Încărcăm partea curentă…

Probabilități, complement și numărare · nivel M2

Cazuri posibile, cazuri favorabile, probabilitate

Când alegem la întâmplare un element dintr-o mulțime finită, fiecare element este un caz posibil. Scriem întâi câte elemente are mulțimea. Apoi enumerăm numai elementele care respectă cerința: acestea sunt cazurile favorabile.

Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile. La final simplificăm fracția și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

De ținut minte

P = cazuri favorabilecazuri posibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={1,2,3,4,5,6,7,8} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 3?

  1. 1B are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile.
  2. 2Multiplii lui 3 din B sunt 3 și 6: două cazuri favorabile.
  3. 3Formăm raportul 28 și simplificăm prin 2. Probabilitatea este 14.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Probabilități, complement și numărare · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Cazuri posibile, cazuri favorabile, probabilitate

Când alegem la întâmplare un element dintr-o mulțime finită, fiecare element este un caz posibil. Scriem întâi câte elemente are mulțimea. Apoi enumerăm numai elementele care respectă cerința: acestea sunt cazurile favorabile.

Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile. La final simplificăm fracția și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

  • P = cazuri favorabilecazuri posibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={1,2,3,4,5,6,7,8} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 3?

  1. B are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile.
  2. Multiplii lui 3 din B sunt 3 și 6: două cazuri favorabile.
  3. Formăm raportul 28 și simplificăm prin 2. Probabilitatea este 14.

Cum numărăm numerele de două cifre

Numerele de două cifre sunt de la 10 la 99. Totalul este 99−10+1=90; zero nu este număr de două cifre. Dacă numărăm multipli, scriem primul și ultimul care se încadrează, apoi îi numărăm fără să-l includem pe următorul cu trei cifre.

După ce aflăm totalul și cazurile favorabile, formăm fracția și o simplificăm. Două fracții echivalente sunt același răspuns, chiar dacă sunt scrise diferit.

  • Totalul numerelor de două cifre = 90
  • P = favorabile90

Alt exemplu, rezolvat complet

Alegem un număr de două cifre. Care este probabilitatea să fie multiplu de 7?

  1. De la 10 la 99 sunt 90 de numere de două cifre.
  2. Multiplii lui 7 sunt 14,21,…,98. De la 7·2 la 7·14 sunt 14−2+1=13 numere.
  3. Probabilitatea este 1390. Numărătorul și numitorul nu au divizor comun mai mare decât 1.

Intervale, zero și șiruri cu pas constant

Mulțimea {a,a+1,…,b} are b−a+1 numere, fiindcă le numărăm pe ambele capete. Dacă a=0, zero intră în total și poate fi și caz favorabil.

Transformăm mai întâi condiția într-o listă de valori permise. Un rest fix la împărțire produce un șir cu pas constant; o inegalitate ne spune unde începe și unde se termină lista.

  • Număr de valori de la a la b = b−a+1
  • P = favorabileposibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={0,1,…,12} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 4?

  1. Mulțimea are 12−0+1=13 elemente, deci 13 cazuri posibile.
  2. Multiplii lui 4 din B sunt 0,4,8,12. Îl includem și pe 0: patru cazuri favorabile.
  3. Probabilitatea este 413, o valoare între 0 și 1.

Dintr-o inegalitate la lista valorilor permise

Rezolvăm inegalitatea ca să aflăm între ce valori se poate afla numărul. Verificăm separat dacă marginile sunt incluse: semnul ≤ le include, semnul < nu le include.

Apoi păstrăm numai numerele din mulțimea problemei și le numărăm. Nu împărțim la total înainte să știm câte valori sunt favorabile.

Alt exemplu, rezolvat complet

Din {0,1,…,9} alegem n. Care este probabilitatea ca n+2≤5?

  1. Scădem 2 și obținem n≤3.
  2. Valorile permise sunt 0,1,2,3: patru din cele 10 valori ale mulțimii.
  3. Probabilitatea este 410=25.

Inegalități cu pătrate și fracții

Pentru n natural putem împărți o inegalitate la un număr pozitiv fără să schimbăm sensul: 3n2 < 100 devine n2 < 1003. O expresie de gradul al doilea o descompunem în factori și citim semnul între rădăcini.

La o fracție cu numitor pozitiv înmulțim în cruce și păstrăm sensul. La final verificăm capetele: semnul ≤ le include, semnul < nu le include.

