Încărcăm partea curentă…

Ecuații și transformări complete · nivel M1

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

De ținut minte

au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. 1Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. 2Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. 3Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Ecuații și transformări complete · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Necunoscuta din exponent

În 2x = 8 căutăm exponentul la care ridicăm 2 ca să obținem 8. Scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze pozitive, diferite de 1. Puteri egale cu această bază au exponenți egali, deci ajungem la o ecuație obișnuită.

  • au = av ⇔ u = v, pentru a > 0, a ≠ 1
  • Egalăm exponenții numai după ce bazele sunt egale. Dacă nu recunoști o putere, ax = b se rezolvă prin x = logab, pentru b > 0.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3x+1 = 81.

  1. Scriem 81 = 34, deci 3x+1 = 34.
  2. Egalăm exponenții: x + 1 = 4, deci x = 3.
  3. Verificăm: 33+1 = 34 = 81. Soluția este 3.

O literă nouă simplifică ecuația

Dacă apar ax și a2x, observăm că a2x este pătratul lui ax. Notăm t = ax și rezolvăm o ecuație de gradul al doilea în t. Deoarece o putere cu baza pozitivă este pozitivă, păstrăm numai t > 0; apoi revenim la x.

  • t = ax > 0 ⇒ a2x = t2
  • Valorile lui t nu sunt încă soluțiile x ale problemei.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 9x − 2 · 3x − 3 = 0.

  1. Notăm t = 3x > 0: t2 − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) = 0.
  2. Obținem t = 3 sau t = −1; eliminăm −1, deoarece t > 0.
  3. Revenim: 3x = 3, deci x = 1; verificăm 9 − 6 − 3 = 0.

Radicalul și condițiile lui

Radicalul pătrat este definit în numere reale numai pentru un număr nenegativ și rezultatul său este tot nenegativ. În √A = B cerem A ≥ 0 și B ≥ 0. Abia apoi ridicăm la pătrat; verificăm candidații în ecuația inițială, deoarece pătratul pierde informația despre semn.

  • √A = B ⇔ A = B2 și B ≥ 0
  • x2 = |x|, nu x pentru orice număr real.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 2 = x.

  1. Cerem x ≥ 0; atunci și x + 2 ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 2 = x2.
  2. Factorizăm x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0: candidații sunt 2 și −1.
  3. Eliminăm −1; pentru 2 avem √4 = 2. Singura soluție este 2.

Doi radicali: izolăm unul și păstrăm verificarea

Când sunt doi radicali, izolăm unul înainte de ridicarea la pătrat. Folosim (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, astfel încât să rămână un singur radical. Dacă ridicăm din nou la pătrat, verificarea finală devine cu atât mai importantă.

  • (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
  • La pătratul unei diferențe apare și termenul −2ab; nu îl omite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 5 + √x = 5.

  1. Domeniul este x ≥ 0. Izolăm: x + 5 = 5 − √x; pătratul dă x + 5 = 25 − 10√x + x.
  2. Simplificăm: 10√x = 20, deci √x = 2 și x = 4.
  3. Verificăm în forma inițială: √9 + √4 = 3 + 2 = 5. Soluția este 4.

Argumente egale și baze diferite

Doi logaritmi cu aceeași bază admisă sunt egali exact când argumentele lor pozitive sunt egale. Dacă bazele diferă, le aducem mai întâi la o bază comună. De exemplu, baza 4 este pătratul lui 2, deci log4A este jumătate din log2A.

  • log4A = log2A2; logaA = logaB ⇔ A = B (A, B > 0)
  • Nu egala argumentele cât timp bazele sunt diferite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log4x = log28.

  1. Domeniul este x > 0 și log28 = 3.
  2. Obținem log4x = 3, deci x = 43 = 64.
  3. Verificăm: log464 = 3 și log28 = 3.

Când necunoscuta este și baza

Dacă x este baza unui logaritm, avem în plus x ≠ 1. Schimbarea bazei poate transforma logxa în 1logax. Notăm valoarea repetată, păstrăm condiția ca ea să fie nenulă și rezolvăm ecuația rațională rezultată.

  • logxa = 1logax, pentru x > 0, x ≠ 1, a > 0, a ≠ 1
  • Înainte să înmulțești cu un numitor, scrie condiția ca acesta să fie nenul.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2x + logx2 = 2.

