Coordonate, mijloace și distanțe · nivel M4

Lecția M4 construiește temeinic formulele de bază: vectorul, distanța, mijlocul și mediana, cu accent pe scrierea corectă a semnelor.

Scrie întotdeauna formula înainte de a înlocui numerele; baremul acordă puncte pentru formulă, pentru înlocuire și pentru calcul.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

A(1, 1) și B(4, 3) sunt reprezentate în același reper. De la A la B mergem 3 unități orizontal și 2 vertical. Segmentul AB este ipotenuza triunghiului ajutător, deci AB = √(3² + 2²) = √13. Mijlocul este M(2,5; 2).

Formulele de bază

Exercițiul 5 se rezolvă în reperul cartezian xOy. Nu ai nevoie de un desen perfect: citești coordonatele, alegi formula potrivită și lucrezi ordonat. La radicali, ține minte că întreaga sumă a pătratelor stă sub radical.

Vectorul AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁) — final minus inițial

Distanța AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

Mijlocul M(x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)

Capăt necunoscut: x₂ = 2x_m − x₁ și y₂ = 2y_m − y₁

Originea reperului este O(0, 0)

Ordinea punctelor contează la vector, dar nu și la distanță.
Folosește paranteze la coordonatele negative: (−3)² = 9, nu −9.
Distanța este întotdeauna un număr nenegativ.

Linii importante în triunghi

Programa profilului tău numește explicit liniile importante în triunghi, iar mediana este cea care apare cel mai des la exercițiul 5. Rezolvarea are întotdeauna doi pași.

Mediana din A unește A cu mijlocul laturii BC

Pasul 1: M(x_B + x_C2, y_B + y_C2)

Pasul 2: lungimea medianei este distanța AM

Nu confunda vârful din care pleacă mediana cu latura pe care se sprijină.
Pentru ecuația medianei, folosește punctele A și M ca pe două puncte oarecare.
Dacă A și M au aceeași abscisă, mediana este verticală.

Drepte, pantă și poziții relative

Panta prin două puncte: m = y₂ − y₁x₂ − x₁

Dreapta prin punct cu pantă dată: y − y₀ = m(x − x₀)

Forma generală: ax + by + c = 0

Paralelism: m₁ = m₂, echivalent u₁v₂ − u₂v₁ = 0

Perpendicularitate: m₁·m₂ = −1, echivalent u·v = u₁v₁ + u₂v₂ = 0

Verifică întotdeauna ecuația obținută cu unul dintre punctele date.
Dacă cele două puncte au aceeași abscisă, dreapta este verticală și are ecuația x = constant, iar panta nu există.
Pe axa Ox punem y = 0, iar pe axa Oy punem x = 0.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · capătul necunoscut al unui segment

M(3, 1) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 4). Determinați punctul B.

1.Pasul 1 — notăm datele: cunoaștem mijlocul M(3, 1) și un capăt, A(−1, 4).
2.Pasul 2 — scriem formula mijlocului: x_m = x₁ + x₂2 și y_m = y₁ + y₂2.
3.Pasul 3 — izolăm necunoscuta: x₂ = 2x_m − x₁ și y₂ = 2y_m − y₁.
4.Pasul 4 — înlocuim cu atenție la semne: x₂ = 2·3 − (−1) = 6 + 1 = 7.
5.Pasul 5 — a doua coordonată: y₂ = 2·1 − 4 = −2.
6.Pasul 6 — controlăm: mijlocul lui A(−1, 4) și B(7, −2) este (−1 + 72, 4 − 22) = (3, 1). Răspuns final: B(7, −2).

