M3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni

M3·f

Teorie înainte de exerciții

Funcții și aplicații grafice · nivel M3

O funcție primește un număr x și îi asociază un rezultat f(x). Învățăm să calculăm acest rezultat, să verificăm puncte și să rezolvăm cerințe despre drepte și parabole, pas cu pas.

Citește mai întâi ce trebuie aflat: un număr, un coeficient sau un punct. La final, un punct se scrie cu ambele coordonate, în ordinea (x, y).

1. Calculăm f(x) și verificăm un punct pe grafic

În formula f(x) = 2x + 1, x este numărul de intrare, iar f(x) este rezultatul: dublăm numărul, apoi adunăm 1. Notația f(3) cere să înlocuim fiecare x cu 3; nu înseamnă f înmulțit cu 3.

Graficul funcției conține punctele (x, f(x)). Prima coordonată, x, se numește abscisă; a doua, y, se numește ordonată. Punctul A(x₀, y₀) aparține graficului numai dacă rezultatul f(x₀) este chiar y₀.

A(x₀, y₀) pe grafic ⇔ f(x₀) = y₀

Greșeală frecventă: pentru A(3, 7) înlocuim x cu 3, nu cu 7.
La numere negative folosim paranteze: dacă f(x) = x², atunci f(−2) = (−2)² = 4.

Testăm două coordonate

Punctul A(3, 7) aparține graficului lui f(x) = 2x + 1?

1.Înlocuim x cu abscisa 3: f(3) = 2 · 3 + 1.
2.Calculăm: f(3) = 7.
3.Rezultatul este egal cu ordonata 7, deci A(3, 7) aparține graficului.

2. Intersecțiile cu axele și cu un alt grafic

Pe axa Ox, ordonata oricărui punct este 0. De aceea rezolvăm f(x) = 0 și scriem fiecare punct găsit sub forma (x, 0). Pe axa Oy, abscisa este 0: calculăm f(0), iar punctul este (0, f(0)).

La intersecția a două grafice avem același x și același y. Egalăm rezultatele, f(x) = g(x), aflăm x, apoi îl înlocuim în oricare dintre cele două funcții pentru a obține y.

Cu Ox: f(x) = 0

Cu Oy: (0, f(0))

Graficele lui f și g: f(x) = g(x)

Greșeală frecventă: f(0) este ordonata intersecției cu Oy, nu soluția ecuației f(x) = 0.

Aceeași funcție, trei intersecții

Pentru f(x) = 2x − 4, află intersecțiile cu axele și cu graficul lui g(x) = x − 1.

1.Cu Ox: 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2, deci A(2, 0).
2.Cu Oy: f(0) = −4, deci B(0, −4).
3.Cu graficul lui g: 2x − 4 = x − 1 ⇒ x = 3; y = f(3) = 2. Punctul comun este C(3, 2), iar g(3) = 2 confirmă rezultatul.

3. Aflarea unui coeficient necunoscut

O literă precum a sau m poate reprezenta un număr încă necunoscut din formula funcției. Când cunoaștem un punct de pe grafic, folosim coordonatele sale pentru a forma o ecuație în această literă.

Înlocuim x cu abscisa punctului și egalăm cu ordonata. Rezolvăm ecuația, rescriem funcția cu valoarea găsită și verificăm punctul.

f(x) = ax + b și A(x₀, y₀) pe grafic ⇒ ax₀ + b = y₀

Greșeală frecventă: nu înlocuim parametrul cu abscisa. În f(x) = mx + 2, x este intrarea, iar m este coeficientul de aflat.
O rădăcină cunoscută x₀ înseamnă f(x₀) = 0.

Dintr-un punct aflăm formula

f(x) = mx + 2 trece prin A(3, 11). Determină m.

1.Condiția punctului este f(3) = 11, deci 3m + 2 = 11.
2.Scădem 2: 3m = 9; împărțim la 3: m = 3.
3.Funcția devine f(x) = 3x + 2. Verificăm: f(3) = 9 + 2 = 11.

4. Discriminantul și numărul de intersecții cu Ox

Graficul unei funcții de gradul al doilea f(x) = ax² + bx + c, cu a ≠ 0, este o parabolă. Intersecțiile sale cu Ox se găsesc rezolvând ax² + bx + c = 0 în numere reale.

Discriminantul Δ = b² − 4ac ne spune câte soluții reale există. Δ > 0 înseamnă două puncte distincte, Δ = 0 înseamnă un singur punct, iar Δ < 0 înseamnă că parabola nu întâlnește Ox. Dacă există un parametru, condiția asupra lui se obține din semnul cerut pentru Δ.

Δ = b² − 4ac

Δ > 0: două intersecții; Δ = 0: una; Δ < 0: niciuna

Δ ≥ 0: x₁,₂ = −b ± √Δ2a

Greșeală frecventă: două intersecții distincte cer Δ > 0, nu Δ ≥ 0.
Punctele graficului real au coordonate reale; soluțiile complexe nu sunt intersecții cu Ox.

Numărul de intersecții depinde de m

Pentru f(x) = x² − 4x + m, când avem două, una sau nicio intersecție cu Ox?

