Încărcăm partea curentă…

Primitive, integrala definită și metodele de bază · nivel M3

O primitivă se verifică prin derivare

F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul. Integrala nedefinită notează toate primitivele: F(x) + C.

Pentru xn, creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou, cu excepția n = −1. Integrăm termen cu termen și verificăm derivând rezultatul.

De ținut minte

F′ = f
∫ xn dx = xn+1n + 1 + C, n ≠ −1

Exemplu rezolvat · alte date

Află o primitivă pentru f(x) = 9x2 − 4 și verific-o.

  1. 1∫9x2 dx = 9x33 = 3x3.
  2. 2∫(−4) dx = −4x; primitivele sunt 3x3 − 4x + C.
  3. 3Verificare: (3x3 − 4x + C)′ = 9x2 − 4, exact funcția inițială.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Primitive, integrala definită și metodele de bază · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O idee pe rând: citești regula, urmărești un model cu alte date, apoi rezolvi trei probleme. Pașii ghidați ai aceleiași probleme rămân împreună.

O primitivă se verifică prin derivare

F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul. Integrala nedefinită notează toate primitivele: F(x) + C.

Pentru xn, creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou, cu excepția n = −1. Integrăm termen cu termen și verificăm derivând rezultatul.

  • F′ = f
  • ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C, n ≠ −1

Exemplu rezolvat · alte date

Află o primitivă pentru f(x) = 9x2 − 4 și verific-o.

  1. ∫9x2 dx = 9x33 = 3x3.
  2. ∫(−4) dx = −4x; primitivele sunt 3x3 − 4x + C.
  3. Verificare: (3x3 − 4x + C)′ = 9x2 − 4, exact funcția inițială.

O primitivă se verifică prin derivare · exersare 2

F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul. Integrala nedefinită notează toate primitivele: F(x) + C.

Pentru xn, creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou, cu excepția n = −1. Integrăm termen cu termen și verificăm derivând rezultatul.

  • F′ = f
  • ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C, n ≠ −1

Exemplu rezolvat · alte date

Află o primitivă pentru f(x) = 9x2 − 4 și verific-o.

  1. ∫9x2 dx = 9x33 = 3x3.
  2. ∫(−4) dx = −4x; primitivele sunt 3x3 − 4x + C.
  3. Verificare: (3x3 − 4x + C)′ = 9x2 − 4, exact funcția inițială.

Primitive cu radicali și exponențiale

Scriem √x = x12, deci regula puterilor dă (23)x√x pe x ≥ 0. Pentru ekx, factorul 1k compensează derivata exponentului, dacă k ≠ 0.

Pentru ax avem derivata ax ln a, deci primitiva este axln a, cu a > 0 și a ≠ 1. Verificăm întotdeauna factorul din față prin derivare.

  • ∫√x dx = (23)x√x + C
  • ∫ekx dx = ekxk + C, k ≠ 0
  • ∫ax dx = axln a + C

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫ 4e2x dx.

  1. Primitiva lui e2x este e2x2, pentru că exponentul are derivata 2.
  2. Înmulțim cu 4: rezultatul este 2e2x + C.
  3. Verificare: (2e2x)′ = 2·2e2x = 4e2x.

Logaritmul: exponentul −1 și raportul dintre derivată și funcție

Regula puterilor nu funcționează pentru x−1, deoarece am împărți la 0. Aici primitiva este ln|x|, pe intervale care nu trec prin 0.

Privim fracția întreagă: căutăm dacă numărătorul este derivata numitorului sau un multiplu al ei. Gradul numitorului, singur, nu stabilește metoda: 1x2 dă −1x, 1x2 + 1 dă arctg x, iar 2xx2 + 1 dă ln(x2 + 1).

  • ∫1x dx = ln|x| + C
  • ∫u′u dx = ln|u| + C, u ≠ 0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫ 6x3x2 + 7 dx.

  1. Numitorul este u(x) = 3x2 + 7, iar u′(x) = 6x.
  2. Numărătorul este exact u′, deci integrala este ln|u| + C.
  3. Cum 3x2 + 7 > 0, obținem ln(3x2 + 7) + C. Derivarea dă înapoi 6x3x2 + 7.

Logaritmul: exponentul −1 și raportul dintre derivată și funcție · exersare 2

Regula puterilor nu funcționează pentru x−1, deoarece am împărți la 0. Aici primitiva este ln|x|, pe intervale care nu trec prin 0.

Privim fracția întreagă: căutăm dacă numărătorul este derivata numitorului sau un multiplu al ei. Gradul numitorului, singur, nu stabilește metoda: 1x2 dă −1x, 1x2 + 1 dă arctg x, iar 2xx2 + 1 dă ln(x2 + 1).

  • ∫1x dx = ln|x| + C
  • ∫u′u dx = ln|u| + C, u ≠ 0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫ 6x3x2 + 7 dx.

  1. Numitorul este u(x) = 3x2 + 7, iar u′(x) = 6x.
  2. Numărătorul este exact u′, deci integrala este ln|u| + C.
  3. Cum 3x2 + 7 > 0, obținem ln(3x2 + 7) + C. Derivarea dă înapoi 6x3x2 + 7.

