Încărcăm partea curentă…

Funcții și aplicații grafice · nivel M3

Calculăm valoarea unei funcții

Funcția este o regulă de calcul. În f(3), numărul 3 înlocuiește fiecare x din formulă. Dacă sunt cerute două valori, le calculăm separat, apoi facem operația dintre ele.

De ținut minte

f(x) = 2x + 1 ⇒ f(3) = 2 · 3 + 1
  • La un număr negativ, folosește paranteze când îl înlocuiești pe x.

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = 2x + 1, calculează f(3) + f(−1).

  1. 1f(3) = 6 + 1 = 7.
  2. 2f(−1) = 2 · (−1) + 1 = −1.
  3. 3Adunăm rezultatele: 7 + (−1) = 6.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcții și aplicații grafice · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Într-o formulă f(x), punem un număr în locul lui x și calculăm rezultatul f(x). Învățăm să verificăm puncte și să rezolvăm cerințe despre drepte și parabole, pas cu pas.

1. Calculăm f(x) și verificăm un punct pe grafic

În formula f(x) = 2x + 1, ca să aflăm f(3), punem 3 în locul fiecărui x: f(3)=2·3+1=7. Litera f este numele funcției; f(3) nu înseamnă f înmulțit cu 3.

Graficul funcției conține punctele (x, f(x)). Prima coordonată, x, se numește abscisă; a doua, y, se numește ordonată. Punctul A(x0, y0) aparține graficului numai dacă rezultatul f(x0) este chiar y0.

  • A(x0, y0) pe grafic ⇔ f(x0) = y0
  • Greșeală frecventă: pentru A(3, 7) înlocuim x cu 3, nu cu 7.
  • La numere negative folosim paranteze: dacă f(x) = x2, atunci f(−2) = (−2)2 = 4.

Testăm două coordonate

Punctul A(3, 7) aparține graficului lui f(x) = 2x + 1?

  1. Înlocuim x cu abscisa 3: f(3) = 2 · 3 + 1.
  2. Calculăm: f(3) = 7.
  3. Rezultatul este egal cu ordonata 7, deci A(3, 7) aparține graficului.

2. Intersecțiile cu axele și cu un alt grafic

Pe axa Ox, ordonata oricărui punct este 0. De aceea rezolvăm f(x) = 0 și scriem fiecare punct găsit sub forma (x, 0). Pe axa Oy, abscisa este 0: calculăm f(0), iar punctul este (0, f(0)).

La intersecția a două grafice avem același x și același y. Egalăm rezultatele, f(x) = g(x), aflăm x, apoi îl înlocuim în oricare dintre cele două funcții pentru a obține y.

  • Cu Ox: f(x) = 0
  • Cu Oy: (0, f(0))
  • Graficele lui f și g: f(x) = g(x)
  • Greșeală frecventă: f(0) este ordonata intersecției cu Oy, nu soluția ecuației f(x) = 0.

Aceeași funcție, trei intersecții

Pentru f(x) = 2x − 4, află intersecțiile cu axele și cu graficul lui g(x) = x − 1.

  1. Cu Ox: 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2, deci A(2, 0).
  2. Cu Oy: f(0) = −4, deci B(0, −4).
  3. Cu graficul lui g: 2x − 4 = x − 1 ⇒ x = 3; y = f(3) = 2. Punctul comun este C(3, 2), iar g(3) = 2 confirmă rezultatul.

3. Aflarea unui coeficient necunoscut

O literă precum a sau m poate reprezenta un număr încă necunoscut din formula funcției. Când cunoaștem un punct de pe grafic, folosim coordonatele sale pentru a forma o ecuație în această literă.

Înlocuim x cu abscisa punctului și egalăm cu ordonata. Rezolvăm ecuația, rescriem funcția cu valoarea găsită și verificăm punctul.

  • f(x) = ax + b și A(x0, y0) pe grafic ⇒ ax0 + b = y0
  • Greșeală frecventă: nu înlocuim parametrul cu abscisa. În f(x) = mx + 2, punem abscisa în locul lui x, iar m rămâne coeficientul de aflat.
  • O rădăcină cunoscută x0 înseamnă f(x0) = 0.

Dintr-un punct aflăm formula

f(x) = mx + 2 trece prin A(3, 11). Determină m.

