M4 · Pedagogic⏱ 2 sesiuni

M4·x

Încărcăm partea curentă…

Ecuații directe și verificări · nivel M4

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Necunoscuta din exponent

În 2^x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

De ținut minte

a^u = a^v ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1

Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, a^x = b se rezolvă prin x = log_ab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3^x+1 = 81.

1Scriem 81 = 3⁴, deci 3^x+1 = 3⁴.
2Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
3Verificăm: 3³⁺¹ = 3⁴ = 81. Soluția este 3.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Ecuații directe și verificări · nivel M4: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Necunoscuta din exponent

a^u = a^v ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1

Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, a^x = b se rezolvă prin x = log_ab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3^x+1 = 81.

Scriem 81 = 3⁴, deci 3^x+1 = 3⁴.
Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
Verificăm: 3³⁺¹ = 3⁴ = 81. Soluția este 3.

Scoatem puterea comună în fața parantezei

Când se adună puteri, nu adunăm exponenții. Rescriem termenii pentru a vedea factorul comun, exact ca în 3a + a = 4a. Regulile cu adunarea exponenților se aplică unui produs de puteri cu aceeași bază.

a^x+1 = a · a^x; a^x + a^x+1 = (1 + a)a^x

3^x + 3^x nu este 3^2x; este 2 · 3^x.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3^x + 3^x+1 = 36.

Înlocuim 3^x+1 cu 3 · 3^x și obținem 4 · 3^x = 36.
Împărțim la 4: 3^x = 9 = 3², deci x = 2.
Verificăm: 9 + 27 = 36.

O literă nouă simplifică ecuația

Dacă apar a^x și a^2x, observăm că a^2x este pătratul lui a^x. Notăm t = a^x și rezolvăm o ecuație de gradul al doilea în t. Deoarece o putere cu baza pozitivă este pozitivă, păstrăm numai t > 0; apoi revenim la x.

t = a^x > 0 ⇒ a^2x = t²

Valorile lui t nu sunt încă soluțiile x ale problemei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 9^x − 2 · 3^x − 3 = 0.

Notăm t = 3^x > 0: t² − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) = 0.
Obținem t = 3 sau t = −1; eliminăm −1, deoarece t > 0.
Revenim: 3^x = 3, deci x = 1; verificăm 9 − 6 − 3 = 0.

Radicalul și condițiile lui

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

√A = B ⇔ A = B² și B ≥ 0

x² = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x².
Factorizăm x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.

Logaritmul este o întrebare despre exponent

log_aB întreabă la ce putere ridicăm baza a pentru a obține B. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, iar argumentul B strict pozitiv. Condiția se scrie înainte de transformarea ecuației.

log_aB = c ⇔ B = a^c, cu a > 0, a ≠ 1, B > 0

Argumentul unui logaritm nu poate fi zero; condiția este strictă.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log₂(x − 1) = 3.

Condiția este x − 1 > 0, adică x > 1.
Din definiție: x − 1 = 2³ = 8, deci x = 9.
9 > 1 și log₂8 = 3, deci soluția 9 este admisă.

Unim logaritmii, apoi rezolvăm

Logaritmii cu aceeași bază se adună transformând argumentele în produs. Domeniul se stabilește pentru fiecare argument separat: un produs pozitiv nu garantează că ambii factori sunt pozitivi. După rezolvarea ecuației algebrice eliminăm candidații interziși. Dacă doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali, egalăm argumentele lor pozitive.

log_aA + log_aB = log_a(AB), pentru A > 0, B > 0

Nu înlocui suma logaritmilor cu logaritmul sumei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log₂x + log₂(x − 3) = 2.

Condițiile sunt x > 0 și x − 3 > 0, deci x > 3.
log₂[x(x − 3)] = 2 ⇒ x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) = 0.
Candidații sunt 4 și −1; rămâne 4. Verificăm log₂4 + log₂1 = 2 + 0 = 2.

