Încărcăm partea curentă…

Funcții · nucleul comun

Înlocuim x și calculăm rezultatul

În f(x), litera x arată locul în care punem un număr. Scrierea f(4) cere să punem 4 în locul fiecărui x și să calculăm rezultatul.

Dacă nu știm numărul pus în locul lui x, îl notăm a. Scriem f(a), îl egalăm cu rezultatul dat și rezolvăm ecuația.

Aceeași înlocuire se aplică și dacă apare x2: x2 înseamnă x·x. Folosim ordinea operațiilor din matematica de bază: întâi puterile, apoi înmulțirile, apoi adunările și scăderile. Pentru un număr negativ, scriem paranteze înainte de pătrat, de exemplu (−2)2=4. Nu este o metodă nouă pentru funcții.

Altă problemă: înlocuim x cu 2

Pentru g(x)=3x−1, calculați g(2).

  1. 1g(2) înseamnă că punem 2 în locul fiecărui x din formula 3x−1.
  2. 2Scriem g(2)=3·2−1 și calculăm întâi produsul 3·2=6.
  3. 3Scădem 1: g(2)=6−1=5. Rezultatul este 5.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcții · nucleul comun: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Învățăm câte o metodă: explicație scurtă, alt exemplu rezolvat, apoi problema construită rând cu rând. După modelele de bază verificăm și răspunsuri directe.

Înlocuim x și calculăm rezultatul

În f(x), litera x arată locul în care punem un număr. Scrierea f(4) cere să punem 4 în locul fiecărui x și să calculăm rezultatul.

Dacă nu știm numărul pus în locul lui x, îl notăm a. Scriem f(a), îl egalăm cu rezultatul dat și rezolvăm ecuația.

Aceeași înlocuire se aplică și dacă apare x2: x2 înseamnă x·x. Folosim ordinea operațiilor din matematica de bază: întâi puterile, apoi înmulțirile, apoi adunările și scăderile. Pentru un număr negativ, scriem paranteze înainte de pătrat, de exemplu (−2)2=4. Nu este o metodă nouă pentru funcții.

Altă problemă: înlocuim x cu 2

Pentru g(x)=3x−1, calculați g(2).

  1. g(2) înseamnă că punem 2 în locul fiecărui x din formula 3x−1.
  2. Scriem g(2)=3·2−1 și calculăm întâi produsul 3·2=6.
  3. Scădem 1: g(2)=6−1=5. Rezultatul este 5.

Când cunoaștem rezultatul, aflăm a

În f(a), litera a ține locul unui număr necunoscut. Îl aflăm scriind formula funcției cu a în loc de x.

Altă problemă: aflăm numărul pus în locul lui x

Pentru h(x)=2x+1, găsiți a dacă h(a)=9.

  1. Punem a în locul lui x: h(a)=2a+1.
  2. Cum rezultatul este 9, scriem 2a+1=9.
  3. Scădem 1: 2a=8. Împărțim la 2: a=4.

Când două rezultate sunt legate între ele

Calculăm mai întâi valoarea care are deja un număr cunoscut în paranteză. Abia apoi construim ecuația pentru a.

Altă problemă: calculăm întâi valoarea cunoscută

Pentru h(x)=2x+3, găsiți a dacă h(a)=h(1)+2.

  1. Punem x=1: h(1)=2·1+3=5.
  2. Așadar h(a)=5+2=7, adică 2a+3=7.
  3. Scădem 3: 2a=4. Împărțim la 2: a=2.

Model · intersecția cu Ox

Pe axa Ox, a doua coordonată este 0. De aceea punem rezultatul funcției egal cu 0, rezolvăm ecuația și scriem punctul (x,0).

Altă problemă: intersecția cu axa Ox

Determinați intersecția graficului funcției g(x) = 2x − 6 cu axa Ox.

