 2·(12) = 1.
    5. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  14. Exercițiul 14

    Calculați 2·sin230° + cos 60°.

    Vezi rezolvarea
    1. sin 30° = 12, deci sin230° = 14.
    2. 2·sin230° = 2·(14) = 12.
    3. Adunăm cos 60° = 12: 12 + 12.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  15. Exercițiul 15

    Exercițiul 27 semi-ghidat · Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 5 și AC = 12. Cât este ipotenuza BC?

    Vezi rezolvarea
    1. BC2 = AB2 + AC2 = 25 + 144 = 169.
    2. BC = √169 = 13.
    3. Control: 13 este cea mai lungă latură.

    Răspuns: 13

  16. Exercițiul 16

    Acum calculați sin C.

    Vezi rezolvarea
    1. Față de unghiul C, cateta opusă este AB = 5.
    2. sin C = cateta opusăipotenuză = ABBC = 513.
    3. Control: valoarea este subunitară. Răspuns final: sin C = 513.

    Răspuns: 513

  17. Exercițiul 17

    Unghiul α este ascuțit și cos α = 817. Calculați sin α.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm sin2α = 1 − cos2α.
    2. sin2α = 1 − (817)2 = 1 − 64289 = 225289.
    3. Unghiul este ascuțit, deci sin α > 0.
    4. sin α = 225289 = 1517. Răspuns final: 1517.

    Răspuns: 1517

  18. Exercițiul 18

    În triunghiul ABC, AB = 10, AC = 4 și ∠A = 30°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea
    1. S = AB·AC·sin A2, unde A este unghiul dintre laturile AB și AC.
    2. S = 10·4·122 = 202.
    3. Răspuns final: aria este 10.

    Răspuns: 10

  19. Exercițiul 19

    Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 6 și AC = 8. Calculați BC.

    Vezi rezolvarea
    1. Unghiul drept este în A, deci BC este ipotenuza.
    2. BC2 = AB2 + AC2 = 36 + 64 = 100.
    3. BC = √100 = 10.
    4. Control: ipotenuza este cea mai lungă latură. Răspuns final: BC = 10.

    Răspuns: 10

  20. Exercițiul 20

    Arătați că un triunghi cu laturile 3, 4 și 5 este dreptunghic. Scrieți valoarea sumei 32 + 42.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
    2. Observăm că 25 = 52, adică pătratul celei mai lungi laturi.
    3. Prin conversa teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic.
    4. Unghiul drept este opus laturii 5. Răspuns final: 25.

    Răspuns: 25

  21. Exercițiul 21

    Calculați sin 60°cos 30°.

    Vezi rezolvarea
    1. Din tabel: sin 60° = √32 și cos 30° = √32.
    2. Cele două valori sunt egale, deci raportul lor este 1.
    3. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  22. Exercițiul 22

    Calculați tg 45° + 2·cos 60°.

    Vezi rezolvarea
    1. tg 45° = 1 și cos 60° = 12.
    2. Înlocuim: 1 + 2·(12) = 1 + 1.
    3. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  23. Exercițiul 23

    Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 9, AC = 12 și BC = 15. Calculați cos C.

    Vezi rezolvarea
    1. Ipotenuza este BC = 15.
    2. Față de unghiul C, cateta alăturată este AC = 12.
    3. cos C = ACBC = 1215.
    4. Simplificăm prin 3: 45. Răspuns final: cos C = 45.

    Răspuns: 45

  24. Exercițiul 24

    Exercițiul 35 semi-ghidat · Un triunghi isoscel are laturile egale de 10 și baza 12. Cât este înălțimea dusă pe bază?

    Vezi rezolvarea
    1. Înălțimea împarte baza în două segmente de câte 6.
    2. Se formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza 10 și o catetă 6.
    3. h = 102 − 62 = 100 − 36 = √64 = 8.

    Răspuns: 8

  25. Exercițiul 25

    Acum calculați aria triunghiului.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria = bază × înălțime2 = 12·82.
    2. Aria = 962 = 48.
    3. Răspuns final: aria este 48.

