M3 · Tehnologic⏱ 3 sesiuni
M3·∫

Teorie înainte de exerciții

Primitive, integrala definită și metodele de bază · nivel M3

Lecția M3 construiește temeinic primitivele uzuale, calculul integralei definite și cele două metode de bază: părțile și schimbarea de variabilă.

La profilul Tehnologic funcțiile raționale au numitorul de grad cel mult 2, deci descompunerile rămân la doi factori de gradul întâi.
1

Ce este o primitivă

A integra înseamnă a merge invers față de derivare: pornim de la f și căutăm funcția F a cărei derivată este f. Pentru că derivata oricărei constante este zero, nu există o singură primitivă, ci o familie întreagă, care diferă printr-o constantă. De aceea rezultatul se scrie mereu cu + C.

F este primitivă a lui f ⇔ F este derivabilă și F′ = f
∫ f(x)dx = F(x) + C, unde C este o constantă reală
Verificarea unei primitive se face prin derivare
Două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă
  • Nu uita constanta: fără ea răspunsul este incomplet.
  • Orice rezultat se poate controla derivând înapoi.
  • Constanta se determină doar când problema dă o condiție de tipul F(x0) = y0.
2

Primitivele uzuale și liniaritatea

Aproape toate integralele de la examen se reduc la tabelul de mai jos, combinat cu liniaritatea. Cea mai frecventă capcană este exponentul −1: acolo formula puterilor nu funcționează, pentru că ar da numitor nul, iar rezultatul este logaritm.

∫ xn dx = xn+1n + 1 + C, pentru n ≠ −1
∫ 1x dx = ln|x| + C — singura excepție de la regula puterilor
∫ ex dx = ex + C și ∫ ax dx = axln a + C
∫ sin x dx = −cos x + C și ∫ cos x dx = sin x + C
∫ 1x2 + a2 dx = 1a·arctg xa + C
Liniaritate: ∫ (αf + βg) dx = α∫ f dx + β∫ g dx
  • Regula puterilor merge și pentru exponenți negativi sau raționali: √x = x^(12).
  • Un numitor de gradul 2 nu dă logaritm, ci putere negativă sau arctangentă.
  • La un raport cu numitor monom, împarte întâi termen cu termen.
3

Integrala definită și formula Leibniz-Newton

Integrala definită este un număr, nu o familie de funcții. Se calculează luând o primitivă oarecare și scăzând valorile ei în capete. Constanta dispare, pentru că se scade cu ea însăși — de aceea la integrala definită nu se scrie + C.

f(x)dx = F(b) − F(a), unde F este o primitivă a lui f
Liniaritate: (αf + βg) dx = α f dx + β g dx
Aditivitate: f dx = f dx + f dx
Monotonie: dacă f ≤ g pe [a, b], atunci f dx ≤ g dx
Dacă m ≤ f(x) ≤ M pe [a, b], atunci m(b − a) ≤ f dx ≤ M(b − a)
  • La integrala definită nu se pune constantă.
  • Atenție la semne când un capăt este negativ.
  • Monotonia rezolvă cerințele de tipul „arătați că integrala este pozitivă”, fără niciun calcul.
4

Integrarea prin părți

Formula vine direct din regula de derivare a produsului și se folosește la integrarea produselor. Un lucru important de înțeles: formula nu rezolvă integrale, ci le schimbă. Are rost s-o aplici numai dacă integrala nouă este semnificativ mai simplă decât cea de la care ai plecat.

∫ f′(x)·g(x) dx = f(x)·g(x) − ∫ f(x)·g′(x) dx
Tipar cu exponențială: ∫ P(x)·ex dx, cu ex ca derivată
Tipar cu logaritm: ∫ P(x)·ln x dx, cu ln x derivat
Trucul cu 1: ∫ ln x dx = ∫ (x)′·ln x dx = x·ln x − x + C
Integrare ciclică: la ∫ ex·sin x dx integrala reapare și se izolează
  • Unul dintre factori trebuie să fie derivata cuiva, ca să poți iniția formula.
  • La polinom înmulțit cu exponențială, derivează polinomul: gradul scade la fiecare pas.
  • La logaritm și arctangentă, înmulțește cu 1 și derivează funcția complicată.
5

Schimbarea de variabilă

Ideea este să recunoști, ascunsă în integrandă, derivata unei funcții interioare. Cel mai des tipar de la examen este raportul în care numărătorul este derivata numitorului: acolo rezultatul este întotdeauna logaritm. Dacă factorul nu se potrivește exact, îl completezi și compensezi cu o constantă în față.

