M1 · Mate-Info⏱ 3 sesiuni
M1·P

Teorie înainte de exerciții

Probabilități, submulțimi și combinări · nivel M1

Lecția M1 combină schema |E|/|Ω| cu numărarea combinatorică: submulțimi, combinări, perechi ordonate și permutări.

Citește cu atenție dacă alegerea este simultană sau cu revenire: de aici vine diferența dintre combinări și produs cartezian.
1

Schema de rezolvare

La exercițiul 4 se alege un element la întâmplare dintr-o mulțime finită, iar toate rezultatele sunt considerate egal probabile. Rezolvarea are mereu aceiași trei pași: numărăm cazurile posibile, numărăm cazurile favorabile, formăm și simplificăm raportul.

P(E) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile = |E|/|Ω|
Mulțimea {a, a + 1, …, b} are b − a + 1 elemente
Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, deci 90
Control final: 0 ≤ P(E) ≤ 1
  • Scrie exact mulțimea din care se alege înainte de orice calcul.
  • Numără totalul o singură dată, fără să omiți numărul 0 dacă apare în mulțime.
  • Simplifică fracția la final și verifică dacă rezultatul este între 0 și 1.
2

Submulțimi, perechi și permutări

La nivel M1 exercițiul 4 folosește frecvent numărarea combinatorică. Distinge clar între alegere simultană, alegere cu revenire și aranjare a tuturor elementelor.

O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi
Alegere simultană de k elemente: Cnk = n!k!(n − k)!
Alegere cu revenire a două elemente: n·n = n2 perechi ordonate
Aranjarea tuturor celor n elemente: n! permutări
Cnk = Cnn−k și Cn0 + Cn1 + … + Cnn = 2n
  • „Simultan” → combinări; „cu revenire” → produs cartezian; „se formează un număr” → permutări.
  • La condiții de tip «cel mult k elemente», adună combinările de la 0 la k.
  • Verifică dacă mulțimea vidă intră sau nu în spațiul de cazuri.
3

Complement și paritate

Când numărarea directă este lungă, numără cazurile nefavorabile. Această tehnică apare aproape mereu la cerințele de tip «cel puțin una dintre cifre».

P(E) = 1 − P(non-E)
Cazuri favorabile = total − cazuri nefavorabile
Produsul a·b este impar ⇔ ambii factori sunt impari
Suma a + b este pară ⇔ a și b au aceeași paritate
  • «Cel puțin una» se rezolvă cel mai rapid prin complement.
  • «Exact una» se rezolvă pe cazuri disjuncte, nu prin complement.
  • La cifre distincte, spațiul se restrânge de la 90 la 9·9 = 81.
4

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · submulțimi cu exact k elemente

Se alege o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5}. Calculați probabilitatea ca ea să aibă exact două elemente.

  1. 1.Pasul 1 — scriem Ω: o mulțime cu n elemente are 2n submulțimi, deci |Ω| = 25 = 32.
  2. 2.Pasul 2 — traducem condiția: ne interesează submulțimile cu exact 2 elemente, iar ordinea nu contează.
  3. 3.Pasul 3 — aplicăm formula combinărilor: C52 = 5!2!·3! = 5·42.
  4. 4.Pasul 4 — cazuri favorabile: C52 = 10.
  5. 5.Pasul 5 — formăm raportul: P = 1032.
  6. 6.Pasul 6 — simplificăm și verificăm: P = 516, valoare cuprinsă între 0 și 1.
5

Algoritmul universal în 6 pași

  • Scrie Ω: precizează exact mulțimea din care se alege.
  • Numără totalul: folosește b − a + 1 sau regula produsului.
  • Tradu condiția: divizibilitate, rest, inegalitate sau proprietate a cifrelor.
  • Numără favorabilele: enumerare, șir cu pas constant sau complement.
  • Formează raportul P = favorabileposibile și simplifică.
  • Verifică: 0 ≤ P ≤ 1 și nu ai numărat de două ori cazurile comune.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Mulțime datăM1 · Mate-Info

    Din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizor al lui 12.

    Vezi răspunsul

    59: divizorii lui 12 din A sunt 1, 2, 3, 4, 6.

  2. Ex. 2MultipliM1 · Mate-Info

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie multiplu de 15.

    Vezi răspunsul

    690 = 115: 15, 30, 45, 60, 75, 90.

  3. Ex. 3IntervalM1 · Mate-Info

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 20} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie par.

    Vezi răspunsul

    1121: numerele pare de la 0 la 20 sunt 11, din 21.

  4. Ex. 4InegalitateM1 · Mate-Info

    Se alege un număr natural de o cifră din mulțimea {1, 2, …, 9}. Calculați probabilitatea ca numărul să fie mai mare decât 5.

    Vezi răspunsul

    49: 6, 7, 8, 9.

  5. Ex. 5Mulțime datăM1 · Mate-Info

    Din mulțimea A = {2, 5, 8, 11, 14} se alege un număr. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi răspunsul

    35: 2, 8, 14.

  6. Ex. 6Pătrate perfecteM1 · Mate-Info

    Se alege un număr din mulțimea {1, 2, …, 30}. Calculați probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect.

    Vezi răspunsul

    530 = 16: 1, 4, 9, 16, 25.

