Încărcăm partea curentă…

Probabilități, intervale și numărare · nivel M3

Cazuri posibile, cazuri favorabile, probabilitate

Când alegem la întâmplare un element dintr-o mulțime finită, fiecare element este un caz posibil. Scriem întâi câte elemente are mulțimea. Apoi enumerăm numai elementele care respectă cerința: acestea sunt cazurile favorabile.

Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile. La final simplificăm fracția și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

De ținut minte

P = cazuri favorabilecazuri posibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={1,2,3,4,5,6,7,8} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 3?

  1. 1B are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile.
  2. 2Multiplii lui 3 din B sunt 3 și 6: două cazuri favorabile.
  3. 3Formăm raportul 28 și simplificăm prin 2. Probabilitatea este 14.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Probabilități, intervale și numărare · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Cazuri posibile, cazuri favorabile, probabilitate

Când alegem la întâmplare un element dintr-o mulțime finită, fiecare element este un caz posibil. Scriem întâi câte elemente are mulțimea. Apoi enumerăm numai elementele care respectă cerința: acestea sunt cazurile favorabile.

Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile. La final simplificăm fracția și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

  • P = cazuri favorabilecazuri posibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={1,2,3,4,5,6,7,8} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 3?

  1. B are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile.
  2. Multiplii lui 3 din B sunt 3 și 6: două cazuri favorabile.
  3. Formăm raportul 28 și simplificăm prin 2. Probabilitatea este 14.

Cum numărăm numerele de două cifre

Numerele de două cifre sunt de la 10 la 99. Totalul este 99−10+1=90; zero nu este număr de două cifre. Dacă numărăm multipli, scriem primul și ultimul care se încadrează, apoi îi numărăm fără să-l includem pe următorul cu trei cifre.

După ce aflăm totalul și cazurile favorabile, formăm fracția și o simplificăm. Două fracții echivalente sunt același răspuns, chiar dacă sunt scrise diferit.

  • Totalul numerelor de două cifre = 90
  • P = favorabile90

Alt exemplu, rezolvat complet

Alegem un număr de două cifre. Care este probabilitatea să fie multiplu de 7?

  1. De la 10 la 99 sunt 90 de numere de două cifre.
  2. Multiplii lui 7 sunt 14,21,…,98. De la 7·2 la 7·14 sunt 14−2+1=13 numere.
  3. Probabilitatea este 1390. Numărătorul și numitorul nu au divizor comun mai mare decât 1.

Intervale, zero și șiruri cu pas constant

Mulțimea {a,a+1,…,b} are b−a+1 numere, fiindcă le numărăm pe ambele capete. Dacă a=0, zero intră în total și poate fi și caz favorabil.

Transformăm mai întâi condiția într-o listă de valori permise. Un rest fix la împărțire produce un șir cu pas constant; o inegalitate ne spune unde începe și unde se termină lista.

  • Număr de valori de la a la b = b−a+1
  • P = favorabileposibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={0,1,…,12} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 4?

  1. Mulțimea are 12−0+1=13 elemente, deci 13 cazuri posibile.
  2. Multiplii lui 4 din B sunt 0,4,8,12. Îl includem și pe 0: patru cazuri favorabile.
  3. Probabilitatea este 413, o valoare între 0 și 1.

Dintr-o inegalitate la lista valorilor permise

Rezolvăm inegalitatea ca să aflăm între ce valori se poate afla numărul. Verificăm separat dacă marginile sunt incluse: semnul ≤ le include, semnul < nu le include.

Apoi păstrăm numai numerele din mulțimea problemei și le numărăm. Nu împărțim la total înainte să știm câte valori sunt favorabile.

Alt exemplu, rezolvat complet

Din {0,1,…,9} alegem n. Care este probabilitatea ca n+2≤5?

  1. Scădem 2 și obținem n≤3.
  2. Valorile permise sunt 0,1,2,3: patru din cele 10 valori ale mulțimii.
  3. Probabilitatea este 410=25.

