Probabilități, intervale și numărare · nivel M3

Lecția M3 exersează numărarea clară în intervale, proprietățile cifrelor și inegalitățile simple, apoi introduce submulțimile la nivel elementar.

Programa M3 include numărul submulțimilor unei mulțimi cu n elemente și combinările, dar nu binomul lui Newton.

Schema de rezolvare

La exercițiul 4 se alege un element la întâmplare dintr-o mulțime finită, iar toate rezultatele sunt considerate egal probabile. Rezolvarea are mereu aceiași trei pași: numărăm cazurile posibile, numărăm cazurile favorabile, formăm și simplificăm raportul.

P(E) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile = |E|/|Ω|

Mulțimea {a, a + 1, …, b} are b − a + 1 elemente

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 90

Control final: 0 ≤ P(E) ≤ 1

Scrie exact mulțimea din care se alege înainte de orice calcul.
Numără totalul o singură dată, fără să omiți numărul 0 dacă apare în mulțime.
Simplifică fracția la final și verifică dacă rezultatul este între 0 și 1.

Divizibilitate, rest și cifre

La numerele de două cifre, cifra zecilor și cifra unităților au roluri diferite: cifra zecilor nu poate fi 0. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la exercițiul 4.

Multiplii lui k din {1, …, n}: sunt n : k (partea întreagă)

Numerele cu restul r la împărțirea cu k: r, r + k, r + 2k, …

Cifra zecilor ∈ {1, …, 9}, cifra unităților ∈ {0, …, 9}

Șir cu pas constant: numărul termenilor este ultimul − primulpas + 1

Un număr divizibil cu 5 are cifra unităților 0 sau 5.
Un număr este par dacă cifra unităților este 0, 2, 4, 6 sau 8.
La condițiile cu «sau», scade cazurile numărate de două ori.

Numărare: submulțimi și combinări

Programa de Bacalaureat pentru acest profil include metodele de numărare, așa că exercițiul 4 poate cere și submulțimi sau alegeri simultane. Reține doar formulele de bază.

O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi

Numărul submulțimilor cu k elemente: C_n^k = n!k!(n − k)!

C_n^k = C_n^n−k (combinări complementare)

Regula produsului: dacă a are m variante și b are n variante, perechea (a, b) are m·n variante

„Se aleg simultan” înseamnă că ordinea nu contează, deci folosim combinări.
„Se aleg cu revenire” înseamnă perechi ordonate, deci folosim regula produsului.
Mulțimea vidă intră în totalul 2ⁿ, dar nu într-un total de submulțimi nevide.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · proprietate a cifrei unităților

Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

1.Pasul 1 — scriem Ω: numerele de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci |Ω| = 99 − 10 + 1 = 90.
2.Pasul 2 — traducem condiția: un număr este divizibil cu 5 dacă cifra unităților este 0 sau 5.
3.Pasul 3 — numărăm cu regula produsului: cifra zecilor are 9 variante (1, …, 9), iar cifra unităților 2 variante (0 sau 5).
4.Pasul 4 — cazuri favorabile: 9·2 = 18.
5.Pasul 5 — formăm raportul: P = 1890.
6.Pasul 6 — simplificăm și verificăm: P = 15, valoare cuprinsă între 0 și 1.

Algoritmul universal în 6 pași

Scrie Ω: precizează exact mulțimea din care se alege.
Numără totalul: folosește b − a + 1 sau regula produsului.
Tradu condiția: divizibilitate, rest, inegalitate sau proprietate a cifrelor.
Numără favorabilele: enumerare, șir cu pas constant sau complement.
Formează raportul P = favorabileposibile și simplifică.
Verifică: 0 ≤ P ≤ 1 și nu ai numărat de două ori cazurile comune.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 27 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Mulțime datăM3 · Tehnologic
Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
59: divizorii lui 12 din A sunt 1, 2, 3, 4, 6.
Ex. 2MultipliM3 · Tehnologic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
690 = 115: 15, 30, 45, 60, 75, 90.
Ex. 3IntervalM3 · Tehnologic
Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1121: numerele pare de la 0 la 20 sunt 11, din 21.
Ex. 4InegalitateM3 · Tehnologic
Se alege un număr natural de o cifră din mulțimea {1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
49: 6, 7, 8, 9.
Ex. 5Mulțime datăM3 · Tehnologic
Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
35: 2, 8, 14.
Ex. 6Pătrate perfecteM3 · Tehnologic
Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
530 = 16: 1, 4, 9, 16, 25.
Ex. 7CifreM3 · Tehnologic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
990 = 110: 10, 20, …, 90.
Ex. 8InegalitateM3 · Tehnologic
Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
610 = 35: 2n + 1 < 12 dă n ≤ 5, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Ex. 9RestM3 · Tehnologic
Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
520 = 14: 2, 6, 10, 14, 18.
Ex. 10Numărare directăM3 · Tehnologic
Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
310: litera A apare de 3 ori din 10.
Ex. 11Numere primeM3 · Tehnologic
Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 = 12: 2, 3, 5.
Ex. 12MixtM3 · Tehnologic
Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x² ≤ 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
57: x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.
Ex. 25MultipliM3 · Tehnologic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 8.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1190: 16, 24, …, 96.
Ex. 26DivizoriM3 · Tehnologic
Din A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizor al lui 20.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
620 = 310: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Ex. 27CifreM3 · Tehnologic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca suma cifrelor sale să fie 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
590 = 118: 14, 23, 32, 41, 50.
Ex. 28CifreM3 · Tehnologic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
990 = 110: 10, 20, …, 90.
Ex. 29InegalitateM3 · Tehnologic
Din A = {0, 1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca n² < 100.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1031: n ∈ {0, 1, …, 9}.
Ex. 30IntervalM3 · Tehnologic
Din A = {10, 11, …, 40} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie impar.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1531: 11, 13, …, 39.
Ex. 31DivizibilitateM3 · Tehnologic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5, dar nu cu 10.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
990 = 110: 15, 25, …, 95.
Ex. 32DivizibilitateM3 · Tehnologic
Din A = {1, 2, …, 50} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil atât cu 2, cât și cu 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
850 = 425: multiplii de 6, adică 6, 12, …, 48.
Ex. 33InegalitateM3 · Tehnologic
Din A = {1, 2, …, 25} se alege n. Calculați probabilitatea ca n² − 5n < 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
425: n(n − 5) < 0 dă n ∈ {1, 2, 3, 4}.
Ex. 34CifreM3 · Tehnologic
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca produsul cifrelor sale să fie 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
990 = 110: 10, 20, …, 90.
Ex. 35ModulM3 · Tehnologic
Din A = {0, 1, 2, …, 15} se alege n. Calculați probabilitatea ca |n − 7| ≤ 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
716: n ∈ {4, 5, …, 10}.
Ex. 36ReuniuneM3 · Tehnologic
Din A = {1, 2, …, 60} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil cu 6 sau cu 10.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1460 = 730: 10 multipli de 6, 6 multipli de 10, dintre care 30 și 60 se numără de două ori.
Ex. 61SubmulțimiM3 · Tehnologic
Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă exact un element.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
38: {1}, {2}, {3} din cele 8 submulțimi.
Ex. 62CombinăriM3 · Tehnologic
Din A = {1, 2, 3, 4} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca ambele să fie impare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16: doar perechea {1, 3} din C(4, 2) = 6.
Ex. 63SubmulțimiM3 · Tehnologic
Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4}. Calculați probabilitatea ca aceasta să fie nevidă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1516: toate în afară de mulțimea vidă.