    Răspuns: 48

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 36 ghidat · În triunghiul ABC, AB = 5, AC = 7 și ∠A = 120°. Pasul 1: cât este cos 120°?

    Vezi rezolvarea
    1. Unghiul 120° este obtuz, deci cosinusul său este negativ.
    2. Aplicăm cos(180° − x) = −cos x, cu 120° = 180° − 60°.
    3. cos 120° = −cos 60° = −12.

    Răspuns: −12

  27. Exercițiul 27

    Pasul 2: ce formulă folosim pentru a calcula BC?

    Vezi rezolvarea
    1. Triunghiul nu este dreptunghic, deci nu putem folosi direct teorema lui Pitagora.
    2. Folosim teorema cosinusului, în care latura din stânga este opusă unghiului din formulă.
    3. BC este opusă unghiului A, deci BC2 = AB2 + AC2 − 2·AB·AC·cos A.

    Răspuns: BC2 = AB2 + AC2 − 2·AB·AC·cos A

  28. Exercițiul 28

    Pasul 3: ce se întâmplă când înlocuim cos A = −12 în termenul −2·AB·AC·cos A?

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm −2·5·7·(−12).
    2. Cei doi de minus se anulează: +2·5·7·(12) = +35.
    3. Așadar termenul se adună, nu se scade.
    4. Aceasta este diferența esențială față de un unghi ascuțit.

    Răspuns: Termenul devine +35, deci se adună

  29. Exercițiul 29

    Pasul 4: calculați BC.

    Vezi rezolvarea
    1. BC2 = 25 + 49 + 35 = 109.
    2. BC = √109, care nu se poate simplifica, deoarece 109 este prim.
    3. Control: la un unghi obtuz, latura opusă este mai mare decât dacă unghiul ar fi drept (√74).
    4. Răspuns final: BC = √109.

    Răspuns: √109

  30. Exercițiul 30

    În triunghiul ABC, BC = 12, ∠A = 30° și ∠B = 60°. Calculați AC.

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema sinusurilor: BCsin A = ACsin B, fiecare latură fiind asociată unghiului ei opus.
    2. AC = BC·sin Bsin A = 12·√3212.
    3. Împărțirea la 12 înseamnă înmulțire cu 2: AC = 12·(√32)·2 = 12√3.
    4. Răspuns final: AC = 12√3.

    Răspuns: 12√3

  31. Exercițiul 31

    În triunghiul ABC, BC = 9, ∠A = 45° și ∠B = 30°. Calculați AC.

    Vezi rezolvarea
    1. Din teorema sinusurilor: AC = BC·sin Bsin A.
    2. AC = 9·12√22.
    3. Împărțirea la √22 înseamnă înmulțire cu 2√2: AC = 9·(12)·(2√2) = 9√2.
    4. Raționalizăm: 9√2 = 9√22.
    5. Răspuns final: AC = 9√22.

    Răspuns: 9√22

  32. Exercițiul 32

    Un triunghi dreptunghic are catetele 5 cm și 12 cm. Află ipotenuza și aria.

    Vezi rezolvarea
    1. c2=52+122. Ipotenuza este opusă unghiului drept. Pătratul ei este suma pătratelor catetelor.
    2. c=√169=13 cm. 25+144=169. Lungimea este rădăcina pozitivă, nu pătratul ei.
    3. A=5·122=30 cm2. Una dintre catete este baza, cealaltă înălțimea corespunzătoare.

    Răspuns: A=5·122=30 cm2

  33. Exercițiul 33

    Într-un triunghi dreptunghic, pentru unghiul ascuțit A avem sin A=35. Calculează cos A și tg A.

    Vezi rezolvarea
    1. cos2A=1−925=1625. sin2A+cos2A=1. Ridicăm mai întâi sinusul la pătrat.
    2. cos A=45. A este ascuțit, deci cosinusul este pozitiv.
    3. tg A=3545=34. Tangenta este sinus împărțit la cosinus, nu produsul lor.

    Răspuns: tg A=3545=34

Fișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic (26)

  1. 1. Valori exacte

    Calculați sin 30° + cos 60°.