Cifrele unui număr de două cifre

Un număr de două cifre îl scriem ab: a este cifra zecilor, iar b este cifra unităților. Cifra zecilor ia valorile 1, 2, …, 9, iar cifra unităților 0, 1, …, 9. Numărul 05 are de fapt o singură cifră, de aceea 0 poate apărea doar la unități.

Condițiile despre cifre le citim pe fiecare poziție. Un număr se împarte la 10 dacă se termină în 0 și la 5 dacă se termină în 0 sau în 5. Un produs de cifre este 0 când măcar o cifră este 0.

  • numărul ab: a ∈ {1, …, 9}, b ∈ {0, …, 9}
  • numere de două cifre: 90

Exemplu cu alte date

Se alege un număr natural de două cifre. Care este probabilitatea ca cifra zecilor să fie 3?

  1. Sunt 90 de numere de două cifre, deci 90 de cazuri posibile.
  2. Cifra zecilor 3 o au numerele 30, 31, …, 39: zece cazuri favorabile.
  3. P = 1090 = 19.

Suma cifrelor: perechi de cifre

Când se cere suma cifrelor, căutăm perechile (a, b) cu a + b egal cu valoarea dată. Luăm pe rând a = 1, 2, 3, … și aflăm b scăzând a din sumă.

Ne oprim când b ar deveni negativ. Perechea cu a = 0 nu se numără, pentru că numărul ar avea o singură cifră.

  • a + b = s, cu a ≥ 1 și 0 ≤ b ≤ 9

Exemplu cu alte date

Se alege un număr natural de două cifre. Care este probabilitatea ca suma cifrelor să fie 3?

  1. Sunt 90 de cazuri posibile.
  2. Perechile cu a + b = 3 și a ≥ 1 sunt (1, 2), (2, 1), (3, 0): numerele 12, 21 și 30.
  3. P = 390 = 130.

Multipli și divizori într-o mulțime

Multiplii unui număr k dintr-o mulțime formează un șir cu pasul k. Scriem primul și ultimul multiplu care se află în mulțime, apoi îi numărăm: (ultimul − primul) : k + 1. Adăugăm 1 pentru că îl numărăm și pe primul.

Pentru divizori scriem lista completă, în perechi cu produsul egal cu numărul, și păstrăm doar divizorii din mulțime. «Divizibil și cu 2, și cu 3» înseamnă divizibil cu 6.

  • numărul termenilor = (ultimul − primul) : pas + 1
  • divizibil cu 2 și cu 3 ⇔ divizibil cu 6

Exemplu cu alte date

Se alege un număr natural de două cifre. Care este probabilitatea să fie multiplu de 12?

  1. Sunt 90 de numere de două cifre.
  2. Multiplii lui 12 cu două cifre sunt 12, 24, …, 96, adică (96 − 12) : 12 + 1 = 8.
  3. P = 890 = 445.

Pătrate, module și produse

Pentru n natural, n2 < 100 înseamnă n < 10, pentru că 102 = 100. Un modul |n − a| ≤ d spune că n se află la cel mult d unități de a, adică a − d ≤ n ≤ a + d.

O inegalitate n(n − c) < 0 este adevărată doar între rădăcinile 0 și c, unde factorii au semne contrare. După ce aflăm intervalul, păstrăm numai numerele din mulțime.

  • |n − a| ≤ d ⇔ a − d ≤ n ≤ a + d
  • n(n − c) < 0 ⇔ 0 < n < c

Exemplu cu alte date

Din A = {0, 1, …, 20} se alege n. Care este probabilitatea ca |n − 10| ≤ 2?

  1. A are 20 − 0 + 1 = 21 de elemente.
  2. |n − 10| ≤ 2 înseamnă 8 ≤ n ≤ 12: valorile 8, 9, 10, 11 și 12.
  3. Sunt 5 cazuri favorabile, deci P = 521.

