Încărcăm partea curentă…

Trigonometrie, cosinus și sinusuri · nivel M2

Valorile exacte pentru 30°, 45° și 60°

La Bac, sinusul, cosinusul și tangenta unghiurilor de 30°, 45° și 60° se folosesc fără calculator. Sinusul crește: 12, √22, √32; cosinusul are aceleași valori în ordine inversă.

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus: tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Într-un calcul înlocuim întâi fiecare valoare, apoi facem operațiile.

În viața reală

Un acoperiș cu panta de 45° urcă exact cât înaintează pe orizontală, pentru că tg 45° = 1: la 3 m de streașină, coama este cu 3 m mai sus.

De ținut minte

sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32
cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12
tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3

Exemplu cu alte date

Calculați 2 · cos 30° + tg 60°.

  1. 1cos 30° = √32 și tg 60° = √3.
  2. 22 · cos 30° = 2 · √32 = √3.
  3. 3√3 + √3 = 2√3.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Trigonometrie, cosinus și sinusuri · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, vezi unde apare în viața reală, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea rând cu rând.

Valorile exacte pentru 30°, 45° și 60°

La Bac, sinusul, cosinusul și tangenta unghiurilor de 30°, 45° și 60° se folosesc fără calculator. Sinusul crește: 12, √22, √32; cosinusul are aceleași valori în ordine inversă.

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus: tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Într-un calcul înlocuim întâi fiecare valoare, apoi facem operațiile.

  • sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32
  • cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12
  • tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3

Exemplu cu alte date

Calculați 2 · cos 30° + tg 60°.

  1. cos 30° = √32 și tg 60° = √3.
  2. 2 · cos 30° = 2 · √32 = √3.
  3. √3 + √3 = 2√3.

Pătratele valorilor și sin2x + cos2x = 1

sin2x înseamnă (sin x)2: aflăm valoarea, apoi o ridicăm la pătrat, sus și jos. De exemplu, sin230° = (12)2 = 14, iar radicalul dispare: (√32)2 = 34.

Pentru orice unghi, sin2x + cos2x = 1. Dacă vedem suma pătratelor pentru același unghi, rezultatul este 1 fără alte calcule.

  • sin2x = (sin x)2
  • sin2x + cos2x = 1
  • (√32)2 = 34

Exemplu cu alte date

Calculați 4 · cos245° − 1.

  1. cos 45° = √22.
  2. cos245° = (√22)2 = 24 = 12.
  3. 4 · 12 − 1 = 2 − 1 = 1.

Din sinus aflăm cosinusul și tangenta

Dacă știm sin α pentru un unghi ascuțit, aflăm cos α din sin2α + cos2α = 1: cos2α = 1 − sin2α, apoi luăm radicalul pozitiv, pentru că la un unghi ascuțit cosinusul este pozitiv. La fel aflăm sinusul din cosinus.

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus. Dacă tg α = 1, sinusul și cosinusul sunt egale, iar unghiul ascuțit este 45°.

  • cos2α = 1 − sin2α
  • tg α = sin αcos α

Exemplu cu alte date

Unghiul α este ascuțit și sin α = 725. Calculați cos α și tg α.

  1. cos2α = 1 − 49625 = 576625.
  2. α este ascuțit, deci cos α = 2425.
  3. tg α = 7252425 = 724.

Teorema lui Pitagora și reciproca ei

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza la pătrat este suma pătratelor catetelor. Dacă știm ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă se află scăzând pătratele. Dacă cele două catete sunt egale, unghiurile ascuțite au câte 45°.

Reciproca: dacă pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus celei mai lungi laturi.

  • ipotenuza2 = catetă2 + catetă2
  • catetă2 = ipotenuza2 − catetă2

Exemplu cu alte date

Laturile 9, 40 și 41 formează un triunghi dreptunghic?

  1. Cea mai lungă latură este 41, iar 412 = 1681.
  2. 92 + 402 = 81 + 1600 = 1681.
  3. Rezultatele sunt egale, deci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii 41.

Triunghiul dreptunghic în A: ipotenuza este BC

Când unghiul drept este în A, ipotenuza este BC, latura opusă lui A, iar catetele sunt AB și AC. Dacă lipsește o latură, o aflăm întâi cu Pitagora.