1.Coeficienții sunt a = 1, b = −4 și c = m; Δ = 16 − 4m.
2.Două puncte: 16 − 4m > 0 ⇒ m < 4. Un punct: 16 − 4m = 0 ⇒ m = 4.
3.Niciun punct: 16 − 4m < 0 ⇒ m > 4. La m = 4, f(x) = (x − 2)² și singura intersecție este (2, 0).

5. Vârful parabolei: punctul de minim sau de maxim

Vârful este punctul în care parabola își schimbă sensul de variație. Dacă a > 0, ramurile sunt îndreptate în sus și vârful dă valoarea minimă a funcției. Dacă a < 0, ramurile sunt îndreptate în jos și vârful dă valoarea maximă.

Aflăm mai întâi abscisa x_v = −b2a. Apoi o înlocuim în funcție: y_v = f(x_v). Abscisa spune unde se atinge extremul, iar ordonata spune cât valorează el.

V(x_v, y_v), x_v = −b2a, y_v = f(x_v) = −Δ/(4a)

Greșeală frecventă: minimul funcției este y_v, nu x_v. La −b2a, întregul produs 2a este la numitor.

Aflăm ambele coordonate

Determină vârful și minimul funcției f(x) = x² − 6x + 5.

1.a = 1 și b = −6, deci x_v = −−62 · 1 = 3.
2.y_v = f(3) = 9 − 18 + 5 = −4, deci vârful este V(3, −4).
3.a > 0, deci valoarea minimă este −4 și se atinge la x = 3. Verificăm prin f(x) = (x − 3)² − 4, unde pătratul este mereu ≥ 0.

6. Relațiile lui Viète: suma și produsul rădăcinilor

Rădăcinile x₁ și x₂ sunt numerele pentru care ax² + bx + c = 0. Pentru rădăcini reale, verificăm întâi Δ ≥ 0; la Δ = 0 le numărăm cu repetiție. Relațiile lui Viète dau suma și produsul lor direct din coeficienți.

Folosim x₁ + x₂ = −ba și x₁x₂ = ca. Dacă se cere o expresie precum x₁² + x₂², o rescriem folosind suma și produsul, fără să calculăm separat rădăcinile.

x₁ + x₂ = −ba; x₁x₂ = ca

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂

Greșeală frecventă: suma are semnul minus, produsul nu. Împărțim la a în ambele formule, inclusiv când a ≠ 1.

Coeficientul lui x² nu este 1

Fără a calcula separat rădăcinile ecuației 2x² − 10x + 8 = 0, află suma, produsul și suma pătratelor lor.

1.a = 2, b = −10, c = 8; Δ = 100 − 64 = 36 > 0, deci există două rădăcini reale.
2.Suma este −ba = 102 = 5; produsul este ca = 82 = 4.
3.Suma pătratelor este 5² − 2 · 4 = 25 − 8 = 17.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · profil Tehnologic · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 25CalculM3 · Tehnologic
Pentru f(x) = 6x − 3, determinați a dacă f(a) = f(2) + f(0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(2) = 9, f(0) = −3, deci 6a − 3 = 6 și a = 32.
Ex. 26CalculM3 · Tehnologic
Pentru f(x) = 2x − 1, determinați a dacă f(a) = a + f(1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(1) = 1, deci 2a − 1 = a + 1 și a = 2.
Ex. 27CalculM3 · Tehnologic
Pentru f(x) = −2x + 4, arătați că f(0,3) + f(−0,3) este natural.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0,3) = 3,4 și f(−0,3) = 4,6; suma este 8, număr natural.
Ex. 28GraficM3 · Tehnologic
P(a, 16) aparține graficului lui f(x) = 5x + 1. Determinați a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5a + 1 = 16, deci a = 3.
Ex. 29GraficM3 · Tehnologic
Determinați intersecțiile lui f(x) = −3x + 6 cu axele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu Oy: (0, 6). Cu Ox: −3x + 6 = 0, deci (2, 0).
Ex. 30GraficM3 · Tehnologic
Determinați intersecțiile lui f(x) = x² − 9 cu Ox și Oy.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu Ox: (−3, 0) și (3, 0). Cu Oy: (0, −9).
Ex. 31ParametruM3 · Tehnologic
Pentru f(x) = x² − 2x + m, determinați m dacă x = 3 este rădăcină.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(3) = 9 − 6 + m = 0, deci m = −3.
Ex. 32ParametruM3 · Tehnologic
Pentru f(x) = x² + 2x + m, determinați m pentru două intersecții distincte.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 4 − 4m > 0, deci m < 1.
Ex. 33ParametruM3 · Tehnologic
Pentru f(x) = x² − 4x + m, determinați m pentru un singur punct comun cu Ox.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 16 − 4m = 0, deci m = 4.
Ex. 34CalculM3 · Tehnologic
Pentru f(x) = 3x − 4, determinați a dacă f(a) = 2f(1) + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2f(1) + 1 = 2 × (−1) + 1 = −1, deci 3a − 4 = −1 și a = 1.
Ex. 35GraficM3 · Tehnologic
f(x) = ax + 3 trece prin A(2, 7). Determinați a și intersecția cu Ox.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2a + 3 = 7, deci a = 2. Cu Ox: 2x + 3 = 0, deci punctul (−32, 0).
Ex. 36ParametruM3 · Tehnologic
Pentru f(x) = x² + (m − 2)x + 1, determinați m dacă f(0) = f(2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0) = 1 și f(2) = 2m + 1, deci m = 0.