«Sau»: adunăm și scădem ce se repetă

Condiția «divizibil cu 3 sau cu 5» este îndeplinită dacă numărul este în prima listă, în a doua sau în amândouă. Numărăm fiecare listă, apoi scădem numerele care apar în ambele.

Numerele comune sunt multiplii celui mai mic multiplu comun. Fără scădere, le-am număra de două ori și am obține prea multe cazuri favorabile.

  • favorabile = prima listă + a doua listă − numerele comune

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, …, 30} se alege n. Care este probabilitatea ca n să fie divizibil cu 3 sau cu 5?

  1. Multipli de 3: 30 : 3 = 10. Multipli de 5: 30 : 5 = 6.
  2. Comuni sunt multiplii lui 15: 15 și 30, adică 2.
  3. Favorabile: 10 + 6 − 2 = 14, deci P = 1430 = 715.

Submulțimi și alegeri simultane

O submulțime se formează hotărând, pentru fiecare element, dacă îl luăm sau nu. De aceea o mulțime cu n elemente are 2n submulțimi; printre ele sunt mulțimea vidă ∅ și mulțimea întreagă.

Cnk, citit «combinări de n luate câte k», numără submulțimile cu exact k elemente. Când alegem simultan două elemente, ordinea nu contează, deci numărul alegerilor este Cn2 = n(n − 1) : 2.

  • numărul submulțimilor = 2n
  • Cn2 = n(n − 1) : 2

Exemplu cu alte date

Se alege o submulțime a mulțimii {1, 2, 3, 4, 5}. Care este probabilitatea să aibă exact 4 elemente?

  1. Mulțimea are 25 = 32 de submulțimi.
  2. Cu exact 4 elemente sunt C54 = 5: de fiecare dată lăsăm deoparte un singur element.
  3. P = 532.

Recapitulare: cifre, inegalități și «sau»

Înainte de calcul citim ce se cere și alegem metoda: o listă de numere, o condiție pe cifre, o inegalitate sau două liste legate prin «sau». Metoda aleasă decide cum numărăm cazurile favorabile.

Totalul îl numărăm o singură dată, la început. La final formăm raportul, îl simplificăm și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

  • P = cazuri favorabilecazuri posibile

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, …, 20} se alege n. Care este probabilitatea ca n să fie par sau multiplu de 5?

  1. Sunt 20 de cazuri posibile.
  2. Numere pare: 10. Multipli de 5: 4. Numerele comune sunt 10 și 20.
  3. Favorabile: 10 + 4 − 2 = 12, deci P = 1220 = 35.

Schema de rezolvare

La exercițiul 4 se alege un element la întâmplare dintr-o mulțime finită, iar toate rezultatele sunt considerate egal probabile. Rezolvarea are mereu aceiași trei pași: numărăm cazurile posibile, numărăm cazurile favorabile, formăm și simplificăm raportul.

  • P(E) = numărul cazurilor favorabilenumărul cazurilor posibile = |E||Ω|
  • Mulțimea {a, a + 1, …, b} are b − a + 1 elemente
  • Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 90
  • Control final: 0 ≤ P(E) ≤ 1
  • Scrie exact mulțimea din care se alege înainte de orice calcul.
  • Numără totalul o singură dată, fără să omiți numărul 0 dacă apare în mulțime.
  • Simplifică fracția la final și verifică dacă rezultatul este între 0 și 1.

Divizibilitate, rest și cifre

La numerele de două cifre, cifra zecilor și cifra unităților au roluri diferite: cifra zecilor nu poate fi 0. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la exercițiul 4.

  • Multiplii lui k din {1, …, n}: sunt n : k (partea întreagă)
  • Numerele cu restul r la împărțirea cu k: r, r + k, r + 2k, …
  • Cifra zecilor ∈ {1, …, 9}, cifra unităților ∈ {0, …, 9}
  • Șir cu pas constant: numărul termenilor este ultimul − primulpas + 1
  • Un număr divizibil cu 5 are cifra unităților 0 sau 5.
  • Un număr este par dacă cifra unităților este 0, 2, 4, 6 sau 8.
  • La condițiile cu «sau», scade cazurile numărate de două ori.