  1. Pe axa Ox avem y=0, deci impunem g(x)=0.
  2. Pentru g, obținem 2x−6=0, deci 2x=6 și x=3.
  3. Punctul de intersecție este A(3,0).

Punctul fix: rezultatul este chiar numărul înlocuit

Un număr a este fix pentru funcția f dacă, atunci când punem a în locul lui x, rezultatul este tot a. Scriem f(a)=a. Litera a este numărul pe care îl căutăm, nu un coeficient nou al funcției.

Pe grafic, punctul corespunzător este A(a,a): prima coordonată și a doua coordonată sunt egale. Înlocuim x cu a în formula dată, egalăm rezultatul cu a, rezolvăm ecuația și verificăm prin înlocuire.

  • f(a)=a ⇒ A(a,a) este punctul fix de pe grafic

Altă problemă: un punct fix

Pentru g(x)=−x+8, determină numărul fix și punctul corespunzător.

  1. Căutăm a cu g(a)=a, deci −a+8=a.
  2. Adunăm a de ambele părți: 8=2a.
  3. Împărțim la 2: a=4.
  4. Verificăm: g(4)=−4+8=4. Punctul este A(4,4).

Punct pe grafic: a doua coordonată este f din prima

Un punct P(x,y) de pe grafic are a doua coordonată egală cu f(x). Prima coordonată se numește abscisă; a doua se numește ordonată. Ordinea lor contează: înlocuim x cu prima coordonată, apoi egalăm rezultatul cu a doua.

Dacă prima coordonată este o literă necunoscută, o păstrăm în formulă și rezolvăm ecuația. La final calculăm din nou valoarea funcției pentru a verifica punctul.

  • P(a,b) pe graficul lui f ⇒ f(a)=b

Altă problemă: aflăm prima coordonată

P(t,13) aparține graficului lui g(x)=3x−2. Află t.

  1. Înlocuim x cu prima coordonată t: g(t)=3t−2.
  2. Rezultatul trebuie să fie ordonata 13: 3t−2=13.
  3. Adunăm 2: 3t=15. Împărțim la 3: t=5.
  4. Verificăm g(5)=15−2=13, deci P(5,13) este pe grafic.

Intersecția cu Oy: punem x egal cu zero

Oy este axa verticală. Orice punct de pe ea are prima coordonată x=0. Calculăm f(0) înlocuind fiecare x cu 0, apoi scriem punctul (0,f(0)).

Nu confundăm axele: pentru Oy punem x=0; pentru Ox punem rezultatul f(x)=0 și rezolvăm o ecuație.

  • Cu Oy: B(0,f(0))

Altă problemă: punctul de pe Oy

Află intersecția graficului lui g(x)=4x−3 cu Oy.

  1. Pe Oy avem x=0.
  2. Înlocuim în formulă: g(0)=4·0−3=−3.
  3. Punctul complet este B(0,−3). Prima coordonată este 0, nu −3.

Două puncte ne ajută să aflăm a și b

În f(x)=ax+b, a și b sunt două numere necunoscute, numite coeficienți. a este numărul care se înmulțește cu x; b se adună la acel produs. Fiecare punct cunoscut ne dă o ecuație, deoarece a doua coordonată este rezultatul pentru prima coordonată.

Un punct cu prima coordonată 0 ne ajută imediat: f(0)=a·0+b=b. Aflăm b din acel punct, îl înlocuim în ecuația dată de al doilea punct, apoi aflăm a. Scriem funcția completă și verificăm ambele puncte. În notația P(u,v), u este prima coordonată, iar v este a doua.

  • f(0)=b
  • P(u,v) pe grafic ⇒ au+b=v

Altă problemă: reconstruim formula

Graficul lui g(x)=px+q trece prin P(0,−1) și Q(3,8). Află p și q.

  1. p și q sunt coeficienții de aflat. Din P obținem g(0)=−1, deci q=−1.
  2. Din Q avem g(3)=8: 3p+q=8.
  3. Înlocuim q: 3p−1=8, deci 3p=9 și p=3.
  4. Formula este g(x)=3x−1. Verificăm g(0)=−1 și g(3)=8.