Determinarea constantei C

După integrare avem o familie de primitive. Condiția F(a) = b selectează una: înlocuim a în primitivă și aflăm constanta C.

Verificarea are două părți: derivata trebuie să dea f, iar valoarea în punctul cerut trebuie să respecte condiția. O constantă schimbată nu modifică derivata.

  • F(a) = b ⇒ ecuație pentru C

Exemplu rezolvat · alte date

F′(x) = 4x + 3 și F(1) = 8. Află F.

  1. Integrăm: F(x) = 2x2 + 3x + C.
  2. F(1) = 2 + 3 + C = 8, deci C = 3.
  3. F(x) = 2x2 + 3x + 3; F′ = 4x + 3 și F(1) = 8.

Integrala definită este F(b) − F(a)

Integrala definită este un număr. După ce găsim o primitivă, calculăm în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Constanta C se anulează.

Integrala este liniară și aditivă pe intervale. La o funcție pozitivă și a < b, integrala este nenegativă; când calculăm arii, folosim semnul funcției și putem împărți intervalul.

  • f(x) dx = F(b) − F(a)
  • f = f + f

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (3x2 + 2) dx.

  1. O primitivă este F(x) = x3 + 2x.
  2. F(2) = 8 + 4 = 12 și F(1) = 1 + 2 = 3.
  3. Integrala este 12 − 3 = 9. Nu scriem + C la acest număr.

Integrala definită este F(b) − F(a) · exersare 2

Integrala definită este un număr. După ce găsim o primitivă, calculăm în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Constanta C se anulează.

Integrala este liniară și aditivă pe intervale. La o funcție pozitivă și a < b, integrala este nenegativă; când calculăm arii, folosim semnul funcției și putem împărți intervalul.

  • f(x) dx = F(b) − F(a)
  • f = f + f

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (3x2 + 2) dx.

  1. O primitivă este F(x) = x3 + 2x.
  2. F(2) = 8 + 4 = 12 și F(1) = 1 + 2 = 3.
  3. Integrala este 12 − 3 = 9. Nu scriem + C la acest număr.

Integrala definită este F(b) − F(a) · exersare 3

Integrala definită este un număr. După ce găsim o primitivă, calculăm în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Constanta C se anulează.

Integrala este liniară și aditivă pe intervale. La o funcție pozitivă și a < b, integrala este nenegativă; când calculăm arii, folosim semnul funcției și putem împărți intervalul.

  • f(x) dx = F(b) − F(a)
  • f = f + f

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (3x2 + 2) dx.

  1. O primitivă este F(x) = x3 + 2x.
  2. F(2) = 8 + 4 = 12 și F(1) = 1 + 2 = 3.
  3. Integrala este 12 − 3 = 9. Nu scriem + C la acest număr.

Arctangenta și evaluarea în capete

Pentru numărător constant și numitor x2 + a2 folosim arctangenta, cu a > 0. Un numărător 2x ar schimba tiparul în u′u și ar da logaritm.

Arctg t este unghiul din (−π2, π2) a cărui tangentă este t. În radiani, arctg 0 = 0 și arctg 1 = π4, deoarece tg(π4) = 1. Evaluăm întâi în capătul de sus, apoi scădem capătul de jos.

  • ∫1x2 + a2 dx = arctg(xa)a + C, a > 0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 1x2 + 4 dx.

  1. a = 2, deci o primitivă este (12)arctg(x2).
  2. La 2 obținem (12)arctg 1 = π8; la 0 obținem 0.
  3. Integrala este π8. Nu înlocuim π4 cu numărul 45: 45° și π4 radiani exprimă același unghi.

Fracții simple: descompunem înainte de integrare

Dacă gradul numărătorului este cel puțin gradul numitorului, facem întâi împărțirea polinomială. În fracția rămasă căutăm coeficienți care să refacă numărătorul când aducem la același numitor.

Pentru doi factori liniari diferiți scriem Ax − a + Bx − b. La un factor pătratic fără rădăcini reale, numărătorul fracției sale are forma Ax + B. Termenii liniari pot da logaritmi chiar dacă numitorul inițial avea gradul 2 sau mai mare.

  • 1(x − 2)(x + 2) = 14x − 2 − 14x + 2

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫1x2 − 4 dx pe un interval care nu conține −2 sau 2.

  1. x2 − 4 = (x − 2)(x + 2); căutăm Ax − 2 + Bx + 2.
  2. A(x + 2) + B(x − 2) = 1. Pentru x = 2 obținem A = 14; pentru x = −2, B = −14.
  3. Integrăm: (14)ln|x − 2| − (14)ln|x + 2| + C = (14)ln|x − 2x + 2| + C.
  4. Verificare: (14)[1x − 2 − 1x + 2] = 1x2 − 4.

Substituția: expresia și derivata ei

Substituția schimbă o expresie complicată într-o variabilă u. Trebuie să apară și derivata ei: dacă u = g(x), atunci du = g′(x)dx.

