Trigonometrie, cosinus și sinusuri · nivel M2

Lecția M2 combină rapoartele trigonometrice cu teorema cosinusului, teorema sinusurilor și raza cercului circumscris.

Înainte de orice calcul, verifică dacă triunghiul este dreptunghic: de multe ori problema devine mult mai simplă.

Valorile exacte și identitatea fundamentală

Exercițiul 6 verifică trigonometria și geometria în triunghi. Începe prin a stabili tipul triunghiului și datele: laturi, unghiuri, arie sau un raport trigonometric. Apoi alege o singură formulă principală și lucrează ordonat.

sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32

cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12

tg 45° = 1, tg 30° = √33, tg 60° = √3

sin²x + cos²x = 1 (identitatea fundamentală)

tg x = sin x / cos x, pentru cos x ≠ 0

Pentru un unghi ascuțit, sin, cos și tg sunt pozitive: alege mereu rădăcina pozitivă.
Observă că sin 30° = cos 60° și sin 60° = cos 30°.
Verifică la final: |sin x| ≤ 1 și |cos x| ≤ 1.

Triunghiul dreptunghic

„Opusă” și „alăturată” se stabilesc întotdeauna față de unghiul cerut, iar ipotenuza este latura opusă unghiului drept. Confuzia dintre cateta opusă și cea alăturată este greșeala cea mai frecventă la acest exercițiu.

Teorema lui Pitagora: ipotenuză² = catetă₁² + catetă₂²

sin A = cateta opusă / ipotenuză

cos A = cateta alăturată / ipotenuză

tg A = cateta opusă / cateta alăturată

Aria unui triunghi dreptunghic: S = catetă₁·catetă₂2

Ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură — folosește asta ca verificare.
Conversa teoremei lui Pitagora: dacă a² + b² = c², triunghiul este dreptunghic.
Nu folosi teorema lui Pitagora într-un triunghi oarecare.

Teorema cosinusului și teorema sinusurilor

Într-un triunghi oarecare, aceste două teoreme înlocuiesc teorema lui Pitagora. Alegerea este simplă: dacă știi două laturi și unghiul dintre ele, sau toate trei laturile, folosești teorema cosinusului; dacă ai o latură și unghiul ei opus, folosești teorema sinusurilor.

Teorema cosinusului: c² = a² + b² − 2ab·cos C, unde c este opusă lui C

Izolat: cos C = a² + b² − c²2ab

Teorema sinusurilor: a/sin A = b/sin B = c/sin C

Aria cu sinus: S = a·b·sin C/2, unde C este unghiul dintre a și b

În teorema cosinusului, latura din stânga este întotdeauna opusă unghiului din formulă.
În teorema sinusurilor, fiecare latură merge împreună cu unghiul ei opus.
La aria cu sinus, unghiul trebuie să fie cel cuprins între cele două laturi folosite.

Raza cercului circumscris

Forma extinsă a teoremei sinusurilor: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

R = a2·sin A

Aria inversă: din S = ab·sin C/2 putem afla sin C

Raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este constant în tot triunghiul.
Atenție: raportul este egal cu 2R, nu cu R.
Dacă se dă aria și două laturi, formula ariei devine o ecuație în sin C.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · teorema sinusurilor

În triunghiul ABC, a = 6, A = 30° și B = 45°. Calculați b.

1.Pasul 1 — marcăm tipul: triunghiul este oarecare, deci nu folosim teorema lui Pitagora.
2.Pasul 2 — observăm datele: avem o latură și unghiul ei opus, plus încă un unghi.
3.Pasul 3 — scriem teorema sinusurilor: a/sin A = b/sin B.
4.Pasul 4 — izolăm necunoscuta: b = a·sin B/sin A.
5.Pasul 5 — înlocuim valorile exacte: b = 6·√2212 = 6·(√22)·2 = 6√2.
6.Pasul 6 — verificăm: B = 45° este mai mare decât A = 30°, deci b trebuie să fie mai mare decât a = 6, ceea ce se confirmă.

Algoritmul universal în 6 pași

Marchează tipul triunghiului: dreptunghic, isoscel sau oarecare.
Identifică unghiul cerut și stabilește latura opusă și laturile care îl formează.
Alege o singură formulă: Pitagora, raport trigonometric, arie, cosinus sau sinusuri.
Scrie valorile exacte, de exemplu sin 30° = 12 și cos 60° = 12.
Calculează cu paranteze și simplifică radicalii, extrăgând factorii pătrați perfecți.
Verifică: lungimile sunt pozitive, ipotenuza este cea mai mare, iar sinusul și cosinusul sunt în [−1, 1].

