Trigonometrie și triunghiuri · nivel M3

Lecția M3 exersează valorile exacte, triunghiul dreptunghic și cele două teoreme din triunghiul oarecare, cu atenție la unghiurile obtuze.

Programa profilului Tehnologic include atât teorema sinusurilor, cât și teorema cosinusului, deci fișa conține exerciții din ambele.

Valorile exacte și identitatea fundamentală

Exercițiul 6 verifică trigonometria și geometria în triunghi. Începe prin a stabili tipul triunghiului și datele: laturi, unghiuri, arie sau un raport trigonometric. Apoi alege o singură formulă principală și lucrează ordonat.

sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32

cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12

tg 45° = 1, tg 30° = √33, tg 60° = √3

sin²x + cos²x = 1 (identitatea fundamentală)

tg x = sin x / cos x, pentru cos x ≠ 0

Pentru un unghi ascuțit, sin, cos și tg sunt pozitive: alege mereu rădăcina pozitivă.
Observă că sin 30° = cos 60° și sin 60° = cos 30°.
Verifică la final: |sin x| ≤ 1 și |cos x| ≤ 1.

Triunghiul dreptunghic

„Opusă” și „alăturată” se stabilesc întotdeauna față de unghiul cerut, iar ipotenuza este latura opusă unghiului drept. Confuzia dintre cateta opusă și cea alăturată este greșeala cea mai frecventă la acest exercițiu.

Teorema lui Pitagora: ipotenuză² = catetă₁² + catetă₂²

sin A = cateta opusă / ipotenuză

cos A = cateta alăturată / ipotenuză

tg A = cateta opusă / cateta alăturată

Aria unui triunghi dreptunghic: S = catetă₁·catetă₂2

Ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură — folosește asta ca verificare.
Conversa teoremei lui Pitagora: dacă a² + b² = c², triunghiul este dreptunghic.
Nu folosi teorema lui Pitagora într-un triunghi oarecare.

Teorema cosinusului și teorema sinusurilor

Într-un triunghi oarecare, aceste două teoreme înlocuiesc teorema lui Pitagora. Alegerea este simplă: dacă știi două laturi și unghiul dintre ele, sau toate trei laturile, folosești teorema cosinusului; dacă ai o latură și unghiul ei opus, folosești teorema sinusurilor.

Teorema cosinusului: c² = a² + b² − 2ab·cos C, unde c este opusă lui C

Izolat: cos C = a² + b² − c²2ab

Teorema sinusurilor: a/sin A = b/sin B = c/sin C

Aria cu sinus: S = a·b·sin C/2, unde C este unghiul dintre a și b

În teorema cosinusului, latura din stânga este întotdeauna opusă unghiului din formulă.
În teorema sinusurilor, fiecare latură merge împreună cu unghiul ei opus.
La aria cu sinus, unghiul trebuie să fie cel cuprins între cele două laturi folosite.

Unghiuri obtuze

Când unghiul din teorema cosinusului este obtuz, cosinusul său este negativ, iar termenul scăzut devine adunat. Aceasta este cea mai frecventă capcană de calcul.

cos(180° − x) = −cos x, pentru 0° < x < 180°

sin(180° − x) = sin x

cos 120° = −cos 60° = −12

sin 120° = sin 60° = √32

Un unghi obtuz are cosinusul negativ și sinusul pozitiv.
La −2ab·cos C cu cos C negativ, cei doi de minus se anulează și termenul se adună.
Latura opusă unui unghi obtuz este mai mare decât dacă unghiul ar fi drept.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · raport trigonometric în triunghi

Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 6 și AC = 8. Calculați sin B.

1.Pasul 1 — marcăm tipul: unghiul drept este în A, deci BC este ipotenuza.
2.Pasul 2 — aflăm ipotenuza cu teorema lui Pitagora: BC = 6² + 8² = √100 = 10.
3.Pasul 3 — identificăm unghiul: lucrăm cu unghiul B.
4.Pasul 4 — stabilim cateta opusă lui B: este AC = 8, pentru că nu conține vârful B.
5.Pasul 5 — aplicăm definiția: sin B = cateta opusă/ipotenuză = ACBC = 810.
6.Pasul 6 — simplificăm și verificăm: sin B = 45, valoare subunitară, deci plauzibilă.

