Încărcăm partea curentă…

Coordonate, mijloace și drepte · nivel M3

Distanța: deplasările formează catetele

Coordonatele arată poziția pe cele două axe. Scădem final minus inițial pe fiecare axă. Lungimile deplasărilor sunt valorile absolute ale diferențelor.

Cele două deplasări sunt perpendiculare. Pitagora dă distanța; aceeași formulă funcționează cu coordonate negative. Dacă o deplasare este zero, segmentul este vertical sau orizontal.

De ținut minte

AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2

Exemplu rezolvat · alte date

Află distanța dintre A(−2, 1) și B(4, 9).

-6-4-22468246810xyAB
Segmentul ABDeplasări pe axe
Punctele cu coordonate cunoscute din enunț, cu aceeași unitate pe cele două axe. Coordonatele necunoscute se află prin calcul.

Deplasarea orizontală și cea verticală formează catetele. Segmentul dintre puncte este ipotenuza.

2/2
  1. 1Diferențele sunt 4 − (−2) = 6 și 9 − 1 = 8.
  2. 2AB2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100.
  3. 3AB = 10; distanța este nenegativă.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Coordonate, mijloace și drepte · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O construcție pe rând, un exemplu cu alte date și trei probleme pe care le rezolvi tu.

Distanța: deplasările formează catetele

Coordonatele arată poziția pe cele două axe. Scădem final minus inițial pe fiecare axă. Lungimile deplasărilor sunt valorile absolute ale diferențelor.

Cele două deplasări sunt perpendiculare. Pitagora dă distanța; aceeași formulă funcționează cu coordonate negative. Dacă o deplasare este zero, segmentul este vertical sau orizontal.

  • AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2

Exemplu rezolvat · alte date

Află distanța dintre A(−2, 1) și B(4, 9).

  1. Diferențele sunt 4 − (−2) = 6 și 9 − 1 = 8.
  2. AB2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100.
  3. AB = 10; distanța este nenegativă.

Distanța: deplasările formează catetele · exersare 2

Coordonatele arată poziția pe cele două axe. Scădem final minus inițial pe fiecare axă. Lungimile deplasărilor sunt valorile absolute ale diferențelor.

Cele două deplasări sunt perpendiculare. Pitagora dă distanța; aceeași formulă funcționează cu coordonate negative. Dacă o deplasare este zero, segmentul este vertical sau orizontal.

  • AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2

Exemplu rezolvat · alte date

Află distanța dintre A(−2, 1) și B(4, 9).

  1. Diferențele sunt 4 − (−2) = 6 și 9 − 1 = 8.
  2. AB2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100.
  3. AB = 10; distanța este nenegativă.

Vectorul: păstrăm și sensul deplasării

Vectorul AB are componentele xB − xA și yB − yA. Spre deosebire de distanță, componentele pot fi negative: semnul arată sensul deplasării.

Vectorul BA are componente opuse. În coordonate, produsul scalar se calculează înmulțind componentele pe poziții și adunând. Produsul scalar zero arată perpendicularitatea vectorilor nenuli.

  • AB = (xB − xA, yB − yA)
  • u·v = u1v1 + u2v2

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru A(−1, 4), B(3, 1), află AB și AB·(3, 4).

  1. AB = (3 − (−1), 1 − 4) = (4, −3).
  2. Produsul scalar cu (3, 4) este 4·3 + (−3)·4.
  3. Rezultatul este 12 − 12 = 0; vectorii sunt perpendiculari.

Mijlocul: două medii aritmetice

Mijlocul unui segment se află la jumătatea drumului pe fiecare axă. Adunăm cele două abscise și împărțim la 2, apoi procedăm la fel cu ordonatele.

Păstrăm semnele și acceptăm coordonate fracționare. Mijlocul lui OA, cu O(0, 0), are coordonatele lui A împărțite la 2.

  • M = (xA + xB2, yA + yB2)

Exemplu rezolvat · alte date

Află mijlocul segmentului A(−4, 2), B(2, 8).

