Probabilități, complement și numărare · nivel M2

Lecția M2 pornește de la numărarea directă și adaugă tehnica complementului, condițiile combinate și metodele de numărare din programă.

Programa M2 include permutări, aranjamente, combinări și numărul submulțimilor, deci fișa conține și exerciții de acest tip.

Schema de rezolvare

La exercițiul 4 se alege un element la întâmplare dintr-o mulțime finită, iar toate rezultatele sunt considerate egal probabile. Rezolvarea are mereu aceiași trei pași: numărăm cazurile posibile, numărăm cazurile favorabile, formăm și simplificăm raportul.

P(E) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile = |E|/|Ω|

Mulțimea {a, a + 1, …, b} are b − a + 1 elemente

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 90

Control final: 0 ≤ P(E) ≤ 1

Scrie exact mulțimea din care se alege înainte de orice calcul.
Numără totalul o singură dată, fără să omiți numărul 0 dacă apare în mulțime.
Simplifică fracția la final și verifică dacă rezultatul este între 0 și 1.

Complement și paritate

Când numărarea directă este lungă, numără cazurile nefavorabile. Această tehnică apare aproape mereu la cerințele de tip «cel puțin una dintre cifre».

P(E) = 1 − P(non-E)

Cazuri favorabile = total − cazuri nefavorabile

Produsul a·b este impar ⇔ ambii factori sunt impari

Suma a + b este pară ⇔ a și b au aceeași paritate

«Cel puțin una» se rezolvă cel mai rapid prin complement.
«Exact una» se rezolvă pe cazuri disjuncte, nu prin complement.
La cifre distincte, spațiul se restrânge de la 90 la 9·9 = 81.

Divizibilitate, rest și cifre

La numerele de două cifre, cifra zecilor și cifra unităților au roluri diferite: cifra zecilor nu poate fi 0. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la exercițiul 4.

Multiplii lui k din {1, …, n}: sunt n : k (partea întreagă)

Numerele cu restul r la împărțirea cu k: r, r + k, r + 2k, …

Cifra zecilor ∈ {1, …, 9}, cifra unităților ∈ {0, …, 9}

Șir cu pas constant: numărul termenilor este ultimul − primulpas + 1

Un număr divizibil cu 5 are cifra unităților 0 sau 5.
Un număr este par dacă cifra unităților este 0, 2, 4, 6 sau 8.
La condițiile cu «sau», scade cazurile numărate de două ori.

Numărare: submulțimi și combinări

Programa de Bacalaureat pentru acest profil include metodele de numărare, așa că exercițiul 4 poate cere și submulțimi sau alegeri simultane. Reține doar formulele de bază.

O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi

Numărul submulțimilor cu k elemente: C_n^k = n!k!(n − k)!

C_n^k = C_n^n−k (combinări complementare)

Regula produsului: dacă a are m variante și b are n variante, perechea (a, b) are m·n variante

„Se aleg simultan” înseamnă că ordinea nu contează, deci folosim combinări.
„Se aleg cu revenire” înseamnă perechi ordonate, deci folosim regula produsului.
Mulțimea vidă intră în totalul 2ⁿ, dar nu într-un total de submulțimi nevide.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · «cel puțin una» prin complement

Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie 3.

1.Pasul 1 — scriem Ω: numerele de două cifre sunt 90.
2.Pasul 2 — observăm că numărarea directă cere mai multe cazuri, deci folosim complementul P(E) = 1 − P(non-E).
3.Pasul 3 — numărăm nefavorabilele: fără cifra 3, cifra zecilor are 8 variante (1, 2, 4, …, 9), iar cifra unităților 9 variante (0, 1, 2, 4, …, 9).
4.Pasul 4 — cazuri nefavorabile: 8·9 = 72, deci cazuri favorabile 90 − 72 = 18.
5.Pasul 5 — formăm raportul: P = 1890.
6.Pasul 6 — simplificăm și verificăm: P = 15, valoare cuprinsă între 0 și 1.