Față de B, cateta opusă este AC și cea alăturată este AB. Față de C este invers: cateta opusă este AB, iar cea alăturată este AC.

  • sin B = ACBC, cos B = ABBC
  • sin C = ABBC, cos C = ACBC
  • tg B = ACAB

Exemplu cu alte date

Triunghiul ABC este dreptunghic în A, AB = 20 și AC = 21. Calculați sin B și cos C.

  1. BC2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 841, deci BC = 29.
  2. Față de B, cateta opusă este AC: sin B = 2129.
  3. Față de C, cateta alăturată este AC: cos C = 2129.

Teorema cosinusului: latura opusă unui unghi

În orice triunghi, pătratul unei laturi este suma pătratelor celorlalte două, minus de două ori produsul lor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele.

Latura din stânga este opusă unghiului din formulă: pentru ∠A calculăm BC. Dacă unghiul are 90°, cos 90° = 0 și regăsim teorema lui Pitagora.

  • BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC · cos A

Exemplu cu alte date

În triunghiul ABC, AB = 3, AC = 8 și ∠A = 60°. Calculați BC.

  1. 2 · 3 · 8 · cos 60° = 2 · 3 · 8 · 12 = 24.
  2. BC2 = 9 + 64 − 24 = 49.
  3. BC = √49 = 7.

Cosinusul unui unghi din cele trei laturi

Din teorema cosinusului izolăm cos A: suma pătratelor laturilor care formează unghiul, minus pătratul laturii opuse, împărțit la dublul produsului primelor două.

Latura opusă unghiului apare cu minus. Dacă rezultatul este pozitiv, unghiul este ascuțit; dacă este negativ, este obtuz.

  • cos A = AB2 + AC2 − BC22 · AB · AC

Exemplu cu alte date

Laturile sunt AB = 4, AC = 5 și BC = 6. Calculați cos A.

  1. BC = 6 este opusă unghiului A, deci apare cu minus.
  2. cos A = 16 + 25 − 362 · 4 · 5 = 540.
  3. cos A = 18.

Teorema sinusurilor

În orice triunghi, fiecare latură împărțită la sinusul unghiului opus dă același rezultat, egal cu 2R, unde R este raza cercului circumscris.

Ca să aflăm o latură, egalăm raportul cunoscut cu cel căutat, de exemplu BCsin A = ACsin B, și izolăm latura. Împărțirea la 12 înseamnă înmulțire cu 2.

  • BCsin A = ACsin B = ABsin C = 2R
  • AC = BC · sin Bsin A

Exemplu cu alte date

În triunghiul ABC, BC = 4, ∠A = 45° și ∠B = 30°. Calculați AC.

  1. BC este opusă lui A, iar AC este opusă lui B: BCsin A = ACsin B.
  2. AC = 4 · 12√22 = 2 · 2√2 = 4√2.
  3. AC = 4√22 = 2√2.

Aria cu sinusul unghiului dintre două laturi

Dacă știm două laturi și unghiul dintre ele, aria este produsul celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului, totul împărțit la 2.

Unghiul trebuie să fie chiar cel dintre cele două laturi: pentru AB și AC folosim unghiul A. Dacă știm aria, aceeași formulă ne dă sinusul unghiului.

  • S = AB · AC · sin A2

Exemplu cu alte date

În triunghiul ABC, AB = 16, AC = 5 și ∠A = 30°. Calculați aria.

  1. S = AB · AC · sin A2, iar sin 30° = 12.
  2. 16 · 5 · 12 = 40.
  3. S = 402 = 20.

Tipul triunghiului din laturi, apoi aria

Comparăm pătratul celei mai lungi laturi cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă sunt egale, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este între cele două laturi mai mici.

Unghiul dintre catete are 90°, iar sin 90° = 1, deci aria cu sinus devine produsul catetelor împărțit la 2.

  • ipotenuza2 = catetă2 + catetă2 ⇒ unghi drept
  • S = catetă · catetă · sin 90°2

Exemplu cu alte date

Un triunghi are laturile 12, 16 și 20. Ce tip este și cât este aria?

  1. 122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202.
  2. Triunghiul este dreptunghic, cu catetele 12 și 16.
  3. Aria = 12 · 16 · 12 = 96.

Razele r și R în triunghiul dreptunghic

Raza cercului înscris se află din aria și semiperimetrul triunghiului: r = As, unde s este jumătate din perimetru.

