Încărcăm partea curentă…

P.G. · aplicații de tip Bac

De la înmulțire la termenul căutat

Într-o progresie geometrică înmulțim mereu cu aceeași rație q. O aflăm împărțind doi termeni vecini, dacă termenul de jos este nenul. De la b1 la bn sunt n−1 înmulțiri. Dacă q este o fracție sub 1, termenii pozitivi se micșorează.

De ținut minte

bn=b1·qn−1

Exemplu cu alte date

Dacă b1=4 și q=2, află b4.

  1. 1Sunt trei treceri până la poziția 4.
  2. 2b4=4·23=4·8.
  3. 3b4=32; verificăm șirul 4,8,16,32.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

P.G. · aplicații de tip Bac: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Citești o idee și un exemplu cu alte date, apoi rezolvi câteva exerciții. Poți redeschide aceeași teorie oricând.

De la înmulțire la termenul căutat

Într-o progresie geometrică înmulțim mereu cu aceeași rație q. O aflăm împărțind doi termeni vecini, dacă termenul de jos este nenul. De la b1 la bn sunt n−1 înmulțiri. Dacă q este o fracție sub 1, termenii pozitivi se micșorează.

  • bn=b1·qn−1

Exemplu cu alte date

Dacă b1=4 și q=2, află b4.

  1. Sunt trei treceri până la poziția 4.
  2. b4=4·23=4·8.
  3. b4=32; verificăm șirul 4,8,16,32.

Doi termeni: aflăm rația

Scriem fiecare termen ca b1 înmulțit cu o putere a lui q. Împărțim relațiile: b1 se simplifică, iar diferența pozițiilor devine exponentul lui q. Dacă exponentul este par, verificăm dacă enunțul impune un anumit semn; altfel pot exista două rații.

  • bjbi = qʲ−i

Exemplu cu alte date

Dacă b2=12 și b5=96, află q și b1.

  1. b5b2=q3=9612=8.
  2. q=2, pentru că 23=8.
  3. b2=b1q dă b1=122=6.

Doi termeni: continuăm progresia

După ce aflăm rația din doi termeni, nu ne oprim: pentru poziția următoare înmulțim cu q, iar pentru o poziție mai depărtată folosim puterea corespunzătoare. Verificăm toate datele din enunț.

  • bn=bk·qn−k

Exemplu cu alte date

Dacă b3=9 și b6=72, cu q>0, află b8.

  1. b6b3=q3=729=8, deci q=2.
  2. De la poziția 6 la 8 facem două înmulțiri: b8=72·22.
  3. b8=288; verificăm b3=9, b4=18, b5=36, b6=72.

Trei termeni consecutivi și semnul

Pentru trei termeni nenuli x, y, z ai unei P.G., termenul central la pătrat este produsul vecinilor. Ecuația poate da două valori opuse. Păstrăm numai ce permite enunțul: «pozitiv» sau «crescător» nu trebuie ignorate.

  • y2=xz

Exemplu cu alte date

Găsește y>0 dacă 3, y, 27 sunt consecutivi într-o P.G.

  1. y2=3·27=81.
  2. Din ecuație avem y=9 sau y=−9.
  3. Condiția y>0 lasă y=9; rapoartele sunt 93=279=3.

Suma primilor termeni

Sn înseamnă că adunăm primii n termeni, nu că aflăm doar termenul n. Putem scrie termenii și îi adunăm. Formula scurtă se folosește doar când q≠1; dacă q=1, toți termenii sunt egali și avem Sn=n·b1.

  • Sn=b1(qn−1)q−1, q≠1; Sn=nb1, q=1

Exemplu cu alte date

Dacă b1=3 și q=2, află S4.

  1. Termenii sunt 3,6,12,24.
  2. Adunăm: S4=3+6+12+24=45.
  3. Formula verifică: 3(24−1)2−1=45.

Exerciții rezolvate din lecție (13)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Se dau b4 = 54 și b7 = 1458. Pasul 1: ce obținem împărțind b7 la b4?

    Vezi rezolvarea
    1. b7b4 = b1q6b1q3 = q3.
    2. 145854 = 27.
    3. Prin urmare q3 = 27.

    Răspuns: q3 = 27

  2. Exercițiul 2

    Se dau b4 = 54 și b7 = 1458. Pasul 2: cât este rația q?

    Vezi rezolvarea
    1. Am obținut q3 = 27.
    2. Deoarece 27 = 33, rezultă q = 3.

    Răspuns: 3

  3. Exercițiul 3

    Se dau b4 = 54 și b7 = 1458. Pasul 3: după ce am aflat q = 3, cât este b1?

    Vezi rezolvarea
    1. b4 = b1q3, deci 54 = b1 · 33.
    2. 54 = 27b1.
    3. Rezultă b1 = 2.