Parabola și Ox: desfacem ecuația în doi factori

Pentru f(x)=Ax2+Bx+C, unde A, B și C sunt numere și A≠0, graficul se numește parabolă. A, B și C sunt coeficienții formulei. Pe Ox, a doua coordonată este 0, deci căutăm toate numerele reale x pentru care f(x)=0. Aceste numere se numesc rădăcini sau zerouri ale funcției; ele sunt abscisele intersecțiilor.

Pentru x2−sx+p, putem căuta două numere u și v cu u+v=s și u·v=p. Atunci x2−sx+p=(x−u)(x−v). Literele s și p reprezintă numerele din formulă, iar u și v sunt numerele căutate. Verificăm identitatea deschizând parantezele.

Un produs este 0 dacă cel puțin unul dintre factorii săi este 0. Din (x−u)(x−v)=0 rezolvăm x−u=0 sau x−v=0. Scriem ambele soluții, apoi punctele (u,0) și (v,0). Metoda cu factori este utilă când găsim u și v ușor; nu presupunem că orice ecuație are rădăcini întregi.

Altă problemă: două intersecții

Află intersecțiile graficului lui g(x)=x2−7x+10 cu Ox.

  1. Pe Ox scriem x2−7x+10=0.
  2. Căutăm două numere cu suma 7 și produsul 10: 2 și 5.
  3. Factorizăm: (x−2)(x−5)=0. Verificare: produsul este x2−7x+10.
  4. Un factor trebuie să fie 0: x=2 sau x=5.
  5. Punctele sunt A(2,0) și B(5,0). Verificăm g(2)=0 și g(5)=0.

Două intersecții distincte: discriminantul este pozitiv

Pentru ecuația Ax2+Bx+C=0, A, B și C sunt coeficienții, cu A≠0. A este numărul din fața lui x2, B este numărul din fața lui x, cu tot cu semn, iar C este termenul fără x. În această formulă folosim majuscule pentru coeficienți; parametrul m rămâne numărul de aflat din problema dată.

Calculăm discriminantul, notat Δ (delta), prin formula Δ=B2−4AC. Dacă Δ>0, ecuația are două soluții reale diferite, deci graficul intersectează Ox în două puncte distincte. La Δ=0 există un singur punct; la Δ<0 nu există intersecții reale cu Ox.

Dacă în formulă apare m, acesta este un parametru: un număr pentru care căutăm o condiție. Scriem Δ>0, înlocuim coeficienții și rezolvăm inegalitatea. Când împărțim o inegalitate la un număr negativ, inversăm semnul: > devine <. Nu includem valoarea de la egalitate, pentru că acolo cele două puncte nu mai sunt distincte.

  • Δ=B2−4AC
  • Două puncte distincte pe Ox ⇔ Δ>0

Altă problemă: condiție pentru parametru

Pentru g(x)=x2−6x+k, află k pentru două intersecții distincte cu Ox.

  1. A=1, B=−6 și C=k. k este parametrul căutat.
  2. Δ=(−6)2−4·1·k=36−4k.
  3. Două intersecții distincte cer 36−4k>0.
  4. Scădem 36: −4k>−36. Împărțim la −4 și schimbăm sensul: k<9.
  5. La k=9 avem Δ=0, deci doar un punct. De aceea 9 nu intră în răspuns.

Compunere: folosim rezultatul în aceeași formulă încă o dată

Semnul ∘ se citește «compus cu». Scrierea (f∘f)(a) înseamnă f(f(a)): punem întâi a în locul lui x, apoi punem rezultatul f(a) în locul lui x în aceeași formulă. Nu înmulțim două valori și nu ridicăm rezultatul la pătrat.

Dacă rezultatul primului calcul este o expresie, de exemplu a+2, înlocuim x cu întreaga expresie. O scriem între paranteze și păstrăm operațiile din formula funcției. La final egalăm cu rezultatul cerut și aflăm a.