În triunghiul dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci R este jumătate din ipotenuză.

  • r = As
  • R = ipotenuza2

Exemplu cu alte date

Un triunghi dreptunghic are laturile 9, 12 și 15. Calculați r și R.

  1. A = 9 · 122 = 54 și s = 9 + 12 + 152 = 18.
  2. r = 5418 = 3.
  3. R = 152 = 7,5.

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați sin 30° + cos 60°.

    Vezi rezolvarea
    1. Din tabelul valorilor exacte: sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
    2. Adunăm: 12 + 12.
    3. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  2. Exercițiul 2

    Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.

    Vezi rezolvarea
    1. sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
    2. Înlocuim: 2·(12) + 2·(12) = 1 + 1.
    3. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    Calculați sin245° + cos245°.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim identitatea fundamentală sin2x + cos2x = 1, valabilă pentru orice unghi x.
    2. Aici x = 45°, deci rezultatul este 1.
    3. Verificare directă: (√22)2 + (√22)2 = 12 + 12 = 1.
    4. Răspuns final: 1.

    Răspuns: 1

  4. Exercițiul 4

    Calculați tg 45°.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim tg x = sin xcos x, cu condiția cos x ≠ 0.
    2. sin 45° = √22 și cos 45° = √22.
    3. Raportul este √22√22 = 1.
    4. Răspuns final: tg 45° = 1.

    Răspuns: 1

  5. Exercițiul 5

    Calculați sin 60°·cos 30°.

    Vezi rezolvarea
    1. Din tabel: sin 60° = √32 și cos 30° = √32.
    2. Produsul este (√32)·(√32) = (√3)24.
    3. Cum (√3)2 = 3, obținem 34.
    4. Răspuns final: 34.

    Răspuns: 34

  6. Exercițiul 6

    Calculați cos260° − sin230°.

    Vezi rezolvarea
    1. Observăm că cos 60° = 12 și sin 30° = 12, deci cele două valori sunt egale.
    2. cos260° − sin230° = 14 − 14.
    3. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  7. Exercițiul 7

    Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm sin2α + cos2α = 1.
    2. cos2α = 1 − (35)2 = 1 − 925 = 1625.
    3. Unghiul α este ascuțit, deci cos α > 0 și alegem rădăcina pozitivă.
    4. Răspuns final: cos α = 45.

    Răspuns: 45

  8. Exercițiul 8

    Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.

    Vezi rezolvarea
    1. Aflăm întâi sinusul: sin2α = 1 − (1213)2 = 1 − 144169 = 25169.
    2. Cum α este ascuțit, sin α = 513.
    3. Aplicăm tg α = sin αcos α = 5131213.
    4. Fracțiile de 13 se simplifică. Răspuns final: tg α = 512.

    Răspuns: 512

  9. Exercițiul 9

    Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema lui Pitagora: ipotenuză2 = catetă12 + catetă22.
    2. c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
    3. Lungimea este pozitivă, deci c = √25 = 5.
    4. Control: ipotenuza 5 este cea mai lungă latură. Răspuns final: 5.

    Răspuns: 5

  10. Exercițiul 10

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.

    Vezi rezolvarea
    1. Din Pitagora: catetă2 = ipotenuză2 − catetă2.
    2. catetă2 = 102 − 62 = 100 − 36 = 64.
    3. catetă = √64 = 8.
    4. Control: 62 + 82 = 100 = 102. Răspuns final: 8.

    Răspuns: 8

  11. Exercițiul 11

    Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.

    Vezi rezolvarea
    1. Catetele egale înseamnă că triunghiul este dreptunghic isoscel.
    2. Unghiurile opuse laturilor egale sunt egale.
    3. Suma unghiurilor ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic este 90°.
    4. Fiecare are măsura 90° : 2 = 45°. Răspuns final: 45°.

    Răspuns: 45°

  12. Exercițiul 12

    Calculați (sin 60° + cos 60°)2 + (sin 60° − cos 60°)2.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim identitatea (a + b)2 + (a − b)2 = 2a2 + 2b2.
    2. Expresia devine 2·sin260° + 2·cos260° = 2(sin260° + cos260°).
    3. Din identitatea fundamentală, sin260° + cos260° = 1.
    4. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  13. Exercițiul 13

    Calculați (sin 60° − cos 60°)2.