∫ u′u dx = ln|u| + C
∫ u′·eu dx = eu + C
∫ u′·un dx = un+1n + 1 + C, pentru n ≠ −1
Completarea factorului: ∫ x2x3 + 2 dx = 13·∫ 3x2x3 + 2 dx
  • Derivează numitorul și compară-l cu numărătorul: e primul lucru de verificat.
  • Constantele lipsă se completează liber, compensând în față.
  • Dacă numitorul este mereu pozitiv, modulul din logaritm nu mai este necesar.
6

Funcții raționale și fracții simple

La un raport de polinoame, prima verificare este gradul: numărătorul trebuie să aibă gradul strict mai mic decât numitorul. Dacă nu, se face întâi împărțirea cu rest. Abia apoi numitorul se descompune, iar fracția se rupe în fracții simple. Programa profilului tău cere numitori până la gradul 2.

Împărțirea cu rest: P(x)Q(x) = C(x) + R(x)Q(x), cu grad R < grad Q
Peste ℝ un polinom este ireductibil doar dacă are gradul 1, sau gradul 2 cu discriminant negativ
Factor de gradul întâi: îi corespunde Ax − a
Factor de gradul doi ireductibil: îi corespunde Ax + Bx2 + px + q
Exemplu: 1(x + 1)(x + 2) = 1x + 1 − 1x + 2
  • Verifică întâi gradele; sărirea acestui pas este greșeala numărul unu.
  • Constantele se află dând lui x valorile care anulează pe rând factorii.
  • Aici nu se folosesc numere complexe: un factor cu discriminant negativ rămâne ca atare.
7

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · de la primitivă la integrală definită

Calculați 2x − 1x + 1 dx.

  1. 1.Pasul 1 — verificăm gradele: numărătorul are gradul 1, la fel ca numitorul, deci nu putem integra direct.
  2. 2.Pasul 2 — facem împărțirea cu rest: 2x − 1 = 2(x + 1) − 3, deci raportul devine 2 − 3x + 1.
  3. 3.Pasul 3 — integrăm termen cu termen: ∫ 2 dx = 2x, iar ∫ 3x + 1 dx = 3ln|x + 1|.
  4. 4.Pasul 4 — o primitivă este F(x) = 2x − 3ln|x + 1|.
  5. 5.Pasul 5 — aplicăm Leibniz-Newton. La capătul 2: 4 − 3ln 3. La capătul 1: 2 − 3ln 2.
  6. 6.Pasul 6 — scădem: (4 − 3ln 3) − (2 − 3ln 2) = 2 − 3(ln 3 − ln 2) = 2 − 3ln 32.
  7. 7.Verificare: derivata lui 2x − 3ln|x + 1| este 2 − 3x + 1, care adus la același numitor dă 2x − 1x + 1.
8

Algoritmul universal în 6 pași

  • Verifică dacă integranda este deja în tabelul primitivelor uzuale.
  • Dacă e o sumă, desface-o prin liniaritate și tratează fiecare termen separat.
  • Dacă e un raport de polinoame, compară gradele și fă întâi împărțirea cu rest.
  • Dacă e un produs, aplică integrarea prin părți și verifică dacă integrala nouă e mai simplă.
  • Dacă la numărător apare derivata unei funcții din integrandă, folosește schimbarea de variabilă.
  • Verifică rezultatul derivând; la integrala definită, înlocuiește capetele și nu scrie constantă.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 30 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Verificarea unei primitiveM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = 4x3 − 2x + 1 și F(x) = x4 − x2 + x − 13. Este F o primitivă a lui f? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: F′(x) = 4x3 − 2x + 1 = f(x).

