Încărcăm partea curentă…

Ecuații și factorizări · nivel M3

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

De ținut minte

au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. 1Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. 2Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. 3Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Ecuații și factorizări · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

  • au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.

Scoatem puterea comună în fața parantezei

Când se adună puteri, nu adunăm exponenții. Rescriem termenii pentru a vedea factorul comun, exact ca în 3a + a = 4a. Regulile cu adunarea exponenților se aplică unui produs de puteri cu aceeași bază.

  • ax+1 = a · ax; ax + ax+1 = (1 + a)ax
  • 3x + 3x nu este 32x; este 2 · 3x.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x + 3x+1 = 36.

  1. Înlocuim 3x+1 cu 3 · 3x și obținem 4 · 3x = 36.
  2. Împărțim la 4: 3x = 9 = 32, deci x = 2.
  3. Verificăm: 9 + 27 = 36.

O literă nouă simplifică ecuația

Dacă apar ax și a2x, observăm că a2x este pătratul lui ax. Notăm t = ax și rezolvăm o ecuație de gradul al doilea în t. Deoarece o putere cu baza pozitivă este pozitivă, păstrăm numai t > 0; apoi revenim la x.

  • t = ax > 0 ⇒ a2x = t2
  • Valorile lui t nu sunt încă soluțiile x ale problemei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 9x − 2 · 3x − 3 = 0.

  1. Notăm t = 3x > 0: t2 − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) = 0.
  2. Obținem t = 3 sau t = −1; eliminăm −1, deoarece t > 0.
  3. Revenim: 3x = 3, deci x = 1; verificăm 9 − 6 − 3 = 0.

Radicalul și condițiile lui

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

  • √A = B ⇔ A = B2 și B ≥ 0
  • x2 = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

  1. Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x2.
  2. Factorizăm x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
  3. Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.

Logaritmul este o întrebare despre exponent

logaB întreabă la ce putere ridicăm baza a pentru a obține B. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, iar argumentul B strict pozitiv. Condiția se scrie înainte de transformarea ecuației.

  • logaB = c ⇔ B = ac, cu a > 0, a ≠ 1, B > 0
  • Argumentul unui logaritm nu poate fi zero; condiția este strictă.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2(x − 1) = 3.

  1. Condiția este x − 1 > 0, adică x > 1.
  2. Din definiție: x − 1 = 23 = 8, deci x = 9.
  3. 9 > 1 și log28 = 3, deci soluția 9 este admisă.

Unim logaritmii, apoi rezolvăm

Logaritmii cu aceeași bază se adună transformând argumentele în produs. Domeniul se stabilește pentru fiecare argument separat: un produs pozitiv nu garantează că ambii factori sunt pozitivi. După rezolvarea ecuației algebrice eliminăm candidații interziși. Dacă doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali, egalăm argumentele lor pozitive.

  • logaA + logaB = loga(AB), pentru A > 0, B > 0
  • Nu înlocui suma logaritmilor cu logaritmul sumei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2x + log2(x − 3) = 2.

  1. Condițiile sunt x > 0 și x − 3 > 0, deci x > 3.
  2. log2[x(x − 3)] = 2 ⇒ x2 − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) = 0.
  3. Candidații sunt 4 și −1; rămâne 4. Verificăm log24 + log21 = 2 + 0 = 2.

Exerciții rezolvate din lecție (21)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru 4x − 5·2x + 4 = 0, pasul 1: cum transformăm ecuația?

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm t = 2x > 0.
    2. Atunci 4x = (2x)2 = t2.
    3. Ecuația devine t2 − 5t + 4 = 0.

    Răspuns: t2 − 5t + 4 = 0

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: care sunt valorile lui t?

    Vezi rezolvarea
    1. t2 − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4).
    2. Rezultă t = 1 sau t = 4.
    3. Ambele valori respectă t > 0.