Exerciții rezolvate din lecție (20)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Pentru 4^x + 2^x − 6 = 0, pasul 1: ce substituție folosim?
Vezi rezolvarea
1. Observăm că 4^x = (2^x)².
2. Notăm t = 2^x.
3. Fiind o putere cu bază pozitivă, t > 0.
Răspuns: t = 2^x, t > 0
Exercițiul 2
Pasul 2: ce valoare admisă a lui t rezultă din t² + t − 6 = 0?
Vezi rezolvarea
1. t² + t − 6 = (t − 2)(t + 3).
2. Candidații sunt t = 2 și t = −3.
3. Condiția t > 0 păstrează numai t = 2.
Răspuns: t = 2
Exercițiul 3
Pasul 3: dacă t = 2^x = 2, care este soluția ecuației inițiale?
Vezi rezolvarea
1. Avem 2^x = 2¹.
2. Egalăm exponenții.
3. Rezultă x = 1.
4. Răspuns final: S = {1}.
Răspuns: x = 1
Exercițiul 4
Rezolvați în ℝ ecuația 2^x+2 = 16.
Vezi rezolvarea
1. Scriem 16 = 2⁴.
2. x + 2 = 4.
3. Rezultă x = 2.
4. Răspuns final: S = {2}.
Răspuns: {2}
Exercițiul 5
Rezolvați în ℝ ecuația 3·3^x−1 = 27.
Vezi rezolvarea
1. 3·3^x−1 = 3¹·3^x−1 = 3^x.
2. Ecuația devine 3^x = 27 = 3³.
3. Rezultă x = 3.
4. Răspuns final: S = {3}.
Răspuns: {3}
Exercițiul 6
Rezolvați în ℝ ecuația 7^3x−2 = 49·7^x.
Vezi rezolvarea
1. Scriem 49 = 7², deci 49·7^x = 7^x+2.
2. Egalăm exponenții: 3x − 2 = x + 2.
3. 2x = 4, deci x = 2.
4. Răspuns final: S = {2}.
Răspuns: {2}
Exercițiul 7
Rezolvați în ℝ ecuația x + 3 − x = 1.
Vezi rezolvarea
1. Izolăm radicalul: x + 3 = x + 1, deci x ≥ −1.
2. Ridicăm la pătrat: x + 3 = (x + 1)².
3. Rezultă (x − 1)(x + 2) = 0.
4. Valoarea −2 nu respectă x ≥ −1; rămâne x = 1.
5. Răspuns final: S = {1}.
Răspuns: {1}
Exercițiul 8
Rezolvați în ℝ ecuația 2x + 3 = x + 1.
Vezi rezolvarea
1. Condițiile sunt 2x + 3 ≥ 0 și x + 1 ≥ 0, deci x ≥ −1.
2. Ridicăm la pătrat: 2x + 3 = x² + 2x + 1.
3. x² = 2, deci x = ±√2.
4. Numai √2 respectă x ≥ −1 și verifică ecuația.
5. Răspuns final: S = {√2}.
Răspuns: {√2}
Exercițiul 9
Rezolvați în ℝ ecuația x − 1 = 2.
Vezi rezolvarea
1. Condiția este x ≥ 1.
2. Ridicăm la pătrat: x − 1 = 4.
3. Rezultă x = 5, valoare admisă.
4. Răspuns final: S = {5}.
Răspuns: {5}
Exercițiul 10
Rezolvați în ℝ ecuația log₂(x + 3) = 3.
Vezi rezolvarea
1. Condiția este x > −3.
2. x + 3 = 2³ = 8.
3. Rezultă x = 5, valoare admisă.
4. Răspuns final: S = {5}.
Răspuns: {5}
Exercițiul 11
Rezolvați în ℝ ecuația log₃(x − 1) = log₃8.
Vezi rezolvarea
1. Condiția este x > 1.
2. Egalăm argumentele: x − 1 = 8.
3. Rezultă x = 9, care respectă domeniul.
4. Răspuns final: S = {9}.
Răspuns: {9}
Exercițiul 12
Rezolvați în ℝ ecuația log₁₀x + log₁₀100 = 3.
Vezi rezolvarea
1. Condiția este x > 0, iar log₁₀100 = 2.
2. Ecuația devine log₁₀x + 2 = 3.
3. log₁₀x = 1, deci x = 10.
4. Răspuns final: S = {10}.
Răspuns: {10}
Exercițiul 13
Rezolvați în ℝ ecuația log₂x = log₄16.
Vezi rezolvarea
1. Calculăm membrul drept: log₄16 = 2.
2. Ecuația devine log₂x = 2.
3. x = 2² = 4.
4. Răspuns final: S = {4}.
Răspuns: {4}
Exercițiul 14
Rezolvați în ℝ ecuația log₂(x²) = 4.
Vezi rezolvarea
1. Condiția este x² > 0, deci x ≠ 0.
2. x² = 2⁴ = 16.
3. Rezultă x = −4 sau x = 4; ambele valori sunt admise.
4. Răspuns final: S = {−4, 4}.
Răspuns: {−4, 4}
Exercițiul 15
Rezolvă 2^x−1 = 16. Scrie x.
Vezi rezolvarea
1. 16 = 2⁴.
2. x − 1 = 4.
3. x = 5; 2⁴ = 16.
Răspuns: 5
Exercițiul 16
Rezolvă 2^x + 2^x+1 = 48. Scrie x.
Vezi rezolvarea
1. 2^x + 2 · 2^x = 3 · 2^x.
2. 2^x = 483 = 16 = 2⁴.
3. x = 4; 16 + 32 = 48.
Răspuns: 4
Exercițiul 17
Rezolvă 5^x + 5^x = 50. Scrie x.
Vezi rezolvarea
1. 2 · 5^x = 50.
2. 5^x = 25 = 5².
3. x = 2; 25 + 25 = 50.
Răspuns: 2
Exercițiul 18
Rezolvă log₃(x + 2) = 3. Scrie x.
Vezi rezolvarea
1. Condiția este x > −2.
2. x + 2 = 27, deci x = 25.
3. log₃27 = 3 confirmă soluția.
Răspuns: 25
Exercițiul 19
Rezolvă x+2=x.
Vezi rezolvarea
1. x≥0. Radicalul cere x≥−2 și are valoare nenegativă; membrul drept impune x≥0. Împreună dau x≥0.
2. x²−x−2=0, adică (x−2)(x+1)=0. În condițiile stabilite, x+2=x². Mutăm termenii în același membru.
3. S={2}; valoarea −1 nu respectă x≥0. Pentru x=2, √4=2. Valoarea −1 obținută după ridicare la pătrat nu satisface ecuația inițială.
Răspuns: S={2}; valoarea −1 nu respectă x≥0
Exercițiul 20
Rezolvă 3^2x−1=27.
Vezi rezolvarea
1. 27=3³. Înmulțim trei factori egali cu 3: 3·3·3=27.
2. 2x−1=3. Funcția 3^t este injectivă: puteri egale cu aceeași bază au exponenți egali.
3. x=2. 2x=4, deci x=2. Verificăm 3⁴⁻¹=27.
Răspuns: x=2

