Încărcăm partea curentă…

Numere complexe

Ce înseamnă Re(z) și Im(z)?

Re vine de la «real» și Re(z) se citește «partea reală a lui z»: numărul fără i. Im vine de la «imaginar» și Im(z) se citește «partea imaginară a lui z»: coeficientul lui i, adică numărul care îl înmulțește pe i. În «Im» prima literă este I mare, nu l mic. Paranteza (z) arată despre ce număr complex vorbim.

În z=a+bi avem Re(z)=a și Im(z)=b. Păstrăm semnul lui b și nu scriem i în răspunsul pentru Im(z). De exemplu, pentru z=6−2i, Re(z)=6 și Im(z)=−2, nu −2i. Un număr real ca 4 poate fi scris 4+0i, deci Im(4)=0.

De ținut minte

z=a+bi ⇒ Re(z)=a, Im(z)=b

Exemplu cu alte date

Pentru w=−2+7i, află Re(w) și Im(w).

  1. 1Comparăm w=−2+7i cu forma a+bi.
  2. 2Termenul fără i este −2, deci Re(w)=−2.
  3. 3Coeficientul lui i este 7, deci Im(w)=7.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Numere complexe: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Citești o idee simplă, vezi un exemplu cu alte date, apoi o exersezi. Aceeași explicație poate fi redeschisă la fiecare problemă.

Ce înseamnă Re(z) și Im(z)?

Re vine de la «real» și Re(z) se citește «partea reală a lui z»: numărul fără i. Im vine de la «imaginar» și Im(z) se citește «partea imaginară a lui z»: coeficientul lui i, adică numărul care îl înmulțește pe i. În «Im» prima literă este I mare, nu l mic. Paranteza (z) arată despre ce număr complex vorbim.

În z=a+bi avem Re(z)=a și Im(z)=b. Păstrăm semnul lui b și nu scriem i în răspunsul pentru Im(z). De exemplu, pentru z=6−2i, Re(z)=6 și Im(z)=−2, nu −2i. Un număr real ca 4 poate fi scris 4+0i, deci Im(4)=0.

  • z=a+bi ⇒ Re(z)=a, Im(z)=b

Exemplu cu alte date

Pentru w=−2+7i, află Re(w) și Im(w).

  1. Comparăm w=−2+7i cu forma a+bi.
  2. Termenul fără i este −2, deci Re(w)=−2.
  3. Coeficientul lui i este 7, deci Im(w)=7.

Adunăm și scădem separat

Lucrăm cu termenii fără i ca un grup și cu termenii care au i ca alt grup. La scădere, minusul din fața parantezei schimbă ambele semne.

  • (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

Exemplu cu alte date

Calculează (4+i)−(2−3i).

  1. Deschidem: 4+i−2+3i.
  2. Grupăm: (4−2)+(1+3)i.
  3. Obținem 2+4i.

Conjugatul: schimbăm semnul de lângă i

În conjugat partea reală rămâne aceeași. Schimbăm doar semnul coeficientului lui i. Când adunăm z și conjugatul, termenii cu i dispar; când le scădem, părțile reale dispar.

  • z=a+bi ⇒ z̄=a−bi; z+z̄=2a; z−z̄=2bi

Exemplu cu alte date

Pentru w=5−2i, află w̄ și w+w̄.

  1. Partea reală este 5 și rămâne 5.
  2. Schimbăm numai semnul lui −2i: w̄=5+2i.
  3. Adunăm: (5−2i)+(5+2i)=10; termenii cu i se anulează.

Modulul: distanța de la zero

Re(z) înseamnă partea reală, iar Im(z) partea imaginară, adică numărul care îl înmulțește pe i. De exemplu, pentru z=3−4i avem Re(z)=3 și Im(z)=−4. În «Im» este I mare, nu l mic.

Ridicăm la pătrat partea reală și partea imaginară, adunăm, apoi scoatem radicalul. Modulul nu este negativ. Dacă aflăm un pătrat al unei necunoscute, verificăm ambele semne și eventualele condiții din enunț.

