Încărcăm partea curentă…

Probabilități, submulțimi și combinări · nivel M1

Cazuri posibile, cazuri favorabile, probabilitate

Când alegem la întâmplare un element dintr-o mulțime finită, fiecare element este un caz posibil. Scriem întâi câte elemente are mulțimea. Apoi enumerăm numai elementele care respectă cerința: acestea sunt cazurile favorabile.

Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile. La final simplificăm fracția și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

De ținut minte

P = cazuri favorabilecazuri posibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={1,2,3,4,5,6,7,8} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 3?

  1. 1B are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile.
  2. 2Multiplii lui 3 din B sunt 3 și 6: două cazuri favorabile.
  3. 3Formăm raportul 28 și simplificăm prin 2. Probabilitatea este 14.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Probabilități, submulțimi și combinări · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Cazuri posibile, cazuri favorabile, probabilitate

Când alegem la întâmplare un element dintr-o mulțime finită, fiecare element este un caz posibil. Scriem întâi câte elemente are mulțimea. Apoi enumerăm numai elementele care respectă cerința: acestea sunt cazurile favorabile.

Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile. La final simplificăm fracția și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

  • P = cazuri favorabilecazuri posibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={1,2,3,4,5,6,7,8} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 3?

  1. B are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile.
  2. Multiplii lui 3 din B sunt 3 și 6: două cazuri favorabile.
  3. Formăm raportul 28 și simplificăm prin 2. Probabilitatea este 14.

Cum numărăm numerele de două cifre

Numerele de două cifre sunt de la 10 la 99. Totalul este 99−10+1=90; zero nu este număr de două cifre. Dacă numărăm multipli, scriem primul și ultimul care se încadrează, apoi îi numărăm fără să-l includem pe următorul cu trei cifre.

După ce aflăm totalul și cazurile favorabile, formăm fracția și o simplificăm. Două fracții echivalente sunt același răspuns, chiar dacă sunt scrise diferit.

  • Totalul numerelor de două cifre = 90
  • P = favorabile90

Alt exemplu, rezolvat complet

Alegem un număr de două cifre. Care este probabilitatea să fie multiplu de 7?

  1. De la 10 la 99 sunt 90 de numere de două cifre.
  2. Multiplii lui 7 sunt 14,21,…,98. De la 7·2 la 7·14 sunt 14−2+1=13 numere.
  3. Probabilitatea este 1390. Numărătorul și numitorul nu au divizor comun mai mare decât 1.

Intervale, zero și șiruri cu pas constant

Mulțimea {a,a+1,…,b} are b−a+1 numere, fiindcă le numărăm pe ambele capete. Dacă a=0, zero intră în total și poate fi și caz favorabil.

Transformăm mai întâi condiția într-o listă de valori permise. Un rest fix la împărțire produce un șir cu pas constant; o inegalitate ne spune unde începe și unde se termină lista.

  • Număr de valori de la a la b = b−a+1
  • P = favorabileposibile

Alt exemplu, rezolvat complet

Din B={0,1,…,12} alegem un număr. Care este probabilitatea să fie multiplu de 4?

  1. Mulțimea are 12−0+1=13 elemente, deci 13 cazuri posibile.
  2. Multiplii lui 4 din B sunt 0,4,8,12. Îl includem și pe 0: patru cazuri favorabile.
  3. Probabilitatea este 413, o valoare între 0 și 1.

Dintr-o inegalitate la lista valorilor permise

Rezolvăm inegalitatea ca să aflăm între ce valori se poate afla numărul. Verificăm separat dacă marginile sunt incluse: semnul ≤ le include, semnul < nu le include.

Apoi păstrăm numai numerele din mulțimea problemei și le numărăm. Nu împărțim la total înainte să știm câte valori sunt favorabile.

Alt exemplu, rezolvat complet

Din {0,1,…,9} alegem n. Care este probabilitatea ca n+2≤5?

  1. Scădem 2 și obținem n≤3.
  2. Valorile permise sunt 0,1,2,3: patru din cele 10 valori ale mulțimii.
  3. Probabilitatea este 410=25.