Într-o integrală definită fie schimbăm capetele în valori ale lui u, fie revenim la x înainte de evaluare. Nu combinăm capete de x cu o primitivă scrisă în u.

  • u = g(x), du = g′(x)dx

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 2x(x2 + 3)2 dx.

  1. Punem u = x2 + 3, du = 2x dx. Capetele devin 3 și 4.
  2. Integrala devine u−2 du; o primitivă este −1u.
  3. Evaluăm: −14 − (−13) = 112.

Substituția: expresia și derivata ei · exersare 2

Substituția schimbă o expresie complicată într-o variabilă u. Trebuie să apară și derivata ei: dacă u = g(x), atunci du = g′(x)dx.

Într-o integrală definită fie schimbăm capetele în valori ale lui u, fie revenim la x înainte de evaluare. Nu combinăm capete de x cu o primitivă scrisă în u.

  • u = g(x), du = g′(x)dx

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 2x(x2 + 3)2 dx.

  1. Punem u = x2 + 3, du = 2x dx. Capetele devin 3 și 4.
  2. Integrala devine u−2 du; o primitivă este −1u.
  3. Evaluăm: −14 − (−13) = 112.

Integrarea prin părți: alegem ce derivăm

La produs, integrarea nu înseamnă produsul primitivelor. Prin părți folosim ∫u·v′ = uv − ∫u′·v. Alegem u astfel încât derivarea să simplifice produsul, de exemplu x sau ln x.

Pentru o integrală definită evaluăm uv în ambele capete și păstrăm minusul din fața integralei rămase. Un polinom de grad 2 poate cere două aplicări ale formulei.

  • ∫u·v′ dx = uv − ∫u′·v dx

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 3x·e2x dx.

  1. Alegem u = 3x, u′ = 3, v′ = e2x, v = e2x2.
  2. Primitiva este (3x2)e2x − (32)∫e2x dx = (3x2 − 34)e2x.
  3. În 1 obținem 3e24; în 0 obținem −34.
  4. Scădem: integrala este 3(e2 + 1)4.

Integrarea prin părți: alegem ce derivăm · exersare 2

La produs, integrarea nu înseamnă produsul primitivelor. Prin părți folosim ∫u·v′ = uv − ∫u′·v. Alegem u astfel încât derivarea să simplifice produsul, de exemplu x sau ln x.

Pentru o integrală definită evaluăm uv în ambele capete și păstrăm minusul din fața integralei rămase. Un polinom de grad 2 poate cere două aplicări ale formulei.

  • ∫u·v′ dx = uv − ∫u′·v dx

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 3x·e2x dx.

  1. Alegem u = 3x, u′ = 3, v′ = e2x, v = e2x2.
  2. Primitiva este (3x2)e2x − (32)∫e2x dx = (3x2 − 34)e2x.
  3. În 1 obținem 3e24; în 0 obținem −34.
  4. Scădem: integrala este 3(e2 + 1)4.

Aplicații suplimentare: arii și volume

Aria dintre două grafice se calculează integrând diferența dintre funcția de sus și cea de jos. Aflăm întâi intersecțiile și ordinea pe fiecare interval.

La rotație în jurul lui Ox, o secțiune circulară are aria πr2. Pentru regiunea dintre f ≥ 0 și Ox, volumul este π∫f2. Aceste aplicații sunt suplimentare și nu înlocuiesc metodele de calcul ale integralelor.

  • arie = ∫(sus − jos)
  • volum = π∫f2

Exemplu rezolvat · alte date

Află aria dintre y = 2x și y = x2 pe [0, 2].

  1. Intersecțiile sunt x = 0 și x = 2; 2x − x2 = x(2 − x) ≥ 0 pe [0, 2].
  2. Aria este (2x − x2)dx = .
  3. Aria este 4 − 83 = 43, pozitivă.

Exerciții rezolvate din lecție (53)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Fie f(x) = 4x3 − 2x + 1 și F(x) = x4 − x2 + x − 13. Este F o primitivă a lui f? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. F este primitivă a lui f dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul.
    2. Derivăm termen cu termen: (x4)′ = 4x3, (−x2)′ = −2x, (x)′ = 1, iar (−13)′ = 0.
    3. Obținem F′(x) = 4x3 − 2x + 1, adică exact f(x).
    4. Răspuns final: da. Constanta −13 nu contează, pentru că derivata oricărei constante este 0.

    Răspuns: da

  2. Exercițiul 2

    Calculați ∫ (2x + 5) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Integrala unei sume se desface în suma integralelor, iar constantele ies în față.
    2. ∫ 2x dx = 2·x22 = x2.
    3. ∫ 5 dx = 5x.
    4. Răspuns final: x2 + 5x + C. Verificare: (x2 + 5x)′ = 2x + 5.

    Răspuns: x2+5x+C

  3. Exercițiul 3

    Calculați ∫ (6x2 − 4x − 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm formula ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C pe fiecare termen.
    2. ∫ 6x2 dx = 6·x33 = 2x3.
    3. ∫ 4x dx = 4·x22 = 2x2, cu semnul minus în față.
    4. Răspuns final: 2x3 − 2x2 − x + C.