  • (n − p)(n − q) ≤ 0 ⇔ p ≤ n ≤ q, când p < q

Exemplu cu alte date

Din A = {0, 1, …, 12} se alege n. Care este probabilitatea ca 2n2 < 50?

  1. A are 13 elemente.
  2. Împărțim la 2: n2 < 25, deci n < 5, adică valorile 0, 1, 2, 3 și 4.
  3. P = 513.

Cifre: împărțim pe cazuri

Când condiția privește ambele cifre, numărăm variantele pe fiecare poziție și le înmulțim: dacă zecile au m variante și unitățile n variante, sunt m·n numere.

Când condiția se poate îndeplini în două feluri care nu au numere comune, numărăm fiecare caz separat și adunăm. Dacă o listă conține numere nepermise, le scădem la final.

  • numere = variante pentru zeci · variante pentru unități
  • zeci pare: 2, 4, 6, 8

Exemplu cu alte date

Se alege un număr natural de două cifre. Care este probabilitatea ca ambele cifre să fie pare?

  1. Sunt 90 de cazuri posibile.
  2. Zecile pare nenule sunt 2, 4, 6, 8 (4 variante), iar unitățile pare 0, 2, 4, 6, 8 (5 variante): 4·5 = 20.
  3. P = 2090 = 29.

Complementul: numărăm ce nu vrem

Uneori este mai simplu să numărăm cazurile care NU respectă condiția. Le scădem din total și obținem cazurile favorabile. Cu probabilități, scriem P(E) = 1 − P(contrar).

Metoda se potrivește la «cel puțin una», unde lista directă are multe cazuri, iar contrarul are unul singur: «niciuna».

  • favorabile = total − nefavorabile
  • P(E) = 1 − P(contrar)

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, …, 20} se alege n. Care este probabilitatea ca n să nu fie multiplu de 3?

  1. Sunt 20 de cazuri posibile.
  2. Multiplii lui 3 sunt 3, 6, …, 18: șase numere nefavorabile.
  3. Favorabile: 20 − 6 = 14, deci P = 1420 = 710.

Produsul cifrelor: par sau impar

Un produs este impar doar când toți factorii sunt impari. Dacă măcar un factor este par, produsul devine par.

De aceea, pentru «produs par» numărăm întâi numerele cu ambele cifre impare și le scădem din total. Este metoda complementului aplicată pe cifre.

  • a·b impar ⇔ a și b sunt impare

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, …, 9} se aleg, cu revenire, a și b. Care este probabilitatea ca a·b să fie impar?

  1. Sunt 9·9 = 81 de perechi ordonate.
  2. Ambele trebuie să fie impare: 5 variante fiecare, deci 5·5 = 25 de perechi.
  3. P = 2581.

Divizori, «dar nu» și «sau»

«Divizibil cu 4, dar nu cu 6» înseamnă că pornim de la multiplii lui 4 și îi scoatem pe cei care se împart și la 6, adică multiplii lui 12. La «sau» adunăm cele două liste și scădem ce se repetă.

Un rest fix împarte mulțimea în blocuri: în fiecare bloc de 5 numere consecutive apare o singură dată fiecare rest 0, 1, 2, 3, 4.

  • «dar nu»: scădem numerele comune
  • «sau»: adunăm listele și scădem numerele comune

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, …, 30} se alege n. Care este probabilitatea ca n să fie divizibil cu 3, dar nu cu 9?

  1. Multiplii lui 3 sunt 30 : 3 = 10.
  2. Dintre ei, se împart și la 9 numerele 9, 18, 27, adică 3.
  3. Favorabile: 10 − 3 = 7, deci P = 730.

Submulțimi, alegeri simultane și cu revenire

O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi, iar cele cu exact k elemente sunt Cnk. «Se aleg simultan» înseamnă că ordinea nu contează, deci numărăm Cn2 perechi.

«Se aleg cu revenire» înseamnă că putem lua de două ori același număr și că perechea (1, 2) diferă de (2, 1): dintr-o mulțime cu n elemente sunt n·n perechi ordonate.

  • 2n submulțimi
  • simultan: Cn2 = n(n − 1) : 2
  • cu revenire: n·n perechi

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, 3, 4} se aleg simultan două numere. Care este probabilitatea ca suma lor să fie 5?