Algoritmul universal în 6 pași

Scrie Ω: precizează exact mulțimea din care se alege.
Numără totalul: folosește b − a + 1 sau regula produsului.
Tradu condiția: divizibilitate, rest, inegalitate sau proprietate a cifrelor.
Numără favorabilele: enumerare, șir cu pas constant sau complement.
Formează raportul P = favorabileposibile și simplifică.
Verifică: 0 ≤ P ≤ 1 și nu ai numărat de două ori cazurile comune.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Științe · 27 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Mulțime datăM2 · Științe
Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
59: divizorii lui 12 din A sunt 1, 2, 3, 4, 6.
Ex. 2MultipliM2 · Științe
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
690 = 115: 15, 30, 45, 60, 75, 90.
Ex. 3IntervalM2 · Științe
Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1121: numerele pare de la 0 la 20 sunt 11, din 21.
Ex. 4InegalitateM2 · Științe
Se alege un număr natural de o cifră din mulțimea {1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
49: 6, 7, 8, 9.
Ex. 5Mulțime datăM2 · Științe
Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
35: 2, 8, 14.
Ex. 6Pătrate perfecteM2 · Științe
Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
530 = 16: 1, 4, 9, 16, 25.
Ex. 7CifreM2 · Științe
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
990 = 110: 10, 20, …, 90.
Ex. 8InegalitateM2 · Științe
Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
610 = 35: 2n + 1 < 12 dă n ≤ 5, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Ex. 9RestM2 · Științe
Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
520 = 14: 2, 6, 10, 14, 18.
Ex. 10Numărare directăM2 · Științe
Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
310: litera A apare de 3 ori din 10.
Ex. 11Numere primeM2 · Științe
Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 = 12: 2, 3, 5.
Ex. 12MixtM2 · Științe
Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x² ≤ 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
57: x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.
Ex. 37InegalitateM2 · Științe
Din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 3n² < 100.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
610 = 35: 3n² < 100 dă n ≤ 5.
Ex. 38ComplementM2 · Științe
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1890 = 15: 10–19 (10 numere) și 21, 31, …, 91 (8 numere).
Ex. 39Cifre distincteM2 · Științe
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca numărul să fie impar și să aibă cifre distincte.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4090 = 49: sunt 45 de numere impare, iar dintre ele 11, 33, 55, 77, 99 au cifre egale.
Ex. 40ComplementM2 · Științe
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca produsul cifrelor sale să fie par.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6590 = 1318: produsul este impar doar când ambele cifre sunt impare (5 × 5 = 25 de numere).
Ex. 41InegalitateM2 · Științe
Din A = {0, 1, 2, …, 30} se alege n. Calculați probabilitatea ca n² − 7n + 10 ≤ 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
431: n² − 7n + 10 ≤ 0 dă 2 ≤ n ≤ 5.
Ex. 42DivizoriM2 · Științe
Din A = {1, 2, …, 40} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizor al lui 72.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1140: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36.
Ex. 43CifreM2 · Științe
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca exact una dintre cifre să fie 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1790: 20, 21, 23, …, 29 (9 numere) și 12, 32, 42, …, 92 (8 numere).
Ex. 44DivizibilitateM2 · Științe
Din A = {1, 2, …, 60} se alege n. Calculați probabilitatea ca n să fie divizibil cu 4, dar nu cu 6.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1060 = 16: 15 multipli de 4, dintre care 5 sunt și multipli de 6 (multipli de 12).
Ex. 45InegalitateM2 · Științe
Din A = {0, 1, 2, …, 19} se alege n. Calculați probabilitatea ca n + 1n + 2 > 34.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1720: n + 1n + 2 > 34 dă 4n + 4 > 3n + 6, adică n > 2.
Ex. 46ParitateM2 · Științe
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cele două cifre să aibă aceeași paritate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4590 = 12: ambele impare (5 × 5 = 25) sau ambele pare (4 × 5 = 20).
Ex. 47RestM2 · Științe
Din A = {0, 1, 2, …, 24} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 5 să fie mai mic decât 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1025 = 25: resturile 0 și 1 apar de câte 5 ori.
Ex. 48ReuniuneM2 · Științe
Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 7 sau să aibă cifra unităților 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2190 = 730: 13 multipli de 7, 9 numere terminate în 7, iar 77 este numărat de două ori.
Ex. 64SubmulțimiM2 · Științe
Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă exact trei elemente.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
416 = 14: C(4, 3) = 4 submulțimi din 16.
Ex. 65CombinăriM2 · Științe
Din A = {1, 2, 3, 4, 5} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca suma lor să fie pară.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
410 = 25: {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {2, 4}.
Ex. 66PerechiM2 · Științe
Din A = {1, 2, 3} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca a = b.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
39 = 13: (1, 1), (2, 2), (3, 3).