Doar M1 · Mate-Info⏱ 12 cerințe

M1+

Încărcăm partea curentă…

Progresii și complexe · nivel M1

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

P.A. · diferența și poziția

Într-o progresie aritmetică (P.A.) adăugăm aceeași rație r la fiecare pas. a₁ este primul termen, iar indicele n arată poziția. Între pozițiile k și n sunt n−k pași; rația poate fi și negativă.

De ținut minte

a_n=a₁+(n−1)r; a_n−a_k=(n−k)r

Exemplu cu alte date

În P.A. se dau a₂=8 și a₆=20. Află r; apoi, dacă a₁=5, află poziția termenului 23.

1Între a₂ și a₆ sunt patru pași: 20−8=4r, deci r=3.
2Cu a₁=5, scriem 23=5+(n−1)·3, deci 18=3(n−1).
3n−1=6, așadar n=7; verificăm a₇=5+6·3=23.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Progresii și complexe · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Citește regula scurtă și exemplul separat, apoi construiește fiecare rezolvare pe rânduri, fără să tastezi demonstrația pe telefon.

P.A. · diferența și poziția

a_n=a₁+(n−1)r; a_n−a_k=(n−k)r

Exemplu cu alte date

În P.A. se dau a₂=8 și a₆=20. Află r; apoi, dacă a₁=5, află poziția termenului 23.

Între a₂ și a₆ sunt patru pași: 20−8=4r, deci r=3.
Cu a₁=5, scriem 23=5+(n−1)·3, deci 18=3(n−1).
n−1=6, așadar n=7; verificăm a₇=5+6·3=23.

P.G. · două treceri și termenul din mijloc

Într-o progresie geometrică (P.G.) înmulțim de fiecare dată cu aceeași rație q. Între b₂ și b₄ sunt două înmulțiri, deci apare q². Dacă rezolvăm o ecuație cu pătrat, citim apoi condiția de semn din enunț.

b_n=b₁qⁿ⁻¹; b₄=b₂q²; pentru u,x,v consecutivi: x²=uv

Exemplu cu alte date

Într-o P.G. cu b₂=8, b₄=32 și q>0 află q. Apoi află x dacă 9,x,25 sunt termeni pozitivi consecutivi.

32=8q², deci q²=4; din q>0 păstrăm q=2.
Pentru cei trei termeni, x²=9·25=225, așadar x=15 sau x=−15.
Pozitivitatea păstrează x=15; verificăm 159=2515=53.

P.G. · rație negativă

Când rația q este negativă, termenii își schimbă semnul de la un pas la altul. Pentru b_n numărăm n−1 înmulțiri și punem rația negativă între paranteze înainte de ridicarea la putere.

b_n=b₁qⁿ⁻¹

Exemplu cu alte date

În P.G. cu b₁=3 și q=−2 află b₃ și b₄.

b₃=3·(−2)²=3·4=12; exponentul par dă rezultat pozitiv.
b₄=3·(−2)³=3·(−8)=−24; exponentul impar păstrează semnul minus.
Verificăm șirul: 3, −6, 12, −24.

Complexe · împărțirea cu conjugatul

Numărul i are proprietatea i²=−1. Pentru a împărți la 1+i, înmulțim sus și jos cu conjugatul 1−i. Numitorul devine real. În z=a+bi, Re(z)=a este partea reală, iar Im(z)=b este coeficientul lui i, inclusiv semnul.

(1+i)(1−i)=2; Re(a+bi)=a; Im(a+bi)=b

Exemplu cu alte date

Calculează Re(z) și Im(z) pentru z=7+i1+i.

Înmulțim sus și jos cu 1−i: z=(7+i)1−i(1+i)(1−i).
Numărătorul este 8−6i, iar numitorul 2, deci z=4−3i.
Citind cele două părți, Re(z)=4 și Im(z)=−3.

Complexe · modulul

Modulul |z| al numărului z=a+bi este un număr real nenegativ. Îl calculăm ridicând separat la pătrat partea reală a și partea imaginară b, apoi extragem rădăcina pătrată.

|a+bi|=a²+b²

Exemplu cu alte date

Pentru z=5+12i, află |z|.

Identificăm a=5 și b=12.
|z|=5²+12²=25+144.
|z|=√169=13, rezultat nenegativ.

P.A. + numere complexe · indicele din modul

Întâi scriem termenii P.A. folosind indicele natural pozitiv n. Apoi formăm numărul complex și transformăm condiția de modul într-o ecuație reală. La final păstrăm doar indicii n≥1.

a_n=a₁+(n−1)r; |a+bi|²=a²+b²

Exemplu cu alte date

În P.A. cu a₁=2 și r=1, punem z=a_n+i·a_n+1. Dacă |z|=5, află n.

a_n=n+1 și a_n+1=n+2, deci z=(n+1)+(n+2)i.
(n+1)²+(n+2)²=25 devine n²+3n−10=0, adică (n−2)(n+5)=0.
Soluțiile sunt 2 și −5; n≥1, deci n=2. Verificăm |3+4i|=5.

P.G. + numere complexe · scoatem factorul comun

Pentru două valori vecine din P.G., termenul următor este q ori termenul curent. În modulul numărului format din ele putem scoate termenul curent în fața radicalului, apoi comparăm puterile. Verificăm la final indicele.

|b_n+i·b_n+1|=|b_n|1+q²

Exemplu cu alte date

În P.G. cu b₁=3, q=2 și z=b_n+i·b_n+1, află n dacă |z|=6√5.

b_n=3·2ⁿ⁻¹, iar b_n+1=2b_n; deci |z|=b_n√5.
3·2ⁿ⁻¹√5=6√5, de unde 2ⁿ⁻¹=2 și n=2.
Verificăm b₂=6, b₃=12 și |6+12i|=6√5.

