Funcții, compuneri și condiții grafice · nivel M2

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

La compunere, (f ∘ g)(a) înseamnă f(g(a)): calculezi întâi g(a).

Înlocuim intrarea în regula funcției

Funcția asociază fiecărei intrări permise un singur rezultat. Notația f(2) cere să pui 2 în locul fiecărui x, nu să înmulțești f cu 2. Dacă apare f(a), intrarea rămâne necunoscută și obții o ecuație în a.

f(x) = 3x − 1 ⇒ f(a) = 3a − 1

În f(3a), înlocuiești fiecare x cu 3a; nu calculezi automat 3f(a).

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = 3x − 1, află a dacă f(a) = f(2) + 3.

1.Calculăm f(2) = 6 − 1 = 5.
2.Scriem 3a − 1 = 5 + 3, deci 3a = 9.
3.a = 3; verificăm f(3) = 8 = f(2) + 3.

Punctul de pe grafic ne dă o ecuație

În P(u, v), u este coordonata orizontală, iar v este cea verticală. Punctul aparține graficului exact când regula funcției transformă u în v. Dacă avem două necunoscute, folosim două puncte pentru a obține două ecuații.

P(u, v) ∈ Gf ⇔ f(u) = v

Păstrează ordinea coordonatelor și semnul fiecărui coeficient.

Exemplu rezolvat

f(x) = ax + b trece prin P(0, 2) și Q(3, 8). Află a și b.

1.P ne dă f(0) = b = 2.
2.Q ne dă 3a + 2 = 8, deci a = 2.
3.Funcția este f(x) = 2x + 2; f(0) = 2 și f(3) = 8 confirmă ambele puncte.

Compunerea: două reguli una după alta

În f(g(x)), aplicăm întâi regula din interior, g. Rezultatul ei devine intrarea lui f. Dacă apare un parametru, îl păstrăm în calcule până obținem ecuația cerută. Ordinea funcțiilor schimbă de obicei rezultatul.

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

f(g(x)) nu înseamnă f(x) · g(x).

Exemplu rezolvat

f(x) = 2x + 1 și g(x) = x − 3. Află (f ∘ g)(4).

1.Mai întâi g(4) = 4 − 3 = 1.
2.Introducem acest rezultat în f: f(1) = 2 · 1 + 1.
3.Rezultatul este 3; f(g(x)) = 2(x − 3) + 1 confirmă calculul.

Intersecțiile cu axele

Pe axa verticală Oy, intrarea este zero. Pe axa orizontală Ox, rezultatul este zero. De aceea sunt două cerințe diferite: la Oy calculezi o valoare, la Ox rezolvi o ecuație. O parabolă poate avea două rădăcini reale.

Oy: (0, f(0)); Ox: f(x) = 0

Nu pierde rădăcina negativă când rezolvi x² = 9.

Exemplu rezolvat

Găsește intersecțiile lui f(x) = x² − 9 cu axele.

1.La Oy: f(0) = −9, deci punctul este (0, −9).
2.La Ox: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0.
3.Obținem punctele (3, 0) și (−3, 0), deoarece ambii factori pot fi zero.

Câte puncte comune are parabola cu Ox?

Pentru f(x) = ax² + bx + c, cu a nenul, calculăm discriminantul Δ. Semnul lui ne spune câte soluții reale are f(x) = 0. Un parametru din formulă se tratează ca o necunoscută în condiția asupra lui Δ.

Δ = b² − 4ac; Δ > 0: două puncte; Δ = 0: unul; Δ < 0: niciunul

O singură intersecție cere Δ = 0; două distincte cer strict Δ > 0.

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = x² − 4x + m, când nu există intersecții cu Ox?

1.Coeficienții sunt a = 1, b = −4, c = m, deci Δ = 16 − 4m.
2.Cerem 16 − 4m < 0, adică −4m < −16.
3.Împărțim la −4 și inversăm inegalitatea: m > 4.

Minimul și condiția «pentru orice x»

Vârful este punctul în care parabola își schimbă sensul variației. Pentru a > 0 el are cea mai mică ordonată. Ca toate valorile funcției să fie deasupra unui prag, verificăm chiar această valoare minimă.

xV = −b2a; yV = f(xV)

Minimul este ordonata yV, nu abscisa xV. Pentru a < 0, vârful dă maximul.

Exemplu rezolvat

Când este x² − 4x + m > 1 pentru orice x real?

1.Scriem x² − 4x + m = (x − 2)² + m − 4.
2.Pătratul are minimul 0 la x = 2, deci minimul funcției este m − 4.
3.Cerem m − 4 > 1, de unde m > 5; egalitatea nu este admisă.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · profil Științe · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 37CalculM2 · Științe
Pentru f(x) = 3x − 2, determinați a dacă f(a) + f(2) = 2a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(2) = 4, deci 3a − 2 + 4 = 2a și a = −2.
Ex. 38CalculM2 · Științe
Pentru f(x) = x + 7, determinați a dacă f(a) = a·f(0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0) = 7, deci a + 7 = 7a și a = 76.
Ex. 39CalculM2 · Științe
Pentru f(x) = 3x − 13, determinați a dacă f(3a) = 2f(a).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9a − 13 = 2(3a − 13), deci 3a = −13 și a = −133.
Ex. 40ParametruM2 · Științe
Pentru f(x) = 2x + a, determinați a dacă f(2) = 8.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 + a = 8, deci a = 4.
Ex. 41GraficM2 · Științe
f(x) = x² + mx − 3 trece prin P(2, 7). Determinați m.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 + 2m − 3 = 7, deci m = 3.
Ex. 42GraficM2 · Științe
Determinați intersecțiile lui f(x) = x² − 5x + 4 cu axele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu Ox: x² − 5x + 4 = 0, deci (1, 0) și (4, 0). Cu Oy: (0, 4).
Ex. 43ParametruM2 · Științe
Pentru f(x) = x² − 2mx + m² − 4, determinați intersecțiile cu Ox.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(x) = (x − m)² − 4 = 0, deci x = m − 2 sau x = m + 2: punctele (m − 2, 0) și (m + 2, 0).
Ex. 44CondițieM2 · Științe
Pentru f(x) = x² − 4x + m, determinați m dacă f(x) > 0 pentru orice x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 16 − 4m < 0, deci m > 4.
Ex. 45CondițieM2 · Științe
Pentru f(x) = x² − 2x + m, determinați m pentru nicio intersecție cu Ox.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 4 − 4m < 0, deci m > 1.
Ex. 46CompunereM2 · Științe
Pentru f(x) = 2x − 1 și g(x) = x + 3, determinați a dacă (f ∘ g)(a) = a.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(f ∘ g)(a) = 2(a + 3) − 1 = 2a + 5 = a, deci a = −5.
Ex. 47EcuațieM2 · Științe
Pentru f(x) = x² − 2x + 3, determinați a dacă f(a) = f(2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(2) = 3, deci a² − 2a = 0: a = 0 sau a = 2.
Ex. 48GraficM2 · Științe
f(x) = ax + b trece prin A(1, 5), B(3, 9). Determinați a, b și intersecția cu Ox.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = (9 − 5) : (3 − 1) = 2, b = 3: f(x) = 2x + 3. Cu Ox: (−32, 0).