  1. Sunt C42 = 6 perechi neordonate.
  2. Suma 5 o dau {1, 4} și {2, 3}: două perechi.
  3. P = 26 = 13.

Binomul lui Newton: termenul general

Dezvoltarea lui (a + b)n are n + 1 termeni. Termenul de pe locul k + 1 este Tk+1 = Cnk·an−k·bk, unde k ia valorile 0, 1, …, n.

Pentru termenul cu o anumită putere a lui x, scriem puterea lui x din termenul general, o egalăm cu puterea cerută și aflăm k. Apoi calculăm coeficientul.

  • Tk+1 = Cnk·an−k·bk

Exemplu cu alte date

Află coeficientul lui x2 din dezvoltarea (x + 2)4.

  1. Termenul general este Tk+1 = C4k·x4−k·2k.
  2. Pentru x2 cerem 4 − k = 2, deci k = 2.
  3. Coeficientul este C42·22 = 6·4 = 24.

Recapitulare: complement și inegalități

Înainte de calcul citim ce se cere și alegem metoda: complementul pentru «cel puțin», cazuri separate pe cifre sau o inegalitate rezolvată înainte de numărare. Metoda aleasă decide cum numărăm cazurile favorabile.

Totalul îl numărăm o singură dată, la început. La final formăm raportul, îl simplificăm și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

  • P = cazuri favorabilecazuri posibile

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, …, 20} se alege n. Care este probabilitatea ca n să fie par sau multiplu de 5?

  1. Sunt 20 de cazuri posibile.
  2. Numere pare: 10. Multipli de 5: 4. Numerele comune sunt 10 și 20.
  3. Favorabile: 10 + 4 − 2 = 12, deci P = 1220 = 35.

Schema de rezolvare

La exercițiul 4 se alege un element la întâmplare dintr-o mulțime finită, iar toate rezultatele sunt considerate egal probabile. Rezolvarea are mereu aceiași trei pași: numărăm cazurile posibile, numărăm cazurile favorabile, formăm și simplificăm raportul.

  • P(E) = numărul cazurilor favorabilenumărul cazurilor posibile = |E||Ω|
  • Mulțimea {a, a + 1, …, b} are b − a + 1 elemente
  • Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 90
  • Control final: 0 ≤ P(E) ≤ 1
  • Scrie exact mulțimea din care se alege înainte de orice calcul.
  • Numără totalul o singură dată, fără să omiți numărul 0 dacă apare în mulțime.
  • Simplifică fracția la final și verifică dacă rezultatul este între 0 și 1.

Complement și paritate

Când numărarea directă este lungă, numără cazurile nefavorabile. Această tehnică apare aproape mereu la cerințele de tip «cel puțin una dintre cifre».

  • P(E) = 1 − P(non-E)
  • Cazuri favorabile = total − cazuri nefavorabile
  • Produsul a·b este impar ⇔ ambii factori sunt impari
  • Suma a + b este pară ⇔ a și b au aceeași paritate
  • «Cel puțin una» se rezolvă cel mai rapid prin complement.
  • «Exact una» se rezolvă pe cazuri disjuncte, nu prin complement.
  • La cifre distincte, spațiul se restrânge de la 90 la 9·9 = 81.

Divizibilitate, rest și cifre

La numerele de două cifre, cifra zecilor și cifra unităților au roluri diferite: cifra zecilor nu poate fi 0. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la exercițiul 4.

  • Multiplii lui k din {1, …, n}: sunt n : k (partea întreagă)
  • Numerele cu restul r la împărțirea cu k: r, r + k, r + 2k, …
  • Cifra zecilor ∈ {1, …, 9}, cifra unităților ∈ {0, …, 9}
  • Șir cu pas constant: numărul termenilor este ultimul − primulpas + 1
  • Un număr divizibil cu 5 are cifra unităților 0 sau 5.
  • Un număr este par dacă cifra unităților este 0, 2, 4, 6 sau 8.
  • La condițiile cu «sau», scade cazurile numărate de două ori.

Numărare: submulțimi și combinări

Programa de Bacalaureat pentru acest profil include metodele de numărare, așa că exercițiul 4 poate cere și submulțimi sau alegeri simultane. Reține doar formulele de bază.

