Coordonate, mijloace și drepte · nivel M3

Lecția M3 exersează calcule clare cu coordonate: distanțe, mijloace, linii importante în triunghi și ecuații de drepte.

Programa profilului Tehnologic numește explicit liniile importante în triunghi, deci medianele apar frecvent la acest exercițiu.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

A(1, 1) și B(4, 3) sunt reprezentate în același reper. De la A la B mergem 3 unități orizontal și 2 vertical. Segmentul AB este ipotenuza triunghiului ajutător, deci AB = √(3² + 2²) = √13. Mijlocul este M(2,5; 2).

Formulele de bază

Exercițiul 5 se rezolvă în reperul cartezian xOy. Nu ai nevoie de un desen perfect: citești coordonatele, alegi formula potrivită și lucrezi ordonat. La radicali, ține minte că întreaga sumă a pătratelor stă sub radical.

Vectorul AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁) — final minus inițial

Distanța AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

Mijlocul M(x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)

Capăt necunoscut: x₂ = 2x_m − x₁ și y₂ = 2y_m − y₁

Originea reperului este O(0, 0)

Ordinea punctelor contează la vector, dar nu și la distanță.
Folosește paranteze la coordonatele negative: (−3)² = 9, nu −9.
Distanța este întotdeauna un număr nenegativ.

Linii importante în triunghi

Programa profilului tău numește explicit liniile importante în triunghi, iar mediana este cea care apare cel mai des la exercițiul 5. Rezolvarea are întotdeauna doi pași.

Mediana din A unește A cu mijlocul laturii BC

Pasul 1: M(x_B + x_C2, y_B + y_C2)

Pasul 2: lungimea medianei este distanța AM

Nu confunda vârful din care pleacă mediana cu latura pe care se sprijină.
Pentru ecuația medianei, folosește punctele A și M ca pe două puncte oarecare.
Dacă A și M au aceeași abscisă, mediana este verticală.

Drepte, pantă și poziții relative

Panta prin două puncte: m = y₂ − y₁x₂ − x₁

Dreapta prin punct cu pantă dată: y − y₀ = m(x − x₀)

Forma generală: ax + by + c = 0

Paralelism: m₁ = m₂, echivalent u₁v₂ − u₂v₁ = 0

Perpendicularitate: m₁·m₂ = −1, echivalent u·v = u₁v₁ + u₂v₂ = 0

Verifică întotdeauna ecuația obținută cu unul dintre punctele date.
Dacă cele două puncte au aceeași abscisă, dreapta este verticală și are ecuația x = constant, iar panta nu există.
Pe axa Ox punem y = 0, iar pe axa Oy punem x = 0.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · lungimea unei mediane

În triunghiul A(0, 0), B(2, 4), C(6, 2), calculați lungimea medianei duse din A.

1.Pasul 1 — traducem cerința: mediana din A unește A cu mijlocul laturii opuse, BC.
2.Pasul 2 — scriem formula mijlocului: M(x_B + x_C2, y_B + y_C2).
3.Pasul 3 — calculăm mijlocul: M(2 + 62, 4 + 22) = M(4, 3).
4.Pasul 4 — lungimea medianei este distanța AM.
5.Pasul 5 — aplicăm formula distanței: AM = (4 − 0)² + (3 − 0)² = 16 + 9.
6.Pasul 6 — simplificăm și controlăm: AM = √25 = 5, un număr pozitiv. Răspuns final: mediana are lungimea 5.