Submulțimi cu exact sau cu cel mult k elemente

O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi, inclusiv ∅ și mulțimea întreagă. Submulțimile cu exact k elemente sunt Cnk = n!k!(n − k)!; ordinea elementelor nu contează.

«Cel mult k elemente» înseamnă 0, 1, …, k elemente, deci adunăm Cn0 + Cn1 + … + Cnk. «Cel puțin k» se numără la fel, de la k până la n.

  • 2n submulțimi
  • Cnk = n!k!(n − k)!

Exemplu cu alte date

Se alege o submulțime a unei mulțimi cu 4 elemente. Care este probabilitatea să aibă cel puțin 3 elemente?

  1. Sunt 24 = 16 submulțimi.
  2. Cu 3 sau 4 elemente sunt C43 + C44 = 4 + 1 = 5.
  3. P = 516.

Alegeri cu revenire: perechi ordonate

«Se aleg, cu revenire, a și b» înseamnă că fiecare poate lua orice valoare din mulțime, chiar aceeași. Perechea (a, b) este ordonată: (1, 2) și (2, 1) sunt cazuri diferite. Dintr-o mulțime cu n elemente obținem n·n perechi.

Condițiile despre sumă sau produs le traducem în paritate sau în «măcar un factor este 0». Dacă două liste au o pereche comună, o scădem o dată.

  • n·n perechi ordonate
  • a + b par ⇔ a și b au aceeași paritate

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, 3} se aleg, cu revenire, a și b. Care este probabilitatea ca a + b = 4?

  1. Sunt 3·3 = 9 perechi ordonate.
  2. Suma 4 o dau (1, 3), (2, 2) și (3, 1): trei perechi.
  3. P = 39 = 13.

Alegeri simultane: combinări

«Se aleg simultan» două numere înseamnă o submulțime cu două elemente, deci ordinea nu contează. Dintr-o mulțime cu n elemente sunt Cn2 = n(n − 1) : 2 alegeri.

Pentru cazurile favorabile alegem din grupul potrivit, de exemplu numai din numerele prime. Dacă un element trebuie să fie sigur ales, îl fixăm și alegem doar restul.

  • Cn2 = n(n − 1) : 2
  • un element fixat: alegem restul dintre celelalte

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, 3, 4, 5} se aleg simultan două numere. Care este probabilitatea ca ambele să fie pare?

  1. Sunt C52 = 10 alegeri.
  2. Numerele pare sunt 2 și 4, deci o singură alegere favorabilă: {2, 4}.
  3. P = 110.

Cifre distincte și permutări

Când cifrele trebuie să fie distincte, numărăm pe poziții și scădem cifra deja folosită: zecile au 9 variante, iar unitățile tot 9, adică orice cifră în afară de cea a zecilor. Așa obținem 81 de numere.

Dacă folosim fiecare dintre n cifre o singură dată, obținem n! = 1·2·…·n numere. O condiție pe ultima cifră o fixăm întâi, apoi aranjăm celelalte cifre.

  • n! = 1·2·…·n
  • numere de două cifre distincte: 9·9 = 81

Exemplu cu alte date

Cu cifrele 1, 2, 3, 4, folosite o singură dată, se formează un număr de patru cifre. Care este probabilitatea să se termine cu 4?

  1. Se pot forma 4! = 24 de numere.
  2. Fixăm 4 pe ultima poziție; celelalte trei cifre se aranjează în 3! = 6 moduri.
  3. P = 624 = 14.

Submulțimi nevide după numărul de elemente

«Nevidă» scoate din total mulțimea vidă: rămân 2n − 1 cazuri posibile. O condiție pe numărul de elemente o împărțim pe dimensiuni și adunăm combinările fiecărei dimensiuni.

Mulțimea vidă are 0 elemente, iar 0 este număr par, dar ea este deja exclusă. Verificăm mereu dacă ∅ intră sau nu în totalul cazurilor.

  • submulțimi nevide: 2n − 1

Exemplu cu alte date

Se alege o submulțime nevidă a mulțimii {1, 2, 3, 4}. Care este probabilitatea să aibă un număr impar de elemente?