  • (f∘f)(a)=f(f(a))

Altă problemă: aceeași regulă de două ori

Pentru g(x)=2x+1, află t dacă (g∘g)(t)=15.

  1. Prima aplicare: g(t)=2t+1.
  2. Punem întregul rezultat în locul lui x: g(g(t))=g(2t+1)=2(2t+1)+1.
  3. Desfacem paranteza: g(g(t))=4t+3.
  4. 4t+3=15, deci 4t=12 și t=3.
  5. Verificăm: g(3)=7 și g(7)=15. Am aplicat aceeași formulă de două ori.

Exerciții rezolvate din lecție (33)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru f(x) = 3x − 12, determină punctul de intersecție cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe Ox avem y=0, deci f(x)=0.
    2. Rezolvăm 3x−12=0, de unde 3x=12 și x=4.
    3. Punctul cerut este A(4,0).

    Răspuns: A(4, 0)

  2. Exercițiul 2

    Pentru h(x)=2x+6, cât este h(0)?

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim x cu 0: h(0)=2·0+6.
    2. Produsul 2·0 este 0.
    3. Rezultatul este h(0)=6.

    Răspuns: 6

  3. Exercițiul 3

    Pentru h(x)=−x+5, care este punctul de intersecție cu Ox?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem −x+5=0.
    2. Rezolvăm x=5.
    3. Pe Ox y=0, deci punctul este A(5,0).

    Răspuns: A(5, 0)

  4. Exercițiul 4

    Pentru f(x) = 2x + 3, calculează f(4).

    Vezi rezolvarea
    1. f(4) = 2 · 4 + 3.
    2. f(4) = 8 + 3.
    3. Rezultă f(4) = 11.

    Răspuns: 11

  5. Exercițiul 5

    Pentru f(x) = 3x − 5, determină a dacă f(a) = 7.

    Vezi rezolvarea
    1. f(a) = 3a − 5.
    2. 3a − 5 = 7, deci 3a = 12.
    3. Rezultă a = 4.

    Răspuns: 4

  6. Exercițiul 6

    Pentru f(x) = 4x − 1, determină a dacă f(a) = f(2) + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 4 · 2 − 1 = 7.
    2. f(a) = 7 + 4 = 11.
    3. 4a − 1 = 11, deci 4a = 12.
    4. Rezultă a = 3.

    Răspuns: 3

  7. Exercițiul 7

    Pentru f(x) = −2x + 6, determină punctul fix.

    Vezi rezolvarea
    1. Impunem f(a) = a.
    2. −2a + 6 = a, deci 3a = 6.
    3. Rezultă a = 2, iar punctul fix este A(2, 2).

    Răspuns: 2

  8. Exercițiul 8

    P(a, 9) aparține graficului lui f(x) = 2x + 1. Determină a.

    Vezi rezolvarea
    1. P(a, 9) este pe grafic, deci 9 = f(a).
    2. 9 = 2a + 1, deci 2a = 8.
    3. Rezultă a = 4.

    Răspuns: 4

  9. Exercițiul 9

    Determină intersecția graficului lui f(x) = −2x + 5 cu Oy.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe Oy avem x = 0.
    2. f(0) = −2 · 0 + 5 = 5.
    3. Punctul de intersecție este B(0, 5).

    Răspuns: B(0, 5)

  10. Exercițiul 10

    Graficul lui f(x) = ax + b trece prin A(0, 3) și B(2, 7). Determină a și b.

    Vezi rezolvarea
    1. Din A(0, 3): b = 3.
    2. Din B(2, 7): 2a + b = 7.
    3. 2a + 3 = 7, deci a = 2.
    4. Funcția este f(x) = 2x + 3.

    Răspuns: a = 2, b = 3

  11. Exercițiul 11

    Pentru f(x) = x2 − 3x + 2, calculează f(4).

