Încărcăm partea curentă…

Funcții și grafice · nivel M4

Înlocuim x în formula funcției

Funcția dă un singur rezultat pentru fiecare valoare permisă a lui x. Notația f(2) cere să pui 2 în locul fiecărui x, nu să înmulțești f cu 2. Dacă apare f(a), punem a în locul lui x și obținem o ecuație în a.

De ținut minte

f(x) = 3x − 1 ⇒ f(a) = 3a − 1
  • În f(3a), înlocuiești fiecare x cu 3a; nu calculezi automat 3f(a).

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = 3x − 1, află a dacă f(a) = f(2) + 3.

  1. 1Calculăm f(2) = 6 − 1 = 5.
  2. 2Scriem 3a − 1 = 5 + 3, deci 3a = 9.
  3. 3a = 3; verificăm f(3) = 8 = f(2) + 3.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcții și grafice · nivel M4: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Înlocuim x în formula funcției

Funcția dă un singur rezultat pentru fiecare valoare permisă a lui x. Notația f(2) cere să pui 2 în locul fiecărui x, nu să înmulțești f cu 2. Dacă apare f(a), punem a în locul lui x și obținem o ecuație în a.

  • f(x) = 3x − 1 ⇒ f(a) = 3a − 1
  • În f(3a), înlocuiești fiecare x cu 3a; nu calculezi automat 3f(a).

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = 3x − 1, află a dacă f(a) = f(2) + 3.

  1. Calculăm f(2) = 6 − 1 = 5.
  2. Scriem 3a − 1 = 5 + 3, deci 3a = 9.
  3. a = 3; verificăm f(3) = 8 = f(2) + 3.

Punctul de pe grafic ne dă o ecuație

În P(u, v), u este coordonata orizontală, iar v este cea verticală. Punctul aparține graficului exact când regula funcției transformă u în v. Dacă avem două necunoscute, folosim două puncte pentru a obține două ecuații.

  • P(u, v) ∈ Gf ⇔ f(u) = v
  • Păstrează ordinea coordonatelor și semnul fiecărui coeficient.

Exemplu rezolvat

f(x) = ax + b trece prin P(0, 2) și Q(3, 8). Află a și b.

  1. P ne dă f(0) = b = 2.
  2. Q ne dă 3a + 2 = 8, deci a = 2.
  3. Funcția este f(x) = 2x + 2; f(0) = 2 și f(3) = 8 confirmă ambele puncte.

Intersecțiile cu axele

Pe axa verticală Oy punem x=0. Pe axa orizontală Ox cerem ca rezultatul f(x) să fie zero. De aceea sunt două cerințe diferite: la Oy calculăm o valoare, la Ox rezolvăm o ecuație. O parabolă poate avea două rădăcini reale.

  • Oy: (0, f(0)); Ox: f(x) = 0
  • Nu pierde rădăcina negativă când rezolvi x2 = 9.

Exemplu rezolvat

Găsește intersecțiile lui f(x) = x2 − 9 cu axele.

  1. La Oy: f(0) = −9, deci punctul este (0, −9).
  2. La Ox: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0.
  3. Obținem punctele (3, 0) și (−3, 0), deoarece ambii factori pot fi zero.

Câte puncte comune are parabola cu Ox?

Pentru f(x) = ax2 + bx + c, cu a nenul, calculăm discriminantul Δ. Semnul lui ne spune câte soluții reale are f(x) = 0. Un parametru din formulă se tratează ca o necunoscută în condiția asupra lui Δ.

  • Δ = b2 − 4ac; Δ > 0: două puncte; Δ = 0: unul; Δ < 0: niciunul
  • O singură intersecție cere Δ = 0; două distincte cer strict Δ > 0.

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = x2 − 4x + m, când nu există intersecții cu Ox?

  1. Coeficienții sunt a = 1, b = −4, c = m, deci Δ = 16 − 4m.
  2. Cerem 16 − 4m < 0, adică −4m < −16.
  3. Împărțim la −4 și inversăm inegalitatea: m > 4.

Relațiile lui Viète și semnele rădăcinilor

Când cunoști coeficienții unei ecuații de gradul al doilea, poți calcula suma și produsul rădăcinilor fără să le afli separat. Două rădăcini reale au semne opuse dacă produsul lor este negativ. În acest caz Δ este automat pozitiv, deoarece ac < 0.

  • x1 + x2 = −ba; x1x2 = ca
  • Nu uita împărțirea la a și minusul din formula sumei.

Exemplu rezolvat

Pentru 2x2 − 6x − 8 = 0, află suma, produsul și semnele rădăcinilor.

  1. Suma este −−62 = 3.
  2. Produsul este −82 = −4.
  3. Produsul negativ arată că rădăcinile sunt reale și au semne opuse; verificăm Δ = 36 + 64 = 100 > 0.

