Încărcăm partea curentă…

Coordonate, drepte și arii · nivel M1

Vectorul AB și distanța dintre două puncte

Vectorul AB descrie drumul de la A la B. Scădem coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire: «final minus inițial».

Scriem punctele A(x1, y1) și B(x2, y2). Diferența absciselor, x2 − x1, și diferența ordonatelor, y2 − y1, sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar distanța AB este ipotenuza: adunăm pătratele lor, obținem AB2 și extragem radicalul. Pentru distanța de la originea O(0, 0) la A(x, y), diferențele sunt chiar coordonatele lui A.

Dacă sub radical rămâne un număr cu un factor pătrat perfect, îl scoatem în fața radicalului: √18 = 9·2 = 3√2.

În viața reală

Vectorul (3, 4) înseamnă „3 la dreapta, 4 în sus”, iar drumul în linie dreaptă are lungimea 5. Constructorii folosesc chiar triunghiul 3, 4, 5 ca să verifice un colț drept.

De ținut minte

AB = (x2−x1, y2−y1)
AB2 = (x2−x1)2 + (y2−y1)2
OA = x2 + y2

Exemplu cu alte date

Pentru A(−1, 2) și B(2, 6), calculează vectorul AB și distanța AB.

-4-2246246xyAB
Segmentul ABDeplasări pe axe
Punctele cu coordonate cunoscute din enunț, cu aceeași unitate pe cele două axe. Coordonatele necunoscute se află prin calcul.

Deplasarea orizontală și cea verticală formează catetele. Segmentul dintre puncte este ipotenuza.

2/2
  1. 1Diferențele: 2 − (−1) = 3 și 6 − 2 = 4.
  2. 2Vectorul este AB = (3, 4).
  3. 3AB2 = 32 + 42 = 25, deci AB = √25 = 5.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Coordonate, drepte și arii · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Vectorul AB și distanța dintre două puncte

Vectorul AB descrie drumul de la A la B. Scădem coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire: «final minus inițial».

Scriem punctele A(x1, y1) și B(x2, y2). Diferența absciselor, x2 − x1, și diferența ordonatelor, y2 − y1, sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar distanța AB este ipotenuza: adunăm pătratele lor, obținem AB2 și extragem radicalul. Pentru distanța de la originea O(0, 0) la A(x, y), diferențele sunt chiar coordonatele lui A.

Dacă sub radical rămâne un număr cu un factor pătrat perfect, îl scoatem în fața radicalului: √18 = 9·2 = 3√2.

  • AB = (x2−x1, y2−y1)
  • AB2 = (x2−x1)2 + (y2−y1)2
  • OA = x2 + y2

Exemplu cu alte date

Pentru A(−1, 2) și B(2, 6), calculează vectorul AB și distanța AB.

  1. Diferențele: 2 − (−1) = 3 și 6 − 2 = 4.
  2. Vectorul este AB = (3, 4).
  3. AB2 = 32 + 42 = 25, deci AB = √25 = 5.

Mijlocul unui segment

Mijlocul unui segment se află la jumătatea drumului pe ambele direcții. Abscisa lui este media aritmetică a absciselor capetelor, iar ordonata este media aritmetică a ordonatelor.

Adunăm numerele cu semnul lor, apoi împărțim la 2. Dacă un capăt este originea O(0, 0), mijlocul are exact jumătate din coordonatele celuilalt capăt.

  • M(x1 + x22, y1 + y22)

Exemplu cu alte date

Află mijlocul segmentului cu capetele A(−6, 1) și B(2, 5).

  1. xM = −6 + 22 = −42 = −2.
  2. yM = 1 + 52 = 62 = 3.
  3. M(−2, 3).

Capătul necunoscut și simetricul față de origine

Dacă știm mijlocul M și capătul A(x1, y1), aflăm capătul B(x2, y2) din formula mijlocului: înmulțim cu 2 și scădem coordonata cunoscută. Obținem x2 = 2xM − x1 și y2 = 2yM − y1.

Simetricul lui P față de un punct O este punctul P′ pentru care O este mijlocul segmentului PP′. Față de originea O(0, 0), simetricul se obține schimbând semnele ambelor coordonate.

  • x2 = 2xM − x1
  • y2 = 2yM − y1
  • P(x, y) → P′(−x, −y)

Exemplu cu alte date

M(3, −1) este mijlocul lui AB, iar A(1, 2). Află B, apoi simetricul lui A față de O.