    Vezi rezolvarea
    1. f(4) = 42 − 3 · 4 + 2.
    2. f(4) = 16 − 12 + 2.
    3. Rezultă f(4) = 6.

    Răspuns: 6

  12. Exercițiul 12

    Determină abscisele intersecțiilor lui f(x) = x2 − 5x + 6 cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe Ox rezolvăm x2 − 5x + 6 = 0.
    2. Factorizăm: (x − 2)(x − 3) = 0.
    3. Rezultă x1 = 2 și x2 = 3.
    4. Punctele sunt A(2, 0) și B(3, 0).

    Răspuns: 2 și 3

  13. Exercițiul 13

    Pentru f(x) = x2 − 4x + m, determină m pentru două intersecții distincte cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Impunem Δ > 0.
    2. Δ = (−4)2 − 4m = 16 − 4m.
    3. 16 − 4m > 0.
    4. Rezultă m < 4.

    Răspuns: m < 4

  14. Exercițiul 14

    Pentru f(x) = x + 2, determină a dacă (f ∘ f)(a) = 9.

    Vezi rezolvarea
    1. f(a) = a + 2.
    2. f(f(a)) = f(a + 2) = a + 4.
    3. a + 4 = 9.
    4. Rezultă a = 5.

    Răspuns: 5

  15. Exercițiul 15

    Pentru f(x)=3x−8, determină punctul fix de pe grafic.

    Vezi rezolvarea
    1. 3a−8=a. Un număr fix trebuie să dea același rezultat a, nu rezultatul zero.
    2. 2a=8. 3a−a=2a, iar adunarea lui 8 elimină termenul −8. Obținem 2a=8.
    3. a=4, deci A(4,4). Împărțim 8 la 2: a=4. Verificăm f(4)=12−8=4, deci punctul este A(4,4).

    Răspuns: A(4,4)

  16. Exercițiul 16

    Pentru f(x)=−x−6, determină punctul fix de pe grafic.

    Vezi rezolvarea
    1. −a−6=a. Înlocuim x cu a fără să schimbăm cele două semne minus ale formulei.
    2. −6=2a. În stânga −a+a=0; în dreapta a+a=2a. Termenul −6 nu își schimbă semnul.
    3. a=−3, deci A(−3,−3). −6:2=−3. Verificăm f(−3)=3−6=−3; ambele coordonate sunt −3.

    Răspuns: A(−3,−3)

  17. Exercițiul 17

    P(a,14) aparține graficului lui f(x)=4x−2. Determină a.

    Vezi rezolvarea
    1. 4a−2=14. Prima coordonată este a, iar a doua este 14, deci f(a)=14.
    2. 4a=16. 14+2=16. Încă avem de patru ori a, nu doar a.
    3. a=4. Împărțim la 4: a=4. Verificăm f(4)=16−2=14, deci P(4,14) este pe grafic.

    Răspuns: 4

  18. Exercițiul 18

    P(a,7) aparține graficului lui f(x)=−3x+1. Determină a.

    Vezi rezolvarea
    1. −3a+1=7. Înlocuim x cu a și egalăm rezultatul cu 7, fără să schimbăm coeficienții.
    2. −3a=6. 7−1=6, iar coeficientul necunoscutei rămâne −3.
    3. a=−2. 6:(−3)=−2. Verificăm f(−2)=6+1=7, deci P(−2,7) este pe grafic.

    Răspuns: −2

  19. Exercițiul 19

    Determină intersecția graficului lui f(x)=5x+2 cu Oy.

    Vezi rezolvarea
    1. x=0. Oy este axa verticală: prima coordonată a oricărui punct de pe ea este zero.
    2. f(0)=5·0+2=2. Produsul cu zero este zero; păstrăm termenul +2, deci rezultatul este 2.
    3. B(0,2). Prima coordonată este x=0; a doua coordonată este rezultatul f(0)=2.