  1. Domeniul: x > 0, x ≠ 1. Notăm t = log2x ≠ 0: t + 1t = 2.
  2. Înmulțim cu t: t2 − 2t + 1 = (t − 1)2 = 0, deci t = 1.
  3. x = 21 = 2; verificăm log22 + log22 = 2.

Substituția într-o ecuație logaritmică

O expresie precum (log2x)2 este pătratul valorii logaritmului. Notăm t = log2x, cu x > 0. Spre deosebire de t = 2x, aici t poate fi negativ. La final fiecare t dă x = 2t, întotdeauna pozitiv.

  • t = log2x ⇒ x = 2t
  • Nu elimina un logaritm negativ. Eliminăm argumentele nepozitive, nu valorile negative ale logaritmului.

Exemplu rezolvat

Rezolvă (log2x)2 − log2x − 2 = 0.

  1. Pentru x > 0 notăm t = log2x; t2 − t − 2 = (t − 2)(t + 1) = 0.
  2. t = 2 sau t = −1, deci x = 4 sau x = 12.
  3. Înlocuind valorile logaritmului: 4 − 2 − 2 = 0 și 1 + 1 − 2 = 0; ambele soluții sunt admise.

Exerciții rezolvate din lecție (24)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru 2x + 3 = x − 1 + 2, pasul 1: ce condiție scriem?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x − 1 cerem x − 1 ≥ 0.
    2. Această condiție asigură și 2x + 3 ≥ 0.
    3. Prin urmare x ≥ 1.

    Răspuns: x ≥ 1

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: după prima ridicare la pătrat și simplificare, ce relație obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 3 = x − 1 + 4 + 4x − 1.
    2. Termenii constanți se reduc.
    3. Rezultă x = 4x − 1.

    Răspuns: x = 4x − 1

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: ce mulțime de soluții obținem după a doua ridicare la pătrat și verificare?

    Vezi rezolvarea
    1. Ridicăm din nou la pătrat: x2 = 16x − 16.
    2. Obținem x2 − 16x + 16 = 0.
    3. Rădăcinile sunt x = 8 ± 4√3.
    4. Ambele sunt ≥ 1 și verifică ecuația inițială.
    5. Răspuns final: S = {8 − 4√3, 8 + 4√3}.

    Răspuns: {8 − 4√3, 8 + 4√3}

  4. Exercițiul 4

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x+1 + 2x = 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Factorizăm 2x: 2x(2 + 1) = 12.
    2. 3·2x = 12, deci 2x = 4 = 22.
    3. Rezultă x = 2.
    4. Răspuns final: S = {2}.

    Răspuns: {2}

  5. Exercițiul 5

    Rezolvați în ℝ ecuația 9x − 10·3x + 9 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm t = 3x > 0; atunci 9x = t2.
    2. t2 − 10t + 9 = 0, deci (t − 1)(t − 9) = 0.
    3. t = 1 sau t = 9.
    4. 3x = 1 dă x = 0; 3x = 9 dă x = 2.
    5. Răspuns final: S = {0, 2}.

    Răspuns: {0, 2}

  6. Exercițiul 6

    Rezolvați în ℝ ecuația 4x − 2x+1 = 8.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm t = 2x > 0; atunci 4x = t2 și 2x+1 = 2t.
    2. t2 − 2t − 8 = 0, deci (t − 4)(t + 2) = 0.
    3. Păstrăm t = 4.
    4. 2x = 4, deci x = 2.
    5. Răspuns final: S = {2}.

    Răspuns: {2}

  7. Exercițiul 7

    Rezolvați în ℝ ecuația 32x − 6·3x + 5 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm t = 3x > 0.
    2. t2 − 6t + 5 = 0, deci t = 1 sau t = 5.
    3. 3x = 1 dă x = 0; 3x = 5 dă x = log35.
    4. Răspuns final: S = {0, log35}.

    Răspuns: {0, log35}

  8. Exercițiul 8

    Rezolvați în ℝ ecuația x2 + 3x + 4 = x + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Membrul drept impune x ≥ −2.
    2. Ridicăm la pătrat: x2 + 3x + 4 = (x + 2)2.
    3. x2 + 3x + 4 = x2 + 4x + 4, deci x = 0.
    4. Valoarea respectă domeniul și verifică ecuația.
    5. Răspuns final: S = {0}.