  • |a+bi|=a2+b2

Exemplu cu alte date

Dacă w=5+12i, cât este |w|?

  1. Citim coeficienții: a=5 și b=12.
  2. Pătratele sunt 52=25 și 122=144.
  3. Adunăm 25+144=169 și obținem |w|=√169=13.

Înmulțim toate perechile de termeni

Desfacem parantezele ca la înmulțirea expresiilor algebrice. Înlocuim apoi i2 cu −1 și adunăm termenii reali, respectiv cei cu i. Puterile lui i se repetă la fiecare patru pași.

Dacă se cere Re(z), luăm partea reală a rezultatului, fără i. Dacă se cere Im(z), luăm coeficientul lui i, cu tot cu semn. «Im» începe cu I mare și nu înseamnă întregul termen cu i.

  • i2=−1; i3=−i; i4=1

Exemplu cu alte date

Calculează (1+i)(2−i) și i9.

  1. Desfacem: 2−i+2i−i2.
  2. Înlocuim i2=−1: 2+i+1=3+i.
  3. 9=4·2+1, deci i9=(i4)2i=i.

Împărțim folosind conjugatul

Ca să dispară i din numitor, înmulțim atât sus, cât și jos cu conjugatul numitorului. Jos obținem un număr real; la final împărțim fiecare termen din numărător la acel număr.

În rezultatul a+bi, Re(z) este a, numărul fără i, iar Im(z) este b, coeficientul lui i. Dacă exercițiul cere numai una dintre ele, citim doar acea valoare după ce terminăm împărțirea.

  • a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2, c+di≠0

Exemplu cu alte date

Calculează 3+i1−i.

  1. Conjugatul numitorului este 1+i. Amplificăm cu 1+i1+i.
  2. Sus: (3+i)(1+i)=2+4i. Jos: (1−i)(1+i)=2.
  3. Rezultatul este 2+4i2=1+2i.

Ecuații de gradul al doilea în ℂ

Calculăm Δ=b2−4ac. Dacă este negativ, scriem √Δ=i−Δ, apoi folosim aceeași formulă a rădăcinilor. Împărțim atât partea reală, cât și cea imaginară la 2a.

  • Δ<0 ⇒ z1,2=−b±i−Δ2a

Exemplu cu alte date

Rezolvă w2−2w+5=0.

  1. a=1,b=−2,c=5; Δ=4−20=−16.
  2. √Δ=4i, deci w=2±4i2.
  3. Soluțiile sunt 1+2i și 1−2i.

Exerciții rezolvate din lecție (13)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru z = 3 − 5i, perechea (Re(z), Im(z)) este:

    Vezi rezolvarea
    1. Partea reală este termenul fără i: 3
    2. Partea imaginară este coeficientul lui i: −5
    3. (Re(z), Im(z)) = (3, −5)

    Răspuns: (3, −5)

  2. Exercițiul 2

    Calculați (−2 + 3i) + (5 − i).

    Vezi rezolvarea
    1. Partea reală: −2 + 5 = 3
    2. Partea imaginară: 3i − i = 2i
    3. Rezultatul este 3 + 2i

    Răspuns: 3 + 2i

  3. Exercițiul 3

    Calculați (2 + i)(3 − 2i).

    Vezi rezolvarea
    1. (2 + i)(3 − 2i) = 6 − 4i + 3i − 2i2
    2. −2i2 = 2
    3. Rezultatul este 8 − i

    Răspuns: 8 − i

  4. Exercițiul 4

    Calculați i30.

    Vezi rezolvarea
    1. 30 = 4·7 + 2
    2. i30 = (i4)7·i2
    3. i30 = −1

    Răspuns: −1

  5. Exercițiul 5

    Calculați 4 + 2i1 − i.

