Condiții de existență și ecuații cu radicali

Acum folosim radicalii în ecuații. Fiecare problemă începe cu domeniul și se termină cu verificarea în enunțul inițial.

Ridicarea la pătrat nu este echivalență fără condiții; verifică întotdeauna candidații finali.

Condiția de existență vine prima

Înainte de orice calcul, expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.

x − 3: x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

5 − 2x: 5 − 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 52

Algoritmul unei ecuații cu radical

Scrie domeniul și izolează radicalul.
Verifică dacă membrul opus trebuie să fie nenegativ.
Ridică la pătrat și rezolvă ecuația obținută.
Verifică fiecare candidat în ecuația inițială; pătrarea poate introduce soluții străine.

Model pas cu pas

Rezolvă x + 4 = x.

1.Radicalul este nenegativ, deci impunem x ≥ 0.
2.Pătrăm: x + 4 = x².
3.Obținem x² − x − 4 = 0, cu rădăcinile 1 ± √172.
4.Condiția x ≥ 0 păstrează numai 1 + √172.
5.Verificarea în ecuația inițială confirmă soluția.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · Condiții de existență și ecuații cu radicali · 13 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim ușorNucleu comun Bac
Care este condiția de existență pentru x − 3?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x − 3 ≥ 0, adică x ≥ 3.
Ex. 2Pornim ușorNucleu comun Bac
Care este condiția de existență pentru 5 − 2x?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 − 2x ≥ 0, adică x ≤ 52.
Ex. 3Pornim ușorNucleu comun Bac
Rezolvă x + 5 = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 5 = 16, deci x = 11.
Ex. 4Pornim ușorNucleu comun Bac
Rezolvă 2x − 1 = 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x − 1 = 9, deci x = 5.
Ex. 5ConsolidareNucleu comun Bac
De ce trebuie verificate soluțiile unei ecuații cu radicali?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Prin ridicarea la pătrat pot apărea soluții străine, care nu verifică ecuația inițială (de exemplu, când membrul drept ar fi negativ).
Ex. 6ConsolidareNucleu comun Bac
Pentru ecuația x + 4 = x, ce condiție impune membrul drept?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x ≥ 0 (un radical nu poate fi egal cu un număr negativ).
Ex. 7ConsolidareNucleu comun Bac
După pătrarea ecuației x + 4 = x, ce ecuație obținem?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 4 = x², adică x² − x − 4 = 0.
Ex. 8ConsolidareNucleu comun Bac
Ecuația x² − x − 4 = 0 are rădăcinile 1 ± √172. Pe care o păstrăm pentru x + 4 = x?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 + √172, cea pozitivă; 1 − √172 este negativă și nu respectă x ≥ 0.
Ex. 9ConsolidareNucleu comun Bac
Rezolvă x − 1 = 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x − 1 = 4, deci x = 5.
Ex. 10ConsolidareNucleu comun Bac
Rezolvă x + 6 = x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 6 = x², cu x ≥ 0: x² − x − 6 = 0 dă x = 3 sau x = −2. Rămâne x = 3.
Ex. 11ConsolidareNucleu comun Bac
Care este domeniul pentru x + 1 + x − 2?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 1 ≥ 0 și x − 2 ≥ 0, deci x ∈ [2, +∞).
Ex. 12Rezolvi singurNucleu comun Bac
Rezolvă singur 3x + 1 = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 1 = 16, deci x = 5.
Ex. 13Rezolvi singurNucleu comun Bac
Rezolvă singur x + 3 = x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 3 = (x + 1)², cu x ≥ −1: x² + x − 2 = 0 dă x = 1 sau x = −2. Rămâne x = 1.