Numere complexe

Înveți operațiile de bază și relațiile care apar cel mai des în cerințele scurte de Bac.

La fiecare calcul înlocuiește i² cu −1. La împărțire, înmulțește numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului.

Forma algebrică și formulele esențiale

Un număr complex are forma z = a + bi, unde a și b sunt reale, iar i este unitatea imaginară definită prin i² = −1.

Re(z) = a și Im(z) = b

z̄ = a − bi

|z| = a² + b²

z·z̄ = |z|²

Două numere complexe sunt egale dacă au aceleași părți reale și imaginare.
Puterile lui i se repetă din 4 în 4.
Pentru împărțire, numitorul final devine modulul numitorului la pătrat.

Operații și capcane

La adunare și scădere grupezi separat partea reală și coeficientul lui i.
La înmulțire desfaci parantezele și folosești i² = −1.
Din |z| = a² + b² rezultă întotdeauna un număr real nenegativ.
Pentru ecuații cu z̄, scrii z = x + yi și egalezi părțile reale și imaginare.

Model rezolvat · operații

Model C1

Fie z₁ = 2 − 3i și z₂ = 1 + 4i. Calculați z₁ + z₂ și z₁z₂.

1.z₁ + z₂ = (2 + 1) + (−3 + 4)i = 3 + i.
2.z₁z₂ = 2 + 8i − 3i − 12i².
3.Cum i² = −1, rezultă z₁z₂ = 14 + 5i.

Model rezolvat · conjugat și modul

Model C3

Pentru z = 3 − 4i, calculați z̄, |z| și 1z.

1.z̄ = 3 + 4i.
2.|z| = 3² + (−4)² = 5.
3.1z = z̄/(z·z̄) = 3 + 4i25.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de lucru C · numere complexe · 29 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 49Bază
Pentru z = 3 − 5i, precizați Re(z) și Im(z).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Re(z) = 3, Im(z) = −5
Ex. 50Bază
Calculați (−2 + 3i) + (5 − i).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 + 2i
Ex. 51Bază
Calculați (4 + 2i) − (1 − 6i).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 + 8i
Ex. 52Bază
Calculați (2 + i)(3 − 2i).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 − 4i + 3i − 2i² = 8 − i
Ex. 53Bază
Calculați (1 + 2i)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 + 4i + 4i² = −3 + 4i
Ex. 54Bază
Calculați i¹⁷.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
17 = 4 · 4 + 1, deci i¹⁷ = i.
Ex. 55Bază
Calculați i³⁰.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
30 = 4 · 7 + 2, deci i³⁰ = −1.
Ex. 56Bază
Scrieți conjugatul numărului z = 3 − 4i.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z̄ = 3 + 4i
Ex. 57Bază
Calculați |3 − 4i|.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 + 16 = 5
Ex. 58Bază
Calculați |−5 + 12i|.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
25 + 144 = 13
Ex. 59Standard
Pentru z = 2 − 7i, calculați z + z̄.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z + z̄ = 2 · Re(z) = 4
Ex. 60Standard
Pentru z = −3 + 4i, calculați z·z̄.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z · z̄ = |z|² = 9 + 16 = 25
Ex. 61Standard
Calculați 4 + 2i1 − i și scrieți rezultatul în forma a + bi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(4 + 2i)1 + i2 = 2 + 6i2 = 1 + 3i
Ex. 62Standard
Calculați 3 − i2 + i și scrieți rezultatul în forma a + bi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(3 − i)2 − i5 = 5 − 5i5 = 1 − i
Ex. 63Standard
Rezolvați în ℂ ecuația z + (2 − i) = 5 + 3i.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z = 5 + 3i − (2 − i) = 3 + 4i
Ex. 64Standard
Rezolvați în ℂ ecuația 2z − (1 + i) = 5 − 3i.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2z = 6 − 2i, deci z = 3 − i.
Ex. 65Consolidare
Determinați z dacă z + z̄ = 8 și z − z̄ = −6i.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2Re(z) = 8 și 2i · Im(z) = −6i, deci z = 4 − 3i.
Ex. 66Consolidare
Determinați z dacă |z| = 5, Re(z) = 3 și Im(z) > 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 + b² = 25, cu b > 0, deci z = 3 + 4i.
Ex. 67Consolidare
Calculați (1 − i)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 2i + i² = −2i
Ex. 68Consolidare
Calculați (1 + i)⁴.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(1 + i)⁴ = (2i)² = −4
Ex. 69Consolidare
Rezolvați în ℂ ecuația z² = −1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z = i sau z = −i
Ex. 70Aprofundare
Rezolvați în ℂ ecuația z² − 6z + 13 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 36 − 52 = −16, deci z = 6 ± 4i2: z = 3 + 2i sau z = 3 − 2i.
Ex. 71Consolidare
Rezolvați în ℂ ecuația z² + 4 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z = 2i sau z = −2i
Ex. 72Tip Bac
Rezolvați în ℂ ecuația (2 + i)z = 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z = 52 + i = 5(2 − i)5 = 2 − i
Ex. 73Tip Bac
Rezolvați în ℂ ecuația z1 − i = 2 + i.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z = (2 + i)(1 − i) = 3 − i
Ex. 74Tip Bac
Determinați numerele reale z pentru care |z − 1| = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z − 1 = ±2, deci z = 3 sau z = −1.
Ex. 75Aprofundare
Rezolvați în ℂ ecuația z + 2z̄ = 3 + i.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu z = a + bi: 3a − bi = 3 + i, deci a = 1, b = −1 și z = 1 − i.
Ex. 76Tip Bac
Determinați m ∈ ℝ astfel încât numărul z = m + 2i să aibă modulul √13.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m² + 4 = 13, deci m = 3 sau m = −3.
Ex. 77Tip Bac
Calculați 1 + i1 − i.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(1 + i)²(1 − i)(1 + i) = 2i2 = i