  2. Ex. 2LiniaritateM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ (2x + 5) dx.

    Vezi răspunsul

    x2 + 5x + C

  3. Ex. 3PolinomM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ (6x2 − 4x − 1) dx.

    Vezi răspunsul

    2x3 − 2x2 − x + C

  4. Ex. 4LogaritmM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ 1x dx pe intervalul (0, ∞).

    Vezi răspunsul

    ln x + C

  5. Ex. 5Exponent negativM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ 1x2 dx.

    Vezi răspunsul

    −1x + C

  6. Ex. 6RadicalM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ x dx.

    Vezi răspunsul

    (23)x√x + C

  7. Ex. 7Exponențială compusăM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ e^(3x) dx.

    Vezi răspunsul

    e^3x3 + C

  8. Ex. 8Bază oarecareM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ 2x dx.

    Vezi răspunsul

    2x/ln 2 + C

  9. Ex. 9Numitor de gradul întâiM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    ln|x + 1| + C

  10. Ex. 10Coeficient la numitorM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ 12x + 5 dx.

    Vezi răspunsul

    (12) ln|2x + 5| + C

  11. Ex. 11Împărțire termen cu termenM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ x2 − 3x + 1x dx.

    Vezi răspunsul

    ∫ (x − 3 + 1x) dx = x22 − 3x + ln|x| + C

  12. Ex. 12Împărțirea cu restM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ x − 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    x − 1x + 1 = 1 − 2x + 1, deci primitiva este x − 2 ln|x + 1| + C.

  13. Ex. 13Determinarea constanteiM3 · Tehnologic

    Determinați primitiva F a funcției f(x) = 3x2 − 2x + 1 cu proprietatea F(1) = 3.

    Vezi răspunsul

    F(x) = x3 − x2 + x + C, iar F(1) = 1 + C = 3 dă C = 2: F(x) = x3 − x2 + x + 2.

  14. Ex. 14Leibniz-NewtonM3 · Tehnologic

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + x] de la 1 la 3 = 12 − 2 = 10

  15. Ex. 15Interval cu capăt negativM3 · Tehnologic

    Calculați (3x2 − 2x + 5) dx.

    Vezi răspunsul

    [x3 − x2 + 5x] de la −1 la 2 = 14 − (−7) = 21

  16. Ex. 16AditivitateM3 · Tehnologic

    Știind că f(x)dx = 4 și f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.

    Vezi răspunsul

    4 + 6 = 10

  17. Ex. 17Integrare prin părțiM3 · Tehnologic

    Calculați (2x − 1)ex dx.

    Vezi răspunsul

    O primitivă este (2x − 3)ex, deci integrala = e2 − (−3) = e2 + 3.

  18. Ex. 18Schimbare de variabilăM3 · Tehnologic

    Calculați ln xx dx.

    Vezi răspunsul

    [(ln x)22] de la 1 la e = 12

  19. Ex. 19ArctangentăM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ 1x2 + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    arctg x + C

  20. Ex. 20Fracții simpleM3 · Tehnologic

    Descompuneți și calculați ∫ 1(x + 1)(x + 2) dx.

    Vezi răspunsul

    1(x + 1)(x + 2) = 1x + 1 − 1x + 2, deci primitiva este ln|x + 1x + 2| + C.

  21. Ex. 21Diferență de pătrateM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ 1x2 − 1 dx.

    Vezi răspunsul

    (12) ln|x − 1x + 1| + C

  22. Ex. 22Integrală definită simplăM3 · Tehnologic

    Calculați 1x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [−1x] de la 1 la 2 = −12 + 1 = 12

  23. Ex. 23Prin părți cu logaritmM3 · Tehnologic

    Calculați ln x dx.

    Vezi răspunsul

    [x ln x − x] de la 1 la e = 0 − (−1) = 1

  24. Ex. 24Prin părți cu sinusM3 · Tehnologic

    Calculați integrala funcției x·sin x pe intervalul [0, π].

    Vezi răspunsul

    O primitivă este −x cos x + sin x, deci integrala de la 0 la π este π.

  25. Ex. 25Monotonia integraleiM3 · Tehnologic

    Pe intervalul [0, 1] avem x2 ≤ x. Rezultă că x2 dx ≤ x dx? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: prin monotonia integralei.

  26. Ex. 26Substituție cu exponențialăM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ exex + 3 dx.

    Vezi răspunsul

    ln(ex + 3) + C

  27. Ex. 27Substituție cu polinomM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ 2xx2 + 5 dx.

    Vezi răspunsul

    ln(x2 + 5) + C

  28. Ex. 28Substituție cu factor lipsăM3 · Tehnologic

    Calculați ∫ x2x3 + 2 dx.

    Vezi răspunsul

    (13) ln|x3 + 2| + C

  29. Ex. 29Primitivă cu condițieM3 · Tehnologic

    Determinați primitiva F a funcției f(x) = 2x − ex cu proprietatea F(0) = 1.

    Vezi răspunsul

    F(x) = x2 − ex + C, iar F(0) = −1 + C = 1 dă C = 2: F(x) = x2 − ex + 2.

  30. Ex. 30Semnul integraleiM3 · Tehnologic

    Fie f(x) = x2 − x + 1. Este f(x) dx ≥ 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: x2 − x + 1 > 0 pe ℝ (integrala este 56).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.