    Răspuns: B(0,2)

  20. Exercițiul 20

    Determină intersecția graficului lui f(x)=−4x−7 cu Oy.

    Vezi rezolvarea
    1. f(0)=−4·0−7. Punem zero numai în locul lui x. Păstrăm coeficientul −4 și termenul liber −7.
    2. f(0)=−7. Produsul −4·0 este zero. Rămâne 0−7=−7, deci rezultatul este negativ șapte.
    3. B(0,−7). Scriem (x,f(x)) în această ordine: B(0,−7). Punctul este sub origine pe Oy.

    Răspuns: B(0,−7)

  21. Exercițiul 21

    Graficul lui f(x)=ax+b trece prin A(0,−2) și B(3,7). Află a, b și formula.

    Vezi rezolvarea
    1. b=−2. f(0)=a·0+b=b, iar ordonata primului punct este −2. Așadar b=−2.
    2. 3a−2=7. B ne spune f(3)=7. În ax+b punem 3 în locul lui x și −2 în locul lui b.
    3. 3a=9. 7+2=9, deci rămâne 3a=9. Mai trebuie împărțirea la 3.
    4. a=3, b=−2; f(x)=3x−2. 9:3=3. Verificăm f(0)=−2 și f(3)=9−2=7, deci formula respectă ambele puncte.

    Răspuns: a=3, b=−2; f(x)=3x−2

  22. Exercițiul 22

    Graficul lui f(x)=ax+b trece prin A(0,5) și B(−2,11). Află a, b și formula.

    Vezi rezolvarea
    1. b=5 și −2a+5=11. Din f(0)=5 aflăm b=5. Din f(−2)=11 păstrăm abscisa negativă: −2a+5=11.
    2. −2a=6. 11−5=6. Coeficientul lui a rămâne −2 până la următoarea operație.
    3. a=−3, b=5; f(x)=−3x+5. 6:(−2)=−3. Verificăm f(0)=5 și f(−2)=6+5=11; ambele puncte se potrivesc.

    Răspuns: a=−3, b=5; f(x)=−3x+5

  23. Exercițiul 23

    Determină intersecțiile graficului lui f(x)=x2−6x+8 cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. x2−6x+8=0. Ordonata este zero, deci egalăm întreaga formulă a funcției cu zero.
    2. u=2, v=4. 2+4=6 și 2·4=8, deci putem folosi factorii x−2 și x−4.
    3. (x−2)(x−4)=0. Produsul se dezvoltă în x2−4x−2x+8=x2−6x+8, exact polinomul dat.
    4. A(2,0) și B(4,0). x−2=0 sau x−4=0 dau x=2 și x=4. Verificăm f(2)=0 și f(4)=0; ordonatele sunt zero.

    Răspuns: A(2,0) și B(4,0)

  24. Exercițiul 24

    Determină intersecțiile graficului lui f(x)=x2−x−6 cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. (x−3)(x+2)=0. Numerele sunt u=3 și v=−2: suma este 1 și produsul −6. Dezvoltăm (x−3)(x+2)=x2−x−6.
    2. x=3 sau x=−2. Rezolvăm x−3=0 sau x+2=0. În a doua ecuație scădem 2, deci x=−2.
    3. A(3,0) și B(−2,0). Pe Ox ordonata este zero. Verificăm f(3)=9−3−6=0 și f(−2)=4+2−6=0.

    Răspuns: A(3,0) și B(−2,0)

  25. Exercițiul 25

    Pentru f(x)=x2−2x+m, află m pentru două intersecții distincte cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. A=1, B=−2, C=m. Coeficientul lui x2 este 1; al lui x este −2; termenul fără x este m.
    2. Δ=(−2)2−4·1·m=4−4m. (−2)2=4 și 4AC=4m. Scădem produsul 4m din patru.
    3. −4m>−4. 4−4m>0 devine −4m>−4. La scădere păstrăm sensul strict al inegalității.
    4. m<1. Împărțirea la negativ inversează sensul: m<1. La m=1, f(x)=(x−1)2 are doar o intersecție.