  1. x2 = 2·3 − 1 = 5 și y2 = 2·(−1) − 2 = −4, deci B(5, −4).
  2. Verificare: (1 + 52, 2 − 42) = (3, −1).
  3. Simetricul lui A(1, 2) față de O este A′(−1, −2).

Mijlocul, apoi distanța: mediana

Mediana din A unește vârful A cu mijlocul laturii opuse, BC. O calculăm în doi pași: întâi mijlocul M, apoi distanța AM.

La fel lucrăm când se cere distanța până la mijlocul unui segment. La final simplificăm radicalul, scoțând de sub el un pătrat perfect: √20 = 4·5 = 2√5.

  • M = mijlocul lui BC
  • AM = distanța de la A la M
  • a2·b = a√b

Exemplu cu alte date

În triunghiul A(0, 0), B(2, 4), C(4, 0), află lungimea medianei din A.

  1. Mijlocul lui BC: M(2 + 42, 4 + 02) = M(3, 2).
  2. AM = 32 + 22 = 9 + 4 = √13.
  3. 13 nu are un factor pătrat perfect, deci AM = √13.

Panta și ecuația dreptei prin două puncte

Panta m arată cât urcă dreapta când înaintăm cu 1 spre dreapta. Se calculează ca diferența ordonatelor împărțită la diferența absciselor, scăzând în aceeași ordine sus și jos.

Cu panta și un punct A(x1, y1) scriem ecuația y − y1 = m(x − x1). Desfacem paranteza și aducem totul într-o parte; dacă panta este o fracție, înmulțim întâi cu numitorul. Un punct aparține dreptei dacă, înlocuind coordonatele lui, obținem o egalitate adevărată.

  • m = y2 − y1x2 − x1
  • y − y1 = m(x − x1)

Exemplu cu alte date

Scrie ecuația dreptei prin A(1, 1) și B(3, 7).

  1. m = 7 − 13 − 1 = 62 = 3.
  2. y − 1 = 3(x − 1), adică y − 1 = 3x − 3.
  3. y = 3x − 2, adică 3x − y − 2 = 0.

Drepte paralele și drepte perpendiculare

Pentru drepte scrise ca y = mx + n comparăm pantele: dreptele paralele au aceeași pantă, iar la dreptele perpendiculare produsul pantelor este −1.

Pentru drepte scrise ca ax + by + c = 0 folosim vectorul normal n = (a, b), format din coeficienții lui x și y. Două drepte sunt paralele când normalele lor sunt proporționale: a1a2 = b1b2, iar termenii liberi nu păstrează același raport (altfel dreptele coincid).

  • paralele: m1 = m2
  • perpendiculare: m1·m2 = −1
  • paralele: a1a2 = b1b2

Exemplu cu alte date

Scrie ecuația dreptei prin P(2, 1), perpendiculară pe y = 2x − 3.

  1. Panta dreptei date este 2, deci panta perpendicularei verifică 2·m = −1, adică m = −12.
  2. y − 1 = (−12)(x − 2); înmulțim cu 2: 2y − 2 = −x + 2.
  3. Aducem totul în stânga: x + 2y − 4 = 0.

Intersecția a două drepte

Punctul de intersecție se află pe ambele drepte, deci coordonatele lui verifică ambele ecuații. Îl aflăm rezolvând sistemul format din cele două ecuații.

Scoatem o necunoscută din ecuația mai simplă și o înlocuim în cealaltă. Când expresia înlocuită are un minus în față, o punem între paranteze, ca să schimbăm semnul fiecărui termen.

  • P = d1 ∩ d2
  • coordonatele lui P verifică ambele ecuații

Exemplu cu alte date

Află intersecția dreptelor x − y − 1 = 0 și x + 2y − 7 = 0.

  1. Din prima ecuație: x = y + 1.
  2. Înlocuim în a doua: (y + 1) + 2y − 7 = 0, deci 3y = 6 și y = 2.
  3. x = 2 + 1 = 3, deci punctul de intersecție este P(3, 2).

Determinant sau produs scalar

Pentru vectorii u = (u1, u2) și v = (v1, v2), determinantul u1v2 − u2v1 (înmulțim în cruce și scădem) este 0 exact când vectorii sunt paraleli. Așa arătăm că două drepte sunt paralele sau, cu vectorii AB și AC, că trei puncte sunt coliniare.