Recapitulare: axe și valori egale

În P(u, v), u este coordonata orizontală, iar v este cea verticală. Punctul aparține graficului exact când regula funcției transformă u în v. Dacă avem două necunoscute, folosim două puncte pentru a obține două ecuații.

  • P(u, v) ∈ Gf ⇔ f(u) = v
  • Păstrează ordinea coordonatelor și semnul fiecărui coeficient.

Exemplu rezolvat

f(x) = ax + b trece prin P(0, 2) și Q(3, 8). Află a și b.

  1. P ne dă f(0) = b = 2.
  2. Q ne dă 3a + 2 = 8, deci a = 2.
  3. Funcția este f(x) = 2x + 2; f(0) = 2 și f(3) = 8 confirmă ambele puncte.

Exerciții rezolvate din lecție (19)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru f(x) = −x + 4, pasul 1: ce obținem la intersecția cu Oy?

    Vezi rezolvarea
    1. Pe Oy avem x = 0.
    2. f(0) = −0 + 4 = 4.
    3. Punctul este A(0, 4).

    Răspuns: A(0, 4)

  2. Exercițiul 2

    Pentru aceeași funcție, pasul 2: ce ecuație rezolvăm pentru intersecția cu Ox?

    Vezi rezolvarea
    1. Pe Ox impunem f(x) = 0.
    2. Ecuația este −x + 4 = 0.
    3. Rezultă x = 4.

    Răspuns: −x + 4 = 0

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: care sunt cele două intersecții cu axele?

    Vezi rezolvarea
    1. Cu Oy am găsit A(0, 4).
    2. Cu Ox am găsit x = 4, deci B(4, 0).
    3. Răspuns: A(0, 4), B(4, 0).

    Răspuns: A(0, 4), B(4, 0)

  4. Exercițiul 4

    Pentru f(x) = x2 − x + 4, arată că f(0) = f(1). Ce valoare comună obții?

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = 02 − 0 + 4 = 4.
    2. f(1) = 12 − 1 + 4 = 4.
    3. Prin urmare f(0) = f(1) = 4.

    Răspuns: 4

  5. Exercițiul 5

    Pentru f(x) = 2x + 1, determină a dacă f(a) = f(3) − a.

    Vezi rezolvarea
    1. f(3) = 7.
    2. 2a + 1 = 7 − a.
    3. 3a = 6.
    4. Rezultă a = 2.

    Răspuns: 2

  6. Exercițiul 6

    P(m, 7) aparține graficului lui f(x) = 3x − 2. Determină m.

    Vezi rezolvarea
    1. P(m, 7) este pe grafic, deci 7 = 3m − 2.
    2. 3m = 9.
    3. Rezultă m = 3.

    Răspuns: 3

  7. Exercițiul 7

    Pentru f(x) = x2 − 4, scrie cele trei intersecții cu Ox și Oy.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu Ox: x2 − 4 = 0, deci x = −2 sau x = 2.
    2. Obținem A(−2, 0) și B(2, 0).
    3. Cu Oy: x = 0, iar f(0) = −4.
    4. Obținem C(0, −4).

    Răspuns: A(−2,0), B(2,0), C(0,−4)

  8. Exercițiul 8

    Pentru f(x) = x2 − 2x + m − 1, determină m pentru două intersecții distincte cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = (−2)2 − 4(m − 1) = 8 − 4m.
    2. Pentru două intersecții impunem 8 − 4m > 0.
    3. Rezultă m < 2.

    Răspuns: m < 2

  9. Exercițiul 9

    Pentru f(x) = x2 + 4x + m, determină m și punctul de tangență cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Tangența impune Δ = 0.
    2. 16 − 4m = 0, deci m = 4.
    3. Funcția devine (x + 2)2.
    4. Rădăcina dublă este x = −2, deci T(−2, 0).

    Răspuns: m = 4, T(−2,0)

  10. Exercițiul 10

    Ecuația x2 − 7x + 10 = 0 are rădăcinile x1, x2. Calculează x1 + x2.

    Vezi rezolvarea
    1. Avem a = 1 și b = −7.
    2. Prin Viète, x1 + x2 = −ba.
    3. x1 + x2 = −−71 = 7.

    Răspuns: 7

  11. Exercițiul 11

    Pentru f(x) = x2 + mx + 1, determină m dacă f(−1) = f(1).

    Vezi rezolvarea
    1. f(−1) = 2 − m.
    2. f(1) = 2 + m.
    3. 2 − m = 2 + m, deci 2m = 0.
    4. Rezultă m = 0.

    Răspuns: 0

  12. Exercițiul 12

    Graficul lui f(x) = mx + 2 trece prin A(2, 8). Determină m.

    Vezi rezolvarea
    1. Din A(2, 8) avem f(2) = 8.
    2. 2m + 2 = 8.
    3. 2m = 6.
    4. Rezultă m = 3.

    Răspuns: 3

  13. Exercițiul 13

    Pentru f(x) = x2 + (m − 1)x − 2, determină m dacă 1 este rădăcină.