  • O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi
  • Numărul submulțimilor cu k elemente: Cnk = n!k!(n − k)!
  • Cnk = Cnn−k (combinări complementare)
  • Regula produsului: dacă a are m variante și b are n variante, perechea (a, b) are m·n variante
  • „Se aleg simultan” înseamnă că ordinea nu contează, deci folosim combinări.
  • „Se aleg cu revenire” înseamnă perechi ordonate, deci folosim regula produsului.
  • Mulțimea vidă intră în totalul 2n, dar nu într-un total de submulțimi nevide.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · «cel puțin una» prin complement

Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie 3.

  1. Pasul 1 — scriem Ω: numerele de două cifre sunt 90.
  2. Pasul 2 — observăm că numărarea directă cere mai multe cazuri, deci folosim complementul P(E) = 1 − P(non-E).
  3. Pasul 3 — numărăm nefavorabilele: fără cifra 3, cifra zecilor are 8 variante (1, 2, 4, …, 9), iar cifra unităților 9 variante (0, 1, 2, 4, …, 9).
  4. Pasul 4 — cazuri nefavorabile: 8·9 = 72, deci cazuri favorabile 90 − 72 = 18.
  5. Pasul 5 — formăm raportul: P = 1890.
  6. Pasul 6 — simplificăm și verificăm: P = 15, valoare cuprinsă între 0 și 1.

Algoritmul universal în 6 pași

  • Scrie Ω: precizează exact mulțimea din care se alege.
  • Numără totalul: folosește b − a + 1 sau regula produsului.
  • Tradu condiția: divizibilitate, rest, inegalitate sau proprietate a cifrelor.
  • Numără favorabilele: enumerare, șir cu pas constant sau complement.
  • Formează raportul P = favorabileposibile și simplifică.
  • Verifică: 0 ≤ P ≤ 1 și nu ai numărat de două ori cazurile comune.

Exerciții rezolvate din lecție (39)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 9.
    2. Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12; dintre ei se află în A numerele 1, 2, 3, 4 și 6.
    3. Avem 5 cazuri favorabile.
    4. P = 59, valoare cuprinsă între 0 și 1.

    Răspuns: 59

  2. Exercițiul 2

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 99 − 10 + 1 = 90 de cazuri posibile.
    2. Multiplii lui 15 de două cifre sunt 15, 30, 45, 60, 75 și 90: 6 cazuri favorabile.
    3. P = 690.
    4. Simplificăm prin 6: P = 115.

    Răspuns: 115

  3. Exercițiul 3

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea are 20 − 0 + 1 = 21 de elemente.
    2. Numerele pare sunt 0, 2, 4, …, 20; sunt 11, deoarece includem și 0.
    3. P = 1121.
    4. Atenție: numărul 0 este par și nu trebuie omis.

    Răspuns: 1121

  4. Exercițiul 4

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărul 0 este natural și se scrie cu o cifră. Cazuri posibile: 10 numere, de la 0 la 9.
    2. Numerele mai mari decât 5 sunt 6, 7, 8 și 9: 4 cazuri favorabile.
    3. Valoarea 5 nu se include, pentru că cerința este strictă.
    4. P = 410 = 25. Reține: avem 10 numere naturale de o cifră, 90 de două cifre și 900 de trei cifre.

    Răspuns: 25

  5. Exercițiul 5

    Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 5.
    2. Numerele pare din A sunt 2, 8 și 14: 3 cazuri favorabile.
    3. P = 35.

    Răspuns: 35

  6. Exercițiul 6

    Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 30.
    2. Pătratele perfecte până la 30 sunt 1, 4, 9, 16 și 25, adică 12, 22, 32, 42 și 52.
    3. Avem 5 cazuri favorabile, deoarece 62 = 36 > 30.
    4. P = 530 = 16.

    Răspuns: 16

  7. Exercițiul 7

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90 de numere de două cifre.
    2. Numerele cu cifra unităților 0 sunt 10, 20, …, 90: 9 cazuri favorabile.
    3. P = 990 = 110.

    Răspuns: 110

  8. Exercițiul 8

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 10 numere.
    2. Rezolvăm condiția: 2n + 1 < 12 ⇔ 2n < 11 ⇔ n < 112 = 5,5.
    3. Valorile naturale favorabile sunt 0, 1, 2, 3, 4 și 5: 6 cazuri.
    4. P = 610 = 35.

    Răspuns: 35

  9. Exercițiul 9

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 20.
    2. Numerele cu restul 2 la împărțirea cu 4 formează șirul 2, 6, 10, 14, 18, cu pasul 4.
    3. Avem 5 cazuri favorabile.
    4. P = 520 = 14.

