Încărcăm partea curentă…

Ecuații, restricții și substituții · nivel M2

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

De ținut minte

au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. 1Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. 2Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. 3Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Ecuații, restricții și substituții · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

  • au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.

O literă nouă simplifică ecuația

Dacă apar ax și a2x, observăm că a2x este pătratul lui ax. Notăm t = ax și rezolvăm o ecuație de gradul al doilea în t. Deoarece o putere cu baza pozitivă este pozitivă, păstrăm numai t > 0; apoi revenim la x.

  • t = ax > 0 ⇒ a2x = t2
  • Valorile lui t nu sunt încă soluțiile x ale problemei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 9x − 2 · 3x − 3 = 0.

  1. Notăm t = 3x > 0: t2 − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) = 0.
  2. Obținem t = 3 sau t = −1; eliminăm −1, deoarece t > 0.
  3. Revenim: 3x = 3, deci x = 1; verificăm 9 − 6 − 3 = 0.

Radicalul și condițiile lui

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

  • √A = B ⇔ A = B2 și B ≥ 0
  • x2 = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

  1. Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x2.
  2. Factorizăm x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
  3. Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.

Doi radicali: izolăm unul și păstrăm verificarea

Când sunt doi radicali, izolăm unul înainte de ridicarea la pătrat. Folosim (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, astfel încât să rămână un singur radical. Dacă ridicăm din nou la pătrat, verificarea finală devine cu atât mai importantă.

  • (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
  • La pătratul unei diferențe apare și termenul −2ab; nu îl omite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 5 + √x = 5.

  1. Domeniul este x ≥ 0. Izolăm: x + 5 = 5 − √x; pătratul dă x + 5 = 25 − 10√x + x.
  2. Simplificăm: 10√x = 20, deci √x = 2 și x = 4.
  3. Verificăm în forma inițială: √9 + √4 = 3 + 2 = 5. Soluția este 4.

Argumente egale și baze diferite

Doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali exact când argumentele lor pozitive sunt egale. Dacă bazele diferă, le aducem mai întâi la o bază comună. De exemplu, baza 4 este pătratul lui 2, deci log4A este jumătate din log2A.

  • log4A = log2A2; logaA = logaB ⇔ A = B (A, B > 0)
  • Nu egala argumentele cât timp bazele sunt diferite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log4x = log28.

  1. Domeniul este x > 0 și log28 = 3.
  2. Obținem log4x = 3, deci x = 43 = 64.
  3. Verificăm: log464 = 3 și log28 = 3.

Unim logaritmii, apoi rezolvăm

Logaritmii cu aceeași bază se adună transformând argumentele în produs. Domeniul se stabilește pentru fiecare argument separat: un produs pozitiv nu garantează că ambii factori sunt pozitivi. După rezolvarea ecuației algebrice eliminăm candidații interziși. Dacă doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali, egalăm argumentele lor pozitive.

  • logaA + logaB = loga(AB), pentru A > 0, B > 0
  • Nu înlocui suma logaritmilor cu logaritmul sumei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2x + log2(x − 3) = 2.

  1. Condițiile sunt x > 0 și x − 3 > 0, deci x > 3.
  2. log2[x(x − 3)] = 2 ⇒ x2 − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) = 0.
  3. Candidații sunt 4 și −1; rămâne 4. Verificăm log24 + log21 = 2 + 0 = 2.

Substituția într-o ecuație logaritmică

O expresie precum (log2x)2 este pătratul valorii logaritmului. Notăm t = log2x, cu x > 0. Spre deosebire de t = 2x, aici t poate fi negativ. La final fiecare t dă x = 2t, întotdeauna pozitiv.

  • t = log2x ⇒ x = 2t
  • Nu elimina un logaritm negativ. Eliminăm argumentele nepozitive, nu valorile negative ale logaritmului.

Exemplu rezolvat

Rezolvă (log2x)2 − log2x − 2 = 0.

  1. Pentru x > 0 notăm t = log2x; t2 − t − 2 = (t − 2)(t + 1) = 0.
  2. t = 2 sau t = −1, deci x = 4 sau x = 12.
  3. Înlocuind valorile logaritmului: 4 − 2 − 2 = 0 și 1 + 1 − 2 = 0; ambele soluții sunt admise.

Exerciții rezolvate din lecție (24)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru x + 1 + x − 2 = 3, pasul 1: care este domeniul?

    Vezi rezolvarea
    1. Cerem x + 1 ≥ 0 și x − 2 ≥ 0.
    2. A doua condiție este mai restrictivă.
    3. Domeniul este x ≥ 2.

    Răspuns: x ≥ 2

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: după izolarea primului radical și ridicarea la pătrat, ce relație simplă obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. Izolăm x + 1 = 3 − x − 2.
    2. Ridicăm la pătrat și simplificăm termenii comuni.
    3. Rezultă 6x − 2 = 6.
    4. Așadar x − 2 = 1.

    Răspuns: x − 2 = 1

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: care este soluția și cum o verificăm?