    Vezi răspunsul

    12 + 12 = 1

  2. 2. Valori exacte

    Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.

    Vezi răspunsul

    2 · 12 + 2 · 12 = 2

  3. 3. Identitate

    Calculați sin245° + cos245°.

    Vezi răspunsul

    12 + 12 = 1

  4. 4. Valori exacte

    Calculați tg 45°.

    Vezi răspunsul

    1

  5. 5. Valori exacte

    Calculați sin 60°·cos 30°.

    Vezi răspunsul

    (√32) · (√32) = 34

  6. 6. Valori exacte

    Calculați cos260° − sin230°.

    Vezi răspunsul

    14 − 14 = 0

  7. 7. Identitate

    Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = 1 − 925 = 45

  8. 8. Tangentă

    Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.

    Vezi răspunsul

    sin α = 513, deci tg α = 512.

  9. 9. Pitagora

    Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    9 + 16 = 5

  10. 10. Pitagora

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.

    Vezi răspunsul

    100 − 36 = 8

  11. 11. Unghiuri

    Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.

    Vezi răspunsul

    45° și 45°

  12. 12. Mixt

    Calculați (sin 60° + cos 60°)2 + (sin 60° − cos 60°)2.

    Vezi răspunsul

    Dezvoltând: 2(sin260° + cos260°) = 2.

  13. 25. Valori exacte

    Calculați (sin 30° + 3·cos 60°)·sin245°.

    Vezi răspunsul

    (12 + 32) · 12 = 1

  14. 26. Valori exacte

    Calculați 2·sin230° + cos 60°.

    Vezi răspunsul

    2 · 14 + 12 = 1

  15. 27. Raport trigonometric

    Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 5 și AC = 12. Calculați sin C.

    Vezi răspunsul

    BC = 13, deci sin C = ABBC = 513.

  16. 28. Identitate

    Unghiul α este ascuțit și cos α = 817. Calculați sin α.

    Vezi răspunsul

    sin α = 1 − 64289 = 1517

  17. 29. Arie cu sinus

    În triunghiul ABC, AB = 10, AC = 4 și ∠A = 30°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    Aria = (12) · 10 · 4 · 12 = 10

  18. 30. Pitagora

    Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 6 și AC = 8. Calculați BC.

    Vezi răspunsul

    36 + 64 = 10

  19. 31. Conversa lui Pitagora

    Arătați că un triunghi cu laturile 3, 4 și 5 este dreptunghic. Scrieți valoarea sumei 32 + 42.

    Vezi răspunsul

    32 + 42 = 25 = 52, deci triunghiul este dreptunghic.

  20. 32. Valori exacte

    Calculați sin 60°cos 30°.

    Vezi răspunsul

    1 (sin 60° = cos 30°)

  21. 33. Valori exacte

    Calculați tg 45° + 2·cos 60°.

    Vezi răspunsul

    1 + 2 · 12 = 2

  22. 34. Raport trigonometric

    Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 9, AC = 12 și BC = 15. Calculați cos C.

    Vezi răspunsul

    cos C = ACBC = 1215 = 45

  23. 35. Triunghi isoscel

    Un triunghi isoscel are laturile egale de 10 și baza 12. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    Înălțimea pe bază: 100 − 36 = 8, deci aria = 12 · 8 : 2 = 48.

  24. 36. Teorema cosinusului

    În triunghiul ABC, AB = 5, AC = 7 și ∠A = 120°. Calculați BC.

    Vezi răspunsul

    BC2 = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · (−12) = 109, deci BC = √109.

  25. 63. Teorema sinusurilor

    În triunghiul ABC, BC = 12, ∠A = 30° și ∠B = 60°. Calculați AC.

    Vezi răspunsul

    AC = BC · sin Bsin A = 12 · (√32) : (12) = 12√3

  26. 64. Teorema sinusurilor

    În triunghiul ABC, BC = 9, ∠A = 45° și ∠B = 30°. Calculați AC.

    Vezi răspunsul

    AC = 9 · sin 30°sin 45° = 9 · (12) : (√22) = 9√22

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.