Algoritmul universal în 6 pași

Marchează tipul triunghiului: dreptunghic, isoscel sau oarecare.
Identifică unghiul cerut și stabilește latura opusă și laturile care îl formează.
Alege o singură formulă: Pitagora, raport trigonometric, arie, cosinus sau sinusuri.
Scrie valorile exacte, de exemplu sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
Calculează cu paranteze și simplifică radicalii, extrăgând factorii pătrați perfecți.
Verifică: lungimile sunt pozitive, ipotenuza este cea mai mare, iar sinusul și cosinusul sunt în [−1, 1].

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 26 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Valori exacteM3 · Tehnologic
Calculați sin 30° + cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 + 12 = 1
Ex. 2Valori exacteM3 · Tehnologic
Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 12 + 2 · 12 = 2
Ex. 3IdentitateM3 · Tehnologic
Calculați sin²45° + cos²45°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 + 12 = 1
Ex. 4Valori exacteM3 · Tehnologic
Calculați tg 45°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 5Valori exacteM3 · Tehnologic
Calculați sin 60°·cos 30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(√32) · (√32) = 34
Ex. 6Valori exacteM3 · Tehnologic
Calculați cos²60° − sin²30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
14 − 14 = 0
Ex. 7IdentitateM3 · Tehnologic
Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos α = 1 − 925 = 45
Ex. 8TangentăM3 · Tehnologic
Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin α = 513, deci tg α = 512.
Ex. 9PitagoraM3 · Tehnologic
Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 + 16 = 5
Ex. 10PitagoraM3 · Tehnologic
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
100 − 36 = 8
Ex. 11UnghiuriM3 · Tehnologic
Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
45° și 45°
Ex. 12MixtM3 · Tehnologic
Calculați (sin 60° + cos 60°)² + (sin 60° − cos 60°)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dezvoltând: 2(sin²60° + cos²60°) = 2.
Ex. 25Valori exacteM3 · Tehnologic
Calculați (sin 30° + 3·cos 60°)·sin²45°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(12 + 32) · 12 = 1
Ex. 26Valori exacteM3 · Tehnologic
Calculați 2·sin²30° + cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 14 + 12 = 1
Ex. 27Raport trigonometricM3 · Tehnologic
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 5 și AC = 12. Calculați sin C.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC = 13, deci sin C = ABBC = 513.
Ex. 28IdentitateM3 · Tehnologic
Unghiul α este ascuțit și cos α = 817. Calculați sin α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin α = 1 − 64289 = 1517
Ex. 29Arie cu sinusM3 · Tehnologic
În triunghiul ABC, AB = 10, AC = 4 și ∠A = 30°. Calculați aria.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aria = (12) · 10 · 4 · 12 = 10
Ex. 30PitagoraM3 · Tehnologic
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 6 și AC = 8. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 + 64 = 10
Ex. 31Conversa lui PitagoraM3 · Tehnologic
Arătați că un triunghi cu laturile 3, 4 și 5 este dreptunghic. Scrieți valoarea sumei 3² + 4².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3² + 4² = 25 = 5², deci triunghiul este dreptunghic.
Ex. 32Valori exacteM3 · Tehnologic
Calculați sin 60°/cos 30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 (sin 60° = cos 30°)
Ex. 33Valori exacteM3 · Tehnologic
Calculați tg 45° + 2·cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 + 2 · 12 = 2
Ex. 34Raport trigonometricM3 · Tehnologic
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 9, AC = 12 și BC = 15. Calculați cos C.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos C = ACBC = 1215 = 45
Ex. 35Triunghi isoscelM3 · Tehnologic
Un triunghi isoscel are laturile egale de 10 și baza 12. Calculați aria.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Înălțimea pe bază: 100 − 36 = 8, deci aria = 12 · 8 : 2 = 48.
Ex. 36Teorema cosinusuluiM3 · Tehnologic
În triunghiul ABC, AB = 5, AC = 7 și ∠A = 120°. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · (−12) = 109, deci BC = √109.
Ex. 63Teorema sinusurilorM3 · Tehnologic
În triunghiul ABC, BC = 12, ∠A = 30° și ∠B = 60°. Calculați AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC = BC · sin B / sin A = 12 · (√32) : (12) = 12√3
Ex. 64Teorema sinusurilorM3 · Tehnologic
În triunghiul ABC, BC = 9, ∠A = 45° și ∠B = 30°. Calculați AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC = 9 · sin 30° / sin 45° = 9 · (12) : (√22) = 9√22