Antrenament mixt

Fișa mixtă elimină indiciul de metodă și verifică dacă recunoști rapid familia exercițiului.

Prag orientativ: după cel puțin 18 răspunsuri corecte din 24 poți trece la variante complete de Bac.

Strategia în 5 pași

Identifică familia: P.A., P.G. sau numere complexe.
Scrie formula sau relația-cheie înainte de calcule.
Înlocuiește datele cu atenție la indice: pentru a_n și b_n apare n − 1.
Rezolvă ecuația și verifică restricțiile: n ∈ ℕ*, numitor nenul, semn impus.
Scrie răspunsul final clar, cu toate valorile cerute.

Capcane frecvente

La P.A., rația este diferență, nu raport.
La P.G., verifică separat cazul q = 1.
Din x² = A rezultă în general x = ±√A.
La numere complexe, i² = −1.
La împărțire folosește conjugatul numitorului.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă mixtă · fără indiciu de metodă · 22 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 79Mixt 1
În P.A. cu a₁ = 4 și r = 3, calculați S₈.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
S₈ = 8 · (2 · 4 + 7 · 3) : 2 = 116
Ex. 80Mixt 1
Se dau a₄ = 11 și a₉ = 26. Determinați a₁, r și a₁₅.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5r = 15, deci r = 3, a₁ = 2 și a₁₅ = 2 + 14 · 3 = 44.
Ex. 81Mixt 1
Determinați x astfel încât x, 10, 3x + 2 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
20 = x + 3x + 2, deci x = 92.
Ex. 82Mixt 2
Într-o P.A. cu a₁ = 2 se știe că S₂₀ = 420. Determinați r.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
S₂₀ = 10 · (4 + 19r) = 420, deci r = 2.
Ex. 83Mixt 1
În P.G. cu b₁ = 3 și q = 2, calculați b₆ și S₆.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b₆ = 3 · 2⁵ = 96; S₆ = 3(2⁶ − 1) = 189.
Ex. 84Mixt 1
Se dau b₂ = 10 și b₅ = 80. Determinați b₁ și q.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
q³ = 80 : 10 = 8, deci q = 2 și b₁ = 5.
Ex. 85Mixt 1
Determinați x astfel încât x, 12, 48 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
144 = 48x, deci x = 3.
Ex. 86Mixt 2
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 3, determinați rangul termenului egal cu 729.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3ⁿ⁻¹ = 729 = 3⁶, deci n = 7.
Ex. 87Mixt 1
Pentru z = 2 − 3i și w = −1 + 4i, calculați z + w.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z + w = 1 + i
Ex. 88Mixt 1
Pentru z = 2 − 3i și w = −1 + 4i, calculați zw.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
zw = −2 + 8i + 3i − 12i² = 10 + 11i
Ex. 89Mixt 2
Pentru z = 2 − 3i și w = −1 + 4i, calculați zw.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
zw = (2 − 3i)−1 − 4i17 = −14 − 5i17
Ex. 90Mixt 1
Pentru z = 3 + 4i, calculați |z| și z·z̄.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
|z| = 5; z · z̄ = 25.
Ex. 91Mixt 2
Rezolvați în ℂ ecuația (1 + i)z = 4 + 2i.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z = 4 + 2i1 + i = (4 + 2i)1 − i2 = 3 − i
Ex. 92Mixt 2
Rezolvați în ℂ ecuația z + 2z̄ = 6 − 3i.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu z = a + bi: 3a − bi = 6 − 3i, deci a = 2, b = 3 și z = 2 + 3i.
Ex. 93Mixt 2
Determinați m astfel încât m − 1, 2m, 5m + 1 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 2m = (m − 1) + (5m + 1), deci 4m = 6m și m = 0.
Ex. 94Mixt 2
Determinați m astfel încât m, 6, m + 5 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 = m(m + 5), deci m² + 5m − 36 = 0: m = 4 sau m = −9.
Ex. 95Mixt 2
În P.A. cu a₁ = 3 și r = 2, se definește z = a₅ + i·a₃. Scrieți z în forma algebrică și calculați |z|.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a₅ = 11, a₃ = 7, deci z = 11 + 7i și |z| = √170.
Ex. 96Mixt 2
În P.G. cu b₁ = 2 și q = 3, se definește z = b₃ − i·b₂. Scrieți z în forma algebrică și calculați |z|.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b₃ = 18, b₂ = 6, deci z = 18 − 6i și |z| = √360 = 6√10.
Ex. 97Mixt 2
În P.A. cu a₁ = 5 și r = 4, determinați n dacă a_n = 49, apoi calculați iⁿ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 + 4(n − 1) = 49, deci n = 12 și i¹² = 1.
Ex. 98Mixt 2
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 2, determinați n dacă S_n = 63, apoi calculați iⁿ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2ⁿ − 1 = 63, deci n = 6 și i⁶ = −1.
Ex. 99Mixt 3
Pentru z = 1 + i, calculați z² + 2z și modulul rezultatului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
z² = 2i, deci z² + 2z = 2 + 4i, cu modulul √20 = 2√5.
Ex. 100Mixt 3
Rezolvați în ℂ ecuația z² − 4z + 8 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 16 − 32 = −16, deci z = 2 + 2i sau z = 2 − 2i.