M4 · Pedagogic⏱ 2 sesiuni
M4·f

Teorie înainte de exerciții

Funcții și grafice · nivel M4

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

La M4 folosim reprezentarea grafică și pași expliciți; nu sărim direct la răspuns.
1

Înlocuim intrarea în regula funcției

Funcția asociază fiecărei intrări permise un singur rezultat. Notația f(2) cere să pui 2 în locul fiecărui x, nu să înmulțești f cu 2. Dacă apare f(a), intrarea rămâne necunoscută și obții o ecuație în a.

f(x) = 3x − 1 ⇒ f(a) = 3a − 1
  • În f(3a), înlocuiești fiecare x cu 3a; nu calculezi automat 3f(a).

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = 3x − 1, află a dacă f(a) = f(2) + 3.

  1. 1.Calculăm f(2) = 6 − 1 = 5.
  2. 2.Scriem 3a − 1 = 5 + 3, deci 3a = 9.
  3. 3.a = 3; verificăm f(3) = 8 = f(2) + 3.
2

Punctul de pe grafic ne dă o ecuație

În P(u, v), u este coordonata orizontală, iar v este cea verticală. Punctul aparține graficului exact când regula funcției transformă u în v. Dacă avem două necunoscute, folosim două puncte pentru a obține două ecuații.

P(u, v) ∈ Gf ⇔ f(u) = v
  • Păstrează ordinea coordonatelor și semnul fiecărui coeficient.

Exemplu rezolvat

f(x) = ax + b trece prin P(0, 2) și Q(3, 8). Află a și b.

  1. 1.P ne dă f(0) = b = 2.
  2. 2.Q ne dă 3a + 2 = 8, deci a = 2.
  3. 3.Funcția este f(x) = 2x + 2; f(0) = 2 și f(3) = 8 confirmă ambele puncte.
3

Intersecțiile cu axele

Pe axa verticală Oy, intrarea este zero. Pe axa orizontală Ox, rezultatul este zero. De aceea sunt două cerințe diferite: la Oy calculezi o valoare, la Ox rezolvi o ecuație. O parabolă poate avea două rădăcini reale.

Oy: (0, f(0)); Ox: f(x) = 0
  • Nu pierde rădăcina negativă când rezolvi x2 = 9.

Exemplu rezolvat

Găsește intersecțiile lui f(x) = x2 − 9 cu axele.

  1. 1.La Oy: f(0) = −9, deci punctul este (0, −9).
  2. 2.La Ox: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0.
  3. 3.Obținem punctele (3, 0) și (−3, 0), deoarece ambii factori pot fi zero.
4

Câte puncte comune are parabola cu Ox?

Pentru f(x) = ax2 + bx + c, cu a nenul, calculăm discriminantul Δ. Semnul lui ne spune câte soluții reale are f(x) = 0. Un parametru din formulă se tratează ca o necunoscută în condiția asupra lui Δ.

Δ = b2 − 4ac; Δ > 0: două puncte; Δ = 0: unul; Δ < 0: niciunul
  • O singură intersecție cere Δ = 0; două distincte cer strict Δ > 0.

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = x2 − 4x + m, când nu există intersecții cu Ox?

  1. 1.Coeficienții sunt a = 1, b = −4, c = m, deci Δ = 16 − 4m.
  2. 2.Cerem 16 − 4m < 0, adică −4m < −16.
  3. 3.Împărțim la −4 și inversăm inegalitatea: m > 4.
5

Relațiile lui Viète și semnele rădăcinilor

Când cunoști coeficienții unei ecuații de gradul al doilea, poți calcula suma și produsul rădăcinilor fără să le afli separat. Două rădăcini reale au semne opuse dacă produsul lor este negativ. În acest caz Δ este automat pozitiv, deoarece ac < 0.

x1 + x2 = −ba; x1x2 = ca
  • Nu uita împărțirea la a și minusul din formula sumei.

Exemplu rezolvat

Pentru 2x2 − 6x − 8 = 0, află suma, produsul și semnele rădăcinilor.