  1. Sunt 24 − 1 = 15 submulțimi nevide.
  2. Un număr impar de elemente înseamnă 1 sau 3: C41 + C43 = 4 + 4 = 8.
  3. P = 815.

Binomul lui Newton: termenul general

Dezvoltarea lui (a + b)n are n + 1 termeni. Termenul de pe locul k + 1 este Tk+1 = Cnk·an−k·bk, unde k ia valorile 0, 1, …, n.

Pentru termenul cu o anumită putere a lui x, scriem puterea lui x din termenul general, o egalăm cu puterea cerută și aflăm k. Apoi calculăm coeficientul.

  • Tk+1 = Cnk·an−k·bk

Exemplu cu alte date

Află coeficientul lui x2 din dezvoltarea (x + 2)4.

  1. Termenul general este Tk+1 = C4k·x4−k·2k.
  2. Pentru x2 cerem 4 − k = 2, deci k = 2.
  3. Coeficientul este C42·22 = 6·4 = 24.

Recapitulare: submulțimi, perechi și combinări

Înainte de calcul citim ce se cere și alegem metoda: 2n pentru submulțimi, n·n pentru perechi cu revenire sau Cnk pentru alegeri simultane. Metoda aleasă decide cum numărăm cazurile favorabile.

Totalul îl numărăm o singură dată, la început. La final formăm raportul, îl simplificăm și verificăm că rezultatul este între 0 și 1.

  • P = cazuri favorabilecazuri posibile

Exemplu cu alte date

Din A = {1, 2, 3, 4} se aleg, cu revenire, a și b. Care este probabilitatea ca a ≠ b?

  1. Sunt 4·4 = 16 perechi ordonate.
  2. Perechile cu a = b sunt 4, deci a ≠ b în 16 − 4 = 12 cazuri.
  3. P = 1216 = 34.

Schema de rezolvare

La exercițiul 4 se alege un element la întâmplare dintr-o mulțime finită, iar toate rezultatele sunt considerate egal probabile. Rezolvarea are mereu aceiași trei pași: numărăm cazurile posibile, numărăm cazurile favorabile, formăm și simplificăm raportul.

  • P(E) = numărul cazurilor favorabilenumărul cazurilor posibile = |E||Ω|
  • Mulțimea {a, a + 1, …, b} are b − a + 1 elemente
  • Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 90
  • Control final: 0 ≤ P(E) ≤ 1
  • Scrie exact mulțimea din care se alege înainte de orice calcul.
  • Numără totalul o singură dată, fără să omiți numărul 0 dacă apare în mulțime.
  • Simplifică fracția la final și verifică dacă rezultatul este între 0 și 1.

Submulțimi, perechi și permutări

La nivel M1 exercițiul 4 folosește frecvent numărarea combinatorică. Distinge clar între alegere simultană, alegere cu revenire și aranjare a tuturor elementelor.

  • O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi
  • Alegere simultană de k elemente: Cnk = n!k!(n − k)!
  • Alegere cu revenire a două elemente: n·n = n2 perechi ordonate
  • Aranjarea tuturor celor n elemente: n! permutări
  • Cnk = Cnn−k și Cn0 + Cn1 + … + Cnn = 2n
  • „Simultan” → combinări; „cu revenire” → produs cartezian; „se formează un număr” → permutări.
  • La condiții de tip «cel mult k elemente», adună combinările de la 0 la k.
  • Verifică dacă mulțimea vidă intră sau nu în spațiul de cazuri.

Complement și paritate

Când numărarea directă este lungă, numără cazurile nefavorabile. Această tehnică apare aproape mereu la cerințele de tip «cel puțin una dintre cifre».

  • P(E) = 1 − P(non-E)
  • Cazuri favorabile = total − cazuri nefavorabile
  • Produsul a·b este impar ⇔ ambii factori sunt impari
  • Suma a + b este pară ⇔ a și b au aceeași paritate
  • «Cel puțin una» se rezolvă cel mai rapid prin complement.
  • «Exact una» se rezolvă pe cazuri disjuncte, nu prin complement.
  • La cifre distincte, spațiul se restrânge de la 90 la 9·9 = 81.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · submulțimi cu exact k elemente

Se alege o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5}. Calculați probabilitatea ca ea să aibă exact două elemente.

