Încărcăm partea curentă…

Funcții, compuneri și condiții grafice · nivel M2

Înlocuim x în formula funcției

Funcția dă un singur rezultat pentru fiecare valoare permisă a lui x. Notația f(2) cere să pui 2 în locul fiecărui x, nu să înmulțești f cu 2. Dacă apare f(a), punem a în locul lui x și obținem o ecuație în a.

De ținut minte

f(x) = 3x − 1 ⇒ f(a) = 3a − 1
  • În f(3a), înlocuiești fiecare x cu 3a; nu calculezi automat 3f(a).

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = 3x − 1, află a dacă f(a) = f(2) + 3.

  1. 1Calculăm f(2) = 6 − 1 = 5.
  2. 2Scriem 3a − 1 = 5 + 3, deci 3a = 9.
  3. 3a = 3; verificăm f(3) = 8 = f(2) + 3.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcții, compuneri și condiții grafice · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Înlocuim x în formula funcției

Funcția dă un singur rezultat pentru fiecare valoare permisă a lui x. Notația f(2) cere să pui 2 în locul fiecărui x, nu să înmulțești f cu 2. Dacă apare f(a), punem a în locul lui x și obținem o ecuație în a.

  • f(x) = 3x − 1 ⇒ f(a) = 3a − 1
  • În f(3a), înlocuiești fiecare x cu 3a; nu calculezi automat 3f(a).

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = 3x − 1, află a dacă f(a) = f(2) + 3.

  1. Calculăm f(2) = 6 − 1 = 5.
  2. Scriem 3a − 1 = 5 + 3, deci 3a = 9.
  3. a = 3; verificăm f(3) = 8 = f(2) + 3.

Punctul de pe grafic ne dă o ecuație

În P(u, v), u este coordonata orizontală, iar v este cea verticală. Punctul aparține graficului exact când regula funcției transformă u în v. Dacă avem două necunoscute, folosim două puncte pentru a obține două ecuații.

  • P(u, v) ∈ Gf ⇔ f(u) = v
  • Păstrează ordinea coordonatelor și semnul fiecărui coeficient.

Exemplu rezolvat

f(x) = ax + b trece prin P(0, 2) și Q(3, 8). Află a și b.

  1. P ne dă f(0) = b = 2.
  2. Q ne dă 3a + 2 = 8, deci a = 2.
  3. Funcția este f(x) = 2x + 2; f(0) = 2 și f(3) = 8 confirmă ambele puncte.

Compunerea: două reguli una după alta

În f(g(x)), calculăm întâi g(x). Numărul obținut îl punem apoi în locul lui x din formula lui f. Dacă apare un parametru, îl păstrăm în calcule până obținem ecuația cerută. Ordinea funcțiilor schimbă de obicei rezultatul.

  • (f ∘ g)(x) = f(g(x))
  • f(g(x)) nu înseamnă f(x) · g(x).

Exemplu rezolvat

f(x) = 2x + 1 și g(x) = x − 3. Află (f ∘ g)(4).

  1. Mai întâi g(4) = 4 − 3 = 1.
  2. Punem 1 în formula lui f: f(1) = 2 · 1 + 1.
  3. Rezultatul este 3; f(g(x)) = 2(x − 3) + 1 confirmă calculul.

Intersecțiile cu axele

Pe axa verticală Oy punem x=0. Pe axa orizontală Ox cerem ca rezultatul f(x) să fie zero. De aceea sunt două cerințe diferite: la Oy calculăm o valoare, la Ox rezolvăm o ecuație. O parabolă poate avea două rădăcini reale.

  • Oy: (0, f(0)); Ox: f(x) = 0
  • Nu pierde rădăcina negativă când rezolvi x2 = 9.

Exemplu rezolvat

Găsește intersecțiile lui f(x) = x2 − 9 cu axele.

  1. La Oy: f(0) = −9, deci punctul este (0, −9).
  2. La Ox: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0.
  3. Obținem punctele (3, 0) și (−3, 0), deoarece ambii factori pot fi zero.

Câte puncte comune are parabola cu Ox?

Pentru f(x) = ax2 + bx + c, cu a nenul, calculăm discriminantul Δ. Semnul lui ne spune câte soluții reale are f(x) = 0. Un parametru din formulă se tratează ca o necunoscută în condiția asupra lui Δ.

  • Δ = b2 − 4ac; Δ > 0: două puncte; Δ = 0: unul; Δ < 0: niciunul
  • O singură intersecție cere Δ = 0; două distincte cer strict Δ > 0.

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = x2 − 4x + m, când nu există intersecții cu Ox?

  1. Coeficienții sunt a = 1, b = −4, c = m, deci Δ = 16 − 4m.
  2. Cerem 16 − 4m < 0, adică −4m < −16.
  3. Împărțim la −4 și inversăm inegalitatea: m > 4.