    Vezi rezolvarea
    1. sin 60° = √32 și cos 60° = 12, deci diferența este √3 − 12.
    2. Ridicăm la pătrat: (√3 − 1)24.
    3. Dezvoltăm: 3 − 2√3 + 14 = 4 − 2√34.
    4. Simplificăm prin 2: 2 − √32 = 1 − √32.
    5. Răspuns final: 1 − √32.

    Răspuns: 1 − √32

  14. Exercițiul 14

    Unghiul α este ascuțit și sin α = 513. Calculați cos α.

    Vezi rezolvarea
    1. cos2α = 1 − sin2α = 1 − 25169 = 144169.
    2. Unghiul α este ascuțit, deci cos α > 0.
    3. cos α = 144169 = 1213.
    4. Răspuns final: cos α = 1213.

    Răspuns: 1213

  15. Exercițiul 15

    Unghiul α este ascuțit și tg α = 34. Determinați sin α.

    Vezi rezolvarea
    1. tg α = 34 înseamnă că într-un triunghi dreptunghic cateta opusă este 3, iar cea alăturată 4.
    2. Ipotenuza este 32 + 42 = 5.
    3. sin α = cateta opusăipotenuză = 35, iar cos α = 45.
    4. Control: (35)2 + (45)2 = 1. Răspuns final: sin α = 35.

    Răspuns: 35

  16. Exercițiul 16

    În triunghiul ABC, AB = 7, AC = 9 și ∠A = 60°. Calculați BC.

    Vezi rezolvarea
    1. BC2 = AB2 + AC2 − 2·AB·AC·cos A.
    2. BC2 = 49 + 81 − 2·7·9·(12) = 130 − 63 = 67.
    3. BC = √67, care nu se simplifică.
    4. Răspuns final: BC = √67.

    Răspuns: √67

  17. Exercițiul 17

    Exercițiul 41 semi-ghidat · Un triunghi are laturile 5, 6 și 7. Ce formulă folosim pentru cosinusul unghiului opus laturii 7?

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm cu C unghiul opus laturii 7, deci c = 7, a = 5 și b = 6.
    2. Din teorema cosinusului, izolat: cos C = a2 + b2 − c22ab.
    3. Latura opusă unghiului, 7, apare cu minus.

    Răspuns: cos C = 52 + 62 − 722·5·6

  18. Exercițiul 18

    Acum calculați cos C, simplificat.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul: 25 + 36 − 49 = 12.
    2. Numitorul: 2·5·6 = 60.
    3. cos C = 1260 = 15.
    4. Control: valoarea este între −1 și 1, iar unghiul este ascuțit, pentru că este pozitivă.

    Răspuns: 15

  19. Exercițiul 19

    În triunghiul ABC, AB = 12, AC = 7 și ∠A = 30°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea
    1. S = AB·AC·sin A2, unde A este unghiul dintre AB și AC.
    2. S = 12·7·122 = 84·122 = 422.
    3. Răspuns final: aria este 21.

    Răspuns: 21

  20. Exercițiul 20

    Exercițiul 43 semi-ghidat · În triunghiul ABC, a = 5, A = 30° și B = 45°. Ce relație scriem din teorema sinusurilor?

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema sinusurilor asociază fiecare latură cu unghiul opus ei.
    2. Latura a este opusă unghiului A, iar b este opusă lui B.
    3. Relația corectă este asin A = bsin B.

    Răspuns: asin A = bsin B

  21. Exercițiul 21

    Acum calculați b.

    Vezi rezolvarea
    1. Izolăm: b = a·sin Bsin A.
    2. b = 5·√2212. Împărțirea la 12 înseamnă înmulțire cu 2.
    3. b = 5·(√22)·2 = 5√2.
    4. Control: B = 45° > A = 30°, deci b > a. Răspuns final: b = 5√2.

    Răspuns: 5√2

  22. Exercițiul 22

    Într-un triunghi, a = 8 și A = 30°. Calculați raza cercului circumscris R.

    Vezi rezolvarea
    1. Forma extinsă a teoremei sinusurilor: asin A = 2R.
    2. Înlocuim: 812 = 2R.
    3. 8·2 = 16 = 2R, deci R = 8.
    4. Răspuns final: R = 8.

    Răspuns: 8

  23. Exercițiul 23

    Triunghiul ABC este dreptunghic în A, BC = 13 și AB = 5. Calculați sin B.