  1. Pasul 1 — scriem Ω: o mulțime cu n elemente are 2n submulțimi, deci |Ω| = 25 = 32.
  2. Pasul 2 — traducem condiția: ne interesează submulțimile cu exact 2 elemente, iar ordinea nu contează.
  3. Pasul 3 — aplicăm formula combinărilor: C52 = 5!2!·3! = 5·42.
  4. Pasul 4 — cazuri favorabile: C52 = 10.
  5. Pasul 5 — formăm raportul: P = 1032.
  6. Pasul 6 — simplificăm și verificăm: P = 516, valoare cuprinsă între 0 și 1.

Algoritmul universal în 6 pași

  • Scrie Ω: precizează exact mulțimea din care se alege.
  • Numără totalul: folosește b − a + 1 sau regula produsului.
  • Tradu condiția: divizibilitate, rest, inegalitate sau proprietate a cifrelor.
  • Numără favorabilele: enumerare, șir cu pas constant sau complement.
  • Formează raportul P = favorabileposibile și simplifică.
  • Verifică: 0 ≤ P ≤ 1 și nu ai numărat de două ori cazurile comune.

Exerciții rezolvate din lecție (36)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 9.
    2. Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12; dintre ei se află în A numerele 1, 2, 3, 4 și 6.
    3. Avem 5 cazuri favorabile.
    4. P = 59, valoare cuprinsă între 0 și 1.

    Răspuns: 59

  2. Exercițiul 2

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 99 − 10 + 1 = 90 de cazuri posibile.
    2. Multiplii lui 15 de două cifre sunt 15, 30, 45, 60, 75 și 90: 6 cazuri favorabile.
    3. P = 690.
    4. Simplificăm prin 6: P = 115.

    Răspuns: 115

  3. Exercițiul 3

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea are 20 − 0 + 1 = 21 de elemente.
    2. Numerele pare sunt 0, 2, 4, …, 20; sunt 11, deoarece includem și 0.
    3. P = 1121.
    4. Atenție: numărul 0 este par și nu trebuie omis.

    Răspuns: 1121

  4. Exercițiul 4

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărul 0 este natural și se scrie cu o cifră. Cazuri posibile: 10 numere, de la 0 la 9.
    2. Numerele mai mari decât 5 sunt 6, 7, 8 și 9: 4 cazuri favorabile.
    3. Valoarea 5 nu se include, pentru că cerința este strictă.
    4. P = 410 = 25. Reține: avem 10 numere naturale de o cifră, 90 de două cifre și 900 de trei cifre.

    Răspuns: 25

  5. Exercițiul 5

    Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 5.
    2. Numerele pare din A sunt 2, 8 și 14: 3 cazuri favorabile.
    3. P = 35.

    Răspuns: 35

  6. Exercițiul 6

    Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 30.
    2. Pătratele perfecte până la 30 sunt 1, 4, 9, 16 și 25, adică 12, 22, 32, 42 și 52.
    3. Avem 5 cazuri favorabile, deoarece 62 = 36 > 30.
    4. P = 530 = 16.

    Răspuns: 16

  7. Exercițiul 7

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 90 de numere de două cifre.
    2. Numerele cu cifra unităților 0 sunt 10, 20, …, 90: 9 cazuri favorabile.
    3. P = 990 = 110.

    Răspuns: 110

  8. Exercițiul 8

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 10 numere.
    2. Rezolvăm condiția: 2n + 1 < 12 ⇔ 2n < 11 ⇔ n < 112 = 5,5.
    3. Valorile naturale favorabile sunt 0, 1, 2, 3, 4 și 5: 6 cazuri.
    4. P = 610 = 35.

    Răspuns: 35

  9. Exercițiul 9

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 20.
    2. Numerele cu restul 2 la împărțirea cu 4 formează șirul 2, 6, 10, 14, 18, cu pasul 4.
    3. Avem 5 cazuri favorabile.
    4. P = 520 = 14.