  1. 1.Suma este −−62 = 3.
  2. 2.Produsul este −82 = −4.
  3. 3.Produsul negativ arată că rădăcinile sunt reale și au semne opuse; verificăm Δ = 36 + 64 = 100 > 0.
6

Recapitulare: axe și valori egale

În P(u, v), u este coordonata orizontală, iar v este cea verticală. Punctul aparține graficului exact când regula funcției transformă u în v. Dacă avem două necunoscute, folosim două puncte pentru a obține două ecuații.

P(u, v) ∈ Gf ⇔ f(u) = v
  • Păstrează ordinea coordonatelor și semnul fiecărui coeficient.

Exemplu rezolvat

f(x) = ax + b trece prin P(0, 2) și Q(3, 8). Află a și b.

  1. 1.P ne dă f(0) = b = 2.
  2. 2.Q ne dă 3a + 2 = 8, deci a = 2.
  3. 3.Funcția este f(x) = 2x + 2; f(0) = 2 și f(3) = 8 confirmă ambele puncte.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · profil Pedagogic · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 13BazăM4 · Pedagogic

    Pentru f(x) = x2 − x + 4, arătați că f(0) = f(1).

    Vezi răspunsul

    f(0) = 4 și f(1) = 1 − 1 + 4 = 4, deci f(0) = f(1).

  2. Ex. 14StandardM4 · Pedagogic

    Pentru f(x) = 2x + 1, determinați a dacă f(a) = f(3) − a.

    Vezi răspunsul

    f(3) = 7, deci 2a + 1 = 7 − a, 3a = 6 și a = 2.

  3. Ex. 15GraficM4 · Pedagogic

    P(m, 7) aparține graficului lui f(x) = 3x − 2. Determinați m.

    Vezi răspunsul

    3m − 2 = 7, deci m = 3.

  4. Ex. 16GraficM4 · Pedagogic

    Determinați intersecțiile lui f(x) = −x + 4 cu axele.

    Vezi răspunsul

    Cu Oy: (0, 4). Cu Ox: −x + 4 = 0, deci (4, 0).

  5. Ex. 17GraficM4 · Pedagogic

    Determinați intersecțiile lui f(x) = x2 − 4 cu Ox și Oy.

    Vezi răspunsul

    Cu Ox: x2 = 4, deci (−2, 0) și (2, 0). Cu Oy: (0, −4).

  6. Ex. 18ParametruM4 · Pedagogic

    Pentru f(x) = x2 − 2x + m − 1, determinați m pentru două intersecții distincte cu Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 4 − 4(m − 1) = 8 − 4m > 0, deci m < 2.

  7. Ex. 19ParametruM4 · Pedagogic

    Pentru f(x) = x2 + 4x + m, determinați m pentru tangență la Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 4m = 0, deci m = 4.

  8. Ex. 20VièteM4 · Pedagogic

    Pentru x2 − 7x + 10 = 0, calculați suma rădăcinilor.

    Vezi răspunsul

    x1 + x2 = 7

  9. Ex. 21ParametruM4 · Pedagogic

    Pentru f(x) = x2 + mx + 1, determinați m dacă f(−1) = f(1).

    Vezi răspunsul

    f(−1) = 2 − m și f(1) = 2 + m, deci m = 0.

  10. Ex. 22GraficM4 · Pedagogic

    Graficul lui f(x) = mx + 2 trece prin A(2, 8). Determinați m.

    Vezi răspunsul

    2m + 2 = 8, deci m = 3.

  11. Ex. 23ParametruM4 · Pedagogic

    Pentru f(x) = x2 + (m − 1)x − 2, determinați m dacă 1 este rădăcină.

    Vezi răspunsul

    f(1) = 1 + m − 1 − 2 = 0, deci m = 2.

  12. Ex. 24ConsolidareM4 · Pedagogic

    Pentru f(x) = x2 − 6x + m, determinați m pentru nicio intersecție cu Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 36 − 4m < 0, deci m > 9.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.