  1. xM = −4 + 22 = −1.
  2. yM = 2 + 82 = 5.
  3. M(−1, 5); deplasările de la A la M și de la M la B sunt ambele (3, 3).

Mijloc, apoi distanță

Dacă unul dintre capetele segmentului cerut este un mijloc, nu folosim direct coordonatele capătului inițial. Aflăm întâi mijlocul, apoi distanța până la el.

Scriem separat cele două calcule. Astfel verificăm și alegerea laturii, și punctul de la care pleacă segmentul cerut.

  • M = (xA + xB2, yA + yB2)
  • PM = (xM − xP)2 + (yM − yP)2

Exemplu rezolvat · alte date

M este mijlocul lui OA, cu O(0, 0), A(8, 6). Pentru P(4, −2), află PM.

  1. M(0 + 82, 0 + 62) = M(4, 3).
  2. P(4, −2) și M(4, 3) au aceeași abscisă.
  3. PM = |3 − (−2)| = 5. Nu am calculat PA.

Mijloc, apoi distanță · exersare 2

Dacă unul dintre capetele segmentului cerut este un mijloc, nu folosim direct coordonatele capătului inițial. Aflăm întâi mijlocul, apoi distanța până la el.

Scriem separat cele două calcule. Astfel verificăm și alegerea laturii, și punctul de la care pleacă segmentul cerut.

  • M = (xA + xB2, yA + yB2)
  • PM = (xM − xP)2 + (yM − yP)2

Exemplu rezolvat · alte date

M este mijlocul lui OA, cu O(0, 0), A(8, 6). Pentru P(4, −2), află PM.

  1. M(0 + 82, 0 + 62) = M(4, 3).
  2. P(4, −2) și M(4, 3) au aceeași abscisă.
  3. PM = |3 − (−2)| = 5. Nu am calculat PA.

Capăt necunoscut: desfacem media

Când știm un capăt și mijlocul, formula mijlocului devine o ecuație pentru fiecare coordonată. Înmulțim cu 2, apoi scădem coordonata capătului cunoscut.

Nu împărțim coordonatele mijlocului la 2: acesta nu este capătul segmentului. Verificăm că media capetelor găsite reconstruiește mijlocul dat.

  • xB = 2xM − xA
  • yB = 2yM − yA

Exemplu rezolvat · alte date

A(3, 2), M(1, 4) este mijlocul lui AB. Află B.

  1. xB = 2·1 − 3 = −1.
  2. yB = 2·4 − 2 = 6.
  3. B(−1, 6). Verificare: 3 + (−1)2 = 1 și 2 + 62 = 4.

Dreapta: punctul trebuie să verifice ecuația

Pentru y = mx + b, m este panta. Două puncte cu abscise diferite dau m = yB − yAxB − xA. Înlocuim un punct pentru a afla b.

Un punct P(a, c) aparține unei drepte dacă ecuația devine adevărată după înlocuirea lui x cu a și a lui y cu c. O paralelă are aceeași pantă; dreptele verticale au ecuația x = constantă.

  • y − yA = m(x − xA)

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie dreapta prin A(−1, 2), B(2, 8).

  1. m = 8 − 22 − (−1) = 63 = 2.
  2. y − 2 = 2(x + 1), deci y = 2x + 4.
  3. Verificăm: pentru x = −1 avem y = 2, iar pentru x = 2 avem y = 8.

Dreapta: punctul trebuie să verifice ecuația · exersare 2

Pentru y = mx + b, m este panta. Două puncte cu abscise diferite dau m = yB − yAxB − xA. Înlocuim un punct pentru a afla b.

Un punct P(a, c) aparține unei drepte dacă ecuația devine adevărată după înlocuirea lui x cu a și a lui y cu c. O paralelă are aceeași pantă; dreptele verticale au ecuația x = constantă.

  • y − yA = m(x − xA)

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie dreapta prin A(−1, 2), B(2, 8).

  1. m = 8 − 22 − (−1) = 63 = 2.
  2. y − 2 = 2(x + 1), deci y = 2x + 4.
  3. Verificăm: pentru x = −1 avem y = 2, iar pentru x = 2 avem y = 8.