    Răspuns: m<1

  26. Exercițiul 26

    Pentru f(x)=x2+2x+m+3, află m pentru două intersecții distincte cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Δ=22−4·1·(m+3). A=1, B=2 și C=m+3. Punem întregul termen liber între paranteze în formula B2−4AC.
    2. Δ=−4m−8. −4(m+3)=−4m−12, deci 4−12=−8. Astfel Δ=−4m−8.
    3. −4m>8. Din −4m−8>0, adunarea lui 8 în ambele părți dă −4m>8.
    4. m<−2. 8:(−4)=−2 și sensul se inversează. La m=−2, Δ=0; pentru m<−2, Δ>0.

    Răspuns: m<−2

  27. Exercițiul 27

    Pentru f(x)=2x−1, află a dacă (f∘f)(a)=9.

    Vezi rezolvarea
    1. f(a)=2a−1. Punem a în locul lui x o singură dată. Coeficientul doi și termenul −1 rămân.
    2. f(f(a))=2(2a−1)−1. Formula este 2x−1: înmulțim întregul rezultat anterior cu doi și apoi scădem unu.
    3. 4a−3=9. 2(2a−1)−1=4a−2−1=4a−3. Egalăm rezultatul compunerii cu nouă.
    4. a=3. Adunăm trei: 4a=12. Împărțim la patru: a=3. Verificăm f(3)=5 și f(5)=9.

    Răspuns: 3

  28. Exercițiul 28

    Pentru f(x)=−x+4, află a dacă (f∘f)(a)=−2.

    Vezi rezolvarea
    1. f(f(a))=−(−a+4)+4. Prima aplicare dă −a+4. A doua pune întregul rezultat în locul lui x, îi schimbă semnul și adună patru.
    2. f(f(a))=a. Minusul schimbă ambele semne: a−4+4=a. Cele două operații inverse se anulează.
    3. a=−2. Ecuația este a=−2. Verificăm f(−2)=6 și f(6)=−2, exact rezultatul cerut.

    Răspuns: −2

  29. Exercițiul 29

    Pentru f(x)=5x+2, află a dacă f(a)=17.

    Vezi rezolvarea
    1. 5a+2=17. f(a) este 5a+2. Rezultatul cerut este 17; acesta nu este numărul pus în locul lui x.
    2. 5a=15. 17−2=15. Rămâne 5a=15; coeficientul cinci nu dispare la scădere.
    3. a=3. 15:5=3. Verificăm f(3)=5·3+2=17, deci numărul căutat este trei.

    Răspuns: 3

  30. Exercițiul 30

    Pentru f(x)=−2x+3, află a dacă f(a)=9.

    Vezi rezolvarea
    1. −2a+3=9. Înlocuim numai x cu a și păstrăm coeficientul −2 și termenul +3. Egalăm cu nouă.
    2. −2a=6. 9−3=6, iar coeficientul lui a rămâne negativ doi. Nu am făcut încă împărțirea.
    3. a=−3. 6:(−2)=−3. Verificăm f(−3)=−2·(−3)+3=6+3=9, exact rezultatul cerut.

    Răspuns: −3

  31. Exercițiul 31

    Pentru f(x)=3x−2, află a dacă f(a)=f(1)+6.

    Vezi rezolvarea
    1. f(1)=3·1−2=1. Punem unu în locul lui x: 3·1−2=3−2=1. Păstrăm minusul din formulă.
    2. f(a)=1+6=7. Înlocuim f(1) cu rezultatul unu și adunăm șase: f(a) trebuie să fie șapte.
    3. 3a−2=7. Formula cu a este 3a−2, iar rezultatul cerut după adunarea lui șase este șapte.
    4. a=3. Adunăm doi: 3a=9. Împărțim la trei: a=3. Verificăm f(3)=7 și f(1)+6=1+6=7.