Numărare: submulțimi și combinări

Programa de Bacalaureat pentru acest profil include metodele de numărare, așa că exercițiul 4 poate cere și submulțimi sau alegeri simultane. Reține doar formulele de bază.

  • O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi
  • Numărul submulțimilor cu k elemente: Cnk = n!k!(n − k)!
  • Cnk = Cnn−k (combinări complementare)
  • Regula produsului: dacă a are m variante și b are n variante, perechea (a, b) are m·n variante
  • „Se aleg simultan” înseamnă că ordinea nu contează, deci folosim combinări.
  • „Se aleg cu revenire” înseamnă perechi ordonate, deci folosim regula produsului.
  • Mulțimea vidă intră în totalul 2n, dar nu într-un total de submulțimi nevide.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · proprietate a cifrei unităților

Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

  1. Pasul 1 — scriem Ω: numerele de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci |Ω| = 99 − 10 + 1 = 90.
  2. Pasul 2 — traducem condiția: un număr este divizibil cu 5 dacă cifra unităților este 0 sau 5.
  3. Pasul 3 — numărăm cu regula produsului: cifra zecilor are 9 variante (1, …, 9), iar cifra unităților 2 variante (0 sau 5).
  4. Pasul 4 — cazuri favorabile: 9·2 = 18.
  5. Pasul 5 — formăm raportul: P = 1890.
  6. Pasul 6 — simplificăm și verificăm: P = 15, valoare cuprinsă între 0 și 1.

Algoritmul universal în 6 pași

  • Scrie Ω: precizează exact mulțimea din care se alege.
  • Numără totalul: folosește b − a + 1 sau regula produsului.
  • Tradu condiția: divizibilitate, rest, inegalitate sau proprietate a cifrelor.
  • Numără favorabilele: enumerare, șir cu pas constant sau complement.
  • Formează raportul P = favorabileposibile și simplifică.
  • Verifică: 0 ≤ P ≤ 1 și nu ai numărat de două ori cazurile comune.

Exerciții rezolvate din lecție (36)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 9.
    2. Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12; dintre ei se află în A numerele 1, 2, 3, 4 și 6.
    3. Avem 5 cazuri favorabile.
    4. P = 59, valoare cuprinsă între 0 și 1.

    Răspuns: 59

  2. Exercițiul 2

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 99 − 10 + 1 = 90 de cazuri posibile.
    2. Multiplii lui 15 de două cifre sunt 15, 30, 45, 60, 75 și 90: 6 cazuri favorabile.
    3. P = 690.
    4. Simplificăm prin 6: P = 115.

    Răspuns: 115

  3. Exercițiul 3

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea are 20 − 0 + 1 = 21 de elemente.
    2. Numerele pare sunt 0, 2, 4, …, 20; sunt 11, deoarece includem și 0.
    3. P = 1121.
    4. Atenție: numărul 0 este par și nu trebuie omis.

    Răspuns: 1121

  4. Exercițiul 4

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărul 0 este natural și se scrie cu o cifră. Cazuri posibile: 10 numere, de la 0 la 9.
    2. Numerele mai mari decât 5 sunt 6, 7, 8 și 9: 4 cazuri favorabile.
    3. Valoarea 5 nu se include, pentru că cerința este strictă.
    4. P = 410 = 25. Reține: avem 10 numere naturale de o cifră, 90 de două cifre și 900 de trei cifre.

    Răspuns: 25

  5. Exercițiul 5

    Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 5.
    2. Numerele pare din A sunt 2, 8 și 14: 3 cazuri favorabile.
    3. P = 35.