Coliniaritatea și paralelismul

Trei puncte sunt coliniare când vectorii AB și AC sunt paraleli. În plan verificăm determinantul: înmulțim în cruce și scădem. Determinantul zero este condiția de paralelism.

Această metodă funcționează și pentru direcții verticale, unde nu putem împărți pentru a calcula panta. La două drepte comparăm vectorii direcție ai lor.

  • u1v2 − u2v1 = 0

Exemplu rezolvat · alte date

Sunt A(1, 0), B(3, 2), C(6, 5) coliniare?

  1. AB = (2, 2), AC = (5, 5).
  2. Determinantul este 2·5 − 2·5 = 0.
  3. Vectorii sunt paraleli, deci punctele sunt coliniare. Nu am împărțit la o coordonată care putea fi zero.

Mediana: întâi mijlocul laturii opuse

Mediana dintr-un vârf unește acel vârf cu mijlocul laturii opuse. Aflăm întâi coordonatele mijlocului, apoi tratăm mediana ca pe un segment obișnuit.

Pentru lungime aplicăm formula distanței; pentru ecuație folosim dreapta prin cele două puncte. Dacă abscisele coincid, dreapta este verticală: x egal cu abscisa comună.

  • M = mijlocul lui BC
  • mediana din A: segmentul AM

Exemplu rezolvat · alte date

În triunghiul A(1, 1), B(3, 5), C(5, 1), află lungimea medianei din A.

  1. Mijlocul lui BC este M(3 + 52, 5 + 12) = M(4, 3).
  2. De la A la M avem diferențele 3 și 2.
  3. AM = 32 + 22 = √13. Nu folosim mijlocul lui AB când mediana pleacă din A.

Exerciții rezolvate din lecție (38)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Formula: AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
    2. Diferențele sunt 4 − 1 = 3 și 6 − 2 = 4.
    3. AB = 32 + 42 = 9 + 16 = √25.
    4. Răspuns final: AB = 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).

    Vezi rezolvarea
    1. Formula: M(x1 + x22, y1 + y22).
    2. Abscisa: xm = −2 + 42 = 1.
    3. Ordonata: ym = 3 − 12 = 1.
    4. Răspuns final: M(1, 1).

    Răspuns: (1, 1)

  3. Exercițiul 3

    Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Formula: AB = (x2 − x1, y2 − y1), adică final minus inițial.
    2. Prima coordonată: −3 − 2 = −5.
    3. A doua coordonată: 5 − (−1) = 6.
    4. Răspuns final: AB = (−5, 6).

    Răspuns: (−5, 6)

  4. Exercițiul 4

    Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.

    Vezi rezolvarea
    1. Originea este O(0, 0).
    2. Formula scurtă: OA = x2 + y2.
    3. OA = 62 + 82 = 36 + 64 = √100.
    4. Răspuns final: OA = 10.

    Răspuns: 10

  5. Exercițiul 5

    Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.

    Vezi rezolvarea
    1. Originea este O(0, 0).
    2. Aplicăm formula mijlocului: C(0 + 82, 0 − 42).
    3. Răspuns final: C(4, −2).

    Răspuns: (4, −2)

  6. Exercițiul 6

    Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.

    Vezi rezolvarea
    1. Din xm = x1 + x22 obținem x2 = 2xm − x1 = 2·2 − (−1) = 5.
    2. Analog, y2 = 2ym − y1 = 2·3 − 5 = 1.
    3. Control: mijlocul lui A(−1, 5) și B(5, 1) este (−1 + 52, 5 + 12) = (2, 3).
    4. Răspuns final: B(5, 1).

    Răspuns: (5, 1)

  7. Exercițiul 7

    Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB1·AC2 − AB2·AC1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm vectorii: AB = (2, 2) și AC = (4, 4).
    2. Determinantul este 2·4 − 2·4 = 8 − 8 = 0.
    3. Un determinant nul înseamnă vectori proporționali, deci AC = 2·AB.
    4. Prin urmare punctele A, B și C sunt coliniare. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  8. Exercițiul 8

    Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.