    Răspuns: {0}

  9. Exercițiul 9

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 6 + x − 3 = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția de existență este x ≥ 3.
    2. Pentru x ≥ 3 avem x + 6 ≥ 3 și x − 3 ≥ 0.
    3. Suma poate fi 3 numai dacă x + 6 = 3 și x − 3 = 0.
    4. Ambele relații dau x = 3.
    5. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: {3}

  10. Exercițiul 10

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(6x − x2) = log2(x + 4).

    Vezi rezolvarea
    1. Condițiile dau 0 < x < 6.
    2. Egalăm argumentele: 6x − x2 = x + 4.
    3. x2 − 5x + 4 = 0, deci (x − 1)(x − 4) = 0.
    4. x = 1 și x = 4 sunt în domeniu.
    5. Răspuns final: S = {1, 4}.

    Răspuns: {1, 4}

  11. Exercițiul 11

    Rezolvați în ℝ ecuația 2log5x = log5(4x + 5).

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 0.
    2. 2log5x = log5(x2), deci egalăm argumentele: x2 = 4x + 5.
    3. x2 − 4x − 5 = 0, deci x = 5 sau x = −1.
    4. Domeniul păstrează x = 5.
    5. Răspuns final: S = {5}.

    Răspuns: {5}

  12. Exercițiul 12

    Rezolvați în ℝ ecuația (log2x)2 + log2x = 6.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 0. Notăm t = log2x.
    2. t2 + t − 6 = 0, deci (t − 2)(t + 3) = 0.
    3. t = 2 sau t = −3.
    4. x = 22 = 4 sau x = 2−3 = 18.
    5. Răspuns final: S = {18, 4}.

    Răspuns: {18, 4}

  13. Exercițiul 13

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(9x) + logx3 = 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Condițiile sunt x > 0 și x ≠ 1. Notăm t = log3x, deci t ≠ 0.
    2. log3(9x) = 2 + t, iar logx3 = 1t.
    3. t + 2 + 1t = 4, deci t + 1t = 2.
    4. Înmulțim cu t: (t − 1)2 = 0, deci t = 1.
    5. log3x = 1, de unde x = 3.
    6. Răspuns final: S = {3}.

    Răspuns: {3}

  14. Exercițiul 14

    Rezolvați în ℝ ecuația log2x + log4x + log8x = 113.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 0. Notăm t = log2x.
    2. Prin schimbarea bazei: log4x = t2 și log8x = t3.
    3. t + t2 + t3 = 113, deci 11t6 = 113.
    4. t = 2, așadar log2x = 2 și x = 4.
    5. Răspuns final: S = {4}.

    Răspuns: {4}

  15. Exercițiul 15

    Rezolvă 2x−1 = 16. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. 16 = 24.
    2. x − 1 = 4.
    3. x = 5; 24 = 16.

    Răspuns: 5

  16. Exercițiul 16

    Rezolvă 2x + 2x+1 = 48. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 2 · 2x = 3 · 2x.
    2. 2x = 483 = 16 = 24.
    3. x = 4; 16 + 32 = 48.

    Răspuns: 4

  17. Exercițiul 17

    Rezolvă x + 7 = 4. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. x + 7 ≥ 0, deci x ≥ −7.
    2. x + 7 = 16, deci x = 9.
    3. 9 + 7 = √16 = 4; soluția este admisă.

    Răspuns: 9

  18. Exercițiul 18

    Rezolvă log3(x + 2) = 3. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > −2.
    2. x + 2 = 27, deci x = 25.
    3. log327 = 3 confirmă soluția.

    Răspuns: 25

  19. Exercițiul 19

    Rezolvă log2x + log2(x − 6) = 4. Scrie unica soluție admisă.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este x > 6.
    2. x(x − 6) = 16 ⇒ (x − 8)(x + 2) = 0.
    3. Rămâne x = 8; log28 + log22 = 3 + 1 = 4.

    Răspuns: 8

  20. Exercițiul 20

    Rezolvă (log2x − 3)2 = 0. Scrie x.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este x > 0.
    2. log2x = 3, deci x = 23.
    3. x = 8 verifică ecuația.

    Răspuns: 8

  21. Exercițiul 21

    Rezolvă (log3x + 1)2 = 1 și scrie soluția mai mare.

    Vezi rezolvarea
    1. t + 1 = ±1, deci t = 0 sau t = −2.
    2. x = 30 = 1 sau x = 3−2 = 19.
    3. Ambele sunt admise; soluția mai mare este 1.

    Răspuns: 1

  22. Exercițiul 22

    Rezolvă x+2=x.