Fișa integrală · profil Pedagogic (12)

13. Exponențială
Rezolvați în ℝ ecuația 2^x+2 = 16.
Vezi răspunsul
2^{x + 2} = 2⁴, deci x = 2.
14. Exponențială
Rezolvați în ℝ ecuația 3·3^x−1 = 27.
Vezi răspunsul
3 · 3^{x − 1} = 3^x = 27, deci x = 3.
15. Exponențială
Rezolvați în ℝ ecuația 7^3x−2 = 49·7^x.
Vezi răspunsul
7^{3x − 2} = 7^{x + 2}, deci 3x − 2 = x + 2 și x = 2.
16. Substituție
Rezolvați în ℝ ecuația 4^x + 2^x − 6 = 0.
Vezi răspunsul
Cu t = 2^x > 0: t² + t − 6 = 0, deci t = 2 (t = −3 nu convine). 2^x = 2, deci x = 1.
17. Radical
Rezolvați în ℝ ecuația x + 3 − x = 1.
Vezi răspunsul
x + 3 = x + 1, cu x ≥ −1: x + 3 = x² + 2x + 1, deci x² + x − 2 = 0. Rămâne x = 1 (x = −2 nu convine).
18. Radical
Rezolvați în ℝ ecuația 2x + 3 = x + 1.
Vezi răspunsul
2x + 3 = (x + 1)², deci x² = 2. Condiția x + 1 ≥ 0 lasă doar x = √2.
19. Radical
Rezolvați în ℝ ecuația x − 1 = 2.
Vezi răspunsul
x − 1 = 4, deci x = 5.
20. Logaritmică
Rezolvați în ℝ ecuația log₂(x + 3) = 3.
Vezi răspunsul
x + 3 = 8, deci x = 5.
21. Logaritmică
Rezolvați în ℝ ecuația log₃(x − 1) = log₃8.
Vezi răspunsul
x − 1 = 8, deci x = 9.
22. Logaritmică
Rezolvați în ℝ ecuația log₁₀x + log₁₀100 = 3.
Vezi răspunsul
lg x + 2 = 3, deci lg x = 1 și x = 10.
23. Logaritmică
Rezolvați în ℝ ecuația log₂x = log₄16.
Vezi răspunsul
log₄16 = 2, deci log₂x = 2 și x = 4.
24. Mixt
Rezolvați în ℝ ecuația log₂(x²) = 4.
Vezi răspunsul
x² = 16, deci x = 4 sau x = −4.