Încărcăm partea curentă…

Condiții de existență și ecuații cu radicali

Domeniul: expresia de sub radical este nenegativă

În numerele reale, radicalul pătrat există doar dacă întregul său argument este cel puțin zero. Pentru două radicale impunem ambele inegalități și luăm intersecția soluțiilor.

De ținut minte

√A(x) există ⇔ A(x)≥0
  • A(x) înseamnă întreaga expresie de sub radical, iar domeniul este mulțimea valorilor lui x pentru care expresia există. La împărțirea cu număr negativ, sensul inegalității se inversează.

Exemplu rezolvat

Găsește domeniul expresiei x+4+x−1.

  1. 1Primul radical cere x+4≥0, deci x≥−4.
  2. 2Al doilea radical cere x−1≥0, deci x≥1.
  3. 3Ambele trebuie respectate: intersecția este x≥1.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Condiții de existență și ecuații cu radicali: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Domeniul: expresia de sub radical este nenegativă

În numerele reale, radicalul pătrat există doar dacă întregul său argument este cel puțin zero. Pentru două radicale impunem ambele inegalități și luăm intersecția soluțiilor.

  • √A(x) există ⇔ A(x)≥0
  • A(x) înseamnă întreaga expresie de sub radical, iar domeniul este mulțimea valorilor lui x pentru care expresia există. La împărțirea cu număr negativ, sensul inegalității se inversează.

Exemplu rezolvat

Găsește domeniul expresiei x+4+x−1.

  1. Primul radical cere x+4≥0, deci x≥−4.
  2. Al doilea radical cere x−1≥0, deci x≥1.
  3. Ambele trebuie respectate: intersecția este x≥1.

Ecuații directe: izolăm radicalul, apoi pătrăm

Când radicalul este egal cu o constantă nenegativă, scriem domeniul, ridicăm la pătrat și rezolvăm ecuația rămasă. Înlocuim rezultatul în enunț, ca să confirmăm egalitatea inițială.

  • √A(x)=c, c≥0 ⇒ A(x)=c2
  • c este numărul din dreapta egalității. Dacă acesta este negativ, ecuația este imposibilă: radicalul nu poate fi negativ.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x+2=5.

  1. Domeniul: x+2≥0, adică x≥−2.
  2. Pătrăm: x+2=25, de unde x=23.
  3. Verificăm: 23+2=√25=5.

De ce verificăm candidații după pătrare?

Pătrarea poate transforma două numere opuse în același pătrat. Dacă în membrul drept apare x, acesta trebuie să fie nenegativ deoarece radicalul din stânga este nenegativ. Verificăm condiția înainte de a accepta un candidat.

  • √A(x)=B(x) ⇒ A(x)≥0 și B(x)≥0
  • B(x) notează expresia din dreapta egalității. Din a2=b2 nu rezultă întotdeauna a=b; de exemplu, 22=(−2)2, dar 2≠−2.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x+7=x.

  1. Membrul drept impune x≥0; pătrăm și obținem x+7=x2.
  2. Rezultă x2−x−7=0, cu rădăcinile 1±√292.
  3. Rădăcina negativă se elimină; cea pozitivă verifică ecuația inițială.

Membrul drept conține x: rezolvăm până la capăt

Scriem simultan domeniul radicalului și condiția membrului drept. După pătrare obținem uneori o ecuație de gradul doi; îi calculăm rădăcinile, le filtrăm și verificăm fiecare valoare păstrată în enunț.

  • √A(x)=x ⇒ A(x)=x2, cu x≥0
  • Nu păstra ambele rădăcini doar pentru că verifică ecuația pătrată.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x+12=x.

  1. x≥0. Pătrăm: x+12=x2, deci x2−x−12=0.
  2. Factorizăm (x−4)(x+3)=0 și obținem 4 sau −3.
  3. −3 se elimină; x=4 verifică √16=4.

Consolidare cu membru drept variabil

Acum construim toată rezolvarea pe rânduri: condițiile inițiale, pătrarea, rezolvarea ecuației algebrice și verificarea fiecărui candidat în ecuația cu radical. «Membrul drept» înseamnă partea din dreapta egalității. Răspunsul final poate conține mai puține valori decât ecuația pătrată.