Ecuații de gradul al doilea în ℂ

În ecuația az²+bz+c=0, a nu este zero. Δ (delta) este discriminantul b²−4ac. În numere complexe, și un discriminant negativ are rădăcini pătrate; calculăm ambele soluții cu semnele ±, apoi verificăm ce cere enunțul.

Δ=b²−4ac; z₁,₂=−b±√Δ2a

Exemplu cu alte date

Rezolvă z²−(1+2i)z+2i=0.

Δ=(1+2i)²−8i=−3−4i, iar (1−2i)²=−3−4i.
z=(1+2i)±(1−2i)2, deci soluțiile sunt 1 și 2i.
Verificăm: suma rădăcinilor este 1+2i, iar produsul 2i.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Rezolvați în ℂ ecuația z² − (2 + 2i)z + 4i = 0.
Vezi rezolvarea
1. Δ = (2 + 2i)² − 16i = −8i
2. √Δ = ±(2 − 2i)
3. z = (2 + 2i) ± (2 − 2i)2, deci z ∈ {2, 2i}
Răspuns: z ∈ {2, 2i}
Exercițiul 2
În P.A. cu a₁ = 1 și r = 1, z = a_n + i·a_n+1 și |z| = 5. Valoarea lui n este:
Vezi rezolvarea
1. |z|² = n² + (n + 1)² = 25
2. 2n² + 2n − 24 = 0, adică n² + n − 12 = 0
3. (n − 3)(n + 4) = 0 și n ∈ ℕ*, deci n = 3
Răspuns: 3
Exercițiul 3
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 2, z = b_n + i·b_n+1 și |z| = 4√5. Valoarea lui n este:
Vezi rezolvarea
1. |z|² = 4ⁿ⁻¹ + 4ⁿ = 5·4ⁿ⁻¹, deci |z| = 2ⁿ⁻¹√5
2. 2ⁿ⁻¹√5 = 4√5
3. 2ⁿ⁻¹ = 4 = 2², deci n = 3
Răspuns: 3
Exercițiul 4
Într-o P.A., a₃ = 11 și a₇ = 27. Află rația.
Vezi rezolvarea
1. a₇ − a₃ = (7 − 3)r.
2. 27 − 11 = 4r, deci 16 = 4r.
3. r = 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 5
În P.A. 20, 17, 14, …, al câtelea termen este 2?
Vezi rezolvarea
1. r = −3 și a_n = 20 − 3(n − 1).
2. 20 − 3(n − 1) = 2 ⇒ n − 1 = 6.
3. n = 7; verificăm 20 − 18 = 2.
Răspuns: 7
Exercițiul 6
Într-o P.G., b₂ = 6 și b₄ = 54, iar rația este pozitivă. Află rația.
Vezi rezolvarea
1. b₄ = b₂q², deci 54 = 6q².
2. q² = 9 dă q = ±3.
3. Rația este pozitivă, deci q = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 7
Trei termeni consecutivi ai unei P.G. pozitive sunt 4, x, 36. Află x.
Vezi rezolvarea
1. x² = 4 · 36 = 144.
2. Soluțiile algebrice sunt ±12.
3. Termenii sunt pozitivi, deci x = 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 8
În P.G. cu b₁ = 2 și q = −2, află b₄.
Vezi rezolvarea
1. b₄ = b₁q³ = 2 · (−2)³.
2. (−2)³ = −8.
3. b₄ = −16.
Răspuns: -16
Exercițiul 9
Pentru z = 4 + 2i1 + i, află Im(z).
Vezi rezolvarea
1. Înmulțim numărătorul și numitorul cu 1 − i.
2. Sus obținem 6 − 2i, jos 2, deci z = 3 − i.
3. Coeficientul lui i este −1, deci Im(z) = −1.
Răspuns: -1
Exercițiul 10
Soluțiile lui z² − 4z + 13 = 0 sunt 2 ± bi, cu b > 0. Află b.
Vezi rezolvarea
1. Δ = 16 − 52 = −36.
2. z = 4 ± 6i2 = 2 ± 3i.
3. Coeficientul pozitiv b este 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 11
Numărul z verifică (1 + i)z = 6. Află Re(z).
Vezi rezolvarea
1. z = 61 + i = 6(1 − i)2.
2. z = 3 − 3i.
3. Re(z) = 3; produsul (1 + i)(3 − 3i) = 6 confirmă.
Răspuns: 3
Exercițiul 12
Dacă z = 3 + 4i, calculează |z|.
Vezi rezolvarea
1. |z|² = 3² + 4² = 9 + 16.
2. |z| = √25.
3. Modulul este nenegativ, deci |z| = 5.
Răspuns: 5

Exerciții rezervate profilului Mate-Info (3)

78. Aprofundare
Rezolvați în ℂ ecuația z² − (2 + 2i)z + 4i = 0.
Vezi răspunsul
Suma rădăcinilor este 2 + 2i, iar produsul 4i: rădăcinile sunt z = 2 și z = 2i.
101. Aprofundare
În P.A. cu a₁ = 1 și r = 1 se definește z = a_n + i·a_n+1. Determinați n ∈ ℕ* dacă |z| = 5.
Vezi răspunsul
n² + (n + 1)² = 25, deci n² + n − 12 = 0 și n = 3.
102. Aprofundare
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 2 se definește z = b_n + i·b_n+1. Determinați n ∈ ℕ* dacă |z| = 4√5.
Vezi răspunsul
4ⁿ⁻¹ + 4ⁿ = 80, deci 5 · 4ⁿ⁻¹ = 80, 4ⁿ⁻¹ = 16 și n = 3.