    Răspuns: 35

  6. Exercițiul 6

    Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 30.
    2. Pătratele perfecte până la 30 sunt 1, 4, 9, 16 și 25, adică 12, 22, 32, 42 și 52.
    3. Avem 5 cazuri favorabile, deoarece 62 = 36 > 30.
    4. P = 530 = 16.

    Răspuns: 16

  7. Exercițiul 7

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90 de numere de două cifre.
    2. Numerele cu cifra unităților 0 sunt 10, 20, …, 90: 9 cazuri favorabile.
    3. P = 990 = 110.

    Răspuns: 110

  8. Exercițiul 8

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 10 numere.
    2. Rezolvăm condiția: 2n + 1 < 12 ⇔ 2n < 11 ⇔ n < 112 = 5,5.
    3. Valorile naturale favorabile sunt 0, 1, 2, 3, 4 și 5: 6 cazuri.
    4. P = 610 = 35.

    Răspuns: 35

  9. Exercițiul 9

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 20.
    2. Numerele cu restul 2 la împărțirea cu 4 formează șirul 2, 6, 10, 14, 18, cu pasul 4.
    3. Avem 5 cazuri favorabile.
    4. P = 520 = 14.

    Răspuns: 14

  10. Exercițiul 10

    Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.

    Vezi rezolvarea
    1. Cuvântul MATEMATICA are 10 poziții, considerate cazuri egal posibile.
    2. Litera A apare pe pozițiile 2, 6 și 10, deci de 3 ori.
    3. P = 310.

    Răspuns: 310

  11. Exercițiul 11

    Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.

    Vezi rezolvarea
    1. Rezultatele posibile sunt 1, 2, 3, 4, 5 și 6.
    2. Numerele prime dintre ele sunt 2, 3 și 5; numărul 1 nu este prim.
    3. P = 36 = 12.

    Răspuns: 12

  12. Exercițiul 12

    Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x2 ≤ 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 7.
    2. Condiția x2 ≤ 4 este echivalentă cu −2 ≤ x ≤ 2.
    3. Valorile favorabile din A sunt −2, −1, 0, 1 și 2: 5 cazuri.
    4. P = 57.

    Răspuns: 57

  13. Exercițiul 13

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 8.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90 de numere de două cifre.
    2. Multiplii lui 8 de două cifre sunt 16, 24, …, 96.
    3. Numărul lor este 96 − 168 + 1 = 11; numărul 8 are o singură cifră.
    4. P = 1190.

    Răspuns: 1190

  14. Exercițiul 14

    Din A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizor al lui 20.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 20.
    2. Divizorii lui 20 sunt 1, 2, 4, 5, 10 și 20, toți aflați în A.
    3. Avem 6 cazuri favorabile.
    4. P = 620 = 310.

    Răspuns: 310

  15. Exercițiul 15

    Exercițiul 27 ghidat · Se alege un număr natural de două cifre. Pasul 1: câte cazuri posibile avem?

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99.
    2. Aplicăm formula b − a + 1 = 99 − 10 + 1 = 90.
    3. Așadar |Ω| = 90 de cazuri posibile.

    Răspuns: 90

  16. Exercițiul 16

    Pasul 2: dacă notăm numărul cu cifra zecilor a și cifra unităților b, ce valori poate lua a?

    Vezi rezolvarea
    1. Cifra unităților poate fi orice cifră: b ∈ {0, 1, …, 9}.
    2. Cifra zecilor nu poate fi 0, altfel numărul ar avea o singură cifră.
    3. Prin urmare a ∈ {1, 2, …, 9}.

    Răspuns: a ∈ {1, 2, …, 9}

  17. Exercițiul 17

    Pasul 3: care sunt numerele de două cifre cu suma cifrelor egală cu 5?

    Vezi rezolvarea
    1. Din a + b = 5 cu a ≥ 1 obținem perechile (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) și (5, 0).
    2. Numerele corespunzătoare sunt 14, 23, 32, 41 și 50.
    3. Varianta a = 0 ar da 05, care nu este număr de două cifre.
    4. Avem 5 cazuri favorabile.