Algoritmul universal în 6 pași

Notează punctele și identifică originea O(0, 0), dacă apare în enunț.
Tradu cerința: distanță, mijloc, mediană, dreaptă, normal, director sau versor.
Scrie formula înainte de a înlocui numerele; astfel reduci erorile de semn.
Folosește paranteze, mai ales la coordonate negative.
Simplifică radicalul, extrăgând factorii pătrați perfecți.
Controlează: verifică punctul în ecuație, n·u = 0 sau |e| = 1, după caz.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1DistanțăM3 · Tehnologic
În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 3² + 4² = 5
Ex. 2MijlocM3 · Tehnologic
Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M(1, 1)
Ex. 3VectorM3 · Tehnologic
Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (−5, 6)
Ex. 4DistanțăM3 · Tehnologic
Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
OA = 36 + 64 = 10
Ex. 5MijlocM3 · Tehnologic
Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(4, −2)
Ex. 6Capăt necunoscutM3 · Tehnologic
Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
B(5, 1): x_B = 2 · 2 − (−1) = 5, y_B = 2 · 3 − 5 = 1.
Ex. 7ColiniaritateM3 · Tehnologic
Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB₁·AC₂ − AB₂·AC₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (2, 2), AC = (4, 4); determinantul este 2 · 4 − 2 · 4 = 0, deci punctele sunt coliniare.
Ex. 8MixtM3 · Tehnologic
Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(2, 4), deci BC = 3² + 4² = 5.
Ex. 9MedianăM3 · Tehnologic
În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mijlocul lui BC este (4, 2), deci mediana are 16 + 4 = 2√5.
Ex. 10Ecuația drepteiM3 · Tehnologic
Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Panta este 6 − 23 − 1 = 2, deci y = 2x.
Ex. 11Punct pe dreaptăM3 · Tehnologic
Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2a + 1 = 5, deci a = 2.
Ex. 12ParalelismM3 · Tehnologic
Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB₁·CD₂ − AB₂·CD₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (3, 2), CD = (6, 4); 3 · 4 − 2 · 6 = 0, deci dreptele sunt paralele.
Ex. 25DistanțăM3 · Tehnologic
Pentru A(0, 1), B(5, 6), C(7, 2), arătați că AB = AC. Scrieți lungimea comună.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 25 + 25 = 5√2 și AC = 49 + 1 = 5√2: AB = AC = 5√2.
Ex. 26MixtM3 · Tehnologic
Se consideră A(6, 8), B(8, 4), iar M este mijlocul segmentului OA. Calculați BM.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M(3, 4), deci BM = 25 + 0 = 5.
Ex. 27MixtM3 · Tehnologic
Se consideră A(1, 3), B(8, 6), iar C este mijlocul segmentului OB. Calculați AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(4, 3), deci AC = 9 + 0 = 3.
Ex. 28MijlocM3 · Tehnologic
Determinați mijlocul segmentului AB, unde A(−2, 4) și B(4, −2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(1, 1)
Ex. 29MixtM3 · Tehnologic
Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(10, 6). Pentru B(1, 0), calculați BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
C(5, 3), deci BC = 16 + 9 = 5.
Ex. 30DistanțăM3 · Tehnologic
Calculați distanța dintre A(2, −1) și B(−2, 2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16 + 9 = 5
Ex. 31ColiniaritateM3 · Tehnologic
Arătați că punctele A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului AB₁·AC₂ − AB₂·AC₁.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (2, 2), AC = (4, 4); determinantul este 0, deci punctele sunt coliniare.
Ex. 32Ecuația drepteiM3 · Tehnologic
Determinați ecuația dreptei care trece prin A(−1, 3) și B(2, 0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Panta este −1, deci y = −x + 2, adică x + y − 2 = 0.
Ex. 33Punct pe dreaptăM3 · Tehnologic
Punctul M(a, 4) aparține dreptei x + 2y − 10 = 0. Determinați a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a + 8 − 10 = 0, deci a = 2.
Ex. 34ParalelismM3 · Tehnologic
Scrieți ecuația dreptei care trece prin P(2, 1) și este paralelă cu d: x − y + 3 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Panta este 1: y − 1 = x − 2, adică x − y − 1 = 0.
Ex. 35PerpendicularitateM3 · Tehnologic
Arătați că vectorii u = (2, 1) și v = (1, −2) sunt perpendiculari. Scrieți valoarea produsului scalar u·v.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u · v = 2 · 1 + 1 · (−2) = 0, deci vectorii sunt perpendiculari.
Ex. 36MedianăM3 · Tehnologic
În triunghiul A(0, 0), B(4, 0), C(2, 3), calculați lungimea medianei duse din C.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mijlocul lui AB este (2, 0), deci mediana are 3.