Produsul scalar u1v1 + u2v2 (înmulțim pe poziții și adunăm) este 0 exact când vectorii sunt perpendiculari. Dacă apare un parametru, egalăm calculul potrivit cu 0 și rezolvăm ecuația.

  • u ∥ v ⇔ u1v2 − u2v1 = 0
  • u ⟂ v ⇔ u1v1 + u2v2 = 0
  • A, B, C coliniare ⇔ AB ∥ AC

Exemplu cu alte date

Pentru ce valoare a lui k sunt coliniare punctele A(1, 0), B(3, 2) și C(k, 5)?

  1. AB = (2, 2) și AC = (k − 1, 5).
  2. Determinantul: 2·5 − 2·(k − 1) = 10 − 2k + 2 = 12 − 2k.
  3. 12 − 2k = 0, deci k = 6.

Aria unui triunghi în coordonate

Aria triunghiului ABC este jumătate din valoarea absolută a determinantului vectorilor AB și AC; ambii vectori pleacă din același vârf. Valoarea absolută este necesară, pentru că o arie nu poate fi negativă.

Dacă o latură este orizontală, adică are capetele cu aceeași ordonată, lucrăm mai repede cu baza și înălțimea: baza este diferența absciselor, iar înălțimea este distanța pe verticală de la al treilea vârf până la acea latură.

  • Aria = |AB1·AC2 − AB2·AC1|2
  • Aria = bază·înălțime2

Exemplu cu alte date

Calculează aria triunghiului A(1, 2), B(4, 3), C(2, 6).

  1. AB = (3, 1) și AC = (1, 4).
  2. Determinantul: 3·4 − 1·1 = 12 − 1 = 11.
  3. Aria = |11|2 = 112.

Ecuația unei mediane

Ecuația medianei din A este ecuația dreptei AM, unde M este mijlocul laturii BC. Aflăm M, calculăm panta dreptei AM cu formula pantei prin două puncte, apoi scriem ecuația prin A.

Dacă vârful și mijlocul au aceeași abscisă, numitorul pantei este 0: dreapta este verticală și are ecuația x = c, unde c este abscisa comună. Lungimea unui segment vertical este diferența ordonatelor.

  • M = mijlocul laturii opuse
  • m = y2 − y1x2 − x1
  • dreaptă verticală: x = c

Exemplu cu alte date

În triunghiul A(0, 0), B(4, 2), C(2, 6), scrie ecuația medianei din A.

  1. Mijlocul lui BC: M(4 + 22, 2 + 62) = M(3, 4).
  2. Panta dreptei AM: m = 4 − 03 − 0 = 43.
  3. y = (43)x; înmulțim cu 3: 3y = 4x, deci 4x − 3y = 0.

Exerciții rezolvate din lecție (30)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Formula: AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
    2. Diferențele sunt 4 − 1 = 3 și 6 − 2 = 4.
    3. AB = 32 + 42 = 9 + 16 = √25.
    4. Răspuns final: AB = 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).

    Vezi rezolvarea
    1. Formula: M(x1 + x22, y1 + y22).
    2. Abscisa: xm = −2 + 42 = 1.
    3. Ordonata: ym = 3 − 12 = 1.
    4. Răspuns final: M(1, 1).

    Răspuns: (1, 1)

  3. Exercițiul 3

    Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Formula: AB = (x2 − x1, y2 − y1), adică final minus inițial.
    2. Prima coordonată: −3 − 2 = −5.
    3. A doua coordonată: 5 − (−1) = 6.
    4. Răspuns final: AB = (−5, 6).

    Răspuns: (−5, 6)

  4. Exercițiul 4

    Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.

    Vezi rezolvarea
    1. Originea este O(0, 0).
    2. Formula scurtă: OA = x2 + y2.
    3. OA = 62 + 82 = 36 + 64 = √100.
    4. Răspuns final: OA = 10.

    Răspuns: 10

  5. Exercițiul 5

    Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.

    Vezi rezolvarea
    1. Originea este O(0, 0).
    2. Aplicăm formula mijlocului: C(0 + 82, 0 − 42).
    3. Răspuns final: C(4, −2).

    Răspuns: (4, −2)

  6. Exercițiul 6

    Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.