Algoritmul universal în 6 pași

Notează punctele și identifică originea O(0, 0), dacă apare în enunț.
Tradu cerința: distanță, mijloc, mediană, dreaptă, normal, director sau versor.
Scrie formula înainte de a înlocui numerele; astfel reduci erorile de semn.
Folosește paranteze, mai ales la coordonate negative.
Simplifică radicalul, extrăgând factorii pătrați perfecți.
Controlează: verifică punctul în ecuație, n·u = 0 sau |e| = 1, după caz.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Pedagogic · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1DistanțăM4 · Pedagogic
În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 3² + 4² = 5
Ex. 2MijlocM4 · Pedagogic
Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M(1, 1)
Ex. 3VectorM4 · Pedagogic
Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (−5, 6)
Ex. 4DistanțăM4 · Pedagogic
Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
OA = 36 + 64 = 10
Ex. 5MijlocM4 · Pedagogic
Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(4, −2)
Ex. 6Capăt necunoscutM4 · Pedagogic
Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
B(5, 1): x_B = 2 · 2 − (−1) = 5, y_B = 2 · 3 − 5 = 1.
Ex. 7ColiniaritateM4 · Pedagogic
Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB₁·AC₂ − AB₂·AC₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (2, 2), AC = (4, 4); determinantul este 2 · 4 − 2 · 4 = 0, deci punctele sunt coliniare.
Ex. 8MixtM4 · Pedagogic
Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(2, 4), deci BC = 3² + 4² = 5.
Ex. 9MedianăM4 · Pedagogic
În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mijlocul lui BC este (4, 2), deci mediana are 16 + 4 = 2√5.
Ex. 10Ecuația drepteiM4 · Pedagogic
Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Panta este 6 − 23 − 1 = 2, deci y = 2x.
Ex. 11Punct pe dreaptăM4 · Pedagogic
Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2a + 1 = 5, deci a = 2.
Ex. 12ParalelismM4 · Pedagogic
Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB₁·CD₂ − AB₂·CD₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (3, 2), CD = (6, 4); 3 · 4 − 2 · 6 = 0, deci dreptele sunt paralele.
Ex. 13MixtM4 · Pedagogic
Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Determinați distanța BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(2, 4), deci BC = 9 + 16 = 5.
Ex. 14MixtM4 · Pedagogic
Se consideră A(1, 0), B(0, 6), C(5, 4), iar D este mijlocul segmentului AC. Determinați BD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
D(3, 2), deci BD = 9 + 16 = 5.
Ex. 15MedianăM4 · Pedagogic
În triunghiul ABC, A(3, 1), B(−4, 3), C(1, −5). Determinați lungimea medianei duse din B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mijlocul lui AC este (2, −2), deci mediana are 36 + 25 = √61.
Ex. 16MedianăM4 · Pedagogic
În triunghiul ABC, A(−2, 1), B(2, 4), C(4, 2). Scrieți ecuația medianei duse din A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mijlocul lui BC este (3, 3); mediana din A: 2x − 5y + 9 = 0.
Ex. 17PerpendicularitateM4 · Pedagogic
Arătați că triunghiul cu vârfurile A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8) este dreptunghic în A. Scrieți valoarea produsului scalar AB·AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (6, 0), AC = (0, 8); AB · AC = 0, deci unghiul din A este drept.
Ex. 18MijlocM4 · Pedagogic
Determinați mijlocul segmentului AB pentru A(−3, 5) și B(7, −1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(2, 2)
Ex. 19Capăt necunoscutM4 · Pedagogic
Punctul M(1, 4) este mijlocul segmentului AB, iar A(−5, 2). Determinați B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
B(7, 6)
Ex. 20DistanțăM4 · Pedagogic
Calculați distanța dintre A(−1, 2) și B(3, 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16 + 9 = 5
Ex. 21Triunghi isoscelM4 · Pedagogic
Arătați că triunghiul A(0, 0), B(3, 4), C(−3, 4) este isoscel în A. Scrieți lungimea comună AB = AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 9 + 16 = 5 și AC = 9 + 16 = 5.
Ex. 22ParametruM4 · Pedagogic
Determinați numerele reale a pentru care distanța dintre A(a, 1) și B(1, 1) este 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
|a − 1| = 4, deci a = 5 sau a = −3.
Ex. 23Ecuația drepteiM4 · Pedagogic
Determinați ecuația dreptei AB, unde A(0, 2) și B(2, 0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = −x + 2, adică x + y − 2 = 0.
Ex. 24MixtM4 · Pedagogic
Se consideră A(6, −2), B(−1, 2), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(3, −1), deci BC = 16 + 9 = 5.