    Răspuns: 14

  10. Exercițiul 10

    Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.

    Vezi rezolvarea
    1. Cuvântul MATEMATICA are 10 poziții, considerate cazuri egal posibile.
    2. Litera A apare pe pozițiile 2, 6 și 10, deci de 3 ori.
    3. P = 310.

    Răspuns: 310

  11. Exercițiul 11

    Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.

    Vezi rezolvarea
    1. Rezultatele posibile sunt 1, 2, 3, 4, 5 și 6.
    2. Numerele prime dintre ele sunt 2, 3 și 5; numărul 1 nu este prim.
    3. P = 36 = 12.

    Răspuns: 12

  12. Exercițiul 12

    Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x2 ≤ 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 7.
    2. Condiția x2 ≤ 4 este echivalentă cu −2 ≤ x ≤ 2.
    3. Valorile favorabile din A sunt −2, −1, 0, 1 și 2: 5 cazuri.
    4. P = 57.

    Răspuns: 57

  13. Exercițiul 13

    Din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 3n2 < 100.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 10 numere.
    2. Condiția 3n2 < 100 este echivalentă cu n2 < 1003 ≈ 33,33.
    3. Pentru n natural avem n ≤ 5, deoarece 52 = 25 < 33,33, iar 62 = 36 > 33,33.
    4. Valorile favorabile sunt 0, 1, 2, 3, 4 și 5: 6 cazuri.
    5. P = 610 = 35.

    Răspuns: 35

  14. Exercițiul 14

    Exercițiul 38 semi-ghidat · Se alege un număr natural de două cifre. Câte numere de două cifre NU conțin cifra 1?

    Vezi rezolvarea
    1. Cifra zecilor nu poate fi 0 și nici 1, deci are 8 variante: 2, 3, …, 9.
    2. Cifra unităților nu poate fi 1, deci are 9 variante: 0, 2, 3, …, 9.
    3. Prin regula produsului obținem 8·9 = 72 de numere.

    Răspuns: 72

  15. Exercițiul 15

    Acum scrie probabilitatea cerută la exercițiul 38, simplificată.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Folosim complementul: cazuri favorabile = 90 − 72 = 18.
    3. P = 1890 = 15.
    4. Formula folosită: P(E) = 1 − P(non-E).

    Răspuns: 15

  16. Exercițiul 16

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca numărul să fie impar și să aibă cifre distincte.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Pentru un număr impar, cifra unităților este 1, 3, 5, 7 sau 9: 5 variante, iar cifra zecilor are 9 variante.
    3. Numerele impare sunt 9·5 = 45.
    4. Eliminăm cele cu cifre egale: 11, 33, 55, 77 și 99, adică 5 numere.
    5. Cazuri favorabile: 45 − 5 = 40, deci P = 4090 = 49.

    Răspuns: 49

  17. Exercițiul 17

    Exercițiul 40 ghidat · Se alege un număr natural de două cifre. Pasul 1: câte cazuri posibile avem?

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99.
    2. Aplicăm formula b − a + 1 = 99 − 10 + 1 = 90.
    3. Așadar |Ω| = 90 de cazuri posibile.

    Răspuns: 90

  18. Exercițiul 18

    Pasul 2: cerem ca produsul cifrelor să fie par. Când este produsul a·b impar?

    Vezi rezolvarea
    1. Dacă unul dintre factori este par, produsul devine par.
    2. Prin urmare produsul este impar numai dacă ambele cifre sunt impare.
    3. Această observație ne permite să folosim complementul: P(E) = 1 − P(non-E).

    Răspuns: Când ambele cifre sunt impare

  19. Exercițiul 19

    Pasul 3: câte numere de două cifre au ambele cifre impare?

    Vezi rezolvarea
    1. Cifra zecilor poate fi 1, 3, 5, 7 sau 9: 5 variante.
    2. Cifra unităților poate fi tot 1, 3, 5, 7 sau 9: 5 variante.
    3. Prin regula produsului obținem 5·5 = 25 de numere cu ambele cifre impare.

    Răspuns: 25

  20. Exercițiul 20

    Pasul 4: cum obținem cazurile favorabile folosind complementul?

    Vezi rezolvarea
    1. Cazurile nefavorabile sunt cele 25 de numere cu produsul cifrelor impar.
    2. Cazurile favorabile se obțin scăzând din total: 90 − 25 = 65.
    3. Avem 65 de numere cu produsul cifrelor par.