  • √A(x)=B(x): domeniu → pătrare → candidați → verificare
  • Dacă un candidat nu respectă domeniul, nu îl trece în soluția finală.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x+9=x+1.

  1. Cerem x+1≥0. Pătrăm: x+9=(x+1)2, deci x2+x−8=0.
  2. Rădăcinile sunt −1±√332; numai cea cu + respectă x≥−1.
  3. Verificarea în ecuația inițială păstrează x=−1+√332.

Exerciții rezolvate din lecție (16)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Care este condiția de existență pentru x − 3?

    Vezi rezolvarea
    1. x−3≥0. Radicalul pătrat există și când argumentul este zero, deci folosim ≥, nu >.
    2. x≥3. Domeniul este mulțimea valorilor x cel puțin egale cu 3; x=3 dă √0 și este permis.

    Răspuns: x≥3

  2. Exercițiul 2

    Care este condiția de existență pentru 5 − 2x?

    Vezi rezolvarea
    1. 5−2x≥0. Argumentul întregului radical trebuie să fie nenegativ.
    2. −2x≥−5. Scăderea aceluiași număr nu schimbă sensul inegalității.
    3. x≤52. Când împărțim cu un număr negativ, inversăm sensul. Valoarea 52 este permisă deoarece argumentul devine zero.

    Răspuns: x≤52

  3. Exercițiul 3

    Rezolvă x + 5 = 4.

    Vezi rezolvarea
    1. x+5≥0, deci x≥−5. 4 este nenegativ, așa că egalitatea cu un radical este posibilă.
    2. x+5=42=16. Pătratul radicalului este chiar x+5; în dreapta calculăm 42.
    3. x=16−5=11. Aceeași scădere în ambele părți izolează necunoscuta x.
    4. 11+5=√16=4; x=11. 11 respectă domeniul și dă exact 4 în stânga. Scriem numai această soluție.

    Răspuns: 11+5=√16=4; x=11

  4. Exercițiul 4

    Rezolvă 2x − 1 = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x−1≥0, deci x≥12. Adunăm 1 și împărțim la 2. Numărul 3 din dreapta este nenegativ.
    2. 2x−1=9. 32=9; nu ridicăm separat x la pătrat după anularea radicalului.
    3. 2x=10, deci x=5. Din 2x−1=9 rezultă 2x=10 și apoi x=102.
    4. 2·5−1=√9=3; x=5. 5 respectă domeniul și reproduce valoarea 3 din enunț.

    Răspuns: 2·5−1=√9=3; x=5

  5. Exercițiul 5

    De ce trebuie verificate soluțiile unei ecuații cu radicali?

    Vezi rezolvarea
    1. Dacă a = b, atunci a2 = b2, dar reciproca nu păstrează întotdeauna semnul.
    2. De aceea după pătrare putem obține candidați care nu verifică ecuația inițială.
    3. Verificarea finală este obligatorie.

    Răspuns: Pentru că pătrarea poate produce soluții străine

  6. Exercițiul 6

    Pentru ecuația x + 4 = x, ce condiție impune membrul drept?

    Vezi rezolvarea
    1. x+4≥0. Radicalul principal este nenegativ; poate fi și zero.
    2. x≥0. Membrul drept înseamnă partea din dreapta egalității. Ea este x și trebuie să aibă același semn nenegativ ca radicalul.

    Răspuns: x≥0

  7. Exercițiul 7

    După pătrarea ecuației x + 4 = x, ce ecuație obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. x≥0. Partea dreaptă este egală cu un radical nenegativ, deci și x trebuie să fie nenegativ.
    2. x+4=x2. În stânga pătratul anulează radicalul; în dreapta x devine x2.
    3. x2−x−4=0. Scădem x+4 din ambele părți. Am obținut ecuația algebrică cerută, nu încă soluția finală.

    Răspuns: x2−x−4=0

  8. Exercițiul 8

    Ecuația x2 − x − 4 = 0 are rădăcinile 1 ± √172. Pe care o păstrăm pentru x + 4 = x?

