M1 · Mate-InfoM2 · Științe⏱ 12 cerințe

Încărcăm partea curentă…

Antrenament mixt

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

P.A. · doi termeni cunoscuți

Într-o progresie aritmetică (P.A.), adăugăm mereu aceeași rație r. a₁ este primul termen, iar indicele arată poziția. Scriem fiecare termen cu a₁ și r, scădem relațiile, apoi aflăm ce mai cere enunțul.

De ținut minte

a_n=a₁+(n−1)r

Exemplu cu alte date

Dacă a₂=6 și a₅=15, află r, a₁ și a₈.

1a₂=a₁+r și a₅=a₁+4r; scădem: 15−6=3r.
29=3r, deci r=3 și a₁=6−3=3.
3a₈=3+7·3=24; verificare: a₅=3+4·3=15.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Antrenament mixt: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Recunoaștem tipul de problemă, citim un exemplu diferit, apoi construim fiecare rezolvare rând cu rând.

P.A. · doi termeni cunoscuți

a_n=a₁+(n−1)r

Exemplu cu alte date

Dacă a₂=6 și a₅=15, află r, a₁ și a₈.

a₂=a₁+r și a₅=a₁+4r; scădem: 15−6=3r.
9=3r, deci r=3 și a₁=6−3=3.
a₈=3+7·3=24; verificare: a₅=3+4·3=15.

P.A. · suma termenilor

S_n înseamnă suma primilor n termeni, nu valoarea celui de pe poziția n. Mai întâi scriem formula, apoi înlocuim datele. Dacă rația r este necunoscută, suma ne dă o ecuație pentru ea.

S_n=n[2a₁+(n−1)r]2

Exemplu cu alte date

În P.A. cu a₁=1 și r=2, află S₅.

Scriem S₅=5[2·1+(5−1)·2]2.
În paranteză avem 2+8=10.
S₅=5·102=25; verificare: 1+3+5+7+9=25.

P.G. · termenul și suma

Într-o progresie geometrică (P.G.), trecem la următorul termen înmulțind cu aceeași rație q. b₁ este primul termen. Pentru b_n facem n−1 înmulțiri; pentru suma S_n folosim formula cu qⁿ, valabilă când q≠1.

b_n=b₁qⁿ⁻¹; S_n=b₁(qⁿ−1)q−1, q≠1

Exemplu cu alte date

Dacă b₁=2 și q=3, află b₄ și S₄.

b₄=2·3³=54.
S₄=2(3⁴−1)3−1=2·802.
S₄=80; verificare: 2+6+18+54=80.

P.G. · termenul dintre doi vecini

Dacă x este între doi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci x² este produsul vecinilor săi. Ecuația pătratică poate da două valori; alegem semnul abia după ce citim condiția din enunț.

pentru u,x,v consecutivi: x²=u·v

Exemplu cu alte date

Trei termeni pozitivi consecutivi ai unei P.G. sunt 9, x, 36. Află x.

Scriem x²=9·36=324.
Din x²=324 rezultă x=18 sau x=−18.
Termenii sunt pozitivi, deci x=18; verificare: 189=3618=2.

Complexe · produsul și împărțirea

Numărul i satisface i²=−1. La înmulțire desfacem parantezele și reducem termenii asemenea. La împărțire amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, adică schimbăm semnul din fața lui i, pentru ca numitorul să devină real.

i²=−1; (a+bi)(a−bi)=a²+b²

Exemplu cu alte date

Calculează (2+i)(1−i) și 3+i1+i.

(2+i)(1−i)=2−2i+i−i²=3−i.
Pentru fracție, înmulțim sus și jos cu 1−i: (3+i)1−i1−i².
Numărătorul este 4−2i, numitorul 2, deci 3+i1+i=2−i.

Complexe · partea imaginară și modulul

În z=a+bi, partea reală Re(z) este a, iar partea imaginară Im(z) este coeficientul b, cu semnul lui. Modulul |z| este un număr real nenegativ, calculat din pătratele lui a și b; nu le adunăm direct.

Re(a+bi)=a; Im(a+bi)=b; |a+bi|=a²+b²

Exemplu cu alte date

Pentru z=5+12i, află Re(z), Im(z) și |z|.

Citind coeficienții, Re(z)=5 și Im(z)=12.
Aplicăm formula: |z|=5²+12²=25+144.
|z|=√169=13; modulul este nenegativ.