Minimul și condiția «pentru orice x»

Vârful este punctul în care parabola își schimbă sensul variației. Pentru a > 0 el are cea mai mică ordonată. Ca toate valorile funcției să fie deasupra unui prag, verificăm chiar această valoare minimă.

  • xV = −b2a; yV = f(xV)
  • Minimul este ordonata yV, nu abscisa xV. Pentru a < 0, vârful dă maximul.

Exemplu rezolvat

Când este x2 − 4x + m > 1 pentru orice x real?

  1. Scriem x2 − 4x + m = (x − 2)2 + m − 4.
  2. Pătratul are minimul 0 la x = 2, deci minimul funcției este m − 4.
  3. Cerem m − 4 > 1, de unde m > 5; egalitatea nu este admisă.

Exerciții rezolvate din lecție (19)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    f(x) = 2x − 1 și g(x) = x + 3. Pasul 1: cât este g(a)?

    Vezi rezolvarea
    1. g(x) = x + 3.
    2. Înlocuim x cu a.
    3. Rezultă g(a) = a + 3.

    Răspuns: a + 3

  2. Exercițiul 2

    Pasul 2: cât este f(g(a))?

    Vezi rezolvarea
    1. f(g(a)) = f(a + 3).
    2. f(a + 3) = 2(a + 3) − 1.
    3. Rezultă 2a + 5.

    Răspuns: 2a + 5

  3. Exercițiul 3

    Pasul 3: dacă (f ∘ g)(a) = a, cât este a?

    Vezi rezolvarea
    1. Am obținut (f ∘ g)(a) = 2a + 5.
    2. 2a + 5 = a.
    3. Rezultă a = −5.

    Răspuns: −5

  4. Exercițiul 4

    Pentru f(x) = 3x − 2, determină a dacă f(a) + f(2) = 2a.

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 4.
    2. 3a − 2 + 4 = 2a.
    3. 3a + 2 = 2a.
    4. Rezultă a = −2.

    Răspuns: −2

  5. Exercițiul 5

    Pentru f(x) = x + 7, determină a dacă f(a) = a·f(0).

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = 7.
    2. a + 7 = 7a.
    3. 7 = 6a.
    4. Rezultă a = 76.

    Răspuns: 76

  6. Exercițiul 6

    Pentru f(x) = 3x − 13, determină a dacă f(3a) = 2f(a).

    Vezi rezolvarea
    1. f(3a) = 9a − 13.
    2. 2f(a) = 2(3a − 13) = 6a − 26.
    3. 9a − 13 = 6a − 26, deci 3a = −13.
    4. Rezultă a = −133.

    Răspuns: −133

  7. Exercițiul 7

    Pentru f(x) = 2x + a, determină a dacă f(2) = 8.

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 4 + a.
    2. 4 + a = 8.
    3. Rezultă a = 4.

    Răspuns: 4

  8. Exercițiul 8

    f(x) = x2 + mx − 3 trece prin P(2, 7). Determină m.

    Vezi rezolvarea
    1. P(2, 7) este pe grafic, deci f(2) = 7.
    2. 4 + 2m − 3 = 7.
    3. 2m + 1 = 7.
    4. Rezultă m = 3.

    Răspuns: 3

  9. Exercițiul 9

    Determină intersecțiile lui f(x) = x2 − 5x + 4 cu axele.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu Ox: x2 − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) = 0.
    2. Obținem A(1, 0) și B(4, 0).
    3. Cu Oy: f(0) = 4, deci C(0, 4).

    Răspuns: A(1,0), B(4,0), C(0,4)

  10. Exercițiul 10

    Pentru f(x) = x2 − 2mx + m2 − 4, scrie abscisele intersecțiilor cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. f(x) = (x − m)2 − 4.
    2. Ecuația f(x) = 0 devine (x − m)2 = 4.
    3. x − m = ±2.
    4. Rezultă x1 = m − 2 și x2 = m + 2.

    Răspuns: m − 2 și m + 2

  11. Exercițiul 11

    Pentru f(x) = x2 − 4x + m, determină m dacă f(x) > 0 pentru orice x.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru pozitivitate strictă pe ℝ impunem Δ < 0.
    2. Δ = 16 − 4m.
    3. 16 − 4m < 0.
    4. Rezultă m > 4.

    Răspuns: m > 4

  12. Exercițiul 12

    Pentru f(x) = x2 − 2x + m, determină m pentru nicio intersecție cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = 4 − 4m.
    2. Nicio intersecție înseamnă 4 − 4m < 0.
    3. Rezultă m > 1.

    Răspuns: m > 1

  13. Exercițiul 13

    Pentru f(x) = x2 − 2x + 3, determină a dacă f(a) = f(2).

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 3.
    2. a2 − 2a + 3 = 3.
    3. a2 − 2a = 0, deci a(a − 2) = 0.
    4. Rezultă a ∈ {0, 2}.