    Răspuns: 90 − 25 = 65

  21. Exercițiul 21

    Pasul 5: scrie probabilitatea finală, simplificată.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90; cazuri favorabile: 65.
    2. P = 6590.
    3. Simplificăm prin 5: P = 1318.
    4. Verificare: 1318 ≈ 0,72, valoare cuprinsă între 0 și 1.

    Răspuns: 1318

  22. Exercițiul 22

    Din A = {0, 1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca n2 − 7n + 10 ≤ 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 30 − 0 + 1 = 31.
    2. Factorizăm: n2 − 7n + 10 = (n − 2)(n − 5).
    3. Produsul este negativ sau zero pentru 2 ≤ n ≤ 5.
    4. Valorile naturale favorabile sunt 2, 3, 4 și 5: 4 cazuri.
    5. P = 431.

    Răspuns: 431

  23. Exercițiul 23

    Din A = {1, 2, …, 40} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizor al lui 72.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 40.
    2. Divizorii lui 72 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 și 72.
    3. Dintre ei, 72 nu se află în A, deci rămân 11 cazuri favorabile.
    4. P = 1140.

    Răspuns: 1140

  24. Exercițiul 24

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca exact una dintre cifre să fie 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Cazul 1: cifra zecilor este 2, iar cifra unităților diferă de 2: 9 numere (20, 21, 23, …, 29).
    3. Cazul 2: cifra unităților este 2, iar cifra zecilor diferă de 2 și de 0: 8 numere (12, 32, 42, …, 92).
    4. Cele două cazuri nu se suprapun, deci avem 9 + 8 = 17 cazuri favorabile.
    5. P = 1790.

    Răspuns: 1790

  25. Exercițiul 25

    Din A = {1, 2, …, 60} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil cu 4, dar nu cu 6.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 60.
    2. Multiplii de 4 până la 60 sunt 4, 8, …, 60: 60 : 4 = 15 numere.
    3. Dintre ei, cei divizibili și cu 6 sunt multiplii lui 12: 12, 24, 36, 48 și 60, adică 5 numere.
    4. Cazuri favorabile: 15 − 5 = 10.
    5. P = 1060 = 16.

    Răspuns: 16

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 45 semi-ghidat · Din A = {0, 1, …, 19} se alege n. Inegalitatea n + 1n + 2 > 34 este echivalentă cu:

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru n natural, n + 2 > 0, deci sensul inegalității nu se schimbă la înmulțire.
    2. Obținem 4(n + 1) > 3(n + 2), adică 4n + 4 > 3n + 6.
    3. Rezultă n > 2.

    Răspuns: n > 2

  27. Exercițiul 27

    Acum scrie probabilitatea cerută la exercițiul 45.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 20.
    2. Din n > 2 și n ∈ A rămân valorile 3, 4, …, 19.
    3. Numărul lor este 19 − 3 + 1 = 17 cazuri favorabile.
    4. P = 1720.

    Răspuns: 1720

  28. Exercițiul 28

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cele două cifre să aibă aceeași paritate.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Ambele cifre impare: 5 variante pentru zeci și 5 pentru unități, deci 25 de numere.
    3. Ambele cifre pare: cifra zecilor are 4 variante nenule (2, 4, 6, 8), iar unitățile 5 variante (0, 2, 4, 6, 8), deci 20 de numere.
    4. Cazuri favorabile: 25 + 20 = 45.
    5. P = 4590 = 12.

    Răspuns: 12

  29. Exercițiul 29

    Din A = {0, 1, 2, …, 24} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 5 să fie mai mic decât 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 24 − 0 + 1 = 25.
    2. Restul mai mic decât 2 înseamnă restul 0 sau restul 1.
    3. Mulțimea se împarte în 5 blocuri complete de câte 5 numere, iar în fiecare bloc apar exact 2 cazuri favorabile.
    4. Cazuri favorabile: 5·2 = 10.
    5. P = 1025 = 25.

    Răspuns: 25

  30. Exercițiul 30

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 7 sau să aibă cifra unităților 7.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Multiplii de 7 de două cifre sunt 14, 21, …, 98: 98 − 147 + 1 = 13 numere.
    3. Numerele cu cifra unităților 7 sunt 17, 27, …, 97: 9 numere.
    4. Numărul 77 aparține ambelor categorii, deci îl numărăm o singură dată: 13 + 9 − 1 = 21.
    5. P = 2190 = 730.