Cerințe mixte · legăm rezultatele

Când enunțul combină progresii cu numere complexe, calculăm mai întâi termenii sau suma progresiei. Apoi punem acele valori în numărul complex și aplicăm regula lui i ori formula modulului. Scriem fiecare rezultat pe un rând separat.

a_n=a₁+(n−1)r; b_n=b₁qⁿ⁻¹; |a+bi|=a²+b²

Exemplu cu alte date

În P.A. cu a₁=2 și r=3, punem z=a₃+i·a₂. Află z și |z|.

a₃=2+2·3=8 și a₂=2+3=5.
Prin înlocuire, z=8+5i.
|z|=8²+5²=√89.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Se dau a₄ = 11 și a₉ = 26. Care sunt a₁, r și a₁₅?
Vezi rezolvarea
1. 5r = 26 − 11 = 15, deci r = 3
2. a₁ = a₄ − 3r = 11 − 9 = 2
3. a₁₅ = 2 + 14·3 = 44
Răspuns: a₁ = 2, r = 3, a₁₅ = 44
Exercițiul 2
Într-o P.A. cu a₁ = 2 și S₂₀ = 420, rația r este:
Vezi rezolvarea
1. 420 = 10(4 + 19r)
2. 42 = 4 + 19r
3. 19r = 38, deci r = 2
Răspuns: 2
Exercițiul 3
În P.G. cu b₁ = 3 și q = 2, perechea (b₆, S₆) este:
Vezi rezolvarea
1. b₆ = 3·32 = 96
2. S₆ = 3(64 − 1)
3. S₆ = 189
Răspuns: (96, 189)
Exercițiul 4
Pentru z = 2 − 3i și w = −1 + 4i, produsul zw este:
Vezi rezolvarea
1. zw = (2 − 3i)(−1 + 4i)
2. zw = −2 + 8i + 3i − 12i²
3. zw = 10 + 11i
Răspuns: 10 + 11i
Exercițiul 5
Rezolvați în ℂ ecuația (1 + i)z = 4 + 2i.
Vezi rezolvarea
1. z = 4 + 2i1 + i
2. Înmulțim cu 1 − i1 − i
3. z = 6 − 2i2 = 3 − i
Răspuns: z = 3 − i
Exercițiul 6
În P.A. cu a₁ = 3 și r = 2 se definește z = a₅ + i·a₃. Care sunt z și |z|?
Vezi rezolvarea
1. a₅ = 3 + 4·2 = 11 și a₃ = 3 + 2·2 = 7
2. z = 11 + 7i
3. |z| = 11² + 7² = √170
Răspuns: z = 11 + 7i, |z| = √170
Exercițiul 7
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 2, S_n = 63. Care sunt n și iⁿ?
Vezi rezolvarea
1. 2ⁿ − 1 = 63, deci 2ⁿ = 64
2. n = 6
3. i⁶ = i⁴·i² = −1
Răspuns: n = 6 și iⁿ = −1
Exercițiul 8
Pentru z = 1 + i, modulul numărului z² + 2z este:
Vezi rezolvarea
1. z² + 2z = 2i + 2 + 2i = 2 + 4i
2. |2 + 4i| = 2² + 4²
3. |2 + 4i| = √20 = 2√5
Răspuns: 2√5
Exercițiul 9
Într-o P.A., a₃ = 11 și a₇ = 27. Află rația.
Vezi rezolvarea
1. a₇ − a₃ = (7 − 3)r.
2. 27 − 11 = 4r, deci 16 = 4r.
3. r = 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 10
Trei termeni consecutivi ai unei P.G. pozitive sunt 4, x, 36. Află x.
Vezi rezolvarea
1. x² = 4 · 36 = 144.
2. Soluțiile algebrice sunt ±12.
3. Termenii sunt pozitivi, deci x = 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 11
Pentru z=5+i1+i, află Im(z).
Vezi rezolvarea
1. z=(5+i)1−i(1+i)(1−i).
2. Numărătorul este 6−4i, iar numitorul este 2.
3. z=3−2i, deci Im(z)=−2.
Răspuns: -2
Exercițiul 12
Dacă z = 3 + 4i, calculează |z|.
Vezi rezolvarea
1. |z|² = 3² + 4² = 9 + 16.
2. |z| = √25.
3. Modulul este nenegativ, deci |z| = 5.
Răspuns: 5

Fișă mixtă · fără indiciu de metodă (22)