    Vezi rezolvarea
    1. Din xm = x1 + x22 obținem x2 = 2xm − x1 = 2·2 − (−1) = 5.
    2. Analog, y2 = 2ym − y1 = 2·3 − 5 = 1.
    3. Control: mijlocul lui A(−1, 5) și B(5, 1) este (−1 + 52, 5 + 12) = (2, 3).
    4. Răspuns final: B(5, 1).

    Răspuns: (5, 1)

  7. Exercițiul 7

    Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB1·AC2 − AB2·AC1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm vectorii: AB = (2, 2) și AC = (4, 4).
    2. Determinantul este 2·4 − 2·4 = 8 − 8 = 0.
    3. Un determinant nul înseamnă vectori proporționali, deci AC = 2·AB.
    4. Prin urmare punctele A, B și C sunt coliniare. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  8. Exercițiul 8

    Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.

    Vezi rezolvarea
    1. Mai întâi determinăm C, mijlocul lui OA: C(0 + 42, 0 + 82) = C(2, 4).
    2. Aplicăm formula distanței: BC = (2 − 5)2 + (4 − 0)2.
    3. BC = 9 + 16 = √25.
    4. Răspuns final: BC = 5.

    Răspuns: 5

  9. Exercițiul 9

    În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.

    Vezi rezolvarea
    1. Mediana din A unește A cu mijlocul laturii BC.
    2. Mijlocul lui BC este M(2 + 62, 2 + 22) = M(4, 2).
    3. AM = (4 − 0)2 + (2 − 0)2 = 16 + 4 = √20.
    4. Simplificăm radicalul: √20 = 2√5.
    5. Răspuns final: AM = 2√5.

    Răspuns: 2√5

  10. Exercițiul 10

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).

    Vezi rezolvarea
    1. Panta este m = 6 − 23 − 1 = 42 = 2.
    2. Folosim ecuația prin punct cu pantă dată: y − 2 = 2(x − 1).
    3. Desfacem: y − 2 = 2x − 2, deci y = 2x.
    4. Răspuns final: 2x − y = 0.

    Răspuns: 2x − y = 0

  11. Exercițiul 11

    Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.

    Vezi rezolvarea
    1. Un punct aparține dreptei dacă îi verifică ecuația.
    2. Înlocuim x = a și y = 5: 5 = 2a + 1.
    3. 2a = 4, deci a = 2.
    4. Răspuns final: a = 2.

    Răspuns: a = 2

  12. Exercițiul 12

    Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB1·CD2 − AB2·CD1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm vectorii: AB = (3, 2) și CD = (6, 4).
    2. Condiția de paralelism este u1v2 − u2v1 = 0.
    3. Obținem 3·4 − 2·6 = 12 − 12 = 0.
    4. Vectorii sunt proporționali (CD = 2·AB), deci AB ∥ CD. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  13. Exercițiul 13

    Determinați ecuația dreptei AB, unde A(0, 5) și B(3, 4).

    Vezi rezolvarea
    1. Panta este m = 4 − 53 − 0 = −13.
    2. Ecuația prin A(0, 5): y − 5 = (−13)·x.
    3. Înmulțim cu 3: 3y − 15 = −x.
    4. Răspuns final: x + 3y − 15 = 0.

    Răspuns: x + 3y − 15 = 0

  14. Exercițiul 14

    Exercițiul 50 semi-ghidat · Pentru A(0, 1), B(2, 0), C(4, 6), ce vectori folosim în formula ariei cu determinant?

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem vârful A ca punct comun.
    2. AB = (2 − 0, 0 − 1) = (2, −1).
    3. AC = (4 − 0, 6 − 1) = (4, 5).
    4. Formula ariei este |AB1·AC2 − AB2·AC1|2.

    Răspuns: AB = (2, −1) și AC = (4, 5)

  15. Exercițiul 15

    Acum calculați aria triunghiului.

    Vezi rezolvarea
    1. Determinantul este 2·5 − (−1)·4 = 10 + 4 = 14.
    2. Aria = |14|2 = 7.
    3. Modulul asigură un rezultat pozitiv, indiferent de ordinea vârfurilor.
    4. Răspuns final: aria este 7.

    Răspuns: 7

  16. Exercițiul 16

    Se consideră A(2, 0), B(2, 4), C(5, a). Determinați a astfel încât OB ⟂ AC.

