M2 · Științe⏱ 2 sesiuni
M2·x

Teorie înainte de exerciții

Ecuații, restricții și substituții · nivel M2

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Nu păstra automat toate rădăcinile după ridicarea la pătrat și nu ignora domeniul logaritmilor.
1

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. 1.Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. 2.Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. 3.Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.
2

O literă nouă simplifică ecuația

Dacă apar ax și a2x, observăm că a2x este pătratul lui ax. Notăm t = ax și rezolvăm o ecuație de gradul al doilea în t. Deoarece o putere cu baza pozitivă este pozitivă, păstrăm numai t > 0; apoi revenim la x.

t = ax > 0 ⇒ a2x = t2
  • Valorile lui t nu sunt încă soluțiile x ale problemei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 9x − 2 · 3x − 3 = 0.

  1. 1.Notăm t = 3x > 0: t2 − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) = 0.
  2. 2.Obținem t = 3 sau t = −1; eliminăm −1, deoarece t > 0.
  3. 3.Revenim: 3x = 3, deci x = 1; verificăm 9 − 6 − 3 = 0.
3

Radicalul și condițiile lui

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

√A = B ⇔ A = B2 și B ≥ 0
  • x2 = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

  1. 1.Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x2.
  2. 2.Factorizăm x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
  3. 3.Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.
4

Doi radicali: izolăm unul și păstrăm verificarea

Când sunt doi radicali, izolăm unul înainte de ridicarea la pătrat. Folosim (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, astfel încât să rămână un singur radical. Dacă ridicăm din nou la pătrat, verificarea finală devine cu atât mai importantă.

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
  • La pătratul unei diferențe apare și termenul −2ab; nu îl omite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 5 + √x = 5.

  1. 1.Domeniul este x ≥ 0. Izolăm: x + 5 = 5 − √x; pătratul dă x + 5 = 25 − 10√x + x.
  2. 2.Simplificăm: 10√x = 20, deci √x = 2 și x = 4.
  3. 3.Verificăm în forma inițială: √9 + √4 = 3 + 2 = 5. Soluția este 4.
5

Argumente egale și baze diferite

Doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali exact când argumentele lor pozitive sunt egale. Dacă bazele diferă, le aducem mai întâi la o bază comună. De exemplu, baza 4 este pătratul lui 2, deci log4A este jumătate din log2A.

log4A = log2A2; logaA = logaB ⇔ A = B (A, B > 0)
  • Nu egala argumentele cât timp bazele sunt diferite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log4x = log28.

  1. 1.Domeniul este x > 0 și log28 = 3.
  2. 2.Obținem log4x = 3, deci x = 43 = 64.
  3. 3.Verificăm: log464 = 3 și log28 = 3.
6

Unim logaritmii, apoi rezolvăm

Logaritmii cu aceeași bază se adună transformând argumentele în produs. Domeniul se stabilește pentru fiecare argument separat: un produs pozitiv nu garantează că ambii factori sunt pozitivi. După rezolvarea ecuației algebrice eliminăm candidații interziși. Dacă doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali, egalăm argumentele lor pozitive.

logaA + logaB = loga(AB), pentru A > 0, B > 0
  • Nu înlocui suma logaritmilor cu logaritmul sumei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2x + log2(x − 3) = 2.

  1. 1.Condițiile sunt x > 0 și x − 3 > 0, deci x > 3.
  2. 2.log2[x(x − 3)] = 2 ⇒ x2 − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) = 0.
  3. 3.Candidații sunt 4 și −1; rămâne 4. Verificăm log24 + log21 = 2 + 0 = 2.
7

Substituția într-o ecuație logaritmică

O expresie precum (log2x)2 este pătratul valorii logaritmului. Notăm t = log2x, cu x > 0. Spre deosebire de t = 2x, aici t poate fi negativ. La final fiecare t dă x = 2t, întotdeauna pozitiv.

t = log2x ⇒ x = 2t
  • Nu elimina un logaritm negativ. Eliminăm argumentele nepozitive, nu valorile negative ale logaritmului.

Exemplu rezolvat

Rezolvă (log2x)2 − log2x − 2 = 0.

  1. 1.Pentru x > 0 notăm t = log2x; t2 − t − 2 = (t − 2)(t + 1) = 0.
  2. 2.t = 2 sau t = −1, deci x = 4 sau x = 12.
  3. 3.Înlocuind valorile logaritmului: 4 − 2 − 2 = 0 și 1 + 1 − 2 = 0; ambele soluții sunt admise.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · profil Științe · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 37ExponențialăM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația 52x−1 = 125.

    Vezi răspunsul

    2x − 1 = 3, deci x = 2.

  2. Ex. 38SubstituțieM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația 22x − 5·2x + 4 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 2x: t2 − 5t + 4 = 0, deci t = 1 sau 4: x = 0 sau x = 2.

  3. Ex. 39ExponențialăM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația 3x+1 + 3x = 108.

    Vezi răspunsul

    3x(3 + 1) = 108, deci 3x = 27 și x = 3.

  4. Ex. 40ExponențialăM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația 52−x = (1625)·25x.

    Vezi răspunsul

    5^(2 − x) = 5−4 · 5^(2x) = 5^(2x − 4), deci 2 − x = 2x − 4 și x = 2.

  5. Ex. 41RadicalM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x2 − 3x + 2 = x.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 și 2x2 − 3x + 2 = x2, deci x2 − 3x + 2 = 0: S = {1, 2} (ambele se verifică).

  6. Ex. 42RadicalM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 4 = x.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 și x + 4 = x2, deci x = 1 + √172.

  7. Ex. 43RadicalM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 1 + x − 2 = 3.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≥ 2. x + 1 = 3 − x − 2; ridicând la pătrat, x − 2 = 1, deci x = 3. Verificare: 2 + 1 = 3.

  8. Ex. 44LogaritmicăM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(x2 − 3x + 2) = log2(x + 2).

    Vezi răspunsul

    x2 − 3x + 2 = x + 2, deci x2 − 4x = 0: x = 0 sau x = 4. Ambele respectă condițiile de existență: S = {0, 4}.

  9. Ex. 45LogaritmicăM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația log4(2x − 3) = log2(3 − x).

    Vezi răspunsul

    CE: 32 < x < 3. log4(2x − 3) = (12)log2(2x − 3), deci 2x − 3 = (3 − x)2, adică x2 − 8x + 12 = 0: x = 2 sau x = 6. Rămâne x = 2.

  10. Ex. 46LogaritmicăM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(x − 1) + log3(x + 1) = 2.

    Vezi răspunsul

    CE: x > 1. x2 − 1 = 9, deci x = √10.

  11. Ex. 47SubstituțieM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația (log2x)2 − 3log2x + 2 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = log2x: t2 − 3t + 2 = 0, deci t = 1 sau 2: x = 2 sau x = 4.

  12. Ex. 48MixtM2 · Științe

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(x2 − 4) = 1.

    Vezi răspunsul

    x2 − 4 = 5, deci x = 3 sau x = −3 (ambele respectă x2 > 4).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.