79. Mixt 1
În P.A. cu a₁ = 4 și r = 3, calculați S₈.
Vezi răspunsul
S₈ = 8 · (2 · 4 + 7 · 3) : 2 = 116
80. Mixt 1
Se dau a₄ = 11 și a₉ = 26. Determinați a₁, r și a₁₅.
Vezi răspunsul
5r = 15, deci r = 3, a₁ = 2 și a₁₅ = 2 + 14 · 3 = 44.
81. Mixt 1
Determinați x astfel încât x, 10, 3x + 2 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.
Vezi răspunsul
20 = x + 3x + 2, deci x = 92.
82. Mixt 2
Într-o P.A. cu a₁ = 2 se știe că S₂₀ = 420. Determinați r.
Vezi răspunsul
S₂₀ = 10 · (4 + 19r) = 420, deci r = 2.
83. Mixt 1
În P.G. cu b₁ = 3 și q = 2, calculați b₆ și S₆.
Vezi răspunsul
b₆ = 3 · 2⁵ = 96; S₆ = 3(2⁶ − 1) = 189.
84. Mixt 1
Se dau b₂ = 10 și b₅ = 80. Determinați b₁ și q.
Vezi răspunsul
q³ = 80 : 10 = 8, deci q = 2 și b₁ = 5.
85. Mixt 1
Determinați x astfel încât x, 12, 48 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsul
144 = 48x, deci x = 3.
86. Mixt 2
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 3, determinați rangul termenului egal cu 729.
Vezi răspunsul
3ⁿ⁻¹ = 729 = 3⁶, deci n = 7.
87. Mixt 1
Pentru z = 2 − 3i și w = −1 + 4i, calculați z + w.
Vezi răspunsul
z + w = 1 + i
88. Mixt 1
Pentru z = 2 − 3i și w = −1 + 4i, calculați zw.
Vezi răspunsul
zw = −2 + 8i + 3i − 12i² = 10 + 11i
89. Mixt 2
Pentru z = 2 − 3i și w = −1 + 4i, calculați zw.
Vezi răspunsul
zw = (2 − 3i)−1 − 4i17 = −14 − 5i17
90. Mixt 1
Pentru z = 3 + 4i, calculați |z| și z·z̄.
Vezi răspunsul
|z| = 5; z · z̄ = 25.
91. Mixt 2
Rezolvați în ℂ ecuația (1 + i)z = 4 + 2i.
Vezi răspunsul
z = 4 + 2i1 + i = (4 + 2i)1 − i2 = 3 − i
92. Mixt 2
Rezolvați în ℂ ecuația z + 2z̄ = 6 − 3i.
Vezi răspunsul
Cu z = a + bi: 3a − bi = 6 − 3i, deci a = 2, b = 3 și z = 2 + 3i.
93. Mixt 2
Determinați m astfel încât m − 1, 2m, 5m + 1 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.
Vezi răspunsul
2 · 2m = (m − 1) + (5m + 1), deci 4m = 6m și m = 0.
94. Mixt 2
Determinați m astfel încât m, 6, m + 5 să fie termeni consecutivi ai unei P.G.
Vezi răspunsul
36 = m(m + 5), deci m² + 5m − 36 = 0: m = 4 sau m = −9.
95. Mixt 2
În P.A. cu a₁ = 3 și r = 2, se definește z = a₅ + i·a₃. Scrieți z în forma algebrică și calculați |z|.
Vezi răspunsul
a₅ = 11, a₃ = 7, deci z = 11 + 7i și |z| = √170.
96. Mixt 2
În P.G. cu b₁ = 2 și q = 3, se definește z = b₃ − i·b₂. Scrieți z în forma algebrică și calculați |z|.
Vezi răspunsul
b₃ = 18, b₂ = 6, deci z = 18 − 6i și |z| = √360 = 6√10.
97. Mixt 2
În P.A. cu a₁ = 5 și r = 4, determinați n dacă a_n = 49, apoi calculați iⁿ.
Vezi răspunsul
5 + 4(n − 1) = 49, deci n = 12 și i¹² = 1.
98. Mixt 2
În P.G. cu b₁ = 1 și q = 2, determinați n dacă S_n = 63, apoi calculați iⁿ.
Vezi răspunsul
2ⁿ − 1 = 63, deci n = 6 și i⁶ = −1.
99. Mixt 3
Pentru z = 1 + i, calculați z² + 2z și modulul rezultatului.
Vezi răspunsul
z² = 2i, deci z² + 2z = 2 + 4i, cu modulul √20 = 2√5.
100. Mixt 3
Rezolvați în ℂ ecuația z² − 4z + 8 = 0.
Vezi răspunsul
Δ = 16 − 32 = −16, deci z = 2 + 2i sau z = 2 − 2i.