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii sunt OB = (2, 4) și AC = (5 − 2, a − 0) = (3, a).
    2. Condiția de perpendicularitate este produsul scalar nul: 2·3 + 4·a = 0.
    3. 6 + 4a = 0, deci 4a = −6.
    4. Răspuns final: a = −32.

    Răspuns: a = −32

  17. Exercițiul 17

    Se consideră punctul A(−5, 2) și dreapta d: y = x + 1. Determinați ecuația dreptei care trece prin A și este perpendiculară pe d.

    Vezi rezolvarea
    1. Panta dreptei d este 1.
    2. Din m1·m2 = −1 rezultă că panta perpendicularei este −1.
    3. Ecuația prin A(−5, 2): y − 2 = −1·(x + 5).
    4. Rezultă y = −x − 3.
    5. Răspuns final: x + y + 3 = 0.

    Răspuns: x + y + 3 = 0

  18. Exercițiul 18

    Determinați punctul de intersecție al dreptelor d1: x + y − 2 = 0 și d2: 2x − y − 1 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Din prima ecuație scoatem y = 2 − x.
    2. Înlocuim în a doua: 2x − (2 − x) − 1 = 0.
    3. 3x − 3 = 0, deci x = 1, iar apoi y = 1.
    4. Răspuns final: P(1, 1).

    Răspuns: (1, 1)

  19. Exercițiul 19

    Determinați simetricul punctului P(3, −1) față de originea O.

    Vezi rezolvarea
    1. Originea trebuie să fie mijlocul segmentului PP′.
    2. Din 0 = 3 + x′2 rezultă x′ = −3.
    3. Din 0 = −1 + y′2 rezultă y′ = 1.
    4. Practic, se schimbă semnele ambelor coordonate. Răspuns final: P′(−3, 1).

    Răspuns: (−3, 1)

  20. Exercițiul 20

    Punctul M(1, 2) este mijlocul segmentului AB, iar A(−2, 5). Determinați B.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim x2 = 2xm − x1 = 2·1 − (−2) = 4.
    2. Analog, y2 = 2ym − y1 = 2·2 − 5 = −1.
    3. Control: mijlocul lui (−2, 5) și (4, −1) este (1, 2).
    4. Răspuns final: B(4, −1).

    Răspuns: (4, −1)

  21. Exercițiul 21

    Determinați m ∈ ℝ astfel încât punctele A(m, 1), B(2, 3), C(4, 7) să fie coliniare.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegem ca origine punctul B: BC = (2, 4) și BA = (m − 2, −2).
    2. Condiția de coliniaritate este 2·(−2) − 4·(m − 2) = 0.
    3. −4 − 4m + 8 = 0, deci 4 = 4m.
    4. Răspuns final: m = 1.

    Răspuns: m = 1

  22. Exercițiul 22

    În triunghiul A(1, 1), B(5, 1), C(3, 5), determinați ecuația medianei duse din A.

    Vezi rezolvarea
    1. Mijlocul laturii BC este M(5 + 32, 1 + 52) = M(4, 3).
    2. Panta dreptei AM este 3 − 14 − 1 = 23.
    3. Ecuația prin A(1, 1): 3(y − 1) = 2(x − 1).
    4. 3y − 3 = 2x − 2. Răspuns final: 2x − 3y + 1 = 0.

    Răspuns: 2x − 3y + 1 = 0

  23. Exercițiul 23

    Calculați aria triunghiului A(1, 1), B(5, 1), C(3, 5).

    Vezi rezolvarea
    1. Latura AB este orizontală (aceeași ordonată) și are lungimea 5 − 1 = 4.
    2. Înălțimea din C pe AB este diferența ordonatelor: 5 − 1 = 4.
    3. Aria = 4·42.
    4. Răspuns final: aria este 8.

    Răspuns: 8

  24. Exercițiul 24

    Exercițiul 59 semi-ghidat · Ce condiție scriem pentru ca dm: (m − 1)x + 2y − 3 = 0 să fie paralelă cu d: x − y + 1 = 0?

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorii normali sunt n1 = (m − 1, 2) și n2 = (1, −1).
    2. Paralelismul dreptelor cere normale proporționale.
    3. Scriem proporția coordonată cu coordonată: m − 11 = 2−1.
    4. Atenție: dacă am pune produsul scalar egal cu 0, am obține perpendicularitate.

    Răspuns: m − 11 = 2−1

  25. Exercițiul 25

    Acum determinați valoarea lui m.