    Răspuns: 730

  31. Exercițiul 31

    Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă exact trei elemente.

    Vezi rezolvarea
    1. O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi, deci A are 24 = 16 submulțimi.
    2. Submulțimile cu exact trei elemente sunt C43 = C41 = 4.
    3. P = 416 = 14.

    Răspuns: 14

  32. Exercițiul 32

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca suma lor să fie pară.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegerea simultană nu ține cont de ordine: cazuri posibile C52 = 5·42 = 10.
    2. Suma a două numere este pară dacă ambele au aceeași paritate.
    3. Ambele impare: numerele 1, 3, 5 dau C32 = 3 perechi; ambele pare: numerele 2, 4 dau C22 = 1 pereche.
    4. Cazuri favorabile: 3 + 1 = 4, deci P = 410 = 25.

    Răspuns: 25

  33. Exercițiul 33

    Din A = {1, 2, 3} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca a = b.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegerea cu revenire dă perechi ordonate: cazuri posibile 3·3 = 9.
    2. Perechile cu a = b sunt (1, 1), (2, 2) și (3, 3): 3 cazuri favorabile.
    3. P = 39 = 13.

    Răspuns: 13

  34. Exercițiul 34

    Află termenul independent de x în dezvoltarea (x+1x)6, pentru x≠0.

    Vezi rezolvarea
    1. Tk+1=C6k·x6−k·x−k. Formula termenului general este Cnkan−kbk; aici a=x și b=1x.
    2. 6−2k=0, deci k=3. Adunăm exponenții: (6−k)+(−k)=6−2k. Termenul constant conține x0.
    3. C63=6·5·43·2·1=20. Termenul independent este 20·x0=20.

    Răspuns: C63=6·5·43·2·1=20

  35. Exercițiul 35

    Alegem la întâmplare un număr natural de o cifră. Care este probabilitatea ca n2<20?

    Vezi rezolvarea
    1. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}: 10 cazuri. 0 este natural și se scrie cu o cifră. Nu îl omitem.
    2. 0,1,2,3,4: 5 cazuri. 42=16<20, dar 52=25>20. Și 02<20.
    3. P=510=12. Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile, presupuse echiprobabile.

    Răspuns: P=510=12

  36. Exercițiul 36

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Folosim complementul: numărăm numerele care nu conțin cifra 1.
    3. Cifra zecilor are 8 variante (2, …, 9), iar cifra unităților are 9 variante (0, 2, …, 9): 8·9 = 72 numere.
    4. Cazuri favorabile: 90 − 72 = 18.
    5. P = 1890 = 15.

    Răspuns: 15

  37. Exercițiul 37

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca produsul cifrelor sale să fie par.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90.
    2. Un produs este impar numai dacă ambii factori sunt impari, deci folosim complementul.
    3. Ambele cifre impare: 5 variante pentru zeci și 5 pentru unități, adică 25 de cazuri nefavorabile.
    4. Cazuri favorabile: 90 − 25 = 65.
    5. P = 6590 = 1318.

    Răspuns: 1318

  38. Exercițiul 38

    Din A = {0, 1, 2, …, 19} se alege n. Calculați probabilitatea ca n + 1n + 2 > 34.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 20.
    2. Pentru n natural, numitorul n + 2 este pozitiv, deci putem înmulți în cruce fără să schimbăm sensul.
    3. Obținem 4(n + 1) > 3(n + 2), adică 4n + 4 > 3n + 6, deci n > 2.
    4. Valorile favorabile sunt 3, 4, …, 19: 19 − 3 + 1 = 17 cazuri.
    5. P = 1720.

    Răspuns: 1720

  39. Exercițiul 39

    Află coeficientul lui x3 din dezvoltarea (x+3)5.

    Vezi rezolvarea
    1. Tk+1=C5k·x5−k·3k. Folosim Cnk·an−k·bk cu a=x, b=3 și n=5.
    2. 5−k=3, deci k=2. Puterea lui x din termenul general este 5−k.
    3. C52·32=10·9=90. C52=5·42=10, iar 32=9. Nu uităm puterea lui 3.

    Răspuns: C52·32=10·9=90

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (27)

  1. 1. Mulțime dată

    Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.

    Vezi răspunsul

    59: divizorii lui 12 din A sunt 1, 2, 3, 4, 6.

  2. 2. Multipli

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.