  1. Condiția punctului este f(3) = 11, deci 3m + 2 = 11.
  2. Scădem 2: 3m = 9; împărțim la 3: m = 3.
  3. Funcția devine f(x) = 3x + 2. Verificăm: f(3) = 9 + 2 = 11.

4. Discriminantul și numărul de intersecții cu Ox

Graficul unei funcții de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, cu a ≠ 0, este o parabolă. Intersecțiile sale cu Ox se găsesc rezolvând ax2 + bx + c = 0 în numere reale.

Discriminantul Δ = b2 − 4ac ne spune câte soluții reale există. Δ > 0 înseamnă două puncte distincte, Δ = 0 înseamnă un singur punct, iar Δ < 0 înseamnă că parabola nu întâlnește Ox. Dacă există un parametru, condiția asupra lui se obține din semnul cerut pentru Δ.

  • Δ = b2 − 4ac
  • Δ > 0: două intersecții; Δ = 0: una; Δ < 0: niciuna
  • Δ ≥ 0: x1,2 = −b ± √Δ2a
  • Greșeală frecventă: două intersecții distincte cer Δ > 0, nu Δ ≥ 0.
  • Punctele graficului real au coordonate reale; soluțiile complexe nu sunt intersecții cu Ox.

Numărul de intersecții depinde de m

Pentru f(x) = x2 − 4x + m, când avem două, una sau nicio intersecție cu Ox?

  1. Coeficienții sunt a = 1, b = −4 și c = m; Δ = 16 − 4m.
  2. Două puncte: 16 − 4m > 0 ⇒ m < 4. Un punct: 16 − 4m = 0 ⇒ m = 4.
  3. Niciun punct: 16 − 4m < 0 ⇒ m > 4. La m = 4, f(x) = (x − 2)2 și singura intersecție este (2, 0).

5. Vârful parabolei: punctul de minim sau de maxim

Vârful este punctul în care parabola își schimbă sensul de variație. Dacă a > 0, ramurile sunt îndreptate în sus și vârful dă valoarea minimă a funcției. Dacă a < 0, ramurile sunt îndreptate în jos și vârful dă valoarea maximă.

Aflăm mai întâi abscisa xv = −b2a. Apoi o înlocuim în funcție: yv = f(xv). Abscisa spune unde se atinge extremul, iar ordonata spune cât valorează el.

  • V(xv, yv), xv = −b2a, yv = f(xv) = −Δ4a
  • Greșeală frecventă: minimul funcției este yv, nu xv. La −b2a, întregul produs 2a este la numitor.

Aflăm ambele coordonate

Determină vârful și minimul funcției f(x) = x2 − 6x + 5.

  1. a = 1 și b = −6, deci xv = −−62 · 1 = 3.
  2. yv = f(3) = 9 − 18 + 5 = −4, deci vârful este V(3, −4).
  3. a > 0, deci valoarea minimă este −4 și se atinge la x = 3. Verificăm prin f(x) = (x − 3)2 − 4, unde pătratul este mereu ≥ 0.

6. Relațiile lui Viète: suma și produsul rădăcinilor

Rădăcinile x1 și x2 sunt numerele pentru care ax2 + bx + c = 0. Pentru rădăcini reale, verificăm întâi Δ ≥ 0; la Δ = 0 le numărăm cu repetiție. Relațiile lui Viète dau suma și produsul lor direct din coeficienți.

Folosim x1 + x2 = −ba și x1x2 = ca. Dacă se cere o expresie precum x12 + x22, o rescriem folosind suma și produsul, fără să calculăm separat rădăcinile.

  • x1 + x2 = −ba; x1x2 = ca
  • x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2
  • Greșeală frecventă: suma are semnul minus, produsul nu. Împărțim la a în ambele formule, inclusiv când a ≠ 1.

Coeficientul lui x2 nu este 1

Fără a calcula separat rădăcinile ecuației 2x2 − 10x + 8 = 0, află suma, produsul și suma pătratelor lor.

  1. a = 2, b = −10, c = 8; Δ = 100 − 64 = 36 > 0, deci există două rădăcini reale.
  2. Suma este −ba = 102 = 5; produsul este ca = 82 = 4.
  3. Suma pătratelor este 52 − 2 · 4 = 25 − 8 = 17.

Exerciții rezolvate din lecție (31)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    f(x) = ax + 3 trece prin A(2, 7). Pasul 1: ce relație scriem?