    Răspuns: 2x3−2x2−x+C

  4. Exercițiul 4

    Calculați ∫ 1x dx pe intervalul (0, ∞).

    Vezi rezolvarea
    1. Formula ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C nu se poate folosi aici: pentru n = −1 numitorul devine zero.
    2. Este singura excepție de la regula puterilor.
    3. Știm însă că (ln x)′ = 1x pe (0, ∞).
    4. Răspuns final: ln x + C. Pe un interval care nu conține 0 se scrie ln|x| + C.

    Răspuns: lnx+C

  5. Exercițiul 5

    Calculați ∫ 1x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aici 1x2 = x−2: exponentul este −2, nu −1. Aplicăm regula puterilor; nu decidem metoda doar după gradul numitorului.
    2. Scriem integrala ca ∫ x−2 dx.
    3. Aplicăm regula puterilor: x−1−1 = −1x.
    4. Răspuns final: −1x + C. Verificare: (−x−1)′ = x−2 = 1x2.

    Răspuns: −1x+C

  6. Exercițiul 6

    Calculați ∫ x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Regula puterilor merge și pentru exponenți raționali: scriem √x = x12.
    2. Aplicăm formula: exponentul devine 12 + 1 = 32.
    3. Împărțim la noul exponent: x3232 = 23·x32.
    4. Răspuns final: 2xx3 + C.

    Răspuns: 2xx3+C

  7. Exercițiul 7

    Calculați ∫ e3x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Pornim de la derivată: (e3x)′ = 3·e3x, din regula lanțului.
    2. Deci e3x este derivata lui e3x3.
    3. Împărțirea la 3 compensează factorul apărut la derivare.
    4. Răspuns final: e3x3 + C.

    Răspuns: e3x3+C

  8. Exercițiul 8

    Calculați ∫ 2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata funcției exponențiale cu baza a este (ax)′ = ax·ln a.
    2. Ca să scăpăm de factorul ln 2 apărut la derivare, împărțim la el.
    3. Formula generală este ∫ ax dx = axln a + C.
    4. Răspuns final: 2xln 2 + C.

    Răspuns: 2xln2+C

  9. Exercițiul 9

    Calculați ∫ 1x + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul este de gradul întâi, deci rezultatul este logaritm.
    2. Derivata numitorului este 1, adică exact numărătorul.
    3. Suntem în tiparul ∫ u′u dx = ln|u| + C, cu u = x + 1.
    4. Răspuns final: ln|x + 1| + C.

    Răspuns: ln|x+1|+C

  10. Exercițiul 10

    Calculați ∫ 12x + 5 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata numitorului este 2, dar la numărător avem 1, deci lipsește un factor.
    2. Completăm artificial: ∫ 12x + 5 dx = 12·∫ 22x + 5 dx.
    3. Acum numărătorul este derivata numitorului, deci integrala este logaritm.
    4. Răspuns final: 12·ln|2x + 5| + C.

    Răspuns: 12ln|2x+5|+C

  11. Exercițiul 11

    Calculați ∫ x2 − 3x + 1x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Nu integrăm raportul ca atare: împărțim mai întâi fiecare termen la x.
    2. Obținem x − 3 + 1x, o sumă de trei termeni elementari.
    3. Integrăm pe rând: x22, apoi −3x, apoi ln|x|.
    4. Răspuns final: x22 − 3x + ln|x| + C.

    Răspuns: x22−3x+ln|x|+C

  12. Exercițiul 12

    Calculați ∫ x − 1x + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul și numitorul au același grad, deci trebuie făcută întâi împărțirea cu rest.
    2. Scriem x − 1 = (x + 1) − 2, deci raportul devine 1 − 2x + 1.
    3. Integrăm suma: ∫ 1 dx = x, iar ∫ 2x + 1 dx = 2ln|x + 1|.
    4. Răspuns final: x − 2ln|x + 1| + C.

    Răspuns: x−2ln|x+1|+C

  13. Exercițiul 13

    Determinați primitiva F a funcției f(x) = 3x2 − 2x + 1 cu proprietatea F(1) = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm întâi mulțimea tuturor primitivelor: F(x) = x3 − x2 + x + C.
    2. Punem condiția din enunț: F(1) = 1 − 1 + 1 + C = 1 + C.
    3. Din 1 + C = 3 rezultă C = 2.
    4. Răspuns final: F(x) = x3 − x2 + x + 2. Condiția aleasă fixează exact o primitivă din infinitatea posibilă.

    Răspuns: x3−x2+x+2

  14. Exercițiul 14

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Formula Leibniz-Newton spune că integrala definită este F(b) − F(a), unde F este o primitivă.
    2. O primitivă a lui 2x + 1 este F(x) = x2 + x.
    3. Calculăm F(3) = 9 + 3 = 12 și F(1) = 1 + 1 = 2.
    4. Răspuns final: 12 − 2 = 10. Constanta C nu contează, pentru că se scade cu ea însăși.

    Răspuns: 10

  15. Exercițiul 15

    Calculați (3x2 − 2x + 5) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este F(x) = x3 − x2 + 5x.
    2. F(2) = 8 − 4 + 10 = 14.
    3. F(−1) = −1 − 1 − 5 = −7.
    4. Răspuns final: 14 − (−7) = 21. Atenție la semnele de la capătul negativ.