    Răspuns: 3

  32. Exercițiul 32

    Pentru f(x)=−2x+5, află a dacă f(a)=f(3)−4.

    Vezi rezolvarea
    1. f(3)=−2·3+5=−1. Înlocuim x cu trei: −2·3=−6, apoi −6+5=−1. Rezultatul este negativ unu.
    2. f(a)=−1−4=−5. Scădem patru din rezultatul f(3), adică din negativ unu: obținem negativ cinci.
    3. −2a+5=−5. f(a)=−2a+5 trebuie să fie −5, după scăderea cerută în enunț.
    4. a=5. Scădem cinci: −2a=−10. Împărțim la −2: a=5. Verificăm f(5)=−5=f(3)−4.

    Răspuns: 5

  33. Exercițiul 33

    Determină intersecția graficului lui f(x)=−3x−9 cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. −3x−9=0. Pe Ox ordonata este zero, deci egalăm rezultatul întregii funcții cu zero.
    2. −3x=9. Termenul −9 se elimină în stânga; în dreapta 0+9=9. Coeficientul rămâne −3.
    3. x=−3. 9:(−3)=−3. Verificăm f(−3)=9−9=0, așa că abscisa este negativ trei.
    4. A(−3,0). Pe Ox a doua coordonată este zero. Scriem mai întâi x=−3, apoi f(−3)=0: A(−3,0).

    Răspuns: A(−3,0)

Fișa integrală · nucleul comun (12)

  1. 1. Bază

    Pentru f(x) = 2x + 3, calculați f(4).

    Vezi răspunsul

    f(4) = 8 + 3 = 11

  2. 2. Bază

    Pentru f(x) = 3x − 5, determinați a dacă f(a) = 7.

    Vezi răspunsul

    3a − 5 = 7, deci a = 4.

  3. 3. Standard

    Pentru f(x) = 4x − 1, determinați a dacă f(a) = f(2) + 4.

    Vezi răspunsul

    f(2) = 7, deci 4a − 1 = 11 și a = 3.

  4. 4. Standard

    Pentru f(x) = −2x + 6, determinați punctul fix.

    Vezi răspunsul

    −2x + 6 = x, deci x = 2: punctul fix este 2 (punctul (2, 2) al graficului).

  5. 5. Grafic

    P(a, 9) aparține graficului lui f(x) = 2x + 1. Determinați a.

    Vezi răspunsul

    2a + 1 = 9, deci a = 4.

  6. 6. Grafic

    Determinați intersecția graficului lui f(x) = 3x − 12 cu Ox.

    Vezi răspunsul

    3x − 12 = 0, deci punctul (4, 0).

  7. 7. Grafic

    Determinați intersecția graficului lui f(x) = −2x + 5 cu Oy.

    Vezi răspunsul

    f(0) = 5, deci punctul (0, 5).

  8. 8. Grafic

    Graficul lui f(x) = ax + b trece prin A(0, 3), B(2, 7). Determinați a și b.

    Vezi răspunsul

    b = 3, iar 2a + 3 = 7 dă a = 2.

  9. 9. Gradul II

    Pentru f(x) = x2 − 3x + 2, calculați f(4).

    Vezi răspunsul

    16 − 12 + 2 = 6

  10. 10. Gradul II

    Determinați intersecțiile lui f(x) = x2 − 5x + 6 cu Ox.

    Vezi răspunsul

    x2 − 5x + 6 = 0 dă x = 2 sau 3: punctele (2, 0) și (3, 0).

  11. 11. Parametru

    Pentru f(x) = x2 − 4x + m, determinați m pentru două intersecții distincte cu Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 4m > 0, deci m < 4.

  12. 12. Compunere

    Pentru f(x) = x + 2, determinați a dacă (f ∘ f)(a) = 9.

    Vezi răspunsul

    (f ∘ f)(a) = a + 4 = 9, deci a = 5.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.