    Vezi rezolvarea
    1. f(1) = 1 + (m − 1) − 2.
    2. f(1) = m − 2.
    3. m − 2 = 0.
    4. Rezultă m = 2.

    Răspuns: 2

  14. Exercițiul 14

    Pentru f(x) = x2 − 6x + m, determină m pentru nicio intersecție cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Impunem Δ < 0.
    2. Δ = 36 − 4m.
    3. 36 − 4m < 0.
    4. Rezultă m > 9.

    Răspuns: m > 9

  15. Exercițiul 15

    Pentru f(x) = 2x − 3, calculează f(5).

    Vezi rezolvarea
    1. Punem x = 5: f(5) = 2 · 5 − 3.
    2. Înmulțim: 10 − 3.
    3. Obținem f(5) = 7.

    Răspuns: 7

  16. Exercițiul 16

    Află suma rădăcinilor ecuației 2x2 − 14x + 12 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. a = 2, b = −14; Δ = 196 − 96 = 100 > 0.
    2. Aplicăm suma −ba = 142.
    3. Suma rădăcinilor este 7.

    Răspuns: 7

  17. Exercițiul 17

    Află produsul rădăcinilor lui x2 − 5x + 6 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. a = 1, c = 6 și Δ = 1.
    2. Produsul este ca = 61.
    3. Obținem 6; rădăcinile 2 și 3 confirmă.

    Răspuns: 6

  18. Exercițiul 18

    f(x) = mx + 1 trece prin (3, 13). Află m.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este f(3) = 13.
    2. 3m + 1 = 13, deci 3m = 12.
    3. m = 4; 4 · 3 + 1 = 13.

    Răspuns: 4

  19. Exercițiul 19

    Funcția f(x)=ax+2 trece prin A(3,11). Află a și f(f(1)).

    Vezi rezolvarea
    1. f(3)=11, deci 3a+2=11. Punem prima coordonată în locul lui x; rezultatul trebuie să fie a doua coordonată.
    2. a=3; f(1)=5. 3a=9 dă a=3. Apoi f(1)=3·1+2=5.
    3. f(f(1))=f(5)=17. Primul calcul dă f(1)=5. Punem apoi 5 în locul lui x: 3·5+2=17.

    Răspuns: f(f(1))=f(5)=17

Fișa integrală · profil Pedagogic (12)

  1. 13. Bază

    Pentru f(x) = x2 − x + 4, arătați că f(0) = f(1).

    Vezi răspunsul

    f(0) = 4 și f(1) = 1 − 1 + 4 = 4, deci f(0) = f(1).

  2. 14. Standard

    Pentru f(x) = 2x + 1, determinați a dacă f(a) = f(3) − a.

    Vezi răspunsul

    f(3) = 7, deci 2a + 1 = 7 − a, 3a = 6 și a = 2.

  3. 15. Grafic

    P(m, 7) aparține graficului lui f(x) = 3x − 2. Determinați m.

    Vezi răspunsul

    3m − 2 = 7, deci m = 3.

  4. 16. Grafic

    Determinați intersecțiile lui f(x) = −x + 4 cu axele.

    Vezi răspunsul

    Cu Oy: (0, 4). Cu Ox: −x + 4 = 0, deci (4, 0).

  5. 17. Grafic

    Determinați intersecțiile lui f(x) = x2 − 4 cu Ox și Oy.

    Vezi răspunsul

    Cu Ox: x2 = 4, deci (−2, 0) și (2, 0). Cu Oy: (0, −4).

  6. 18. Parametru

    Pentru f(x) = x2 − 2x + m − 1, determinați m pentru două intersecții distincte cu Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 4 − 4(m − 1) = 8 − 4m > 0, deci m < 2.

  7. 19. Parametru

    Pentru f(x) = x2 + 4x + m, determinați m pentru tangență la Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 4m = 0, deci m = 4.

  8. 20. Viète

    Pentru x2 − 7x + 10 = 0, calculați suma rădăcinilor.

    Vezi răspunsul

    x1 + x2 = 7

  9. 21. Parametru

    Pentru f(x) = x2 + mx + 1, determinați m dacă f(−1) = f(1).

    Vezi răspunsul

    f(−1) = 2 − m și f(1) = 2 + m, deci m = 0.

  10. 22. Grafic

    Graficul lui f(x) = mx + 2 trece prin A(2, 8). Determinați m.

    Vezi răspunsul

    2m + 2 = 8, deci m = 3.

  11. 23. Parametru

    Pentru f(x) = x2 + (m − 1)x − 2, determinați m dacă 1 este rădăcină.

    Vezi răspunsul

    f(1) = 1 + m − 1 − 2 = 0, deci m = 2.

  12. 24. Consolidare

    Pentru f(x) = x2 − 6x + m, determinați m pentru nicio intersecție cu Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 36 − 4m < 0, deci m > 9.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.