    Răspuns: 21

  16. Exercițiul 16

    Știind că f(x)dx = 4 și f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul spune că integrala pe [a, c] este suma integralelor pe [a, b] și [b, c].
    2. Aici capătul comun este 1, iar intervalele [0, 1] și [1, 3] se lipesc exact.
    3. Adunăm valorile: 4 + 6.
    4. Răspuns final: 10.

    Răspuns: 10

  17. Exercițiul 17

    Calculați (2x − 1)ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul dintre un polinom și o exponențială cere integrarea prin părți, cu ex ca derivată.
    2. ∫ (2x − 1)ex dx = (2x − 1)ex − ∫ 2ex dx = (2x − 3)ex.
    3. La capătul 2: (4 − 3)e2 = e2. La capătul 0: (0 − 3)·1 = −3.
    4. Răspuns final: e2 − (−3) = e2 + 3.

    Răspuns: e2+3

  18. Exercițiul 18

    Calculați ln xx dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Observăm că 1x este chiar derivata lui ln x, deci suntem în tiparul ∫ u′·u dx.
    2. Cu u = ln x rezultă primitiva u22 = (ln x)22.
    3. La capătul e: (ln e)22 = 12. La capătul 1: (ln 1)22 = 0.
    4. Răspuns final: 12.

    Răspuns: 12

  19. Exercițiul 19

    Calculați ∫ 1x2 + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aici numărătorul este 1, iar numitorul este x2 + 1. Tiparul este 1x2 + a2, cu a = 1; un numărător 2x ar conduce în schimb la logaritm.
    2. Formula de bază este ∫ 1x2 + a2 dx = 1a·arctg (x)a + C.
    3. Aici a = 1, deci factorul din față dispare.
    4. Răspuns final: arctg x + C.

    Răspuns: arctgx+C

  20. Exercițiul 20

    Exercițiul 20 semi-ghidat · Pentru ∫ 1(x + 1)(x + 2) dx, sub ce formă căutăm descompunerea?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul este produs de doi factori de gradul întâi, distincți.
    2. Fiecărui astfel de factor îi corespunde o fracție cu numărător constant.
    3. Forma cu Ax + B la numărător se folosește pentru factori de gradul doi ireductibili.
    4. Deci căutăm Ax + 1 + Bx + 2.

    Răspuns: Ax + 1 + Bx + 2

  21. Exercițiul 21

    Acum determinați A, aducând la același numitor și dând lui x valoarea −1. Scrieți valoarea lui A.

    Vezi rezolvarea
    1. Aducem la același numitor: A(x + 2) + B(x + 1) = 1, pentru orice x.
    2. Alegem x = −1, valoare care anulează al doilea termen: A(−1 + 2) = 1.
    3. Rezultă A·1 = 1, deci A = 1.
    4. Analog, pentru x = −2 se obține B = −1. Răspuns final: A = 1.

    Răspuns: 1

  22. Exercițiul 22

    Calculați ∫ 1x2 − 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul are rădăcini reale, deci se descompune: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
    2. Căutăm Ax − 1 + Bx + 1, cu A(x + 1) + B(x − 1) = 1.
    3. Pentru x = 1 obținem A = 12, iar pentru x = −1 obținem B = −12.
    4. Răspuns final: 12·ln|x − 1x + 1| + C.

    Răspuns: 12ln|x−1x+1|+C

  23. Exercițiul 23

    Calculați 1x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem integrandul ca x−2, deci o primitivă este −1x.
    2. La capătul 2: −12. La capătul 1: −1.
    3. Scădem: −12 − (−1) = 12.
    4. Răspuns final: 12.

    Răspuns: 12

  24. Exercițiul 24

    Exercițiul 23 ghidat · Vrem ln x dx. Pasul 1: de ce nu putem integra direct?

    Vezi rezolvarea
    1. Tabelul primitivelor conține ∫ 1x dx = ln|x| + C, dar nu și integrala funcției ln x.
    2. Pe intervalul [1, e] funcția este continuă, deci integrala există.
    3. Avem nevoie de o metodă, nu de o formulă gata făcută.
    4. Metoda potrivită este integrarea prin părți.

    Răspuns: Pentru că ln x nu apare în tabelul primitivelor uzuale

  25. Exercițiul 25

    Pasul 2: cum scriem ln x ca produs, ca să putem aplica integrarea prin părți?

    Vezi rezolvarea
    1. Trucul standard este să înmulțim cu 1, care nu schimbă nimic.
    2. Factorul 1 este derivata lui x, deci putem iniția formula.
    3. Scriem ∫ ln x dx = ∫ (x)′·ln x dx.
    4. Cealaltă variantă, x·1x, ne-ar întoarce tot la ln x, fără progres.