    Răspuns: t ∈ {1, 4}

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: revenind la 2x = t, ce soluții obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. 2x = 1 = 20 dă x = 0.
    2. 2x = 4 = 22 dă x = 2.
    3. Răspuns final: S = {0, 2}.

    Răspuns: x ∈ {0, 2}

  4. Exercițiul 4

    Rezolvați în ℝ ecuația 5x−1 = 25.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 25 = 52.
    2. x − 1 = 2.
    3. Rezultă x = 3.
    4. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: {3}

  5. Exercițiul 5

    Rezolvați în ℝ ecuația 9x = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 9 = 32, deci 9x = 32x.
    2. 32x = 31, deci 2x = 1.
    3. Rezultă x = 12.
    4. Răspuns final: S = {12}.

    Răspuns: {12}

  6. Exercițiul 6

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x + 2x+1 = 24.

    Vezi rezolvarea
    1. Factorizăm 2x: 2x(1 + 2) = 24.
    2. 3·2x = 24, deci 2x = 8 = 23.
    3. Rezultă x = 3.
    4. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: {3}

  7. Exercițiul 7

    Rezolvați în ℝ ecuația 3x + 1 = 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este 3x + 1 ≥ 0.
    2. Ridicăm la pătrat: 3x + 1 = 16.
    3. 3x = 15, deci x = 5; verificarea este corectă.
    4. Răspuns final: S = {5}.

    Răspuns: {5}

  8. Exercițiul 8

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 6 = x.

    Vezi rezolvarea
    1. Membrul drept impune x ≥ 0.
    2. Ridicăm la pătrat: x + 6 = x2.
    3. x2 − x − 6 = 0, deci (x − 3)(x + 2) = 0.
    4. Păstrăm numai x = 3.
    5. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: {3}

  9. Exercițiul 9

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 2 = 2x.

    Vezi rezolvarea
    1. Membrul drept impune x ≥ 0.
    2. Ridicăm la pătrat: x + 2 = 4x2, adică 4x2 − x − 2 = 0.
    3. Candidații sunt 1 ± √338.
    4. Păstrăm numai valoarea nenegativă.
    5. Răspuns final: S = {1 + √338}.

    Răspuns: {1 + √338}

  10. Exercițiul 10

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(x + 5) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > −5.
    2. x + 5 = 32 = 9.
    3. Rezultă x = 4.
    4. Răspuns final: S = {4}.

    Răspuns: {4}

  11. Exercițiul 11

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(25 − x) = log5(x + 5).

    Vezi rezolvarea
    1. Condițiile dau −5 < x < 25.
    2. Egalăm argumentele: 25 − x = x + 5.
    3. 20 = 2x, deci x = 10, admis.
    4. Răspuns final: S = {10}.

    Răspuns: {10}

  12. Exercițiul 12

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(x2 + 9) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Argumentul este pozitiv pentru orice x.
    2. x2 + 9 = 25, deci x2 = 16.
    3. Rezultă x = ±4; ambele valori sunt admise.
    4. Răspuns final: S = {−4, 4}.

    Răspuns: {−4, 4}

  13. Exercițiul 13

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(x − 1) + log2(x + 1) = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Condițiile dau x > 1.
    2. log2[(x − 1)(x + 1)] = 3, deci x2 − 1 = 8.
    3. x2 = 9, deci x = ±3.
    4. Din domeniu rămâne x = 3.
    5. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: {3}

  14. Exercițiul 14

    Rezolvați în ℝ ecuația log4x = 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 0.
    2. Din definiție, x = 41ᐟ2 = √4.
    3. Rezultă x = 2.
    4. Răspuns final: S = {2}.

    Răspuns: {2}

  15. Exercițiul 15

    Rezolvă 2x−1 = 16. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. 16 = 24.
    2. x − 1 = 4.
    3. x = 5; 24 = 16.

    Răspuns: 5

  16. Exercițiul 16

    Rezolvă 2x + 2x+1 = 48. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 2 · 2x = 3 · 2x.
    2. 2x = 483 = 16 = 24.
    3. x = 4; 16 + 32 = 48.