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțim cu conjugatul 1 + i
    2. Numărătorul devine (4 + 2i)(1 + i) = 2 + 6i
    3. Numitorul este 2, deci rezultatul este 1 + 3i

    Răspuns: 1 + 3i

  6. Exercițiul 6

    Dacă z + z̄ = 8 și z − z̄ = −6i, atunci z este:

    Vezi rezolvarea
    1. z + z̄ = 2x = 8, deci x = 4
    2. z − z̄ = 2yi = −6i, deci y = −3
    3. z = 4 − 3i

    Răspuns: 4 − 3i

  7. Exercițiul 7

    Soluțiile ecuației z2 − 6z + 13 = 0 sunt:

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = 36 − 52 = −16
    2. √Δ = 4i
    3. z = 6 ± 4i2 = 3 ± 2i

    Răspuns: 3 ± 2i

  8. Exercițiul 8

    Pentru ce m ∈ ℝ numărul z = m + 2i are modulul √13?

    Vezi rezolvarea
    1. |z|2 = m2 + 4
    2. m2 + 4 = 13, deci m2 = 9
    3. m = ±3

    Răspuns: m = ±3

  9. Exercițiul 9

    Pentru z = (2 + i)(3 − 2i), află Re(z).

    Vezi rezolvarea
    1. z = 6 − 4i + 3i − 2i2.
    2. i2 = −1, deci z = 8 − i.
    3. Partea reală este 8.

    Răspuns: 8

  10. Exercițiul 10

    Pentru z = 4 − 3i, află z + z̄. Scrie numărul real obținut.

    Vezi rezolvarea
    1. z̄ = 4 + 3i.
    2. z + z̄ = 4 − 3i + 4 + 3i.
    3. Termenii imaginari se anulează și rămâne 8.

    Răspuns: 8

  11. Exercițiul 11

    Calculează i20. Scrie numărul real obținut.

    Vezi rezolvarea
    1. 20 = 4 · 5.
    2. i20 = (i4)5 = 15.
    3. Rezultatul este 1.

    Răspuns: 1

  12. Exercițiul 12

    Pentru z = 4 + 2i1 + i, află Im(z).

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțim numărătorul și numitorul cu 1 − i.
    2. Sus obținem 6 − 2i, jos 2, deci z = 3 − i.
    3. Coeficientul lui i este −1, deci Im(z) = −1.

    Răspuns: -1

  13. Exercițiul 13

    Calculează (2+i)(3−2i), apoi modulul rezultatului.

    Vezi rezolvarea
    1. 6−4i+3i−2i2. Fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare din a doua.
    2. 8−i. −2i2=2; partea reală este 6+2=8, iar partea imaginară este −i.
    3. |8−i|=√65. Modulul lui a+bi este a2+b2: 64+1=√65.

    Răspuns: |8−i|=√65

Fișă de lucru C · numere complexe (29)

  1. 49. Bază

    Pentru z = 3 − 5i, precizați Re(z) și Im(z).

    Vezi răspunsul

    Re(z) = 3, Im(z) = −5

  2. 50. Bază

    Calculați (−2 + 3i) + (5 − i).

    Vezi răspunsul

    3 + 2i

  3. 51. Bază

    Calculați (4 + 2i) − (1 − 6i).

    Vezi răspunsul

    3 + 8i

  4. 52. Bază

    Calculați (2 + i)(3 − 2i).

    Vezi răspunsul

    6 − 4i + 3i − 2i2 = 8 − i

  5. 53. Bază

    Calculați (1 + 2i)2.

    Vezi răspunsul

    1 + 4i + 4i2 = −3 + 4i

  6. 54. Bază

    Calculați i17.

    Vezi răspunsul

    17 = 4 · 4 + 1, deci i17 = i.

  7. 55. Bază

    Calculați i30.

    Vezi răspunsul

    30 = 4 · 7 + 2, deci i30 = −1.

  8. 56. Bază

    Scrieți conjugatul numărului z = 3 − 4i.

    Vezi răspunsul

    z̄ = 3 + 4i

  9. 57. Bază

    Calculați |3 − 4i|.

