M1 · Mate-Info⏱ 3 sesiuni
M1·G

Teorie înainte de exerciții

Coordonate, drepte și arii · nivel M1

Lecția M1 pornește de la formulele de bază și ajunge la arii cu determinant, intersecții de drepte și condiții cu parametru.

Reține diferența: paralelismul cere determinant nul, iar perpendicularitatea cere produs scalar nul. Confuzia dintre ele este cea mai frecventă greșeală.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

OxyA(1, 1)B(4, 3)M3 unități2 unități
A(1, 1) și B(4, 3) sunt reprezentate în același reper. De la A la B mergem 3 unități orizontal și 2 vertical. Segmentul AB este ipotenuza triunghiului ajutător, deci AB = √(3² + 2²) = √13. Mijlocul este M(2,5; 2).
1

Formulele de bază

Exercițiul 5 se rezolvă în reperul cartezian xOy. Nu ai nevoie de un desen perfect: citești coordonatele, alegi formula potrivită și lucrezi ordonat. La radicali, ține minte că întreaga sumă a pătratelor stă sub radical.

Vectorul AB = (x2 − x1, y2 − y1) — final minus inițial
Distanța AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Mijlocul M(x1 + x22, y1 + y22)
Capăt necunoscut: x2 = 2xm − x1 și y2 = 2ym − y1
Originea reperului este O(0, 0)
  • Ordinea punctelor contează la vector, dar nu și la distanță.
  • Folosește paranteze la coordonatele negative: (−3)2 = 9, nu −9.
  • Distanța este întotdeauna un număr nenegativ.
2

Drepte, pantă și poziții relative

Panta prin două puncte: m = y2 − y1x2 − x1
Dreapta prin punct cu pantă dată: y − y0 = m(x − x0)
Forma generală: ax + by + c = 0
Paralelism: m1 = m2, echivalent u1v2 − u2v1 = 0
Perpendicularitate: m1·m2 = −1, echivalent u·v = u1v1 + u2v2 = 0
  • Verifică întotdeauna ecuația obținută cu unul dintre punctele date.
  • Dacă cele două puncte au aceeași abscisă, dreapta este verticală și are ecuația x = constant, iar panta nu există.
  • Pe axa Ox punem y = 0, iar pe axa Oy punem x = 0.
3

Arii și coliniaritate

Aria cu determinant: A = |AB1·AC2 − AB2·AC1|/2
Coliniaritate: AB1·AC2 − AB2·AC1 = 0
Dacă o latură este orizontală sau verticală: A = bază × înălțime2
  • Aria și coliniaritatea folosesc același determinant: aria este jumătate din modulul lui.
  • Un determinant nul înseamnă triunghi degenerat, adică puncte coliniare.
  • Ambii vectori trebuie să plece din același vârf.
4

Linii importante în triunghi

Programa profilului tău numește explicit liniile importante în triunghi, iar mediana este cea care apare cel mai des la exercițiul 5. Rezolvarea are întotdeauna doi pași.

Mediana din A unește A cu mijlocul laturii BC
Pasul 1: M(x_B + x_C2, y_B + y_C2)
Pasul 2: lungimea medianei este distanța AM
  • Nu confunda vârful din care pleacă mediana cu latura pe care se sprijină.
  • Pentru ecuația medianei, folosește punctele A și M ca pe două puncte oarecare.
  • Dacă A și M au aceeași abscisă, mediana este verticală.
5

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · paralelism cu parametru

Pentru A(1, 0), B(3, 4), C(2, 1), D(5, a), determinați a astfel încât AB ∥ CD.

  1. 1.Pasul 1 — scriem vectorii: AB = (3 − 1, 4 − 0) = (2, 4).
  2. 2.Pasul 2 — al doilea vector: CD = (5 − 2, a − 1) = (3, a − 1).
  3. 3.Pasul 3 — scriem condiția de paralelism: u1v2 − u2v1 = 0.
  4. 4.Pasul 4 — înlocuim: 2·(a − 1) − 4·3 = 0.
  5. 5.Pasul 5 — rezolvăm: 2a − 2 − 12 = 0, deci 2a = 14 și a = 7.
  6. 6.Pasul 6 — controlăm: CD = (3, 6) = 1,5·(2, 4), deci vectorii sunt într-adevăr proporționali. Răspuns final: a = 7.
6

Algoritmul universal în 6 pași

  • Notează punctele și identifică originea O(0, 0), dacă apare în enunț.
  • Tradu cerința: distanță, mijloc, mediană, dreaptă, normal, director sau versor.
  • Scrie formula înainte de a înlocui numerele; astfel reduci erorile de semn.
  • Folosește paranteze, mai ales la coordonate negative.
  • Simplifică radicalul, extrăgând factorii pătrați perfecți.
  • Controlează: verifică punctul în ecuație, n·u = 0 sau |e| = 1, după caz.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1DistanțăM1 · Mate-Info

    În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    AB = 32 + 42 = 5

  2. Ex. 2MijlocM1 · Mate-Info

    Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).

    Vezi răspunsul

    M(1, 1)

  3. Ex. 3VectorM1 · Mate-Info

    Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (−5, 6)

  4. Ex. 4DistanțăM1 · Mate-Info

    Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.