    Vezi rezolvarea
    1. A(2, 7) este pe grafic.
    2. Prin urmare 7 = f(2).
    3. f(2) = 2a + 3, deci 2a + 3 = 7.

    Răspuns: 2a + 3 = 7

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: din 2a + 3 = 7, cât este a?

    Vezi rezolvarea
    1. 2a + 3 = 7.
    2. 2a = 4.
    3. a = 2.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: funcția este f(x) = 2x + 3. Care este intersecția cu Ox?

    Vezi rezolvarea
    1. Pe Ox avem f(x) = 0.
    2. 2x + 3 = 0, deci x = −32.
    3. Punctul este B(−32, 0).

    Răspuns: B(−32, 0)

  4. Exercițiul 4

    Pentru f(x) = 6x − 3, determină a dacă f(a) = f(2) + f(0).

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 9 și f(0) = −3.
    2. f(2) + f(0) = 6.
    3. 6a − 3 = 6, deci 6a = 9.
    4. Rezultă a = 32.

    Răspuns: 32

  5. Exercițiul 5

    Pentru f(x) = 2x − 1, determină a dacă f(a) = a + f(1).

    Vezi rezolvarea
    1. f(1) = 1.
    2. 2a − 1 = a + 1.
    3. a = 2.

    Răspuns: 2

  6. Exercițiul 6

    Pentru f(x) = −2x + 4, calculează f(0,3) + f(−0,3).

    Vezi rezolvarea
    1. f(0,3) = −0,6 + 4 = 3,4.
    2. f(−0,3) = 0,6 + 4 = 4,6.
    3. Suma este 3,4 + 4,6 = 8, număr natural.

    Răspuns: 8

  7. Exercițiul 7

    P(a, 16) aparține graficului lui f(x) = 5x + 1. Determină a.

    Vezi rezolvarea
    1. 16 = 5a + 1.
    2. 5a = 15.
    3. Rezultă a = 3.

    Răspuns: 3

  8. Exercițiul 8

    Determină intersecțiile lui f(x) = −3x + 6 cu axele.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu Oy: f(0) = 6, deci A(0, 6).
    2. Cu Ox: −3x + 6 = 0, deci x = 2.
    3. A doua intersecție este B(2, 0).

    Răspuns: A(0,6), B(2,0)

  9. Exercițiul 9

    Determină intersecțiile lui f(x) = x2 − 9 cu Ox și Oy.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu Ox: x2 − 9 = 0, deci x = ±3.
    2. Obținem A(−3, 0) și B(3, 0).
    3. Cu Oy: f(0) = −9, deci C(0, −9).

    Răspuns: A(−3,0), B(3,0), C(0,−9)

  10. Exercițiul 10

    Pentru f(x) = x2 − 2x + m, determină m dacă x = 3 este rădăcină.

    Vezi rezolvarea
    1. f(3) = 0.
    2. 9 − 6 + m = 0.
    3. 3 + m = 0.
    4. Rezultă m = −3.

    Răspuns: −3

  11. Exercițiul 11

    Pentru f(x) = x2 + 2x + m, determină m pentru două intersecții distincte cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = 22 − 4m = 4 − 4m.
    2. Pentru două intersecții impunem 4 − 4m > 0.
    3. Rezultă m < 1.

    Răspuns: m < 1

  12. Exercițiul 12

    Pentru f(x) = x2 − 4x + m, determină m pentru un singur punct comun cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Impunem Δ = 0.
    2. Δ = 16 − 4m.
    3. 16 − 4m = 0.
    4. Rezultă m = 4.

    Răspuns: 4

  13. Exercițiul 13

    Pentru f(x) = 3x − 4, determină a dacă f(a) = 2f(1) + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. f(1) = −1.
    2. 2f(1) + 1 = −2 + 1 = −1.
    3. 3a − 4 = −1, deci 3a = 3.
    4. Rezultă a = 1.

    Răspuns: 1

  14. Exercițiul 14

    Pentru f(x) = x2 + (m − 2)x + 1, determină m dacă f(0) = f(2).

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = 1.
    2. f(2) = 4 + 2(m − 2) + 1 = 2m + 1.
    3. 1 = 2m + 1.
    4. Rezultă m = 0.