    Vezi rezolvarea
    1. Din m − 11 = 2−1 rezultă m − 1 = −2.
    2. Deci m = −1.
    3. Verificare: dreapta devine −2x + 2y − 3 = 0, cu normala (−2, 2), proporțională cu (1, −1).
    4. Răspuns final: m = −1.

    Răspuns: m = −1

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 60 ghidat · În triunghiul A(1, 2), B(5, 4), C(3, 6). Pasul 1: determinați mijlocul M al laturii AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Latura opusă vârfului C este AB.
    2. Abscisa: 1 + 52 = 3.
    3. Ordonata: 2 + 42 = 3.
    4. Rezultă M(3, 3).

    Răspuns: M(3, 3)

  27. Exercițiul 27

    Pasul 2: ce se întâmplă dacă încerci să calculezi panta dreptei CM, cu C(3, 6) și M(3, 3)?

    Vezi rezolvarea
    1. Panta este m = 3 − 63 − 3 = −30.
    2. Împărțirea la 0 nu este definită, deci panta nu există.
    3. Aceasta este semnătura unei drepte verticale, paralelă cu axa Oy.
    4. Pentru astfel de drepte nu folosim forma y = mx + n.

    Răspuns: Numitorul este 0, deci panta nu există

  28. Exercițiul 28

    Pasul 3: care este ecuația dreptei verticale care trece prin C(3, 6) și M(3, 3)?

    Vezi rezolvarea
    1. Ambele puncte au abscisa 3.
    2. O dreaptă verticală are ecuația x = constant.
    3. Aici constanta este 3, deci ecuația medianei este x = 3.

    Răspuns: x = 3

  29. Exercițiul 29

    Pasul 4: calculați lungimea medianei CM.

    Vezi rezolvarea
    1. CM = (3 − 3)2 + (6 − 3)2.
    2. CM = 0 + 9 = 3.
    3. Pentru un segment vertical, lungimea este diferența ordonatelor: |6 − 3| = 3.
    4. Răspuns final: mediana are ecuația x = 3 și lungimea CM = 3.

    Răspuns: 3

  30. Exercițiul 30

    A(1,2) și B(7,10). Află mijlocul M al segmentului AB și lungimea AB.

    Vezi rezolvarea
    1. M(1+72; 2+102)=M(4;6). Facem separat media aritmetică a absciselor și a ordonatelor.
    2. 7−1=6; 10−2=8. Scădem coordonatele lui A din cele ale lui B, nu pe ale mijlocului: abscisele între ele, ordonatele între ele.
    3. AB=62+82=10. Teorema lui Pitagora dă √100=10. Coordonatele mijlocului nu sunt lungimi ale catetelor pentru AB.

    Răspuns: AB=62+82=10

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (24)

  1. 1. Distanță

    În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(4, 6). Calculați distanța AB.

    Vezi răspunsul

    AB = 32 + 42 = 5

  2. 2. Mijloc

    Determinați coordonatele mijlocului M al segmentului AB, unde A(−2, 3) și B(4, −1).

    Vezi răspunsul

    M(1, 1)

  3. 3. Vector

    Pentru A(2, −1) și B(−3, 5), determinați coordonatele vectorului AB.

    Vezi răspunsul

    AB = (−5, 6)

  4. 4. Distanță

    Se consideră punctul A(6, 8). Calculați distanța OA, unde O este originea reperului.

    Vezi răspunsul

    OA = 36 + 64 = 10

  5. 5. Mijloc

    Punctul C este mijlocul segmentului OA, unde A(8, −4). Determinați coordonatele lui C.

    Vezi răspunsul

    C(4, −2)

  6. 6. Capăt necunoscut

    Punctul M(2, 3) este mijlocul segmentului AB, iar A(−1, 5). Determinați punctul B.

    Vezi răspunsul

    B(5, 1): xB = 2 · 2 − (−1) = 5, yB = 2 · 3 − 5 = 1.

  7. 7. Coliniaritate

    Arătați că punctele A(0, 1), B(2, 3) și C(4, 5) sunt coliniare. Scrieți valoarea determinantului format cu vectorii AB și AC, adică AB1·AC2 − AB2·AC1.

    Vezi răspunsul

    AB = (2, 2), AC = (4, 4); determinantul este 2 · 4 − 2 · 4 = 0, deci punctele sunt coliniare.