    Răspuns: ln x = 1·ln x, iar 1 este derivata lui x

  26. Exercițiul 26

    Pasul 3: aplicați formula ∫ f′g dx = fg − ∫ fg′ dx și spuneți ce integrală rămâne.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu f = x și g = ln x avem fg = x·ln x.
    2. Integrala rămasă este ∫ x·(ln x)′ dx = ∫ x·1x dx.
    3. Simplificăm: x·1x = 1, deci rămâne ∫ 1 dx = x.
    4. Am ajuns la un caz elementar, deci alegerea a fost bună: integrala nouă e mai simplă decât cea inițială.

    Răspuns: Rămâne ∫ x·1x dx, adică ∫ 1 dx

  27. Exercițiul 27

    Pasul 4: calculați valoarea ln x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Primitiva completă este x·ln x − x.
    2. La capătul e: e·ln e − e = e − e = 0, pentru că ln e = 1.
    3. La capătul 1: 1·ln 1 − 1 = 0 − 1 = −1, pentru că ln 1 = 0.
    4. Răspuns final: 0 − (−1) = 1.

    Răspuns: 1

  28. Exercițiul 28

    Calculați integrala funcției x·sin x pe intervalul [0, π].

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm integrarea prin părți, cu sin x = (−cos x)′.
    2. ∫ x·sin x dx = −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x.
    3. La capătul π: −π·(−1) + 0 = π. La capătul 0: 0 + 0 = 0.
    4. Răspuns final: π.

    Răspuns: π

  29. Exercițiul 29

    Pe intervalul [0, 1] avem x2 ≤ x. Rezultă că x2 dx ≤ x dx? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Proprietatea de monotonie spune că dacă f(x) ≤ g(x) pe tot intervalul, atunci integrala lui f este cel mult integrala lui g.
    2. Aici inegalitatea x2 ≤ x este adevărată pe [0, 1], pentru că înmulțind cu x un număr subunitar îl micșorăm.
    3. Verificăm și direct: x2 dx = 13, iar x dx = 12.
    4. Într-adevăr 13 ≤ 12. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

  30. Exercițiul 30

    Calculați ∫ exex + 3 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata numitorului ex + 3 este chiar ex, adică numărătorul.
    2. Suntem în tiparul ∫ u′u dx = ln|u| + C.
    3. Cum ex + 3 este mereu pozitiv, modulul nu este necesar.
    4. Răspuns final: ln(ex + 3) + C.

    Răspuns: ln(ex+3)+C

  31. Exercițiul 31

    Calculați ∫ 2xx2 + 5 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata numitorului x2 + 5 este 2x, adică exact numărătorul.
    2. Aplicăm direct ∫ u′u dx = ln|u| + C.
    3. Numitorul fiind mereu pozitiv, scriem fără modul.
    4. Răspuns final: ln(x2 + 5) + C.

    Răspuns: ln(x2+5)+C

  32. Exercițiul 32

    Exercițiul 28 semi-ghidat · La ∫ x2x3 + 2 dx, ce observăm între numărător și numitor?

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm numitorul: (x3 + 2)′ = 3x2.
    2. La numărător avem x2, adică exact a treia parte din derivată.
    3. Suntem aproape de tiparul ∫ u′u dx = ln|u| + C, ne lipsește doar un factor constant.
    4. Îl completăm artificial, compensând cu 13 în față.

    Răspuns: Derivata numitorului este 3x2, adică numărătorul înmulțit cu 3

  33. Exercițiul 33

    Acum calculați integrala.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem ∫ x2x3 + 2 dx = 13·∫ 3x2x3 + 2 dx.
    2. Acum numărătorul este chiar derivata numitorului.
    3. Aplicăm tiparul logaritmic: 13·ln|x3 + 2|.
    4. Răspuns final: 13·ln|x3 + 2| + C. Verificare prin derivare: 13·3x2x3 + 2 = x2x3 + 2.

    Răspuns: 13ln|x3+2|+C

  34. Exercițiul 34

    Determinați primitiva F a funcției f(x) = 2x − ex cu proprietatea F(0) = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Integrăm termen cu termen: F(x) = x2 − ex + C.
    2. Punem condiția: F(0) = 0 − 1 + C = C − 1.
    3. Din C − 1 = 1 rezultă C = 2.
    4. Răspuns final: F(x) = x2 − ex + 2.

    Răspuns: x2−ex+2

  35. Exercițiul 35

    Fie f(x) = x2 − x + 1. Este f(x) dx ≥ 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Dacă o funcție este pozitivă pe tot intervalul, integrala ei este pozitivă — aceasta este monotonia integralei comparată cu funcția nulă.
    2. Discriminantul lui x2 − x + 1 este 1 − 4 = −3 < 0, iar coeficientul lui x2 este pozitiv.
    3. Deci f(x) > 0 pentru orice x real, în particular pe [0, 1].
    4. Răspuns final: da. Nici nu a fost nevoie să calculăm integrala.

    Răspuns: da

  36. Exercițiul 36

    Regiunea dintre y=x și Ox, pentru 0≤x≤2, se rotește în jurul lui Ox. Află volumul.

    Vezi rezolvarea
    1. V=π x2dx. Secțiunile sunt discuri de rază f(x)=x; aria lor este πx2.
    2. x2dx==83. Integrala unei puteri x2 este x33. La limita inferioară obținem 0.
    3. V=8π3. Înmulțim integrala cu π. Rezultatul reprezintă unități cubice.