    Vezi rezolvarea
    1. x≥0. Ecuația algebrică dă doi candidați, dar radicalul din ecuația inițială este nenegativ.
    2. Este negativ, deoarece √17>1. 17>1, deci √17>1. Numărătorul 1−√17 este negativ, iar 2 este pozitiv.
    3. x=1+√172; x≥0 și x2=x+4. Candidatul pozitiv satisface ecuația pătrată. Deoarece x≥0, din x2=x+4 rezultă x+4=|x|=x.

    Răspuns: x=1+√172; x≥0 și x2=x+4

  9. Exercițiul 9

    Rezolvă x − 1 = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. x−1≥0, deci x≥1. Radicalul poate fi zero, de aceea capătul 1 este inclus în domeniu.
    2. x−1=22=4. Calculăm pătratul lui 2 și anulăm radicalul prin pătrare.
    3. x=5; 5−1=2. x=4+1=5, iar √4=2 confirmă soluția.

    Răspuns: x=5; 5−1=2

  10. Exercițiul 10

    Rezolvă x + 6 = x.

    Vezi rezolvarea
    1. x≥0. Radicalul din stânga este nenegativ, deci x trebuie să fie nenegativ. Aceasta asigură și existența radicalului.
    2. x+6=x2, deci x2−x−6=0. Pătrarea anulează radicalul și transformă x din dreapta în x2.
    3. (x−3)(x+2)=0, deci x=3 sau x=−2. −3·2=−6 și −3+2=−1, coeficienții ecuației noastre.
    4. x=3; 3+6=3; −2 se elimină. −2 nu respectă x≥0. Pentru 3 avem √9=3, exact cât cere ecuația inițială.

    Răspuns: x=3; 3+6=3; −2 se elimină

  11. Exercițiul 11

    Care este domeniul pentru x + 1 + x − 2?

    Vezi rezolvarea
    1. x+1≥0, deci x≥−1. Fiecare radical trebuie să existe separat; primul permite și x=−1.
    2. x−2≥0, deci x≥2. Al doilea radical impune o condiție mai strictă decât primul.
    3. D=[2,+∞), adică x≥2. D notează domeniul. Intersecția înseamnă valorile care respectă simultan x≥−1 și x≥2. Paranteza pătrată include 2.

    Răspuns: D=[2,+∞), adică x≥2

  12. Exercițiul 12

    Rezolvă singur 3x + 1 = 4.

    Vezi rezolvarea
    1. 3x+1≥0, deci x≥−13. Scădem 1 și împărțim la 3; sensul nu se schimbă deoarece 3 este pozitiv.
    2. 3x+1=16. În dreapta 42=16. În stânga rămâne expresia de sub radical.
    3. 3x=15, deci x=5. Scădem 1, apoi împărțim la 3.
    4. 3·5+1=√16=4; x=5. Candidatul este în domeniu și egalitatea de la început este adevărată.

    Răspuns: 3·5+1=√16=4; x=5

  13. Exercițiul 13

    Rezolvă singur x + 3 = x + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. x+3≥0 și x+1≥0, deci x≥−1. Argumentul radicalului trebuie să fie nenegativ, iar partea dreaptă tot nenegativă. Respectăm ambele condiții.
    2. x+3=(x+1)2=x2+2x+1. (x+1)2 include termenul 2x; nu este doar x2+1.
    3. x2+x−2=(x−1)(x+2)=0. Scădem x+3: 2x−x=x și 1−3=−2. Candidații sunt 1 și −2.
    4. x=1; 1+3=2=1+1. −2 nu respectă x≥−1. Pentru x=1 ambele părți sunt 2, deci aceasta este soluția finală.

    Răspuns: x=1; 1+3=2=1+1

  14. Exercițiul 14

    Pentru x+5=x−1, care candidat rămâne după pătrare: x=4 sau x=−1?

    Vezi rezolvarea
    1. x−1≥0, deci x≥1. Radicalul nu poate fi egal cu un număr negativ. Condiția x≥1 asigură și x+5≥0.
    2. Doar x=4. −1 este mai mic decât 1, deci nu poate fi soluție a ecuației inițiale.
    3. 4+5=3=4−1; x=4. Ambele părți sunt 3. Candidatul 4 este confirmat, nu doar ales după pătrare.

    Răspuns: 4+5=3=4−1; x=4

  15. Exercițiul 15

    Rezolvă x+8=x+2.