    Vezi rezolvarea
    1. x − 2 = 1, deci x = 3.
    2. Verificăm în ecuația inițială: √4 + √1 = 2 + 1 = 3.
    3. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: x = 3, iar 2 + 1 = 3

  4. Exercițiul 4

    Rezolvați în ℝ ecuația 52x−1 = 125.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 125 = 53.
    2. 2x − 1 = 3, deci 2x = 4.
    3. Rezultă x = 2.
    4. Răspuns final: S = {2}.

    Răspuns: {2}

  5. Exercițiul 5

    Rezolvați în ℝ ecuația 22x − 5·2x + 4 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm t = 2x > 0, iar 22x = t2.
    2. t2 − 5t + 4 = 0, deci t ∈ {1, 4}.
    3. 2x = 1 dă x = 0; 2x = 4 dă x = 2.
    4. Răspuns final: S = {0, 2}.

    Răspuns: {0, 2}

  6. Exercițiul 6

    Rezolvați în ℝ ecuația 3x+1 + 3x = 108.

    Vezi rezolvarea
    1. Factorizăm 3x: 3x(3 + 1) = 108.
    2. 4·3x = 108, deci 3x = 27 = 33.
    3. Rezultă x = 3.
    4. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: {3}

  7. Exercițiul 7

    Rezolvați în ℝ ecuația 52−x = (1625)·25x.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 1625 = 5−4 și 25x = 52x.
    2. Membrul drept este 52x−4.
    3. Egalăm exponenții: 2 − x = 2x − 4.
    4. 3x = 6, deci x = 2.
    5. Răspuns final: S = {2}.

    Răspuns: {2}

  8. Exercițiul 8

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x2 − 3x + 2 = x.

    Vezi rezolvarea
    1. Membrul drept impune x ≥ 0.
    2. Ridicăm la pătrat: 2x2 − 3x + 2 = x2.
    3. x2 − 3x + 2 = 0, deci (x − 1)(x − 2) = 0.
    4. Valorile x = 1 și x = 2 verifică ecuația.
    5. Răspuns final: S = {1, 2}.

    Răspuns: {1, 2}

  9. Exercițiul 9

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 4 = x.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x ≥ 0.
    2. După ridicare la pătrat: x2 − x − 4 = 0.
    3. Candidații sunt 1 ± √172.
    4. Păstrăm numai rădăcina pozitivă.
    5. Răspuns final: S = {1 + √172}.

    Răspuns: {1 + √172}

  10. Exercițiul 10

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(x2 − 3x + 2) = log2(x + 2).

    Vezi rezolvarea
    1. Condițiile sunt x2 − 3x + 2 > 0 și x + 2 > 0.
    2. Egalăm argumentele: x2 − 3x + 2 = x + 2.
    3. x(x − 4) = 0, deci x = 0 sau x = 4.
    4. Ambele valori respectă domeniul.
    5. Răspuns final: S = {0, 4}.

    Răspuns: {0, 4}

  11. Exercițiul 11

    Rezolvați în ℝ ecuația log4(2x − 3) = log2(3 − x).

    Vezi rezolvarea
    1. Condițiile dau 32 < x < 3.
    2. Scriem log2(3 − x) = log4(3 − x)2.
    3. Egalăm argumentele: 2x − 3 = (3 − x)2.
    4. Rezultă x2 − 8x + 12 = 0, cu x = 2 sau x = 6.
    5. Din domeniu rămâne x = 2.
    6. Răspuns final: S = {2}.

    Răspuns: {2}

  12. Exercițiul 12

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(x − 1) + log3(x + 1) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 1.
    2. log3(x2 − 1) = 2, deci x2 − 1 = 9.
    3. x2 = 10, deci x = ±√10.
    4. Domeniul păstrează numai x = √10.
    5. Răspuns final: S = {√10}.

    Răspuns: {√10}

  13. Exercițiul 13

    Rezolvați în ℝ ecuația (log2x)2 − 3log2x + 2 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 0. Notăm t = log2x.
    2. t2 − 3t + 2 = 0, deci t = 1 sau t = 2.
    3. log2x = 1 dă x = 2; log2x = 2 dă x = 4.
    4. Răspuns final: S = {2, 4}.

    Răspuns: {2, 4}

  14. Exercițiul 14

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(x2 − 4) = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x2 − 4 > 0.
    2. x2 − 4 = 51 = 5, deci x2 = 9.
    3. Rezultă x = −3 sau x = 3; ambele valori respectă domeniul.
    4. Răspuns final: S = {−3, 3}.

    Răspuns: {−3, 3}

  15. Exercițiul 15

    Rezolvă 2x−1 = 16. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. 16 = 24.
    2. x − 1 = 4.
    3. x = 5; 24 = 16.

    Răspuns: 5

  16. Exercițiul 16

    Rezolvă 2x + 2x+1 = 48. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 2 · 2x = 3 · 2x.
    2. 2x = 483 = 16 = 24.
    3. x = 4; 16 + 32 = 48.

    Răspuns: 4

  17. Exercițiul 17

    Rezolvă x + 7 = 4. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. x + 7 ≥ 0, deci x ≥ −7.
    2. x + 7 = 16, deci x = 9.
    3. 9 + 7 = √16 = 4; soluția este admisă.