    Vezi rezolvarea
    1. Mai întâi determinăm C, mijlocul lui OA: C(0 + 42, 0 + 82) = C(2, 4).
    2. Aplicăm formula distanței: BC = (2 − 5)2 + (4 − 0)2.
    3. BC = 9 + 16 = √25.
    4. Răspuns final: BC = 5.

    Răspuns: 5

  9. Exercițiul 9

    În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.

    Vezi rezolvarea
    1. Mediana din A unește A cu mijlocul laturii BC.
    2. Mijlocul lui BC este M(2 + 62, 2 + 22) = M(4, 2).
    3. AM = (4 − 0)2 + (2 − 0)2 = 16 + 4 = √20.
    4. Simplificăm radicalul: √20 = 2√5.
    5. Răspuns final: AM = 2√5.

    Răspuns: 2√5

  10. Exercițiul 10

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).

    Vezi rezolvarea
    1. Panta este m = 6 − 23 − 1 = 42 = 2.
    2. Folosim ecuația prin punct cu pantă dată: y − 2 = 2(x − 1).
    3. Desfacem: y − 2 = 2x − 2, deci y = 2x.
    4. Răspuns final: 2x − y = 0.

    Răspuns: 2x − y = 0

  11. Exercițiul 11

    Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.

    Vezi rezolvarea
    1. Un punct aparține dreptei dacă îi verifică ecuația.
    2. Înlocuim x = a și y = 5: 5 = 2a + 1.
    3. 2a = 4, deci a = 2.
    4. Răspuns final: a = 2.

    Răspuns: 2

  12. Exercițiul 12

    Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB1·CD2 − AB2·CD1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm vectorii: AB = (3, 2) și CD = (6, 4).
    2. Condiția de paralelism este u1v2 − u2v1 = 0.
    3. Obținem 3·4 − 2·6 = 12 − 12 = 0.
    4. Vectorii sunt proporționali (CD = 2·AB), deci AB ∥ CD. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  13. Exercițiul 13

    Pentru A(0, 1), B(5, 6), C(7, 2), arătați că AB = AC. Scrieți lungimea comună.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = (5 − 0)2 + (6 − 1)2 = 25 + 25 = √50.
    2. AC = (7 − 0)2 + (2 − 1)2 = 49 + 1 = √50.
    3. Cele două distanțe sunt egale, deci AB = AC.
    4. Simplificăm radicalul: √50 = 5√2. Răspuns final: 5√2.

    Răspuns: 5√2

  14. Exercițiul 14

    Se consideră A(6, 8), B(8, 4), iar M este mijlocul segmentului OA. Calculați BM.

    Vezi rezolvarea
    1. Mijlocul lui OA este M(0 + 62, 0 + 82) = M(3, 4).
    2. BM = (8 − 3)2 + (4 − 4)2 = 25 + 0.
    3. Răspuns final: BM = 5.

    Răspuns: 5

  15. Exercițiul 15

    Se consideră A(1, 3), B(8, 6), iar C este mijlocul segmentului OB. Calculați AC.

    Vezi rezolvarea
    1. Mijlocul lui OB este C(0 + 82, 0 + 62) = C(4, 3).
    2. AC = (4 − 1)2 + (3 − 3)2 = 9 + 0.
    3. Punctele au aceeași ordonată, deci distanța este diferența absciselor.
    4. Răspuns final: AC = 3.

    Răspuns: 3

  16. Exercițiul 16

    Determinați mijlocul segmentului AB, unde A(−2, 4) și B(4, −2).

    Vezi rezolvarea
    1. Abscisa: xm = −2 + 42 = 1.
    2. Ordonata: ym = 4 − 22 = 1.
    3. Răspuns final: M(1, 1).

    Răspuns: (1, 1)

  17. Exercițiul 17

    Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(10, 6). Pentru B(1, 0), calculați BC.

    Vezi rezolvarea
    1. Mijlocul lui OA este C(0 + 102, 0 + 62) = C(5, 3).
    2. BC = (5 − 1)2 + (3 − 0)2 = 16 + 9.
    3. Răspuns final: BC = 5.