    Vezi rezolvarea
    1. BC = 13 este ipotenuza, pentru că unghiul drept este în A.
    2. Aflăm cateta AC = 132 − 52 = 169 − 25 = √144 = 12.
    3. Față de unghiul B, cateta opusă este AC = 12.
    4. sin B = ACBC = 1213. Răspuns final: sin B = 1213.

    Răspuns: 1213

  24. Exercițiul 24

    Arătați că un triunghi cu laturile 7, 24 și 25 este dreptunghic. Scrieți valoarea sumei 72 + 242.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm 72 + 242 = 49 + 576 = 625.
    2. Observăm că 625 = 252, pătratul celei mai lungi laturi.
    3. Prin conversa teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic.
    4. Unghiul drept este opus laturii 25. Răspuns final: 625.

    Răspuns: 625

  25. Exercițiul 25

    Un triunghi isoscel are laturile egale de 5 și baza 6. Calculați cosinusul unghiului dintre laturile egale.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm cu A unghiul dintre laturile egale; latura opusă lui este baza, 6.
    2. cos A = 52 + 52 − 622·5·5.
    3. cos A = 25 + 25 − 3650 = 1450.
    4. Simplificăm prin 2: 725. Răspuns final: cos A = 725.

    Răspuns: 725

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 48 ghidat · Un triunghi are laturile 6, 8 și 10. Pasul 1: cât este 62 + 82?

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm 62 + 82 = 36 + 64 = 100.
    2. Observăm că 100 = 102, adică pătratul celei mai lungi laturi.
    3. Aceasta este condiția din conversa teoremei lui Pitagora.

    Răspuns: 100

  27. Exercițiul 27

    Pasul 2: ce concluzie tragem despre triunghi?

    Vezi rezolvarea
    1. Din 62 + 82 = 102 rezultă, prin conversa teoremei lui Pitagora, că triunghiul este dreptunghic.
    2. Ipotenuza este latura cea mai lungă, 10.
    3. Catetele sunt 6 și 8, iar unghiul drept se află între ele.

    Răspuns: Este dreptunghic, cu catetele 6 și 8

  28. Exercițiul 28

    Pasul 3: care este măsura unghiului dintre laturile 6 și 8, și cât este sinusul său?

    Vezi rezolvarea
    1. Catetele sunt laturile care formează unghiul drept.
    2. Prin urmare unghiul dintre laturile 6 și 8 are 90°.
    3. sin 90° = 1, valoarea maximă a sinusului.

    Răspuns: 90°, iar sinusul este 1

  29. Exercițiul 29

    Pasul 4: calculați aria triunghiului.

    Vezi rezolvarea
    1. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt perpendiculare, deci una este baza și cealaltă înălțimea.
    2. Aria = 6·82 = 482 = 24.
    3. Verificare cu formula generală: S = 6·8·sin 90°2 = 48·12 = 24.
    4. Răspuns final: aria este 24.

    Răspuns: 24

  30. Exercițiul 30

    Un triunghi dreptunghic are laturile 6, 8, 10. Află raza cercului înscris și raza cercului circumscris.

    Vezi rezolvarea
    1. A=24; s=12. Aria este 6·82=24, iar semiperimetrul este 6+8+102=12.
    2. r=As=2. Formula A=rs dă r=2412=2.
    3. R=102=5. La triunghiul dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris.

    Răspuns: R=102=5

  31. Exercițiul 31

    Un triunghi dreptunghic are catetele 5 cm și 12 cm. Află ipotenuza și aria.

    Vezi rezolvarea
    1. c2=52+122. Ipotenuza este opusă unghiului drept. Pătratul ei este suma pătratelor catetelor.
    2. c=√169=13 cm. 25+144=169. Lungimea este rădăcina pozitivă, nu pătratul ei.
    3. A=5·122=30 cm2. Una dintre catete este baza, cealaltă înălțimea corespunzătoare.

    Răspuns: A=5·122=30 cm2

  32. Exercițiul 32

    Într-un triunghi dreptunghic, pentru unghiul ascuțit A avem sin A=35. Calculează cos A și tg A.