    Vezi răspunsul

    OA = 36 + 64 = 10

  5. Ex. 5MijlocM1 · Mate-Info

    Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.

    Vezi răspunsul

    C(4, −2)

  6. Ex. 6Capăt necunoscutM1 · Mate-Info

    Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.

    Vezi răspunsul

    B(5, 1): x_B = 2 · 2 − (−1) = 5, y_B = 2 · 3 − 5 = 1.

  7. Ex. 7ColiniaritateM1 · Mate-Info

    Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB1·AC2 − AB2·AC1.

    Vezi răspunsul

    AB = (2, 2), AC = (4, 4); determinantul este 2 · 4 − 2 · 4 = 0, deci punctele sunt coliniare.

  8. Ex. 8MixtM1 · Mate-Info

    Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.

    Vezi răspunsul

    C(2, 4), deci BC = 32 + 42 = 5.

  9. Ex. 9MedianăM1 · Mate-Info

    În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui BC este (4, 2), deci mediana are 16 + 4 = 2√5.

  10. Ex. 10Ecuația drepteiM1 · Mate-Info

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).

    Vezi răspunsul

    Panta este 6 − 23 − 1 = 2, deci y = 2x.

  11. Ex. 11Punct pe dreaptăM1 · Mate-Info

    Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.

    Vezi răspunsul

    2a + 1 = 5, deci a = 2.

  12. Ex. 12ParalelismM1 · Mate-Info

    Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB1·CD2 − AB2·CD1.

    Vezi răspunsul

    AB = (3, 2), CD = (6, 4); 3 · 4 − 2 · 6 = 0, deci dreptele sunt paralele.

  13. Ex. 49Ecuația drepteiM1 · Mate-Info

    Determinați ecuația dreptei AB, unde A(0, 5) și B(3, 4).

    Vezi răspunsul

    Panta este −13, deci y = −x3 + 5, adică x + 3y − 15 = 0.

  14. Ex. 50ArieM1 · Mate-Info

    Calculați aria triunghiului cu vârfurile A(0, 1), B(2, 0), C(4, 6).

    Vezi răspunsul

    Aria = |2 · 5 − 4 · (−1)| : 2 = 14 : 2 = 7.

  15. Ex. 51PerpendicularitateM1 · Mate-Info

    Se consideră A(2, 0), B(2, 4), C(5, a). Determinați a astfel încât OB ⟂ AC.

    Vezi răspunsul

    OB = (2, 4), AC = (3, a); 2 · 3 + 4a = 0, deci a = −32.

  16. Ex. 52PerpendicularitateM1 · Mate-Info

    Se consideră punctul A(−5, 2) și dreapta d: y = x + 1. Determinați ecuația dreptei care trece prin A și este perpendiculară pe d.

    Vezi răspunsul

    Panta lui d este 1, deci perpendiculara are panta −1: y − 2 = −(x + 5), adică y = −x − 3.

  17. Ex. 53IntersecțieM1 · Mate-Info

    Determinați punctul de intersecție al dreptelor d1: x + y − 2 = 0 și d2: 2x − y − 1 = 0.

    Vezi răspunsul

    x + y = 2 și 2x − y = 1 dau x = 1, y = 1: punctul (1, 1).

  18. Ex. 54SimetricM1 · Mate-Info

    Determinați simetricul punctului P(3, −1) față de originea O.

    Vezi răspunsul

    (−3, 1)

  19. Ex. 55Capăt necunoscutM1 · Mate-Info

    Punctul M(1, 2) este mijlocul segmentului AB, iar A(−2, 5). Determinați B.

    Vezi răspunsul

    B(4, −1)

  20. Ex. 56ColiniaritateM1 · Mate-Info

    Determinați m ∈ ℝ astfel încât punctele A(m, 1), B(2, 3), C(4, 7) să fie coliniare.

    Vezi răspunsul

    AB = (2 − m, 2), BC = (2, 4); (2 − m) · 4 − 2 · 2 = 0, deci m = 1.

  21. Ex. 57MedianăM1 · Mate-Info

    În triunghiul A(1, 1), B(5, 1), C(3, 5), determinați ecuația medianei duse din A.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui BC este (4, 3); mediana din A: 2x − 3y + 1 = 0.

  22. Ex. 58ArieM1 · Mate-Info

    Calculați aria triunghiului A(1, 1), B(5, 1), C(3, 5).

    Vezi răspunsul

    Baza AB = 4 (pe dreapta y = 1), înălțimea din C este 4, deci aria = 8.

  23. Ex. 59Paralelism cu parametruM1 · Mate-Info

    Determinați m ∈ ℝ astfel încât dreapta dm: (m − 1)x + 2y − 3 = 0 să fie paralelă cu d: x − y + 1 = 0.

    Vezi răspunsul

    Pantele trebuie să fie egale: −m − 12 = 1, deci m = −1 (dreptele nu coincid).

  24. Ex. 60MixtM1 · Mate-Info

    În triunghiul A(1, 2), B(5, 4), C(3, 6), determinați ecuația medianei duse din C.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui AB este (3, 3), iar C(3, 6): mediana este x = 3.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.