    Vezi rezolvarea
    1. x+8≥0 și x+2≥0, deci x≥−2. Partea dreaptă trebuie să fie nenegativă la fel ca radicalul. Condiția mai strictă este x≥−2.
    2. x+8=(x+2)2=x2+4x+4. Folosim (a+b)2=a2+2ab+b2; termenul din mijloc este 4x.
    3. x2+3x−4=(x−1)(x+4)=0. Scădem x+8; rămân 3x și −4. Candidații sunt 1 și −4.
    4. x=1; 1+8=3=1+2; −4 se elimină. −4 ar face partea dreaptă negativă. Pentru x=1 ambele părți sunt 3.

    Răspuns: x=1; 1+8=3=1+2; −4 se elimină

  16. Exercițiul 16

    Rezolvă 2x+9=x+3.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x+9≥0 și x+3≥0, deci x≥−3. Domeniul radicalului cere x≥−92, iar partea dreaptă cere x≥−3. Le respectăm simultan.
    2. 2x+9=(x+3)2=x2+6x+9. Pătratul sumei include 2·x·3=6x.
    3. x2+4x=x(x+4)=0, deci x=0 sau x=−4. Scădem 2x+9: 6x−2x=4x și 9−9=0. Un produs este zero dacă unul dintre factori este zero.
    4. x=0; √9=3=0+3; −4 se elimină. −4 nu respectă x≥−3. Valoarea 0 verifică ecuația și rămâne singura soluție.

    Răspuns: x=0; √9=3=0+3; −4 se elimină

Fișă progresivă · Condiții de existență și ecuații cu radicali (13)

  1. 1. Pornim ușor

    Care este condiția de existență pentru x − 3?

    Vezi răspunsul

    x − 3 ≥ 0, adică x ≥ 3.

  2. 2. Pornim ușor

    Care este condiția de existență pentru 5 − 2x?

    Vezi răspunsul

    5 − 2x ≥ 0, adică x ≤ 52.

  3. 3. Pornim ușor

    Rezolvă x + 5 = 4.

    Vezi răspunsul

    x + 5 = 16, deci x = 11.

  4. 4. Pornim ușor

    Rezolvă 2x − 1 = 3.

    Vezi răspunsul

    2x − 1 = 9, deci x = 5.

  5. 5. Consolidare

    De ce trebuie verificate soluțiile unei ecuații cu radicali?

    Vezi răspunsul

    Prin ridicarea la pătrat pot apărea soluții străine, care nu verifică ecuația inițială (de exemplu, când membrul drept ar fi negativ).

  6. 6. Consolidare

    Pentru ecuația x + 4 = x, ce condiție impune membrul drept?

    Vezi răspunsul

    x ≥ 0 (un radical nu poate fi egal cu un număr negativ).

  7. 7. Consolidare

    După pătrarea ecuației x + 4 = x, ce ecuație obținem?

    Vezi răspunsul

    x + 4 = x2, adică x2 − x − 4 = 0.

  8. 8. Consolidare

    Ecuația x2 − x − 4 = 0 are rădăcinile 1 ± √172. Pe care o păstrăm pentru x + 4 = x?

    Vezi răspunsul

    1 + √172, cea pozitivă; 1 − √172 este negativă și nu respectă x ≥ 0.

  9. 9. Consolidare

    Rezolvă x − 1 = 2.

    Vezi răspunsul

    x − 1 = 4, deci x = 5.

  10. 10. Consolidare

    Rezolvă x + 6 = x.

    Vezi răspunsul

    x + 6 = x2, cu x ≥ 0: x2 − x − 6 = 0 dă x = 3 sau x = −2. Rămâne x = 3.

  11. 11. Consolidare

    Care este domeniul pentru x + 1 + x − 2?

    Vezi răspunsul

    x + 1 ≥ 0 și x − 2 ≥ 0, deci x ∈ [2, +∞).

  12. 12. Rezolvi singur

    Rezolvă singur 3x + 1 = 4.

    Vezi răspunsul

    3x + 1 = 16, deci x = 5.

  13. 13. Rezolvi singur

    Rezolvă singur x + 3 = x + 1.

    Vezi răspunsul

    x + 3 = (x + 1)2, cu x ≥ −1: x2 + x − 2 = 0 dă x = 1 sau x = −2. Rămâne x = 1.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.