    Răspuns: 14

  10. Exercițiul 10

    Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.

    Vezi rezolvarea
    1. Cuvântul MATEMATICA are 10 poziții, considerate cazuri egal posibile.
    2. Litera A apare pe pozițiile 2, 6 și 10, deci de 3 ori.
    3. P = 310.

    Răspuns: 310

  11. Exercițiul 11

    Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.

    Vezi rezolvarea
    1. Rezultatele posibile sunt 1, 2, 3, 4, 5 și 6.
    2. Numerele prime dintre ele sunt 2, 3 și 5; numărul 1 nu este prim.
    3. P = 36 = 12.

    Răspuns: 12

  12. Exercițiul 12

    Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x2 ≤ 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: |A| = 7.
    2. Condiția x2 ≤ 4 este echivalentă cu −2 ≤ x ≤ 2.
    3. Valorile favorabile din A sunt −2, −1, 0, 1 și 2: 5 cazuri.
    4. P = 57.

    Răspuns: 57

  13. Exercițiul 13

    Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4}. Calculați probabilitatea ca submulțimea să aibă exact două elemente.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea A are 24 = 16 submulțimi.
    2. Submulțimile cu exact două elemente sunt C42 = 4·32 = 6.
    3. P = 616 = 38.

    Răspuns: 38

  14. Exercițiul 14

    Se alege o submulțime a unei mulțimi A cu 5 elemente. Calculați probabilitatea ca submulțimea să aibă cel mult un element.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea are 25 = 32 de submulțimi.
    2. „Cel mult un element” înseamnă 0 sau 1 element.
    3. Cazuri favorabile: C50 + C51 = 1 + 5 = 6.
    4. P = 632 = 316.

    Răspuns: 316

  15. Exercițiul 15

    Se alege o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă cel mult două elemente.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea A are 26 = 64 de submulțimi.
    2. „Cel mult două elemente” înseamnă 0, 1 sau 2 elemente.
    3. Cazuri favorabile: C60 + C61 + C62 = 1 + 6 + 15 = 22.
    4. P = 2264 = 1132.

    Răspuns: 1132

  16. Exercițiul 16

    Din A = {1, 2, 3, 4} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca a + b să fie par.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegerea cu revenire dă perechi ordonate: cazuri posibile 42 = 16.
    2. Suma este pară dacă a și b au aceeași paritate.
    3. Ambele impare: 2·2 = 4 perechi; ambele pare: 2·2 = 4 perechi.
    4. Cazuri favorabile: 4 + 4 = 8, deci P = 816 = 12.

    Răspuns: 12

  17. Exercițiul 17

    Din A = {0, 1, 2, 3, 4} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca ab = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 52 = 25 de perechi ordonate.
    2. Produsul este 0 dacă a = 0 sau b = 0.
    3. Pentru a = 0 avem 5 perechi, pentru b = 0 avem 5 perechi, iar perechea (0, 0) a fost numărată de două ori.
    4. Cazuri favorabile: 5 + 5 − 1 = 9, deci P = 925.

    Răspuns: 925

  18. Exercițiul 18

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca suma lor să fie impară.

    Vezi rezolvarea
    1. Alegerea simultană nu ține cont de ordine: cazuri posibile C62 = 15.
    2. Suma este impară dacă un număr este impar și celălalt par.
    3. Numerele impare sunt 1, 3, 5 și cele pare 2, 4, 6, deci 3·3 = 9 perechi favorabile.
    4. P = 915 = 35.

    Răspuns: 35

  19. Exercițiul 19

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca ambele să fie prime.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: C72 = 7·62 = 21.
    2. Numerele prime din A sunt 2, 3, 5 și 7; numărul 1 nu este prim.
    3. Cazuri favorabile: C42 = 4·32 = 6.
    4. P = 621 = 27.

