M1 · Mate-Info⏱ 2 sesiuni
M1·x

Teorie înainte de exerciții

Ecuații și transformări complete · nivel M1

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

La transformările mai lungi justifică fiecare restricție și verifică în ecuația inițială toate valorile obținute.
1

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. 1.Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. 2.Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. 3.Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.
2

O literă nouă simplifică ecuația

Dacă apar ax și a2x, observăm că a2x este pătratul lui ax. Notăm t = ax și rezolvăm o ecuație de gradul al doilea în t. Deoarece o putere cu baza pozitivă este pozitivă, păstrăm numai t > 0; apoi revenim la x.

t = ax > 0 ⇒ a2x = t2
  • Valorile lui t nu sunt încă soluțiile x ale problemei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 9x − 2 · 3x − 3 = 0.

  1. 1.Notăm t = 3x > 0: t2 − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) = 0.
  2. 2.Obținem t = 3 sau t = −1; eliminăm −1, deoarece t > 0.
  3. 3.Revenim: 3x = 3, deci x = 1; verificăm 9 − 6 − 3 = 0.
3

Radicalul și condițiile lui

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

√A = B ⇔ A = B2 și B ≥ 0
  • x2 = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

  1. 1.Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x2.
  2. 2.Factorizăm x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
  3. 3.Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.
4

Doi radicali: izolăm unul și păstrăm verificarea

Când sunt doi radicali, izolăm unul înainte de ridicarea la pătrat. Folosim (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, astfel încât să rămână un singur radical. Dacă ridicăm din nou la pătrat, verificarea finală devine cu atât mai importantă.

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
  • La pătratul unei diferențe apare și termenul −2ab; nu îl omite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 5 + √x = 5.

  1. 1.Domeniul este x ≥ 0. Izolăm: x + 5 = 5 − √x; pătratul dă x + 5 = 25 − 10√x + x.
  2. 2.Simplificăm: 10√x = 20, deci √x = 2 și x = 4.
  3. 3.Verificăm în forma inițială: √9 + √4 = 3 + 2 = 5. Soluția este 4.
5

Argumente egale și baze diferite

Doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali exact când argumentele lor pozitive sunt egale. Dacă bazele diferă, le aducem mai întâi la o bază comună. De exemplu, baza 4 este pătratul lui 2, deci log4A este jumătate din log2A.

log4A = log2A2; logaA = logaB ⇔ A = B (A, B > 0)
  • Nu egala argumentele cât timp bazele sunt diferite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log4x = log28.

  1. 1.Domeniul este x > 0 și log28 = 3.
  2. 2.Obținem log4x = 3, deci x = 43 = 64.
  3. 3.Verificăm: log464 = 3 și log28 = 3.
6

Când necunoscuta este și baza

Dacă x este baza unui logaritm, avem în plus x ≠ 1. Schimbarea bazei poate transforma logxa în 1/logax. Notăm valoarea repetată, păstrăm condiția ca ea să fie nenulă și rezolvăm ecuația rațională rezultată.

logxa = 1/logax, pentru x > 0, x ≠ 1, a > 0, a ≠ 1
  • Înainte să înmulțești cu un numitor, scrie condiția ca acesta să fie nenul.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2x + logx2 = 2.

  1. 1.Domeniul: x > 0, x ≠ 1. Notăm t = log2x ≠ 0: t + 1t = 2.
  2. 2.Înmulțim cu t: t2 − 2t + 1 = (t − 1)2 = 0, deci t = 1.
  3. 3.x = 21 = 2; verificăm log22 + log22 = 2.
7

Substituția într-o ecuație logaritmică

O expresie precum (log2x)2 este pătratul valorii logaritmului. Notăm t = log2x, cu x > 0. Spre deosebire de t = 2x, aici t poate fi negativ. La final fiecare t dă x = 2t, întotdeauna pozitiv.

t = log2x ⇒ x = 2t
  • Nu elimina un logaritm negativ. Eliminăm argumentele nepozitive, nu valorile negative ale logaritmului.

Exemplu rezolvat

Rezolvă (log2x)2 − log2x − 2 = 0.

  1. 1.Pentru x > 0 notăm t = log2x; t2 − t − 2 = (t − 2)(t + 1) = 0.
  2. 2.t = 2 sau t = −1, deci x = 4 sau x = 12.
  3. 3.Înlocuind valorile logaritmului: 4 − 2 − 2 = 0 și 1 + 1 − 2 = 0; ambele soluții sunt admise.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · profil Mate-Info · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 49ExponențialăM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x+1 + 2x = 12.

    Vezi răspunsul

    2x(2 + 1) = 12, deci 2x = 4 și x = 2.

  2. Ex. 50SubstituțieM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația 9x − 10·3x + 9 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 3x: t2 − 10t + 9 = 0, deci t = 1 sau 9: x = 0 sau x = 2.

  3. Ex. 51SubstituțieM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația 4x − 2x+1 = 8.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 2x: t2 − 2t − 8 = 0, deci t = 4 (t = −2 nu convine) și x = 2.

  4. Ex. 52SubstituțieM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația 32x − 6·3x + 5 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 3x: t2 − 6t + 5 = 0, deci t = 1 sau 5: x = 0 sau x = log35.

  5. Ex. 53RadicalM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația x2 + 3x + 4 = x + 2.

    Vezi răspunsul

    x ≥ −2 și x2 + 3x + 4 = x2 + 4x + 4, deci x = 0.

  6. Ex. 54RadicalM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 6 + x − 3 = 3.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≥ 3. Atunci x + 6 ≥ 3 și x − 3 ≥ 0, cu egalitate doar la x = 3. Soluția: x = 3.

  7. Ex. 55RadicalM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x + 3 = x − 1 + 2.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≥ 1. Ridicând la pătrat: x = 4x − 1, apoi x2 − 16x + 16 = 0. S = {8 − 4√3, 8 + 4√3} (ambele se verifică).

  8. Ex. 56LogaritmicăM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(6x − x2) = log2(x + 4).

    Vezi răspunsul

    CE: 0 < x < 6. 6x − x2 = x + 4, deci x2 − 5x + 4 = 0: S = {1, 4}.

  9. Ex. 57LogaritmicăM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația 2log5x = log5(4x + 5).

    Vezi răspunsul

    CE: x > 0. x2 = 4x + 5, deci x2 − 4x − 5 = 0: x = 5 (x = −1 nu convine).

  10. Ex. 58SubstituțieM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația (log2x)2 + log2x = 6.

    Vezi răspunsul

    Cu t = log2x: t2 + t − 6 = 0, deci t = 2 sau t = −3: x = 4 sau x = 18.

  11. Ex. 59Schimbarea bazeiM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(9x) + logx3 = 4.

    Vezi răspunsul

    CE: x > 0, x ≠ 1. Cu t = log3x: 2 + t + 1t = 4, deci t + 1t = 2 și t = 1: x = 3.

  12. Ex. 60MixtM1 · Mate-Info

    Rezolvați în ℝ ecuația log2x + log4x + log8x = 113.

    Vezi răspunsul

    log2x · (1 + 12 + 13) = 113, deci log2x · 116 = 113 și log2x = 2: x = 4.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.