M3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni
M3·x

Teorie înainte de exerciții

Ecuații și factorizări · nivel M3

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

La substituția t = ax păstrăm condiția t > 0 și revenim obligatoriu la necunoscuta x.
1

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. 1.Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. 2.Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. 3.Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.
2

Scoatem puterea comună în fața parantezei

Când se adună puteri, nu adunăm exponenții. Rescriem termenii pentru a vedea factorul comun, exact ca în 3a + a = 4a. Regulile cu adunarea exponenților se aplică unui produs de puteri cu aceeași bază.

ax+1 = a · ax; ax + ax+1 = (1 + a)ax
  • 3x + 3x nu este 32x; este 2 · 3x.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x + 3x+1 = 36.

  1. 1.Înlocuim 3x+1 cu 3 · 3x și obținem 4 · 3x = 36.
  2. 2.Împărțim la 4: 3x = 9 = 32, deci x = 2.
  3. 3.Verificăm: 9 + 27 = 36.
3

O literă nouă simplifică ecuația

Dacă apar ax și a2x, observăm că a2x este pătratul lui ax. Notăm t = ax și rezolvăm o ecuație de gradul al doilea în t. Deoarece o putere cu baza pozitivă este pozitivă, păstrăm numai t > 0; apoi revenim la x.

t = ax > 0 ⇒ a2x = t2
  • Valorile lui t nu sunt încă soluțiile x ale problemei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 9x − 2 · 3x − 3 = 0.

  1. 1.Notăm t = 3x > 0: t2 − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) = 0.
  2. 2.Obținem t = 3 sau t = −1; eliminăm −1, deoarece t > 0.
  3. 3.Revenim: 3x = 3, deci x = 1; verificăm 9 − 6 − 3 = 0.
4

Radicalul și condițiile lui

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

√A = B ⇔ A = B2 și B ≥ 0
  • x2 = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

  1. 1.Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x2.
  2. 2.Factorizăm x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
  3. 3.Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.
5

Logaritmul este o întrebare despre exponent

logaB întreabă la ce putere ridicăm baza a pentru a obține B. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, iar argumentul B strict pozitiv. Condiția se scrie înainte de transformarea ecuației.

logaB = c ⇔ B = ac, cu a > 0, a ≠ 1, B > 0
  • Argumentul unui logaritm nu poate fi zero; condiția este strictă.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2(x − 1) = 3.

  1. 1.Condiția este x − 1 > 0, adică x > 1.
  2. 2.Din definiție: x − 1 = 23 = 8, deci x = 9.
  3. 3.9 > 1 și log28 = 3, deci soluția 9 este admisă.
6

Unim logaritmii, apoi rezolvăm

Logaritmii cu aceeași bază se adună transformând argumentele în produs. Domeniul se stabilește pentru fiecare argument separat: un produs pozitiv nu garantează că ambii factori sunt pozitivi. După rezolvarea ecuației algebrice eliminăm candidații interziși. Dacă doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali, egalăm argumentele lor pozitive.

logaA + logaB = loga(AB), pentru A > 0, B > 0
  • Nu înlocui suma logaritmilor cu logaritmul sumei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2x + log2(x − 3) = 2.

  1. 1.Condițiile sunt x > 0 și x − 3 > 0, deci x > 3.
  2. 2.log2[x(x − 3)] = 2 ⇒ x2 − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) = 0.
  3. 3.Candidații sunt 4 și −1; rămâne 4. Verificăm log24 + log21 = 2 + 0 = 2.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · profil Tehnologic · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 25ExponențialăM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația 5x−1 = 25.

    Vezi răspunsul

    x − 1 = 2, deci x = 3.

  2. Ex. 26ExponențialăM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația 9x = 3.

    Vezi răspunsul

    3^(2x) = 31, deci x = 12.

  3. Ex. 27ExponențialăM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x + 2x+1 = 24.

    Vezi răspunsul

    2x(1 + 2) = 24, deci 2x = 8 și x = 3.

  4. Ex. 28SubstituțieM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația 4x − 5·2x + 4 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 2x > 0: t2 − 5t + 4 = 0, deci t = 1 sau t = 4: x = 0 sau x = 2.

  5. Ex. 29RadicalM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația 3x + 1 = 4.

    Vezi răspunsul

    3x + 1 = 16, deci x = 5.

  6. Ex. 30RadicalM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 6 = x.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 și x + 6 = x2, deci x = 3 (x = −2 nu convine).

  7. Ex. 31RadicalM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 2 = 2x.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 și x + 2 = 4x2, deci 4x2 − x − 2 = 0: x = 1 + √338 (rădăcina negativă nu convine).

  8. Ex. 32LogaritmicăM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(x + 5) = 2.

    Vezi răspunsul

    x + 5 = 9, deci x = 4.

  9. Ex. 33LogaritmicăM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(25 − x) = log5(x + 5).

    Vezi răspunsul

    25 − x = x + 5, deci x = 10 (ambele argumente sunt 15 > 0).

  10. Ex. 34LogaritmicăM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(x2 + 9) = 2.

    Vezi răspunsul

    x2 + 9 = 25, deci x = 4 sau x = −4.

  11. Ex. 35LogaritmicăM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(x − 1) + log2(x + 1) = 3.

    Vezi răspunsul

    CE: x > 1. (x − 1)(x + 1) = 8, deci x2 = 9 și x = 3.

  12. Ex. 36MixtM3 · Tehnologic

    Rezolvați în ℝ ecuația log4x = 12.

    Vezi răspunsul

    x = 4^(12) = 2

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.