    Răspuns: 27

  20. Exercițiul 20

    Se alege un număr natural de două cifre cu cifre distincte. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Spațiul este restrâns: cifra zecilor are 9 variante, iar cifra unităților 9 variante diferite de cifra zecilor, deci 9·9 = 81 de cazuri posibile.
    2. Un număr divizibil cu 5 are cifra unităților 0 sau 5.
    3. Cu cifra unităților 0: 9 numere; cu cifra unităților 5: 8 numere, deoarece excludem 55.
    4. Cazuri favorabile: 9 + 8 = 17, deci P = 1781.

    Răspuns: 1781

  21. Exercițiul 21

    Se formează la întâmplare un număr folosind o singură dată fiecare dintre cifrele 1, 2 și 3. Calculați probabilitatea ca numărul să fie par.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărul de numere care se pot forma este 3! = 6 (permutările celor trei cifre).
    2. Numărul este par dacă ultima cifră este 2.
    3. Fixând cifra 2 pe ultima poziție, primele două cifre se pot aranja în 2! = 2 moduri.
    4. P = 26 = 13.

    Răspuns: 13

  22. Exercițiul 22

    Exercițiul 58 semi-ghidat · Se alege o submulțime cu trei elemente a mulțimii A = {1, 2, …, 8}. Dacă elementul 1 este fixat, în câte moduri alegem celelalte două elemente?

    Vezi rezolvarea
    1. După fixarea elementului 1, mai trebuie alese 2 elemente dintre cele 7 rămase.
    2. Ordinea nu contează, deci folosim combinări.
    3. C72 = 7·62 = 21 de moduri.

    Răspuns: C72 = 21

  23. Exercițiul 23

    Acum scrie probabilitatea cerută la exercițiul 58, simplificată.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: C83 = 8·7·63·2·1 = 56.
    2. Cazuri favorabile: C72 = 21.
    3. P = 2156.
    4. Simplificăm prin 7: P = 38.

    Răspuns: 38

  24. Exercițiul 24

    Exercițiul 59 semi-ghidat · Din A = {1, 2, 3, 4, 5} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Câte perechi ordonate cu a < b există?

    Vezi rezolvarea
    1. Perechile ordonate se împart în trei categorii: a < b, a > b și a = b.
    2. Există 5 perechi cu a = b, deci rămân 25 − 5 = 20 de perechi cu valori distincte.
    3. Prin simetrie, jumătate au a < b: 20 : 2 = 10.
    4. Echivalent, fiecare submulțime de două valori distincte dă exact o ordine crescătoare: C52 = 10.

    Răspuns: C52 = 10

  25. Exercițiul 25

    Acum scrie probabilitatea cerută la exercițiul 59, simplificată.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 52 = 25 de perechi ordonate.
    2. Cazuri favorabile: 10.
    3. P = 1025 = 25.

    Răspuns: 25

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 60 ghidat · Fie A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pasul 1: câte submulțimi are A?

    Vezi rezolvarea
    1. Formula numărului de submulțimi este 2n, unde n este numărul de elemente.
    2. Aici n = 6, deci A are 26 = 64 de submulțimi.
    3. În acest total este inclusă și mulțimea vidă.

    Răspuns: 26 = 64

  27. Exercițiul 27

    Pasul 2: enunțul cere o submulțime nevidă. Câte cazuri posibile avem?

    Vezi rezolvarea
    1. Spațiul de cazuri se restrânge la submulțimile nevide.
    2. Scădem mulțimea vidă: 64 − 1 = 63.
    3. Așadar |Ω| = 63 de cazuri posibile.

    Răspuns: 63

  28. Exercițiul 28

    Pasul 3: care submulțimi nevide au un număr par de elemente?

    Vezi rezolvarea
    1. Un număr par de elemente înseamnă 0, 2, 4 sau 6.
    2. Mulțimea vidă are 0 elemente, număr par, dar este exclusă prin condiția „nevidă”.
    3. Rămân submulțimile cu 2, 4 sau 6 elemente.

    Răspuns: Cele cu 2, 4 sau 6 elemente

  29. Exercițiul 29

    Pasul 4: cât este C62 + C64 + C66?

    Vezi rezolvarea
    1. C62 = 6·52 = 15.
    2. C64 = C62 = 15, prin formula combinărilor complementare.
    3. C66 = 1.
    4. Suma este 15 + 15 + 1 = 31 de cazuri favorabile.