    Răspuns: 14, 23, 32, 41, 50

  18. Exercițiul 18

    Pasul 4: scrie probabilitatea finală, simplificată.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90; cazuri favorabile: 5.
    2. P = 590.
    3. Simplificăm prin 5: P = 118.
    4. Verificare: rezultatul este între 0 și 1.

    Răspuns: 118

  19. Exercițiul 19

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Cifra zecilor nu poate fi 0, deci singura poziție care poate fi 0 este cifra unităților.
    3. Numerele favorabile sunt 10, 20, …, 90: 9 cazuri.
    4. P = 990 = 110.

    Răspuns: 110

  20. Exercițiul 20

    Din A = {0, 1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca n2 < 100.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 30 − 0 + 1 = 31.
    2. Pentru n natural, n2 < 100 este echivalent cu n < 10.
    3. Valorile favorabile sunt 0, 1, …, 9: 10 cazuri.
    4. P = 1031.

    Răspuns: 1031

  21. Exercițiul 21

    Din A = {10, 11, …, 40} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie impar.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea are 40 − 10 + 1 = 31 de elemente.
    2. Numerele impare sunt 11, 13, …, 39, cu pasul 2.
    3. Numărul lor este 39 − 112 + 1 = 15.
    4. P = 1531.

    Răspuns: 1531

  22. Exercițiul 22

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5, dar nu cu 10.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Un număr divizibil cu 5 are cifra unităților 0 sau 5; dacă nu este divizibil cu 10, cifra unităților nu poate fi 0.
    3. Rămâne cifra unităților 5: numerele 15, 25, …, 95, deci 9 cazuri favorabile.
    4. P = 990 = 110.

    Răspuns: 110

  23. Exercițiul 23

    Din A = {1, 2, …, 50} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil atât cu 2, cât și cu 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 50.
    2. Un număr divizibil cu 2 și cu 3 este divizibil cu 6.
    3. Multiplii lui 6 până la 50 sunt 6, 12, …, 48: 8 cazuri favorabile.
    4. P = 850 = 425.

    Răspuns: 425

  24. Exercițiul 24

    Exercițiul 33 semi-ghidat · Din A = {1, 2, …, 25} se alege n. Inegalitatea n2 − 5n < 0 este echivalentă cu:

    Vezi rezolvarea
    1. Factorizăm: n2 − 5n = n(n − 5).
    2. Produsul este negativ când factorii au semne contrare.
    3. Rădăcinile sunt 0 și 5, deci produsul este negativ pentru 0 < n < 5.

    Răspuns: 0 < n < 5

  25. Exercițiul 25

    Acum scrie probabilitatea cerută la exercițiul 33.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 25.
    2. Din 0 < n < 5 și n ∈ A rămân valorile 1, 2, 3 și 4: 4 cazuri favorabile.
    3. P = 425.

    Răspuns: 425

  26. Exercițiul 26

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca produsul cifrelor sale să fie 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Un produs este 0 dacă cel puțin un factor este 0.
    3. Cifra zecilor nu poate fi 0, deci trebuie ca cifra unităților să fie 0: numerele 10, 20, …, 90.
    4. Avem 9 cazuri favorabile, deci P = 990 = 110.

    Răspuns: 110

  27. Exercițiul 27

    Din A = {0, 1, 2, …, 15} se alege n. Calculați probabilitatea ca |n − 7| ≤ 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 15 − 0 + 1 = 16.
    2. Inegalitatea |n − 7| ≤ 3 se scrie −3 ≤ n − 7 ≤ 3.
    3. Adunăm 7: 4 ≤ n ≤ 10, deci valorile 4, 5, 6, 7, 8, 9 și 10.
    4. Avem 10 − 4 + 1 = 7 cazuri favorabile, deci P = 716.