    Răspuns: V=8π3

  37. Exercițiul 37

    Află primitiva F a lui f(x)=6x2−4x, știind că F(0)=5.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x)=2x3−2x2+C. La puteri adăugăm 1 exponentului și împărțim la noul exponent: 63=2 și −42=−2.
    2. F(0)=C=5. Termenii cu x se anulează la x=0.
    3. F(x)=2x3−2x2+5. F′(x)=6x2−4x și F(0)=5. Ambele condiții sunt respectate.

    Răspuns: F(x)=2x3−2x2+5

  38. Exercițiul 38

    Calculează integrala de la 1 la 3 din 2x+1.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x)=x2+x. Derivata lui x2+x este 2x+1.
    2. F(3)=12; F(1)=2. F(3)=9+3=12 și F(1)=1+1=2.
    3. F(3)−F(1)=10. Scădem valoarea de la limita inferioară din cea de la limita superioară.

    Răspuns: F(3)−F(1)=10

  39. Exercițiul 39

    Calculează integrala de la 0 la 1 din xex.

    Vezi rezolvarea
    1. u=x, du=dx; dv=exdx, v=ex. Alegem polinomul ca u, fiindcă derivarea îi reduce gradul.
    2. xexdx=− exdx. Formula este ∫u dv=uv−∫v du, cu minus.
    3. e−(e−1)=1. Primul termen este e−0=e; integrala rămasă este e−1.

    Răspuns: e−(e−1)=1

  40. Exercițiul 40

    Calculează integrala de la 0 la 1 din 2x+1(x2+x+1)2.

    Vezi rezolvarea
    1. u=x2+x+1; du=(2x+1)dx. Numărătorul este exact derivata expresiei din numitor.
    2. u: 1→3; ∫u−2du=−1u. La x=0 avem u=1; la x=1, u=3. Derivata lui −1u este 1u2.
    3. −13−(−1)=23. Scăderea valorii negative de la limita inferioară devine adunare.

    Răspuns: −13−(−1)=23

  41. Exercițiul 41

    Calculează aria dintre graficele y=x și y=x2 pe intervalul [0,1].

    Vezi rezolvarea
    1. x≥x2 pe [0,1]. x−x2=x(1−x)≥0 pe interval.
    2. A=(x−x2)dx; F(x)=x22−x33. Aria este integrala funcției de sus minus funcția de jos.
    3. A=12−13=16. Valoarea primitivei la 0 este 0; aducem fracțiile la numitorul 6.

    Răspuns: A=12−13=16

  42. Exercițiul 42

    Calculează 15x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 5x3.
    2. F(1) = 5, iar F(0) = 0.
    3. Integrala este 5 − 0 = 5.

    Răspuns: 5

  43. Exercițiul 43

    Calculează 18x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 6x3.
    2. F(1) = 6, iar F(0) = 0.
    3. Integrala este 6 − 0 = 6.

    Răspuns: 6

  44. Exercițiul 44

    Calculează 5x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 5ln x, pentru x > 0.
    2. F(e) = 5, F(1) = 0.
    3. Diferența este 5.

    Răspuns: 5

  45. Exercițiul 45

    Calculează 6x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 6ln x, pentru x > 0.
    2. F(e) = 6, F(1) = 0.
    3. Diferența este 6.

    Răspuns: 6

  46. Exercițiul 46

    Calculează 5x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 5x22.
    2. F(2) = 10, F(0) = 0.
    3. Integrala este 10.

    Răspuns: 10

  47. Exercițiul 47

    Calculează 6x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 6x22.
    2. F(2) = 12, F(0) = 0.
    3. Integrala este 12.

    Răspuns: 12

  48. Exercițiul 48

    Scrie 20x2 + 1 dx sub forma kπ. Cât este k?

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 20arctg x.
    2. Diferența este 20(π4 − 0).
    3. Rezultatul este 5π, deci k = 5.

    Răspuns: 5

  49. Exercițiul 49

    Scrie 24x2 + 1 dx sub forma kπ. Cât este k?

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 24arctg x.
    2. Diferența este 24(π4 − 0).
    3. Rezultatul este 6π, deci k = 6.

    Răspuns: 6

  50. Exercițiul 50

    Calculează 24x(x2 + 1)2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. u = x2 + 1, du = 2x dx; rămâne factorul 12.
    2. Primitiva este −12x2 + 1.
    3. F(1) − F(0) = −6 − (−12) = 6.

    Răspuns: 6

  51. Exercițiul 51

    Calculează 5x·ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Prin părți, o primitivă este 5(x − 1)ex.
    2. F(1) = 0, iar F(0) = −5.
    3. Diferența este 0 − (−5) = 5.

    Răspuns: 5

  52. Exercițiul 52

    Calculează 6x·ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Prin părți, o primitivă este 6(x − 1)ex.
    2. F(1) = 0, iar F(0) = −6.
    3. Diferența este 0 − (−6) = 6.