    Vezi răspunsul

    690 = 115: 15, 30, 45, 60, 75, 90.

  3. 3. Interval

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.

    Vezi răspunsul

    1121: numerele pare de la 0 la 20 sunt 11, din 21.

  4. 4. Inegalitate

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.

    Vezi răspunsul

    410 = 25: favorabile sunt 6, 7, 8, 9; posibile sunt cele 10 numere de la 0 la 9.

  5. 5. Mulțime dată

    Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi răspunsul

    35: 2, 8, 14.

  6. 6. Pătrate perfecte

    Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.

    Vezi răspunsul

    530 = 16: 1, 4, 9, 16, 25.

  7. 7. Cifre

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 10, 20, …, 90.

  8. 8. Inegalitate

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.

    Vezi răspunsul

    610 = 35: 2n + 1 < 12 dă n ≤ 5, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

  9. 9. Rest

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.

    Vezi răspunsul

    520 = 14: 2, 6, 10, 14, 18.

  10. 10. Numărare directă

    Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.

    Vezi răspunsul

    310: litera A apare de 3 ori din 10.

  11. 11. Numere prime

    Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.

    Vezi răspunsul

    36 = 12: 2, 3, 5.

  12. 12. Mixt

    Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x2 ≤ 4.

    Vezi răspunsul

    57: x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.

  13. 37. Inegalitate

    Din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 3n2 < 100.

    Vezi răspunsul

    610 = 35: 3n2 < 100 dă n ≤ 5.

  14. 38. Complement

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu 1.

    Vezi răspunsul

    1890 = 15: 10–19 (10 numere) și 21, 31, …, 91 (8 numere).

  15. 39. Cifre distincte

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca numărul să fie impar și să aibă cifre distincte.

    Vezi răspunsul

    4090 = 49: sunt 45 de numere impare, iar dintre ele 11, 33, 55, 77, 99 au cifre egale.

  16. 40. Complement

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca produsul cifrelor sale să fie par.

    Vezi răspunsul

    6590 = 1318: produsul este impar doar când ambele cifre sunt impare (5 × 5 = 25 de numere).

  17. 41. Inegalitate

    Din A = {0, 1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca n2 − 7n + 10 ≤ 0.

    Vezi răspunsul

    431: n2 − 7n + 10 ≤ 0 dă 2 ≤ n ≤ 5.

  18. 42. Divizori

    Din A = {1, 2, …, 40} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizor al lui 72.

    Vezi răspunsul

    1140: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36.

  19. 43. Cifre

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca exact una dintre cifre să fie 2.

    Vezi răspunsul

    1790: 20, 21, 23, …, 29 (9 numere) și 12, 32, 42, …, 92 (8 numere).

  20. 44. Divizibilitate

    Din A = {1, 2, …, 60} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil cu 4, dar nu cu 6.

    Vezi răspunsul

    1060 = 16: 15 multipli de 4, dintre care 5 sunt și multipli de 6 (multipli de 12).

  21. 45. Inegalitate

    Din A = {0, 1, 2, …, 19} se alege n. Calculați probabilitatea ca n + 1n + 2 > 34.

    Vezi răspunsul

    1720: n + 1n + 2 > 34 dă 4n + 4 > 3n + 6, adică n > 2.

  22. 46. Paritate

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cele două cifre să aibă aceeași paritate.

    Vezi răspunsul

    4590 = 12: ambele impare (5 × 5 = 25) sau ambele pare (4 × 5 = 20).

  23. 47. Rest

    Din A = {0, 1, 2, …, 24} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 5 să fie mai mic decât 2.

    Vezi răspunsul

    1025 = 25: resturile 0 și 1 apar de câte 5 ori.

  24. 48. Reuniune

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 7 sau să aibă cifra unităților 7.

    Vezi răspunsul

    2190 = 730: 13 multipli de 7, 9 numere terminate în 7, iar 77 este numărat de două ori.

  25. 64. Submulțimi

    Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă exact trei elemente.

    Vezi răspunsul

    416 = 14: C(4, 3) = 4 submulțimi din 16.

  26. 65. Combinări

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca suma lor să fie pară.

    Vezi răspunsul

    410 = 25: {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {2, 4}.

  27. 66. Perechi

    Din A = {1, 2, 3} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca a = b.

    Vezi răspunsul

    39 = 13: (1, 1), (2, 2), (3, 3).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.