  8. 8. Mixt

    Se consideră A(4, 8), B(5, 0), iar C este mijlocul segmentului OA. Calculați BC.

    Vezi răspunsul

    C(2, 4), deci BC = 32 + 42 = 5.

  9. 9. Mediană

    În triunghiul ABC, A(0, 0), B(2, 2), C(6, 2). Calculați lungimea medianei duse din A.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui BC este (4, 2), deci mediana are 16 + 4 = 2√5.

  10. 10. Ecuația dreptei

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1, 2) și B(3, 6).

    Vezi răspunsul

    Panta este 6 − 23 − 1 = 2, deci y = 2x.

  11. 11. Punct pe dreaptă

    Punctul M(a, 5) aparține dreptei d: y = 2x + 1. Determinați a.

    Vezi răspunsul

    2a + 1 = 5, deci a = 2.

  12. 12. Paralelism

    Arătați că dreptele AB și CD sunt paralele, unde A(1, 1), B(4, 3), C(−2, 0), D(4, 4). Scrieți valoarea AB1·CD2 − AB2·CD1.

    Vezi răspunsul

    AB = (3, 2), CD = (6, 4); 3 · 4 − 2 · 6 = 0, deci dreptele sunt paralele.

  13. 49. Ecuația dreptei

    Determinați ecuația dreptei AB, unde A(0, 5) și B(3, 4).

    Vezi răspunsul

    Panta este −13, deci y = −x3 + 5, adică x + 3y − 15 = 0.

  14. 50. Arie

    Calculați aria triunghiului cu vârfurile A(0, 1), B(2, 0), C(4, 6).

    Vezi răspunsul

    Aria = |2 · 5 − 4 · (−1)| : 2 = 14 : 2 = 7.

  15. 51. Perpendicularitate

    Se consideră A(2, 0), B(2, 4), C(5, a). Determinați a astfel încât OB ⟂ AC.

    Vezi răspunsul

    OB = (2, 4), AC = (3, a); 2 · 3 + 4a = 0, deci a = −32.

  16. 52. Perpendicularitate

    Se consideră punctul A(−5, 2) și dreapta d: y = x + 1. Determinați ecuația dreptei care trece prin A și este perpendiculară pe d.

    Vezi răspunsul

    Panta lui d este 1, deci perpendiculara are panta −1: y − 2 = −(x + 5), adică y = −x − 3.

  17. 53. Intersecție

    Determinați punctul de intersecție al dreptelor d1: x + y − 2 = 0 și d2: 2x − y − 1 = 0.

    Vezi răspunsul

    x + y = 2 și 2x − y = 1 dau x = 1, y = 1: punctul (1, 1).

  18. 54. Simetric

    Determinați simetricul punctului P(3, −1) față de originea O.

    Vezi răspunsul

    (−3, 1)

  19. 55. Capăt necunoscut

    Punctul M(1, 2) este mijlocul segmentului AB, iar A(−2, 5). Determinați B.

    Vezi răspunsul

    B(4, −1)

  20. 56. Coliniaritate

    Determinați m ∈ ℝ astfel încât punctele A(m, 1), B(2, 3), C(4, 7) să fie coliniare.

    Vezi răspunsul

    AB = (2 − m, 2), BC = (2, 4); (2 − m) · 4 − 2 · 2 = 0, deci m = 1.

  21. 57. Mediană

    În triunghiul A(1, 1), B(5, 1), C(3, 5), determinați ecuația medianei duse din A.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui BC este (4, 3); mediana din A: 2x − 3y + 1 = 0.

  22. 58. Arie

    Calculați aria triunghiului A(1, 1), B(5, 1), C(3, 5).

    Vezi răspunsul

    Baza AB = 4 (pe dreapta y = 1), înălțimea din C este 4, deci aria = 8.

  23. 59. Paralelism cu parametru

    Determinați m ∈ ℝ astfel încât dreapta dm: (m − 1)x + 2y − 3 = 0 să fie paralelă cu d: x − y + 1 = 0.

    Vezi răspunsul

    Pantele trebuie să fie egale: −m − 12 = 1, deci m = −1 (dreptele nu coincid).

  24. 60. Mixt

    În triunghiul A(1, 2), B(5, 4), C(3, 6), determinați ecuația medianei duse din C.

    Vezi răspunsul

    Mijlocul lui AB este (3, 3), iar C(3, 6): mediana este x = 3.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.