    Răspuns: 31

  30. Exercițiul 30

    Pasul 5: scrie probabilitatea finală.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 63 de submulțimi nevide; cazuri favorabile: 31.
    2. P = 3163.
    3. Fracția nu se simplifică, deoarece 63 = 32·7, iar 31 este prim.
    4. Verificare: 3163 ≈ 0,49, valoare cuprinsă între 0 și 1.

    Răspuns: 3163

  31. Exercițiul 31

    Află termenul independent de x în dezvoltarea (x+1x)6, pentru x≠0.

    Vezi rezolvarea
    1. Tk+1=C6k·x6−k·x−k. Formula termenului general este Cnkan−kbk; aici a=x și b=1x.
    2. 6−2k=0, deci k=3. Adunăm exponenții: (6−k)+(−k)=6−2k. Termenul constant conține x0.
    3. C63=6·5·43·2·1=20. Termenul independent este 20·x0=20.

    Răspuns: C63=6·5·43·2·1=20

  32. Exercițiul 32

    Alegem la întâmplare un număr natural de o cifră. Care este probabilitatea ca n2<20?

    Vezi rezolvarea
    1. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}: 10 cazuri. 0 este natural și se scrie cu o cifră. Nu îl omitem.
    2. 0,1,2,3,4: 5 cazuri. 42=16<20, dar 52=25>20. Și 02<20.
    3. P=510=12. Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile, presupuse echiprobabile.

    Răspuns: P=510=12

  33. Exercițiul 33

    Se alege o submulțime cu trei elemente a mulțimii A = {1, 2, …, 8}. Calculați probabilitatea ca aceasta să conțină numărul 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: C83 = 8·7·66 = 56.
    2. Dacă elementul 1 este fixat în submulțime, mai alegem 2 elemente dintre cele 7 rămase.
    3. Cazuri favorabile: C72 = 7·62 = 21.
    4. P = 2156 = 38.

    Răspuns: 38

  34. Exercițiul 34

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca a < b.

    Vezi rezolvarea
    1. Cazuri posibile: 52 = 25 de perechi ordonate.
    2. Perechile se împart în trei categorii: a < b, a > b și a = b.
    3. Există 5 perechi cu a = b, iar restul, 20, se împart egal între a < b și a > b.
    4. Altfel spus, pentru fiecare pereche de valori distincte există exact o ordine cu a < b: C52 = 10.
    5. P = 1025 = 25.

    Răspuns: 25

  35. Exercițiul 35

    Se alege la întâmplare o submulțime nevidă a mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă un număr par de elemente.

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea A are 26 = 64 de submulțimi, deci 64 − 1 = 63 de submulțimi nevide.
    2. Submulțimile nevide cu număr par de elemente au 2, 4 sau 6 elemente.
    3. Cazuri favorabile: C62 + C64 + C66 = 15 + 15 + 1 = 31.
    4. Mulțimea vidă are 0 elemente, număr par, dar este exclusă prin condiția „nevidă”.
    5. P = 3163.

    Răspuns: 3163

  36. Exercițiul 36

    Află coeficientul lui x3 din dezvoltarea (x+3)5.

    Vezi rezolvarea
    1. Tk+1=C5k·x5−k·3k. Folosim Cnk·an−k·bk cu a=x, b=3 și n=5.
    2. 5−k=3, deci k=2. Puterea lui x din termenul general este 5−k.
    3. C52·32=10·9=90. C52=5·42=10, iar 32=9. Nu uităm puterea lui 3.

    Răspuns: C52·32=10·9=90

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (24)

  1. 1. Mulțime dată

    Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.

    Vezi răspunsul

    59: divizorii lui 12 din A sunt 1, 2, 3, 4, 6.

  2. 2. Multipli

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.

    Vezi răspunsul

    690 = 115: 15, 30, 45, 60, 75, 90.

  3. 3. Interval

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.

    Vezi răspunsul

    1121: numerele pare de la 0 la 20 sunt 11, din 21.

  4. 4. Inegalitate

    Se alege un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră {0, 1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.