    Răspuns: 5

  18. Exercițiul 18

    Calculați distanța dintre A(2, −1) și B(−2, 2).

    Vezi rezolvarea
    1. Diferențele sunt −2 − 2 = −4 și 2 − (−1) = 3.
    2. AB = (−4)2 + 32 = 16 + 9 = √25.
    3. Atenție la semne: pătratul elimină semnul minus.
    4. Răspuns final: AB = 5.

    Răspuns: 5

  19. Exercițiul 19

    Arătați că punctele A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului AB1·AC2 − AB2·AC1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm vectorii: AB = (2, 2) și AC = (4, 4).
    2. Determinantul este 2·4 − 2·4 = 0.
    3. Vectorii sunt proporționali, deoarece AC = 2·AB.
    4. Prin urmare punctele sunt coliniare. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  20. Exercițiul 20

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(−1, 3) și B(2, 0).

    Vezi rezolvarea
    1. Panta este m = 0 − 32 − (−1) = −33 = −1.
    2. Ecuația prin B(2, 0): y − 0 = −1·(x − 2).
    3. Rezultă y = −x + 2.
    4. Răspuns final: x + y − 2 = 0.

    Răspuns: x + y − 2 = 0

  21. Exercițiul 21

    Exercițiul 33 semi-ghidat · Punctul M(a, 4) aparține dreptei x + 2y − 10 = 0. Ce ecuație obținem după înlocuire?

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim x = a și y = 4 în ecuația dreptei.
    2. Obținem a + 2·4 − 10 = 0.
    3. Adică a + 8 − 10 = 0.

    Răspuns: a + 8 − 10 = 0

  22. Exercițiul 22

    Acum determinați valoarea lui a.

    Vezi rezolvarea
    1. Din a + 8 − 10 = 0 rezultă a − 2 = 0.
    2. Deci a = 2.
    3. Verificare: 2 + 2·4 − 10 = 2 + 8 − 10 = 0.
    4. Răspuns final: a = 2.

    Răspuns: 2

  23. Exercițiul 23

    Exercițiul 34 semi-ghidat · Ce formă are o dreaptă paralelă cu d: x − y + 3 = 0?

    Vezi rezolvarea
    1. Două drepte sunt paralele dacă au vectorii normali proporționali.
    2. Cel mai simplu păstrăm exact coeficienții lui x și y și schimbăm doar termenul liber.
    3. Forma este x − y + c = 0, cu c ≠ 3, altfel obținem chiar dreapta d.

    Răspuns: x − y + c = 0

  24. Exercițiul 24

    Acum scrieți ecuația dreptei paralele care trece prin P(2, 1).

    Vezi rezolvarea
    1. Punem condiția ca P(2, 1) să verifice ecuația: 2 − 1 + c = 0.
    2. Rezultă 1 + c = 0, deci c = −1.
    3. Ecuația este x − y − 1 = 0.
    4. Răspuns final: x − y − 1 = 0.

    Răspuns: x − y − 1 = 0

  25. Exercițiul 25

    Arătați că vectorii u = (2, 1) și v = (1, −2) sunt perpendiculari. Scrieți valoarea produsului scalar u·v.

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul scalar este u·v = u1v1 + u2v2.
    2. Calculăm: u·v = 2·1 + 1·(−2) = 2 − 2 = 0.
    3. Un produs scalar nul înseamnă vectori perpendiculari.
    4. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 36 ghidat · În triunghiul A(0, 0), B(4, 0), C(2, 3). Pasul 1: ce unește mediana dusă din C?

    Vezi rezolvarea
    1. Mediana dusă dintr-un vârf unește acel vârf cu mijlocul laturii opuse.
    2. Latura opusă vârfului C este AB.
    3. Deci mediana din C unește C cu mijlocul lui AB.

    Răspuns: Vârful C cu mijlocul laturii AB

  27. Exercițiul 27

    Pasul 2: determinați mijlocul M al laturii AB, unde A(0, 0) și B(4, 0).