    Răspuns: 2

  4. Exercițiul 4

    Acum rezolvă singur: într-o P.G. se dau b2 = 6 și b5 = 162, cu q > 0. Determină b6.

    Vezi rezolvarea
    1. b5b2 = q3, deci 1626 = 27 și q3 = 27.
    2. Condiția q > 0 dă q = 3.
    3. b6 = b5 · q = 162 · 3 = 486.
    4. Verificare: b2 = 6, b3 = 18, b4 = 54, b5 = 162.

    Răspuns: 486

  5. Exercițiul 5

    Determinați x > 0 astfel încât 4, x, 36 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 = 4 · 36 = 144
    2. x = ±12
    3. Condiția x > 0 impune x = 12

    Răspuns: 12

  6. Exercițiul 6

    Determinați x astfel încât x, 6, 18 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.

    Vezi rezolvarea
    1. 62 = x · 18
    2. 36 = 18x
    3. x = 2

    Răspuns: 2

  7. Exercițiul 7

    În P.G. cu b1 = 1 și q = 3, pentru ce n este Sn = 121?

    Vezi rezolvarea
    1. 3n − 12 = 121
    2. 3n = 243
    3. 243 = 35, deci n = 5

    Răspuns: n = 5

  8. Exercițiul 8

    O cultură are 5 celule și își triplează numărul la fiecare oră. Câte celule are după 3 ore?

    Vezi rezolvarea
    1. După fiecare oră înmulțim cantitatea cu 3.
    2. După 3 ore avem 5 · 33 = 5 · 27.
    3. Numărul celulelor este 135.

    Răspuns: 135

  9. Exercițiul 9

    Într-o P.G., b2 = 6 și b4 = 54, iar rația este pozitivă. Află rația.

    Vezi rezolvarea
    1. b4 = b2q2, deci 54 = 6q2.
    2. q2 = 9 dă q = ±3.
    3. Rația este pozitivă, deci q = 3.

    Răspuns: 3

  10. Exercițiul 10

    Un obiect valorează 800 lei. Valoarea scade la jumătate în fiecare an. Cât valorează după 3 ani?

    Vezi rezolvarea
    1. Rația este 12.
    2. 800 · (12)3 = 8008.
    3. Valoarea finală este 100 lei.

    Răspuns: 100

  11. Exercițiul 11

    Trei termeni consecutivi ai unei P.G. pozitive sunt 4, x, 36. Află x.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 = 4 · 36 = 144.
    2. Soluțiile algebrice sunt ±12.
    3. Termenii sunt pozitivi, deci x = 12.

    Răspuns: 12

  12. Exercițiul 12

    O P.G. are b1 = 7 și q = 1. Află suma primilor 6 termeni.

    Vezi rezolvarea
    1. Toți cei 6 termeni sunt egali cu 7.
    2. Pentru q = 1 adunăm direct: S6 = 6 · 7.
    3. S6 = 42; nu folosim formula cu numitor q − 1.

    Răspuns: 42

  13. Exercițiul 13

    Într-o progresie geometrică, b1=3 și b3=12. Rația este pozitivă. Află b4.

    Vezi rezolvarea
    1. 12=3q2. Formula este bn=b1qn−1, deci b3=b1q2.
    2. q2=4 și q>0, deci q=2. Ecuația are două rădăcini, dar enunțul permite numai rația pozitivă.
    3. b4=12·2=24. Fiecare termen se obține înmulțind termenul precedent cu q.

    Răspuns: b4=12·2=24

Exerciții interactive · aplicații P.G. (6)

  1. 32. Standard

    În P.G. cu b1 = 64 și q = 12, calculați S6.

    Vezi răspunsul

    S6 = 64(1 − 164)1 − 12 = 126

  2. 33. Standard

    Determinați x > 0 astfel încât 4, x, 36 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.

    Vezi răspunsul

    x2 = 4 · 36 = 144, iar x > 0, deci x = 12.

  3. 34. Standard

    Determinați x astfel încât x, 6, 18 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.

    Vezi răspunsul

    36 = 18x, deci x = 2.

  4. 36. Consolidare

    Se dau b4 = 54 și b7 = 1458. Determinați b1 și q.

    Vezi răspunsul

    q3 = 1.458 : 54 = 27, deci q = 3 și b1 = 54 : 27 = 2.

  5. 41. Tip Bac

    În P.G. cu b1 = 2 și q = 2, determinați n pentru care bn = 128.

    Vezi răspunsul

    2 · 2n−1 = 2n = 128, deci n = 7.

  6. 42. Tip Bac

    În P.G. cu b1 = 1 și q = 3, determinați n pentru care Sn = 121.

    Vezi răspunsul

    3n − 12 = 121, deci 3n = 243 și n = 5.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.