Încărcăm partea curentă…

Ecuații cu numere complexe

Izolăm necunoscuta z

Procedăm ca la o ecuație obișnuită: mutăm termenii cunoscuți, apoi împărțim la coeficientul lui z. La fiecare mutare a unei paranteze verificăm semnele. La sfârșit putem verifica soluția prin înlocuire în ecuația de la început.

De ținut minte

az+b=c ⇒ z=c−ba, a≠0

Exemplu cu alte date

Rezolvă 2w+(3−i)=7+i.

  1. 1Scădem 3−i: 2w=7+i−(3−i)=4+2i.
  2. 2Împărțim la 2: w=2+i.
  3. 3Verificăm: 2(2+i)+(3−i)=7+i.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Ecuații cu numere complexe: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Citești o idee simplă, vezi un exemplu cu alte date, apoi o exersezi. Aceeași explicație poate fi redeschisă la fiecare problemă.

Izolăm necunoscuta z

Procedăm ca la o ecuație obișnuită: mutăm termenii cunoscuți, apoi împărțim la coeficientul lui z. La fiecare mutare a unei paranteze verificăm semnele. La sfârșit putem verifica soluția prin înlocuire în ecuația de la început.

  • az+b=c ⇒ z=c−ba, a≠0

Exemplu cu alte date

Rezolvă 2w+(3−i)=7+i.

  1. Scădem 3−i: 2w=7+i−(3−i)=4+2i.
  2. Împărțim la 2: w=2+i.
  3. Verificăm: 2(2+i)+(3−i)=7+i.

Egalăm părțile reale și imaginare

Re(z) se citește «partea reală a lui z»; Im(z) se citește «partea imaginară a lui z». În «Im» este I mare, nu l mic. Dacă z=x+yi, atunci Re(z)=x și Im(z)=y: nu includem litera i în Im(z).

Dacă două numere complexe sunt egale, părțile lor reale sunt egale între ele și la fel cele imaginare. Pentru ecuații cu z̄, scriem mai întâi z=x+yi și z̄=x−yi.

  • x+yi=u+vi ⇔ x=u și y=v

Exemplu cu alte date

Dacă w+w̄=10 și w−w̄=4i, află w.

  1. Scriem w=x+yi; atunci 2x=10, deci x=5.
  2. Avem 2yi=4i, deci y=2.
  3. Rezultă w=5+2i.

Modulul: distanța de la zero

Re(z) înseamnă partea reală, iar Im(z) partea imaginară, adică numărul care îl înmulțește pe i. De exemplu, pentru z=3−4i avem Re(z)=3 și Im(z)=−4. În «Im» este I mare, nu l mic.

Ridicăm la pătrat partea reală și partea imaginară, adunăm, apoi scoatem radicalul. Modulul nu este negativ. Dacă aflăm un pătrat al unei necunoscute, verificăm ambele semne și eventualele condiții din enunț.

  • |a+bi|=a2+b2

Exemplu cu alte date

Dacă w=5+12i, cât este |w|?

  1. Citim coeficienții: a=5 și b=12.
  2. Pătratele sunt 52=25 și 122=144.
  3. Adunăm 25+144=169 și obținem |w|=√169=13.

Înmulțim toate perechile de termeni

Desfacem parantezele ca la înmulțirea expresiilor algebrice. Înlocuim apoi i2 cu −1 și adunăm termenii reali, respectiv cei cu i. Puterile lui i se repetă la fiecare patru pași.

Dacă se cere Re(z), luăm partea reală a rezultatului, fără i. Dacă se cere Im(z), luăm coeficientul lui i, cu tot cu semn. «Im» începe cu I mare și nu înseamnă întregul termen cu i.

  • i2=−1; i3=−i; i4=1

Exemplu cu alte date

Calculează (1+i)(2−i) și i9.

  1. Desfacem: 2−i+2i−i2.
  2. Înlocuim i2=−1: 2+i+1=3+i.
  3. 9=4·2+1, deci i9=(i4)2i=i.

Împărțim folosind conjugatul

Ca să dispară i din numitor, înmulțim atât sus, cât și jos cu conjugatul numitorului. Jos obținem un număr real; la final împărțim fiecare termen din numărător la acel număr.

În rezultatul a+bi, Re(z) este a, numărul fără i, iar Im(z) este b, coeficientul lui i. Dacă exercițiul cere numai una dintre ele, citim doar acea valoare după ce terminăm împărțirea.

  • a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2, c+di≠0

Exemplu cu alte date

Calculează 3+i1−i.

  1. Conjugatul numitorului este 1+i. Amplificăm cu 1+i1+i.
  2. Sus: (3+i)(1+i)=2+4i. Jos: (1−i)(1+i)=2.
  3. Rezultatul este 2+4i2=1+2i.

Ecuații de gradul al doilea în ℂ

Calculăm Δ=b2−4ac. Dacă este negativ, scriem √Δ=i−Δ, apoi folosim aceeași formulă a rădăcinilor. Împărțim atât partea reală, cât și cea imaginară la 2a.

  • Δ<0 ⇒ z1,2=−b±i−Δ2a

Exemplu cu alte date

Rezolvă w2−2w+5=0.

  1. a=1,b=−2,c=5; Δ=4−20=−16.
  2. √Δ=4i, deci w=2±4i2.
  3. Soluțiile sunt 1+2i și 1−2i.

Exerciții rezolvate din lecție (13)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Rezolvați în ℂ ecuația z + (2 − i) = 5 + 3i.