    Vezi rezolvarea
    1. Abscisa: 0 + 42 = 2.
    2. Ordonata: 0 + 02 = 0.
    3. Rezultă M(2, 0), un punct de pe axa Ox.

    Răspuns: M(2, 0)

  28. Exercițiul 28

    Pasul 3: ce observi comparând C(2, 3) cu M(2, 0)?

    Vezi rezolvarea
    1. Ambele puncte au abscisa 2.
    2. Un segment cu capete de aceeași abscisă este vertical.
    3. În acest caz lungimea este pur și simplu diferența ordonatelor.

    Răspuns: Au aceeași abscisă, deci segmentul este vertical

  29. Exercițiul 29

    Pasul 4: calculați lungimea medianei CM.

    Vezi rezolvarea
    1. CM = (2 − 2)2 + (3 − 0)2.
    2. CM = 0 + 9 = √9.
    3. Se confirmă observația de la pasul 3: lungimea este |3 − 0| = 3.
    4. Răspuns final: CM = 3.

    Răspuns: 3

  30. Exercițiul 30

    A(1,2) și B(7,10). Află mijlocul M al segmentului AB și lungimea AB.

    Vezi rezolvarea
    1. M(1+72; 2+102)=M(4;6). Facem separat media aritmetică a absciselor și a ordonatelor.
    2. 7−1=6; 10−2=8. Scădem coordonatele lui A din cele ale lui B, nu pe ale mijlocului: abscisele între ele, ordonatele între ele.
    3. AB=62+82=10. Teorema lui Pitagora dă √100=10. Coordonatele mijlocului nu sunt lungimi ale catetelor pentru AB.

    Răspuns: AB=62+82=10

  31. Exercițiul 31

    A(−6, 2) și B(6, 2). Calculează AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Δx = 6 − (−6) = 12, Δy = 0.
    2. AB = (12)2 + 02.
    3. AB = 12.

    Răspuns: 12

  32. Exercițiul 32

    A(−7, 2) și B(7, 2). Calculează AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Δx = 7 − (−7) = 14, Δy = 0.
    2. AB = (14)2 + 02.
    3. AB = 14.

    Răspuns: 14

  33. Exercițiul 33

    A(1, 2), B(8, 5). Care este prima componentă a vectorului AB?

    Vezi rezolvarea
    1. AB = (8 − 1, 5 − 2).
    2. AB = (7, 3).
    3. Prima componentă este 7.

    Răspuns: 7

  34. Exercițiul 34

    M este mijlocul lui OA, unde O(0, 0), A(0, 14). Pentru P(0, −2), calculează PM.

    Vezi rezolvarea
    1. M(0, 7).
    2. PM = |7 − (−2)|.
    3. PM = 9.

    Răspuns: 9

  35. Exercițiul 35

    A(2, 1), M(6, 3) este mijlocul lui AB. Află abscisa lui B.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 + xB2 = 6.
    2. 2 + xB = 12.
    3. xB = 10; yB = 5.

    Răspuns: 10

  36. Exercițiul 36

    A(2, 1), M(7, 3) este mijlocul lui AB. Află abscisa lui B.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 + xB2 = 7.
    2. 2 + xB = 14.
    3. xB = 12; yB = 5.

    Răspuns: 12

  37. Exercițiul 37

    P(a, 17) aparține dreptei y = 2x + 3. Află a.

    Vezi rezolvarea
    1. 17 = 2a + 3.
    2. 2a = 14.
    3. a = 7.

    Răspuns: 7

  38. Exercițiul 38

    A(0, 0), B(−2, 7), C(2, 7). Află lungimea medianei din A.

    Vezi rezolvarea
    1. M(−2 + 22, 7 + 72) = M(0, 7).
    2. Segmentul AM este vertical.
    3. AM = |7 − 0| = 7.

    Răspuns: 7

Fișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic (24)

  1. 1. Distanță

    În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    AB = 32 + 42 = 5

  2. 2. Mijloc

    Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).

    Vezi răspunsul

    M(1, 1)

  3. 3. Vector

    Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (−5, 6)

  4. 4. Distanță

    Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.