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Științe · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Valori exacteM2 · Științe
Calculați sin 30° + cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 + 12 = 1
Ex. 2Valori exacteM2 · Științe
Calculați 2·sin 30° + 2·cos 60°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 12 + 2 · 12 = 2
Ex. 3IdentitateM2 · Științe
Calculați sin²45° + cos²45°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 + 12 = 1
Ex. 4Valori exacteM2 · Științe
Calculați tg 45°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 5Valori exacteM2 · Științe
Calculați sin 60°·cos 30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(√32) · (√32) = 34
Ex. 6Valori exacteM2 · Științe
Calculați cos²60° − sin²30°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
14 − 14 = 0
Ex. 7IdentitateM2 · Științe
Unghiul α este ascuțit și sin α = 35. Determinați cos α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos α = 1 − 925 = 45
Ex. 8TangentăM2 · Științe
Unghiul α este ascuțit și cos α = 1213. Determinați tg α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin α = 513, deci tg α = 512.
Ex. 9PitagoraM2 · Științe
Un triunghi dreptunghic are catetele de 3 și 4. Calculați ipotenuza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 + 16 = 5
Ex. 10PitagoraM2 · Științe
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 10 și o catetă 6. Calculați cealaltă catetă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
100 − 36 = 8
Ex. 11UnghiuriM2 · Științe
Într-un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt egale. Determinați măsurile unghiurilor ascuțite.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
45° și 45°
Ex. 12MixtM2 · Științe
Calculați (sin 60° + cos 60°)² + (sin 60° − cos 60°)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dezvoltând: 2(sin²60° + cos²60°) = 2.
Ex. 37Valori exacteM2 · Științe
Calculați (sin 60° − cos 60°)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(√3 − 12)² = 4 − 2√34 = 2 − √32
Ex. 38IdentitateM2 · Științe
Unghiul α este ascuțit și sin α = 513. Calculați cos α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos α = 1 − 25169 = 1213
Ex. 39TangentăM2 · Științe
Unghiul α este ascuțit și tg α = 34. Determinați sin α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin α = 35 (catetele 3 și 4, ipotenuza 5)
Ex. 40Teorema cosinusuluiM2 · Științe
În triunghiul ABC, AB = 7, AC = 9 și ∠A = 60°. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC² = 49 + 81 − 2 · 7 · 9 · 12 = 67, deci BC = √67.
Ex. 41Teorema cosinusuluiM2 · Științe
Un triunghi are laturile 5, 6 și 7. Calculați cosinusul unghiului opus laturii 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos = (25 + 36 − 49) : (2 · 5 · 6) = 1260 = 15
Ex. 42Arie cu sinusM2 · Științe
În triunghiul ABC, AB = 12, AC = 7 și ∠A = 30°. Calculați aria.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aria = (12) · 12 · 7 · 12 = 21
Ex. 43Teorema sinusurilorM2 · Științe
În triunghiul ABC, a = 5, A = 30° și B = 45°. Calculați b.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b = 5 · (√22) : (12) = 5√2
Ex. 44Raza cercului circumscrisM2 · Științe
Într-un triunghi, a = 8 și A = 30°. Calculați raza cercului circumscris R.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2R = 8 : (12) = 16, deci R = 8.
Ex. 45MixtM2 · Științe
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, BC = 13 și AB = 5. Calculați sin B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC = 169 − 25 = 12, deci sin B = ACBC = 1213.
Ex. 46Conversa lui PitagoraM2 · Științe
Arătați că un triunghi cu laturile 7, 24 și 25 este dreptunghic. Scrieți valoarea sumei 7² + 24².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25², deci triunghiul este dreptunghic.
Ex. 47Teorema cosinusuluiM2 · Științe
Un triunghi isoscel are laturile egale de 5 și baza 6. Calculați cosinusul unghiului dintre laturile egale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos = (25 + 25 − 36) : (2 · 5 · 5) = 1450 = 725
Ex. 48MixtM2 · Științe
Un triunghi are laturile 6, 8 și 10. Calculați aria.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6² + 8² = 10², deci este dreptunghic: aria = 6 · 8 : 2 = 24.