    Vezi răspunsul

    9 + 16 = 5

  10. 58. Bază

    Calculați |−5 + 12i|.

    Vezi răspunsul

    25 + 144 = 13

  11. 59. Standard

    Pentru z = 2 − 7i, calculați z + z̄.

    Vezi răspunsul

    z + z̄ = 2 · Re(z) = 4

  12. 60. Standard

    Pentru z = −3 + 4i, calculați z·z̄.

    Vezi răspunsul

    z · z̄ = |z|2 = 9 + 16 = 25

  13. 61. Standard

    Calculați 4 + 2i1 − i și scrieți rezultatul în forma a + bi.

    Vezi răspunsul

    (4 + 2i)1 + i2 = 2 + 6i2 = 1 + 3i

  14. 62. Standard

    Calculați 3 − i2 + i și scrieți rezultatul în forma a + bi.

    Vezi răspunsul

    (3 − i)2 − i5 = 5 − 5i5 = 1 − i

  15. 63. Standard

    Rezolvați în ℂ ecuația z + (2 − i) = 5 + 3i.

    Vezi răspunsul

    z = 5 + 3i − (2 − i) = 3 + 4i

  16. 64. Standard

    Rezolvați în ℂ ecuația 2z − (1 + i) = 5 − 3i.

    Vezi răspunsul

    2z = 6 − 2i, deci z = 3 − i.

  17. 65. Consolidare

    Determinați z dacă z + z̄ = 8 și z − z̄ = −6i.

    Vezi răspunsul

    2Re(z) = 8 și 2i · Im(z) = −6i, deci z = 4 − 3i.

  18. 66. Consolidare

    Determinați z dacă |z| = 5, Re(z) = 3 și Im(z) > 0.

    Vezi răspunsul

    9 + b2 = 25, cu b > 0, deci z = 3 + 4i.

  19. 67. Consolidare

    Calculați (1 − i)2.

    Vezi răspunsul

    1 − 2i + i2 = −2i

  20. 68. Consolidare

    Calculați (1 + i)4.

    Vezi răspunsul

    (1 + i)4 = (2i)2 = −4

  21. 69. Consolidare

    Rezolvați în ℂ ecuația z2 = −1.

    Vezi răspunsul

    z = i sau z = −i

  22. 70. Aprofundare

    Rezolvați în ℂ ecuația z2 − 6z + 13 = 0.

    Vezi răspunsul

    Δ = 36 − 52 = −16, deci z = 6 ± 4i2: z = 3 + 2i sau z = 3 − 2i.

  23. 71. Consolidare

    Rezolvați în ℂ ecuația z2 + 4 = 0.

    Vezi răspunsul

    z = 2i sau z = −2i

  24. 72. Tip Bac

    Rezolvați în ℂ ecuația (2 + i)z = 5.

    Vezi răspunsul

    z = 52 + i = 5(2 − i)5 = 2 − i

  25. 73. Tip Bac

    Rezolvați în ℂ ecuația z1 − i = 2 + i.

    Vezi răspunsul

    z = (2 + i)(1 − i) = 3 − i

  26. 74. Tip Bac

    Determinați numerele reale z pentru care |z − 1| = 2.

    Vezi răspunsul

    z − 1 = ±2, deci z = 3 sau z = −1.

  27. 75. Aprofundare

    Rezolvați în ℂ ecuația z + 2z̄ = 3 + i.

    Vezi răspunsul

    Cu z = a + bi: 3a − bi = 3 + i, deci a = 1, b = −1 și z = 1 − i.

  28. 76. Tip Bac

    Determinați m ∈ ℝ astfel încât numărul z = m + 2i să aibă modulul √13.

    Vezi răspunsul

    m2 + 4 = 13, deci m = 3 sau m = −3.

  29. 77. Tip Bac

    Calculați 1 + i1 − i.

    Vezi răspunsul

    (1 + i)2(1 − i)(1 + i) = 2i2 = i

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.