    Vezi răspunsul

    OA = 36 + 64 = 10

  5. 5. Mijloc

    Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.

    Vezi răspunsul

    C(4, −2)

  6. 6. Capăt necunoscut

    Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.

    Vezi răspunsul

    B(5, 1): xB = 2 · 2 − (−1) = 5, yB = 2 · 3 − 5 = 1.

  7. 7. Coliniaritate

    Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB1·AC2 − AB2·AC1.

    Vezi răspunsul

    AB = (2, 2), AC = (4, 4); determinantul este 2 · 4 − 2 · 4 = 0, deci punctele sunt coliniare.

  8. 8. Mixt

    Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.

    Vezi răspunsul

    C(2, 4), deci BC = 32 + 42 = 5.

  9. 9. Mediană

    În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui BC este (4, 2), deci mediana are 16 + 4 = 2√5.

  10. 10. Ecuația dreptei

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).

    Vezi răspunsul

    Panta este 6 − 23 − 1 = 2, deci y = 2x.

  11. 11. Punct pe dreaptă

    Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.

    Vezi răspunsul

    2a + 1 = 5, deci a = 2.

  12. 12. Paralelism

    Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB1·CD2 − AB2·CD1.

    Vezi răspunsul

    AB = (3, 2), CD = (6, 4); 3 · 4 − 2 · 6 = 0, deci dreptele sunt paralele.

  13. 25. Distanță

    Pentru A(0, 1), B(5, 6), C(7, 2), arătați că AB = AC. Scrieți lungimea comună.

    Vezi răspunsul

    AB = 25 + 25 = 5√2 și AC = 49 + 1 = 5√2: AB = AC = 5√2.

  14. 26. Mixt

    Se consideră A(6, 8), B(8, 4), iar M este mijlocul segmentului OA. Calculați BM.

    Vezi răspunsul

    M(3, 4), deci BM = 25 + 0 = 5.

  15. 27. Mixt

    Se consideră A(1, 3), B(8, 6), iar C este mijlocul segmentului OB. Calculați AC.

    Vezi răspunsul

    C(4, 3), deci AC = 9 + 0 = 3.

  16. 28. Mijloc

    Determinați mijlocul segmentului AB, unde A(−2, 4) și B(4, −2).

    Vezi răspunsul

    (1, 1)

  17. 29. Mixt

    Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(10, 6). Pentru B(1, 0), calculați BC.

    Vezi răspunsul

    C(5, 3), deci BC = 16 + 9 = 5.

  18. 30. Distanță

    Calculați distanța dintre A(2, −1) și B(−2, 2).

    Vezi răspunsul

    16 + 9 = 5

  19. 31. Coliniaritate

    Arătați că punctele A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului AB1·AC2 − AB2·AC1.

    Vezi răspunsul

    AB = (2, 2), AC = (4, 4); determinantul este 0, deci punctele sunt coliniare.

  20. 32. Ecuația dreptei

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(−1, 3) și B(2, 0).

    Vezi răspunsul

    Panta este −1, deci y = −x + 2, adică x + y − 2 = 0.

  21. 33. Punct pe dreaptă

    Punctul M(a, 4) aparține dreptei x + 2y − 10 = 0. Determinați a.

    Vezi răspunsul

    a + 8 − 10 = 0, deci a = 2.

  22. 34. Paralelism

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin P(2, 1) și este paralelă cu d: x − y + 3 = 0.

    Vezi răspunsul

    Panta este 1: y − 1 = x − 2, adică x − y − 1 = 0.

  23. 35. Perpendicularitate

    Arătați că vectorii u = (2, 1) și v = (1, −2) sunt perpendiculari. Scrieți valoarea produsului scalar u·v.

    Vezi răspunsul

    u · v = 2 · 1 + 1 · (−2) = 0, deci vectorii sunt perpendiculari.

  24. 36. Mediană

    În triunghiul A(0, 0), B(4, 0), C(2, 3), calculați lungimea medianei duse din C.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui AB este (2, 0), deci mediana are 3.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.