    Răspuns: 0

  15. Exercițiul 15

    Care este vârful parabolei f(x) = x2 − 4x + 1?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 1 și b = −4: xv = 42 = 2.
    2. yv = f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
    3. Vârful este V(2, −3).

    Răspuns: V(2, −3)

  16. Exercițiul 16

    Care este valoarea maximă a funcției f(x) = −x2 + 6x − 5? Scrie doar un număr.

    Vezi rezolvarea
    1. a = −1 și b = 6: xv = −6−2 = 3.
    2. yv = f(3) = −9 + 18 − 5 = 4.
    3. a < 0, deci valoarea maximă este ordonata vârfului: 4.

    Răspuns: 4

  17. Exercițiul 17

    Care este suma rădăcinilor ecuației 2x2 − 14x + 12 = 0?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 2, b = −14, c = 12: Δ = 196 − 96 = 100 > 0.
    2. Prin Viète, x1 + x2 = −ba = −−142.
    3. Suma rădăcinilor este 7.

    Răspuns: 7

  18. Exercițiul 18

    Care este produsul rădăcinilor ecuației 3x2 − 12x + 9 = 0?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 3, b = −12, c = 9: Δ = 144 − 108 = 36 > 0.
    2. Prin Viète, x1x2 = ca = 93.
    3. Produsul rădăcinilor este 3.

    Răspuns: 3

  19. Exercițiul 19

    Rădăcinile ecuației x2 − 5x + 6 = 0 sunt x1 și x2. Cât este x12 + x22?

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = 25 − 24 = 1 > 0; prin Viète, x1 + x2 = 5 și x1x2 = 6.
    2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2.
    3. Obținem 25 − 2 · 6 = 13.

    Răspuns: 13

  20. Exercițiul 20

    Pentru f(x) = x2 − 2x + 1 și g(x) = x + 1, care sunt toate soluțiile ecuației f(x) = g(x)?

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 2x + 1 = x + 1 ⇒ x2 − 3x = 0.
    2. Factorizăm: x(x − 3) = 0, deci x = 0 sau x = 3.
    3. Verificăm: f(0) = g(0) = 1 și f(3) = g(3) = 4; ambele soluții sunt corecte.

    Răspuns: x = 0 sau x = 3

  21. Exercițiul 21

    Pentru f(x) = 3x + 2, cât este f(2)?

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 3 · 2 + 2.
    2. Efectuăm înmulțirea: 6 + 2.
    3. Rezultatul este 8.

    Răspuns: 8

  22. Exercițiul 22

    Pentru f(x) = 2x − 3, calculează f(−2).

    Vezi rezolvarea
    1. f(−2) = 2 · (−2) − 3.
    2. Produsul este −4.
    3. −4 − 3 = −7.

    Răspuns: −7

  23. Exercițiul 23

    Care punct aparține graficului lui f(x) = 2x + 3?

    Vezi rezolvarea
    1. f(1) = 5, f(2) = 7 și f(0) = 3.
    2. La C(1, 5), rezultatul f(1) coincide cu ordonata 5.
    3. Numai C(1, 5) aparține graficului; celelalte ordonate nu coincid.

    Răspuns: C(1, 5)

  24. Exercițiul 24

    P(2, y) aparține graficului lui f(x) = 4x − 1. Cât este y?

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este y = f(2).
    2. f(2) = 4 · 2 − 1 = 8 − 1.
    3. y = 7.

    Răspuns: 7

  25. Exercițiul 25

    f(x) = mx − 1 trece prin A(2, 9). Determină m.

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 9 ⇒ 2m − 1 = 9.
    2. Adunăm 1: 2m = 10.
    3. Împărțim la 2: m = 5.

    Răspuns: 5

  26. Exercițiul 26

    Pentru f(x) = x2 + m, află m dacă f(2) = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 22 + m = 4 + m.
    2. Condiția devine 4 + m = 1.
    3. m = 1 − 4 = −3.

    Răspuns: −3

  27. Exercițiul 27

    Câte intersecții cu Ox are graficul lui f(x) = x2 + 2x + 5?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 1, b = 2, c = 5: Δ = 4 − 20.
    2. Δ = −16 < 0, deci ecuația nu are rădăcini reale.
    3. Graficul are 0 intersecții cu Ox.

    Răspuns: 0

  28. Exercițiul 28

    Care este valoarea minimă a funcției f(x) = x2 + 2x + 3?