  7. Ex. 7CifreM1 · Mate-Info

    Se alege un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca cifra unităților să fie 0.

    Vezi răspunsul

    990 = 110: 10, 20, …, 90.

  8. Ex. 8InegalitateM1 · Mate-Info

    Din mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9} se alege n. Calculați probabilitatea ca 2n + 1 < 12.

    Vezi răspunsul

    610 = 35: 2n + 1 < 12 dă n ≤ 5, adică n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

  9. Ex. 9RestM1 · Mate-Info

    Din mulțimea A = {1, 2, …, 20} se alege n. Calculați probabilitatea ca restul împărțirii lui n la 4 să fie 2.

    Vezi răspunsul

    520 = 14: 2, 6, 10, 14, 18.

  10. Ex. 10Numărare directăM1 · Mate-Info

    Se alege la întâmplare una dintre cele 10 poziții ale cuvântului MATEMATICA. Calculați probabilitatea ca litera aleasă să fie A.

    Vezi răspunsul

    310: litera A apare de 3 ori din 10.

  11. Ex. 11Numere primeM1 · Mate-Info

    Se aruncă un zar obișnuit. Calculați probabilitatea ca numărul obținut să fie prim.

    Vezi răspunsul

    36 = 12: 2, 3, 5.

  12. Ex. 12MixtM1 · Mate-Info

    Din mulțimea A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} se alege x. Calculați probabilitatea ca x2 ≤ 4.

    Vezi răspunsul

    57: x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}.

  13. Ex. 49SubmulțimiM1 · Mate-Info

    Se alege la întâmplare o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4}. Calculați probabilitatea ca submulțimea să aibă exact două elemente.

    Vezi răspunsul

    616 = 38: sunt 24 = 16 submulțimi, dintre care C(4, 2) = 6 au două elemente.

  14. Ex. 50SubmulțimiM1 · Mate-Info

    Se alege o submulțime a unei mulțimi A cu 5 elemente. Calculați probabilitatea ca submulțimea să aibă cel mult un element.

    Vezi răspunsul

    632 = 316: mulțimea vidă și cele 5 submulțimi cu un element, din 25 = 32.

  15. Ex. 51SubmulțimiM1 · Mate-Info

    Se alege o submulțime a mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă cel mult două elemente.

    Vezi răspunsul

    2264 = 1132: 1 + 6 + 15 = 22 de submulțimi cu cel mult două elemente, din 64.

  16. Ex. 52PerechiM1 · Mate-Info

    Din A = {1, 2, 3, 4} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca a + b să fie par.

    Vezi răspunsul

    816 = 12: a + b este par când a și b au aceeași paritate (4 + 4 perechi).

  17. Ex. 53PerechiM1 · Mate-Info

    Din A = {0, 1, 2, 3, 4} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca ab = 0.

    Vezi răspunsul

    925: perechile în care a = 0 sau b = 0 sunt 5 + 5 − 1 = 9.

  18. Ex. 54CombinăriM1 · Mate-Info

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca suma lor să fie impară.

    Vezi răspunsul

    915 = 35: suma este impară pentru un număr par și unul impar, 3 × 3 = 9 perechi din C(6, 2) = 15.

  19. Ex. 55CombinăriM1 · Mate-Info

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} se aleg simultan două numere distincte. Calculați probabilitatea ca ambele să fie prime.

    Vezi răspunsul

    621 = 27: numerele prime din A sunt 2, 3, 5, 7, deci C(4, 2) = 6 perechi din C(7, 2) = 21.

  20. Ex. 56Cifre distincteM1 · Mate-Info

    Se alege un număr natural de două cifre cu cifre distincte. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5.

    Vezi răspunsul

    1781: sunt 81 de numere cu cifre distincte; divizibile cu 5 sunt 9 terminate în 0 și 8 terminate în 5 (fără 55).

  21. Ex. 57PermutăriM1 · Mate-Info

    Se formează la întâmplare un număr folosind o singură dată fiecare dintre cifrele 1, 2 și 3. Calculați probabilitatea ca numărul să fie par.

    Vezi răspunsul

    26 = 13: dintre cele 6 numere, doar 132 și 312 sunt pare.

  22. Ex. 58CombinăriM1 · Mate-Info

    Se alege o submulțime cu trei elemente a mulțimii A = {1, 2, …, 8}. Calculați probabilitatea ca aceasta să conțină numărul 1.

    Vezi răspunsul

    2156 = 38: submulțimile care conțin 1 sunt C(7, 2) = 21, din C(8, 3) = 56.

  23. Ex. 59PerechiM1 · Mate-Info

    Din A = {1, 2, 3, 4, 5} se aleg, cu revenire, numerele a și b. Calculați probabilitatea ca a < b.

    Vezi răspunsul

    1025 = 25

  24. Ex. 60MixtM1 · Mate-Info

    Se alege la întâmplare o submulțime nevidă a mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calculați probabilitatea ca aceasta să aibă un număr par de elemente.

    Vezi răspunsul

    3163: sunt 63 de submulțimi nevide, iar cu număr par de elemente C(6, 2) + C(6, 4) + C(6, 6) = 15 + 15 + 1 = 31.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.