    Vezi răspunsul

    410 = 25: favorabile sunt 6, 7, 8, 9; posibile sunt cele 10 numere de la 0 la 9.

  5. 5. Mulțime dată

    Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi răspunsul

    35: 2, 8, 14.

  6. 6. Pătrate perfecte

    Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.

    Vezi răspunsul

    530 = 16: 1, 4, 9, 16, 25.

  7. 7. Cifre

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 10, 20, …, 90.

  8. 8. Inegalitate

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.

    Vezi răspunsul

    610 = 35: 2n + 1 < 12 dă n ≤ 5, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

  9. 9. Rest

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.

    Vezi răspunsul

    520 = 14: 2, 6, 10, 14, 18.

  10. 10. Numărare directă

    Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.

    Vezi răspunsul

    310: litera A apare de 3 ori din 10.

  11. 11. Numere prime

    Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.

    Vezi răspunsul

    36 = 12: 2, 3, 5.

  12. 12. Mixt

    Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x2 ≤ 4.

    Vezi răspunsul

    57: x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.

  13. 49. Submulțimi

    Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4}. Calculați probabilitatea ca submulțimea să aibă exact două elemente.

    Vezi răspunsul

    616 = 38: sunt 24 = 16 submulțimi, dintre care C(4, 2) = 6 au două elemente.

  14. 50. Submulțimi

    Se alege o submulțime a unei mulțimi A cu 5 elemente. Calculați probabilitatea ca submulțimea să aibă cel mult un element.

    Vezi răspunsul

    632 = 316: mulțimea vidă și cele 5 submulțimi cu un element, din 25 = 32.

  15. 51. Submulțimi

    Se alege o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă cel mult două elemente.

    Vezi răspunsul

    2264 = 1132: 1 + 6 + 15 = 22 de submulțimi cu cel mult două elemente, din 64.

  16. 52. Perechi

    Din A = {1, 2, 3, 4} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca a + b să fie par.

    Vezi răspunsul

    816 = 12: a + b este par când a și b au aceeași paritate (4 + 4 perechi).

  17. 53. Perechi

    Din A = {0, 1, 2, 3, 4} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca ab = 0.

    Vezi răspunsul

    925: perechile în care a = 0 sau b = 0 sunt 5 + 5 − 1 = 9.

  18. 54. Combinări

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca suma lor să fie impară.

    Vezi răspunsul

    915 = 35: suma este impară pentru un număr par și unul impar, 3 × 3 = 9 perechi din C(6, 2) = 15.

  19. 55. Combinări

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca ambele să fie prime.

    Vezi răspunsul

    621 = 27: numerele prime din A sunt 2, 3, 5, 7, deci C(4, 2) = 6 perechi din C(7, 2) = 21.

  20. 56. Cifre distincte

    Se alege un număr natural de două cifre cu cifre distincte. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi răspunsul

    1781: sunt 81 de numere cu cifre distincte; divizibile cu 5 sunt 9 terminate în 0 și 8 terminate în 5 (fără 55).

  21. 57. Permutări

    Se formează la întâmplare un număr folosind o singură dată fiecare dintre cifrele 1, 2 și 3. Calculați probabilitatea ca numărul să fie par.

    Vezi răspunsul

    26 = 13: dintre cele 6 numere, doar 132 și 312 sunt pare.

  22. 58. Combinări

    Se alege o submulțime cu trei elemente a mulțimii A = {1, 2, …, 8}. Calculați probabilitatea ca aceasta să conțină numărul 1.

    Vezi răspunsul

    2156 = 38: submulțimile care conțin 1 sunt C(7, 2) = 21, din C(8, 3) = 56.

  23. 59. Perechi

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca a < b.

    Vezi răspunsul

    1025 = 25

  24. 60. Mixt

    Se alege la întâmplare o submulțime nevidă a mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă un număr par de elemente.

    Vezi răspunsul

    3163: sunt 63 de submulțimi nevide, iar cu număr par de elemente C(6, 2) + C(6, 4) + C(6, 6) = 15 + 15 + 1 = 31.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.