    Răspuns: 9

  18. Exercițiul 18

    Rezolvă log3(x + 2) = 3. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > −2.
    2. x + 2 = 27, deci x = 25.
    3. log327 = 3 confirmă soluția.

    Răspuns: 25

  19. Exercițiul 19

    Rezolvă log2x + log2(x − 6) = 4. Scrie unica soluție admisă.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este x > 6.
    2. x(x − 6) = 16 ⇒ (x − 8)(x + 2) = 0.
    3. Rămâne x = 8; log28 + log22 = 3 + 1 = 4.

    Răspuns: 8

  20. Exercițiul 20

    Rezolvă (log2x − 3)2 = 0. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este x > 0.
    2. log2x = 3, deci x = 23.
    3. x = 8 verifică ecuația.

    Răspuns: 8

  21. Exercițiul 21

    Rezolvă (log3x + 1)2 = 1 și scrie soluția mai mare.

    Vezi rezolvarea
    1. t + 1 = ±1, deci t = 0 sau t = −2.
    2. x = 30 = 1 sau x = 3−2 = 19.
    3. Ambele sunt admise; soluția mai mare este 1.

    Răspuns: 1

  22. Exercițiul 22

    Rezolvă x+2=x.

    Vezi rezolvarea
    1. x≥0. Radicalul cere x≥−2 și are valoare nenegativă; membrul drept impune x≥0. Împreună dau x≥0.
    2. x2−x−2=0, adică (x−2)(x+1)=0. În condițiile stabilite, x+2=x2. Mutăm termenii în același membru.
    3. S={2}; valoarea −1 nu respectă x≥0. Pentru x=2, √4=2. Valoarea −1 obținută după ridicare la pătrat nu satisface ecuația inițială.

    Răspuns: S={2}; valoarea −1 nu respectă x≥0

  23. Exercițiul 23

    Rezolvă log2(x−1)+log2(x+1)=3.

    Vezi rezolvarea
    1. x>1. Ambii argumente trebuie să fie strict pozitivi: x−1>0 și x+1>0.
    2. (x−1)(x+1)=23=8. Suma logaritmilor aceleiași baze este logaritmul produsului.
    3. x2=9; S={3}. Rădăcinile sunt ±3; numai 3 este mai mare decât 1.

    Răspuns: x2=9; S={3}

  24. Exercițiul 24

    Rezolvă 32x−1=27.

    Vezi rezolvarea
    1. 27=33. Înmulțim trei factori egali cu 3: 3·3·3=27.
    2. 2x−1=3. Funcția 3t este injectivă: puteri egale cu aceeași bază au exponenți egali.
    3. x=2. 2x=4, deci x=2. Verificăm 34−1=27.

    Răspuns: x=2

Fișa integrală · profil Științe (12)

  1. 37. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 52x−1 = 125.

    Vezi răspunsul

    2x − 1 = 3, deci x = 2.

  2. 38. Substituție

    Rezolvați în ℝ ecuația 22x − 5·2x + 4 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 2x: t2 − 5t + 4 = 0, deci t = 1 sau 4: x = 0 sau x = 2.

  3. 39. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 3x+1 + 3x = 108.

    Vezi răspunsul

    3x(3 + 1) = 108, deci 3x = 27 și x = 3.

  4. 40. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 52−x = (1625)·25x.

    Vezi răspunsul

    52 − x = 5−4 · 52x = 52x − 4, deci 2 − x = 2x − 4 și x = 2.

  5. 41. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x2 − 3x + 2 = x.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 și 2x2 − 3x + 2 = x2, deci x2 − 3x + 2 = 0: S = {1, 2} (ambele se verifică).

  6. 42. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 4 = x.

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 și x + 4 = x2, deci x = 1 + √172.

  7. 43. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 1 + x − 2 = 3.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≥ 2. x + 1 = 3 − x − 2; ridicând la pătrat, x − 2 = 1, deci x = 3. Verificare: 2 + 1 = 3.

  8. 44. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(x2 − 3x + 2) = log2(x + 2).

    Vezi răspunsul

    x2 − 3x + 2 = x + 2, deci x2 − 4x = 0: x = 0 sau x = 4. Ambele respectă condițiile de existență: S = {0, 4}.

  9. 45. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log4(2x − 3) = log2(3 − x).

    Vezi răspunsul

    CE: 32 < x < 3. log4(2x − 3) = (12)log2(2x − 3), deci 2x − 3 = (3 − x)2, adică x2 − 8x + 12 = 0: x = 2 sau x = 6. Rămâne x = 2.

  10. 46. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(x − 1) + log3(x + 1) = 2.

    Vezi răspunsul

    CE: x > 1. x2 − 1 = 9, deci x = √10.

  11. 47. Substituție

    Rezolvați în ℝ ecuația (log2x)2 − 3log2x + 2 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = log2x: t2 − 3t + 2 = 0, deci t = 1 sau 2: x = 2 sau x = 4.

  12. 48. Mixt

    Rezolvați în ℝ ecuația log5(x2 − 4) = 1.

    Vezi răspunsul

    x2 − 4 = 5, deci x = 3 sau x = −3 (ambele respectă x2 > 4).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.