    Vezi rezolvarea
    1. z = 5 + 3i − (2 − i)
    2. z = 5 + 3i − 2 + i
    3. z = 3 + 4i

    Răspuns: z = 3 + 4i

  2. Exercițiul 2

    Rezolvați în ℂ ecuația 2z − (1 + i) = 5 − 3i.

    Vezi rezolvarea
    1. 2z = 5 − 3i + 1 + i
    2. 2z = 6 − 2i
    3. z = 3 − i

    Răspuns: z = 3 − i

  3. Exercițiul 3

    Dacă z + z̄ = 8 și z − z̄ = −6i, atunci z este:

    Vezi rezolvarea
    1. 2x = 8, deci x = 4
    2. 2yi = −6i, deci y = −3
    3. z = 4 − 3i

    Răspuns: 4 − 3i

  4. Exercițiul 4

    Dacă |z| = 5, Re(z) = 3 și Im(z) > 0, atunci z este:

    Vezi rezolvarea
    1. 9 + y2 = 25
    2. y2 = 16, deci y = ±4
    3. Im(z) > 0, așadar z = 3 + 4i

    Răspuns: 3 + 4i

  5. Exercițiul 5

    Soluțiile ecuației z2 = −1 sunt:

    Vezi rezolvarea
    1. i2 = −1
    2. (−i)2 = i2 = −1
    3. Soluțiile sunt z = ±i

    Răspuns: {i, −i}

  6. Exercițiul 6

    Soluțiile ecuației z2 − 6z + 13 = 0 sunt:

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = 36 − 52 = −16
    2. √Δ = 4i
    3. z = 6 ± 4i2 = 3 ± 2i

    Răspuns: 3 ± 2i

  7. Exercițiul 7

    Rezolvați în ℂ ecuația (2 + i)z = 5.

    Vezi rezolvarea
    1. z = 52 + i
    2. Înmulțim cu 2 − i2 − i
    3. z = 5(2 − i)5 = 2 − i

    Răspuns: z = 2 − i

  8. Exercițiul 8

    Rezolvați în ℂ ecuația z + 2z̄ = 3 + i.

    Vezi rezolvarea
    1. z + 2z̄ = x + yi + 2x − 2yi = 3x − yi
    2. 3x = 3 și −y = 1
    3. x = 1, y = −1, deci z = 1 − i

    Răspuns: z = 1 − i

  9. Exercițiul 9

    Dacă (x + 1) + 2i = 6 + 2i, află numărul real x.

    Vezi rezolvarea
    1. Egalitatea complexă cere părți reale și imaginare egale.
    2. Părțile imaginare sunt deja egale; x + 1 = 6.
    3. x = 5.

    Răspuns: 5

  10. Exercițiul 10

    Soluțiile lui z2 − 4z + 13 = 0 sunt 2 ± bi, cu b > 0. Află b.

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = 16 − 52 = −36.
    2. z = 4 ± 6i2 = 2 ± 3i.
    3. Coeficientul pozitiv b este 3.

    Răspuns: 3

  11. Exercițiul 11

    Pentru z = 1 + 2i, află Re(z2).

    Vezi rezolvarea
    1. z2 = 1 + 4i + 4i2.
    2. Înlocuim i2 = −1: z2 = −3 + 4i.
    3. Partea reală este −3.

    Răspuns: -3

  12. Exercițiul 12

    Numărul z verifică (1 + i)z = 6. Află Re(z).

    Vezi rezolvarea
    1. z = 61 + i = 6(1 − i)2.
    2. z = 3 − 3i.
    3. Re(z) = 3; produsul (1 + i)(3 − 3i) = 6 confirmă.

    Răspuns: 3

  13. Exercițiul 13

    Calculează (2+i)(3−2i), apoi modulul rezultatului.

    Vezi rezolvarea
    1. 6−4i+3i−2i2. Fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare din a doua.
    2. 8−i. −2i2=2; partea reală este 6+2=8, iar partea imaginară este −i.
    3. |8−i|=√65. Modulul lui a+bi este a2+b2: 64+1=√65.

    Răspuns: |8−i|=√65

Exerciții interactive · ecuații complexe (7)

  1. 63. Standard

    Rezolvați în ℂ ecuația z + (2 − i) = 5 + 3i.

    Vezi răspunsul

    z = 5 + 3i − (2 − i) = 3 + 4i

  2. 64. Standard

    Rezolvați în ℂ ecuația 2z − (1 + i) = 5 − 3i.

    Vezi răspunsul

    2z = 6 − 2i, deci z = 3 − i.

  3. 65. Consolidare

    Determinați z dacă z + z̄ = 8 și z − z̄ = −6i.

    Vezi răspunsul

    2Re(z) = 8 și 2i · Im(z) = −6i, deci z = 4 − 3i.

  4. 66. Consolidare

    Determinați z dacă |z| = 5, Re(z) = 3 și Im(z) > 0.

    Vezi răspunsul

    9 + b2 = 25, cu b > 0, deci z = 3 + 4i.

  5. 70. Aprofundare

    Rezolvați în ℂ ecuația z2 − 6z + 13 = 0.

    Vezi răspunsul

    Δ = 36 − 52 = −16, deci z = 6 ± 4i2: z = 3 + 2i sau z = 3 − 2i.

  6. 72. Tip Bac

    Rezolvați în ℂ ecuația (2 + i)z = 5.

    Vezi răspunsul

    z = 52 + i = 5(2 − i)5 = 2 − i

  7. 75. Aprofundare

    Rezolvați în ℂ ecuația z + 2z̄ = 3 + i.

    Vezi răspunsul

    Cu z = a + bi: 3a − bi = 3 + i, deci a = 1, b = −1 și z = 1 − i.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.