    Răspuns: 4

  17. Exercițiul 17

    Rezolvă 5x + 5x = 50. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 · 5x = 50.
    2. 5x = 25 = 52.
    3. x = 2; 25 + 25 = 50.

    Răspuns: 2

  18. Exercițiul 18

    Rezolvă log3(x + 2) = 3. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > −2.
    2. x + 2 = 27, deci x = 25.
    3. log327 = 3 confirmă soluția.

    Răspuns: 25

  19. Exercițiul 19

    Rezolvă x+2=x.

    Vezi rezolvarea
    1. x≥0. Radicalul cere x≥−2 și are valoare nenegativă; membrul drept impune x≥0. Împreună dau x≥0.
    2. x2−x−2=0, adică (x−2)(x+1)=0. În condițiile stabilite, x+2=x2. Mutăm termenii în același membru.
    3. S={2}; valoarea −1 nu respectă x≥0. Pentru x=2, √4=2. Valoarea −1 obținută după ridicare la pătrat nu satisface ecuația inițială.

    Răspuns: S={2}; valoarea −1 nu respectă x≥0

  20. Exercițiul 20

    Rezolvă log2(x−1)+log2(x+1)=3.

    Vezi rezolvarea
    1. x>1. Ambii argumente trebuie să fie strict pozitivi: x−1>0 și x+1>0.
    2. (x−1)(x+1)=23=8. Suma logaritmilor aceleiași baze este logaritmul produsului.
    3. x2=9; S={3}. Rădăcinile sunt ±3; numai 3 este mai mare decât 1.

    Răspuns: x2=9; S={3}

  21. Exercițiul 21

    Rezolvă 32x−1=27.

    Vezi rezolvarea
    1. 27=33. Înmulțim trei factori egali cu 3: 3·3·3=27.
    2. 2x−1=3. Funcția 3t este injectivă: puteri egale cu aceeași bază au exponenți egali.
    3. x=2. 2x=4, deci x=2. Verificăm 34−1=27.

    Răspuns: x=2

Fișa integrală · profil Tehnologic (12)

  1. 25. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 5x−1 = 25.

    Vezi răspunsul

    x − 1 = 2, deci x = 3.

  2. 26. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 9x = 3.

    Vezi răspunsul

    32x = 31, deci x = 12.

  3. 27. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x + 2x+1 = 24.

    Vezi răspunsul

    2x(1 + 2) = 24, deci 2x = 8 și x = 3.

  4. 28. Substituție

    Rezolvați în ℝ ecuația 4x − 5·2x + 4 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 2x > 0: t2 − 5t + 4 = 0, deci t = 1 sau t = 4: x = 0 sau x = 2.

  5. 29. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația 3x + 1 = 4.

    Vezi răspunsul

    3x + 1 = 16, deci x = 5.

  6. 30. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 6 = x.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 și x + 6 = x2, deci x = 3 (x = −2 nu convine).

  7. 31. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 2 = 2x.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 și x + 2 = 4x2, deci 4x2 − x − 2 = 0: x = 1 + √338 (rădăcina negativă nu convine).

  8. 32. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(x + 5) = 2.

    Vezi răspunsul

    x + 5 = 9, deci x = 4.

  9. 33. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(25 − x) = log5(x + 5).

    Vezi răspunsul

    25 − x = x + 5, deci x = 10 (ambele argumente sunt 15 > 0).

  10. 34. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(x2 + 9) = 2.

    Vezi răspunsul

    x2 + 9 = 25, deci x = 4 sau x = −4.

  11. 35. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(x − 1) + log2(x + 1) = 3.

    Vezi răspunsul

    CE: x > 1. (x − 1)(x + 1) = 8, deci x2 = 9 și x = 3.

  12. 36. Mixt

    Rezolvați în ℝ ecuația log4x = 12.

    Vezi răspunsul

    x = 412 = 2

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.