    Vezi rezolvarea
    1. x≥0. Radicalul cere x≥−2 și are valoare nenegativă; membrul drept impune x≥0. Împreună dau x≥0.
    2. x2−x−2=0, adică (x−2)(x+1)=0. În condițiile stabilite, x+2=x2. Mutăm termenii în același membru.
    3. S={2}; valoarea −1 nu respectă x≥0. Pentru x=2, √4=2. Valoarea −1 obținută după ridicare la pătrat nu satisface ecuația inițială.

    Răspuns: S={2}; valoarea −1 nu respectă x≥0

  23. Exercițiul 23

    Rezolvă log2(x−1)+log2(x+1)=3.

    Vezi rezolvarea
    1. x>1. Ambii argumente trebuie să fie strict pozitivi: x−1>0 și x+1>0.
    2. (x−1)(x+1)=23=8. Suma logaritmilor aceleiași baze este logaritmul produsului.
    3. x2=9; S={3}. Rădăcinile sunt ±3; numai 3 este mai mare decât 1.

    Răspuns: x2=9; S={3}

  24. Exercițiul 24

    Rezolvă 32x−1=27.

    Vezi rezolvarea
    1. 27=33. Înmulțim trei factori egali cu 3: 3·3·3=27.
    2. 2x−1=3. Funcția 3t este injectivă: puteri egale cu aceeași bază au exponenți egali.
    3. x=2. 2x=4, deci x=2. Verificăm 34−1=27.

    Răspuns: x=2

Fișa integrală · profil Mate-Info (12)

  1. 49. Exponențială

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x+1 + 2x = 12.

    Vezi răspunsul

    2x(2 + 1) = 12, deci 2x = 4 și x = 2.

  2. 50. Substituție

    Rezolvați în ℝ ecuația 9x − 10·3x + 9 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 3x: t2 − 10t + 9 = 0, deci t = 1 sau 9: x = 0 sau x = 2.

  3. 51. Substituție

    Rezolvați în ℝ ecuația 4x − 2x+1 = 8.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 2x: t2 − 2t − 8 = 0, deci t = 4 (t = −2 nu convine) și x = 2.

  4. 52. Substituție

    Rezolvați în ℝ ecuația 32x − 6·3x + 5 = 0.

    Vezi răspunsul

    Cu t = 3x: t2 − 6t + 5 = 0, deci t = 1 sau 5: x = 0 sau x = log35.

  5. 53. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația x2 + 3x + 4 = x + 2.

    Vezi răspunsul

    x ≥ −2 și x2 + 3x + 4 = x2 + 4x + 4, deci x = 0.

  6. 54. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația x + 6 + x − 3 = 3.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≥ 3. Atunci x + 6 ≥ 3 și x − 3 ≥ 0, cu egalitate doar la x = 3. Soluția: x = 3.

  7. 55. Radical

    Rezolvați în ℝ ecuația 2x + 3 = x − 1 + 2.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≥ 1. Ridicând la pătrat: x = 4x − 1, apoi x2 − 16x + 16 = 0. S = {8 − 4√3, 8 + 4√3} (ambele se verifică).

  8. 56. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația log2(6x − x2) = log2(x + 4).

    Vezi răspunsul

    CE: 0 < x < 6. 6x − x2 = x + 4, deci x2 − 5x + 4 = 0: S = {1, 4}.

  9. 57. Logaritmică

    Rezolvați în ℝ ecuația 2log5x = log5(4x + 5).

    Vezi răspunsul

    CE: x > 0. x2 = 4x + 5, deci x2 − 4x − 5 = 0: x = 5 (x = −1 nu convine).

  10. 58. Substituție

    Rezolvați în ℝ ecuația (log2x)2 + log2x = 6.

    Vezi răspunsul

    Cu t = log2x: t2 + t − 6 = 0, deci t = 2 sau t = −3: x = 4 sau x = 18.

  11. 59. Schimbarea bazei

    Rezolvați în ℝ ecuația log3(9x) + logx3 = 4.

    Vezi răspunsul

    CE: x > 0, x ≠ 1. Cu t = log3x: 2 + t + 1t = 4, deci t + 1t = 2 și t = 1: x = 3.

  12. 60. Mixt

    Rezolvați în ℝ ecuația log2x + log4x + log8x = 113.

    Vezi răspunsul

    log2x · (1 + 12 + 13) = 113, deci log2x · 116 = 113 și log2x = 2: x = 4.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.