    Răspuns: 716

  28. Exercițiul 28

    Exercițiul 36 semi-ghidat · Din A = {1, 2, …, 60} se alege n. Câte cazuri favorabile are condiția „n divizibil cu 6 sau cu 10”?

    Vezi rezolvarea
    1. Multiplii de 6 până la 60: 60 : 6 = 10 numere.
    2. Multiplii de 10 până la 60: 60 : 10 = 6 numere.
    3. Numerele comune sunt multiplii lui 30, adică 30 și 60: 2 numere, numărate de două ori.
    4. Cazuri favorabile: 10 + 6 − 2 = 14.

    Răspuns: 14

  29. Exercițiul 29

    Acum scrie probabilitatea cerută la exercițiul 36, simplificată.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 60; cazuri favorabile: 14.
    2. P = 1460.
    3. Simplificăm prin 2: P = 730.

    Răspuns: 730

  30. Exercițiul 30

    Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă exact un element.

    Vezi rezolvarea
    1. O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi, deci A are 23 = 8 submulțimi.
    2. Submulțimile cu exact un element sunt {1}, {2} și {3}, adică C31 = 3.
    3. P = 38.

    Răspuns: 38

  31. Exercițiul 31

    Din A = {1, 2, 3, 4} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca ambele să fie impare.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegerea simultană nu ține cont de ordine, deci numărul de cazuri posibile este C42 = 4·32 = 6.
    2. Numerele impare din A sunt 1 și 3, deci există C22 = 1 pereche formată numai din ele.
    3. P = 16.

    Răspuns: 16

  32. Exercițiul 32

    Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4}. Calculați probabilitatea ca aceasta să fie nevidă.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea A are 24 = 16 submulțimi.
    2. Singura submulțime care nu este nevidă este mulțimea vidă ∅.
    3. Cazuri favorabile: 16 − 1 = 15.
    4. P = 1516.

    Răspuns: 1516

  33. Exercițiul 33

    Alegem la întâmplare un număr natural de o cifră. Care este probabilitatea ca n2<20?

    Vezi rezolvarea
    1. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}: 10 cazuri. 0 este natural și se scrie cu o cifră. Nu îl omitem.
    2. 0,1,2,3,4: 5 cazuri. 42=16<20, dar 52=25>20. Și 02<20.
    3. P=510=12. Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile, presupuse echiprobabile.

    Răspuns: P=510=12

  34. Exercițiul 34

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca suma cifrelor sale să fie 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Notăm numărul cu cifra zecilor a și cifra unităților b, unde a ∈ {1, …, 9} și b ∈ {0, …, 9}.
    3. Din a + b = 5 obținem 14, 23, 32, 41 și 50.
    4. Varianta a = 0 ar da 05, care nu este număr de două cifre, deci avem 5 cazuri favorabile.
    5. P = 590 = 118.

    Răspuns: 118

  35. Exercițiul 35

    Din A = {1, 2, …, 25} se alege n. Calculați probabilitatea ca n2 − 5n < 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 25.
    2. Factorizăm: n2 − 5n = n(n − 5) < 0.
    3. Produsul este negativ când factorii au semne contrare, adică pentru 0 < n < 5.
    4. Valorile favorabile din A sunt 1, 2, 3 și 4: 4 cazuri.
    5. P = 425.

    Răspuns: 425

  36. Exercițiul 36

    Din A = {1, 2, …, 60} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil cu 6 sau cu 10.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 60.
    2. Multiplii de 6 sunt 6, 12, …, 60, deci 60 : 6 = 10 numere.
    3. Multiplii de 10 sunt 10, 20, …, 60, deci 60 : 10 = 6 numere.
    4. Numerele comune sunt multiplii lui 30, adică 30 și 60: 2 numere, pe care le-am numărat de două ori.
    5. Cazuri favorabile: 10 + 6 − 2 = 14, deci P = 1460 = 730.

    Răspuns: 730

Fișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic (27)

  1. 1. Mulțime dată

    Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.