    Răspuns: {0, 2}

  14. Exercițiul 14

    f(x) = ax + b trece prin A(1, 5), B(3, 9). Determină a, b și intersecția cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Din A: a + b = 5.
    2. Din B: 3a + b = 9.
    3. Scădem ecuațiile: 2a = 4, deci a = 2 și b = 3.
    4. Pe Ox: 2x + 3 = 0, deci C(−32, 0).

    Răspuns: a=2, b=3, C(−32,0)

  15. Exercițiul 15

    Câte intersecții cu Ox are f(x) = x2 + 2x + 5?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 1, b = 2, c = 5.
    2. Δ = 4 − 20 = −16 < 0.
    3. Nu există intersecții reale: numărul lor este 0.

    Răspuns: 0

  16. Exercițiul 16

    Pentru f(x) = x2 − 8x + m, află m pentru o singură intersecție cu Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = 64 − 4m.
    2. 64 − 4m = 0, deci 4m = 64.
    3. m = 16; f(x) = (x − 4)2.

    Răspuns: 16

  17. Exercițiul 17

    Care este valoarea minimă a lui f(x) = x2 − 6x + 11?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem f(x) = (x − 3)2 + 2.
    2. Pătratul este nenegativ și se anulează la x = 3.
    3. Minimul este 2.

    Răspuns: 2

  18. Exercițiul 18

    Care este abscisa vârfului lui f(x) = 2x2 − 8x + 1?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 2 și b = −8.
    2. xV = −b2a = 84.
    3. Abscisa vârfului este 2.

    Răspuns: 2

  19. Exercițiul 19

    Funcția f(x)=ax+2 trece prin A(3,11). Află a și f(f(1)).

    Vezi rezolvarea
    1. f(3)=11, deci 3a+2=11. Punem prima coordonată în locul lui x; rezultatul trebuie să fie a doua coordonată.
    2. a=3; f(1)=5. 3a=9 dă a=3. Apoi f(1)=3·1+2=5.
    3. f(f(1))=f(5)=17. Primul calcul dă f(1)=5. Punem apoi 5 în locul lui x: 3·5+2=17.

    Răspuns: f(f(1))=f(5)=17

Fișa integrală · profil Științe (12)

  1. 37. Calcul

    Pentru f(x) = 3x − 2, determinați a dacă f(a) + f(2) = 2a.

    Vezi răspunsul

    f(2) = 4, deci 3a − 2 + 4 = 2a și a = −2.

  2. 38. Calcul

    Pentru f(x) = x + 7, determinați a dacă f(a) = a·f(0).

    Vezi răspunsul

    f(0) = 7, deci a + 7 = 7a și a = 76.

  3. 39. Calcul

    Pentru f(x) = 3x − 13, determinați a dacă f(3a) = 2f(a).

    Vezi răspunsul

    9a − 13 = 2(3a − 13), deci 3a = −13 și a = −133.

  4. 40. Parametru

    Pentru f(x) = 2x + a, determinați a dacă f(2) = 8.

    Vezi răspunsul

    4 + a = 8, deci a = 4.

  5. 41. Grafic

    f(x) = x2 + mx − 3 trece prin P(2, 7). Determinați m.

    Vezi răspunsul

    4 + 2m − 3 = 7, deci m = 3.

  6. 42. Grafic

    Determinați intersecțiile lui f(x) = x2 − 5x + 4 cu axele.

    Vezi răspunsul

    Cu Ox: x2 − 5x + 4 = 0, deci (1, 0) și (4, 0). Cu Oy: (0, 4).

  7. 43. Parametru

    Pentru f(x) = x2 − 2mx + m2 − 4, determinați intersecțiile cu Ox.

    Vezi răspunsul

    f(x) = (x − m)2 − 4 = 0, deci x = m − 2 sau x = m + 2: punctele (m − 2, 0) și (m + 2, 0).

  8. 44. Condiție

    Pentru f(x) = x2 − 4x + m, determinați m dacă f(x) > 0 pentru orice x.

    Vezi răspunsul

    Δ = 16 − 4m < 0, deci m > 4.

  9. 45. Condiție

    Pentru f(x) = x2 − 2x + m, determinați m pentru nicio intersecție cu Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 4 − 4m < 0, deci m > 1.

  10. 46. Compunere

    Pentru f(x) = 2x − 1 și g(x) = x + 3, determinați a dacă (f ∘ g)(a) = a.

    Vezi răspunsul

    (f ∘ g)(a) = 2(a + 3) − 1 = 2a + 5 = a, deci a = −5.

  11. 47. Ecuație

    Pentru f(x) = x2 − 2x + 3, determinați a dacă f(a) = f(2).

    Vezi răspunsul

    f(2) = 3, deci a2 − 2a = 0: a = 0 sau a = 2.

  12. 48. Grafic

    f(x) = ax + b trece prin A(1, 5), B(3, 9). Determinați a, b și intersecția cu Ox.

    Vezi răspunsul

    a = (9 − 5) : (3 − 1) = 2, b = 3: f(x) = 2x + 3. Cu Ox: (−32, 0).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.