    Vezi rezolvarea
    1. xv = −22 = −1.
    2. yv = (−1)2 + 2 · (−1) + 3 = 2.
    3. a > 0, deci minimul este 2.

    Răspuns: 2

  29. Exercițiul 29

    Pentru f(x) = 2x + 1 și g(x) = x + 4, află x dacă f(x) = g(x).

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 1 = x + 4.
    2. Scădem x și 1: x = 3.
    3. Verificăm: f(3) = g(3) = 7.

    Răspuns: 3

  30. Exercițiul 30

    Pentru f(x) = x2 și g(x) = 9, care sunt toate soluțiile lui f(x) = g(x)?

    Vezi rezolvarea
    1. Ecuația este x2 = 9.
    2. x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0, deci x = 3 sau x = −3.
    3. Ambele pătrate sunt 9; ambele soluții sunt valide.

    Răspuns: x = −3 sau x = 3

  31. Exercițiul 31

    Funcția f(x)=ax+2 trece prin A(3,11). Află a și f(f(1)).

    Vezi rezolvarea
    1. f(3)=11, deci 3a+2=11. Punem prima coordonată în locul lui x; rezultatul trebuie să fie a doua coordonată.
    2. a=3; f(1)=5. 3a=9 dă a=3. Apoi f(1)=3·1+2=5.
    3. f(f(1))=f(5)=17. Primul calcul dă f(1)=5. Punem apoi 5 în locul lui x: 3·5+2=17.

    Răspuns: f(f(1))=f(5)=17

Fișa integrală · profil Tehnologic (12)

  1. 25. Calcul

    Pentru f(x) = 6x − 3, determinați a dacă f(a) = f(2) + f(0).

    Vezi răspunsul

    f(2) = 9, f(0) = −3, deci 6a − 3 = 6 și a = 32.

  2. 26. Calcul

    Pentru f(x) = 2x − 1, determinați a dacă f(a) = a + f(1).

    Vezi răspunsul

    f(1) = 1, deci 2a − 1 = a + 1 și a = 2.

  3. 27. Calcul

    Pentru f(x) = −2x + 4, arătați că f(0,3) + f(−0,3) este natural.

    Vezi răspunsul

    f(0,3) = 3,4 și f(−0,3) = 4,6; suma este 8, număr natural.

  4. 28. Grafic

    P(a, 16) aparține graficului lui f(x) = 5x + 1. Determinați a.

    Vezi răspunsul

    5a + 1 = 16, deci a = 3.

  5. 29. Grafic

    Determinați intersecțiile lui f(x) = −3x + 6 cu axele.

    Vezi răspunsul

    Cu Oy: (0, 6). Cu Ox: −3x + 6 = 0, deci (2, 0).

  6. 30. Grafic

    Determinați intersecțiile lui f(x) = x2 − 9 cu Ox și Oy.

    Vezi răspunsul

    Cu Ox: (−3, 0) și (3, 0). Cu Oy: (0, −9).

  7. 31. Parametru

    Pentru f(x) = x2 − 2x + m, determinați m dacă x = 3 este rădăcină.

    Vezi răspunsul

    f(3) = 9 − 6 + m = 0, deci m = −3.

  8. 32. Parametru

    Pentru f(x) = x2 + 2x + m, determinați m pentru două intersecții distincte.

    Vezi răspunsul

    Δ = 4 − 4m > 0, deci m < 1.

  9. 33. Parametru

    Pentru f(x) = x2 − 4x + m, determinați m pentru un singur punct comun cu Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 4m = 0, deci m = 4.

  10. 34. Calcul

    Pentru f(x) = 3x − 4, determinați a dacă f(a) = 2f(1) + 1.

    Vezi răspunsul

    2f(1) + 1 = 2 × (−1) + 1 = −1, deci 3a − 4 = −1 și a = 1.

  11. 35. Grafic

    f(x) = ax + 3 trece prin A(2, 7). Determinați a și intersecția cu Ox.

    Vezi răspunsul

    2a + 3 = 7, deci a = 2. Cu Ox: 2x + 3 = 0, deci punctul (−32, 0).

  12. 36. Parametru

    Pentru f(x) = x2 + (m − 2)x + 1, determinați m dacă f(0) = f(2).

    Vezi răspunsul

    f(0) = 1 și f(2) = 2m + 1, deci m = 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.