    Vezi rezolvarea
    1. cos2A=1−925=1625. sin2A+cos2A=1. Ridicăm mai întâi sinusul la pătrat.
    2. cos A=45. A este ascuțit, deci cosinusul este pozitiv.
    3. tg A=3545=34. Tangenta este sinus împărțit la cosinus, nu produsul lor.

    Răspuns: tg A=3545=34

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (24)

  1. 1. Valori exacte

    Calculați sin 30° + cos 60°.

    Vezi răspunsul

    12 + 12 = 1

  2. 2. Valori exacte

    Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.

    Vezi răspunsul

    2 · 12 + 2 · 12 = 2

  3. 3. Identitate

    Calculați sin245° + cos245°.

    Vezi răspunsul

    12 + 12 = 1

  4. 4. Valori exacte

    Calculați tg 45°.

    Vezi răspunsul

    1

  5. 5. Valori exacte

    Calculați sin 60°·cos 30°.

    Vezi răspunsul

    (√32) · (√32) = 34

  6. 6. Valori exacte

    Calculați cos260° − sin230°.

    Vezi răspunsul

    14 − 14 = 0

  7. 7. Identitate

    Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = 1 − 925 = 45

  8. 8. Tangentă

    Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.

    Vezi răspunsul

    sin α = 513, deci tg α = 512.

  9. 9. Pitagora

    Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    9 + 16 = 5

  10. 10. Pitagora

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.

    Vezi răspunsul

    100 − 36 = 8

  11. 11. Unghiuri

    Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.

    Vezi răspunsul

    45° și 45°

  12. 12. Mixt

    Calculați (sin 60° + cos 60°)2 + (sin 60° − cos 60°)2.

    Vezi răspunsul

    Dezvoltând: 2(sin260° + cos260°) = 2.

  13. 37. Valori exacte

    Calculați (sin 60° − cos 60°)2.

    Vezi răspunsul

    (√3 − 12)2 = 4 − 2√34 = 2 − √32

  14. 38. Identitate

    Unghiul α este ascuțit și sin α = 513. Calculați cos α.

    Vezi răspunsul

    cos α = 1 − 25169 = 1213

  15. 39. Tangentă

    Unghiul α este ascuțit și tg α = 34. Determinați sin α.

    Vezi răspunsul

    sin α = 35 (catetele 3 și 4, ipotenuza 5)

  16. 40. Teorema cosinusului

    În triunghiul ABC, AB = 7, AC = 9 și ∠A = 60°. Calculați BC.

    Vezi răspunsul

    BC2 = 49 + 81 − 2 · 7 · 9 · 12 = 67, deci BC = √67.

  17. 41. Teorema cosinusului

    Un triunghi are laturile 5, 6 și 7. Calculați cosinusul unghiului opus laturii 7.

    Vezi răspunsul

    cos = (25 + 36 − 49) : (2 · 5 · 6) = 1260 = 15

  18. 42. Arie cu sinus

    În triunghiul ABC, AB = 12, AC = 7 și ∠A = 30°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    Aria = (12) · 12 · 7 · 12 = 21

  19. 43. Teorema sinusurilor

    În triunghiul ABC, a = 5, A = 30° și B = 45°. Calculați b.

    Vezi răspunsul

    b = 5 · (√22) : (12) = 5√2

  20. 44. Raza cercului circumscris

    Într-un triunghi, a = 8 și A = 30°. Calculați raza cercului circumscris R.

    Vezi răspunsul

    2R = 8 : (12) = 16, deci R = 8.

  21. 45. Mixt

    Triunghiul ABC este dreptunghic în A, BC = 13 și AB = 5. Calculați sin B.

    Vezi răspunsul

    AC = 169 − 25 = 12, deci sin B = ACBC = 1213.

  22. 46. Conversa lui Pitagora

    Arătați că un triunghi cu laturile 7, 24 și 25 este dreptunghic. Scrieți valoarea sumei 72 + 242.

    Vezi răspunsul

    72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252, deci triunghiul este dreptunghic.

  23. 47. Teorema cosinusului

    Un triunghi isoscel are laturile egale de 5 și baza 6. Calculați cosinusul unghiului dintre laturile egale.

    Vezi răspunsul

    cos = (25 + 25 − 36) : (2 · 5 · 5) = 1450 = 725

  24. 48. Mixt

    Un triunghi are laturile 6, 8 și 10. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    62 + 82 = 102, deci este dreptunghic: aria = 6 · 8 : 2 = 24.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.