    Vezi răspunsul

    59: divizorii lui 12 din A sunt 1, 2, 3, 4, 6.

  2. 2. Multipli

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.

    Vezi răspunsul

    690 = 115: 15, 30, 45, 60, 75, 90.

  3. 3. Interval

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.

    Vezi răspunsul

    1121: numerele pare de la 0 la 20 sunt 11, din 21.

  4. 4. Inegalitate

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.

    Vezi răspunsul

    410 = 25: favorabile sunt 6, 7, 8, 9; posibile sunt cele 10 numere de la 0 la 9.

  5. 5. Mulțime dată

    Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi răspunsul

    35: 2, 8, 14.

  6. 6. Pătrate perfecte

    Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.

    Vezi răspunsul

    530 = 16: 1, 4, 9, 16, 25.

  7. 7. Cifre

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 10, 20, …, 90.

  8. 8. Inegalitate

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.

    Vezi răspunsul

    610 = 35: 2n + 1 < 12 dă n ≤ 5, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

  9. 9. Rest

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.

    Vezi răspunsul

    520 = 14: 2, 6, 10, 14, 18.

  10. 10. Numărare directă

    Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.

    Vezi răspunsul

    310: litera A apare de 3 ori din 10.

  11. 11. Numere prime

    Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.

    Vezi răspunsul

    36 = 12: 2, 3, 5.

  12. 12. Mixt

    Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x2 ≤ 4.

    Vezi răspunsul

    57: x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.

  13. 25. Multipli

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 8.

    Vezi răspunsul

    1190: 16, 24, …, 96.

  14. 26. Divizori

    Din A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizor al lui 20.

    Vezi răspunsul

    620 = 310: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

  15. 27. Cifre

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca suma cifrelor sale să fie 5.

    Vezi răspunsul

    590 = 118: 14, 23, 32, 41, 50.

  16. 28. Cifre

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie 0.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 10, 20, …, 90.

  17. 29. Inegalitate

    Din A = {0, 1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca n2 < 100.

    Vezi răspunsul

    1031: n ∈ {0, 1, …, 9}.

  18. 30. Interval

    Din A = {10, 11, …, 40} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie impar.

    Vezi răspunsul

    1531: 11, 13, …, 39.

  19. 31. Divizibilitate

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5, dar nu cu 10.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 15, 25, …, 95.

  20. 32. Divizibilitate

    Din A = {1, 2, …, 50} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil atât cu 2, cât și cu 3.

    Vezi răspunsul

    850 = 425: multiplii de 6, adică 6, 12, …, 48.

  21. 33. Inegalitate

    Din A = {1, 2, …, 25} se alege n. Calculați probabilitatea ca n2 − 5n < 0.

    Vezi răspunsul

    425: n(n − 5) < 0 dă n ∈ {1, 2, 3, 4}.

  22. 34. Cifre

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca produsul cifrelor sale să fie 0.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 10, 20, …, 90.

  23. 35. Modul

    Din A = {0, 1, 2, …, 15} se alege n. Calculați probabilitatea ca |n − 7| ≤ 3.

    Vezi răspunsul

    716: n ∈ {4, 5, …, 10}.

  24. 36. Reuniune

    Din A = {1, 2, …, 60} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil cu 6 sau cu 10.

    Vezi răspunsul

    1460 = 730: 10 multipli de 6, 6 multipli de 10, dintre care 30 și 60 se numără de două ori.

  25. 61. Submulțimi

    Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă exact un element.

    Vezi răspunsul

    38: {1}, {2}, {3} din cele 8 submulțimi.

  26. 62. Combinări

    Din A = {1, 2, 3, 4} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca ambele să fie impare.

    Vezi răspunsul

    16: doar perechea {1, 3} din C(4, 2) = 6.

  27. 63. Submulțimi

    Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4}. Calculați probabilitatea ca aceasta să fie nevidă.

    Vezi răspunsul

    1516: toate în afară de mulțimea vidă.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.