    Răspuns: 6

  53. Exercițiul 53

    Aria dintre y = 36x și y = 36x2 pe [0, 1] este A. Află A.

    Vezi rezolvarea
    1. Diferența este 36x(1 − x) ≥ 0.
    2. Primitiva este 18x2 − 12x3.
    3. Aria este 18 − 12 = 6.

    Răspuns: 6

Fișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic (30)

  1. 1. Verificarea unei primitive

    Fie f(x) = 4x3 − 2x + 1 și F(x) = x4 − x2 + x − 13. Este F o primitivă a lui f? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: F′(x) = 4x3 − 2x + 1 = f(x).

  2. 2. Liniaritate

    Calculați ∫ (2x + 5) dx.

    Vezi răspunsul

    x2 + 5x + C

  3. 3. Polinom

    Calculați ∫ (6x2 − 4x − 1) dx.

    Vezi răspunsul

    2x3 − 2x2 − x + C

  4. 4. Logaritm

    Calculați ∫ 1x dx pe intervalul (0, ∞).

    Vezi răspunsul

    ln x + C

  5. 5. Exponent negativ

    Calculați ∫ 1x2 dx.

    Vezi răspunsul

    −1x + C

  6. 6. Radical

    Calculați ∫ x dx.

    Vezi răspunsul

    (23)x√x + C

  7. 7. Exponențială compusă

    Calculați ∫ e3x dx.

    Vezi răspunsul

    e3x3 + C

  8. 8. Bază oarecare

    Calculați ∫ 2x dx.

    Vezi răspunsul

    2xln 2 + C

  9. 9. Numitor de gradul întâi

    Calculați ∫ 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    ln|x + 1| + C

  10. 10. Coeficient la numitor

    Calculați ∫ 12x + 5 dx.

    Vezi răspunsul

    (12) ln|2x + 5| + C

  11. 11. Împărțire termen cu termen

    Calculați ∫ x2 − 3x + 1x dx.

    Vezi răspunsul

    ∫ (x − 3 + 1x) dx = x22 − 3x + ln|x| + C

  12. 12. Împărțirea cu rest

    Calculați ∫ x − 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    x − 1x + 1 = 1 − 2x + 1, deci primitiva este x − 2 ln|x + 1| + C.

  13. 13. Determinarea constantei

    Determinați primitiva F a funcției f(x) = 3x2 − 2x + 1 cu proprietatea F(1) = 3.

    Vezi răspunsul

    F(x) = x3 − x2 + x + C, iar F(1) = 1 + C = 3 dă C = 2: F(x) = x3 − x2 + x + 2.

  14. 14. Leibniz-Newton

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + x] de la 1 la 3 = 12 − 2 = 10

  15. 15. Interval cu capăt negativ

    Calculați (3x2 − 2x + 5) dx.

    Vezi răspunsul

    [x3 − x2 + 5x] de la −1 la 2 = 14 − (−7) = 21

  16. 16. Aditivitate

    Știind că f(x)dx = 4 și f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.

    Vezi răspunsul

    4 + 6 = 10

  17. 17. Integrare prin părți

    Calculați (2x − 1)ex dx.

    Vezi răspunsul

    O primitivă este (2x − 3)ex, deci integrala = e2 − (−3) = e2 + 3.

  18. 18. Schimbare de variabilă

    Calculați ln xx dx.

    Vezi răspunsul

    [(ln x)22] de la 1 la e = 12

  19. 19. Arctangentă

    Calculați ∫ 1x2 + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    arctg x + C

  20. 20. Fracții simple

    Descompuneți și calculați ∫ 1(x + 1)(x + 2) dx.

    Vezi răspunsul

    1(x + 1)(x + 2) = 1x + 1 − 1x + 2, deci primitiva este ln|x + 1x + 2| + C.

  21. 21. Diferență de pătrate

    Calculați ∫ 1x2 − 1 dx.

    Vezi răspunsul

    (12) ln|x − 1x + 1| + C

  22. 22. Integrală definită simplă

    Calculați 1x2 dx.

    Vezi răspunsul

    [−1x] de la 1 la 2 = −12 + 1 = 12

  23. 23. Prin părți cu logaritm

    Calculați ln x dx.

    Vezi răspunsul

    [x ln x − x] de la 1 la e = 0 − (−1) = 1

  24. 24. Prin părți cu sinus

    Calculați integrala funcției x·sin x pe intervalul [0, π].

    Vezi răspunsul

    O primitivă este −x cos x + sin x, deci integrala de la 0 la π este π.

  25. 25. Monotonia integralei

    Pe intervalul [0, 1] avem x2 ≤ x. Rezultă că x2 dx ≤ x dx? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: prin monotonia integralei.

  26. 26. Substituție cu exponențială

    Calculați ∫ exex + 3 dx.

    Vezi răspunsul

    ln(ex + 3) + C

  27. 27. Substituție cu polinom

    Calculați ∫ 2xx2 + 5 dx.

    Vezi răspunsul

    ln(x2 + 5) + C

  28. 28. Substituție cu factor lipsă

    Calculați ∫ x2x3 + 2 dx.

    Vezi răspunsul

    (13) ln|x3 + 2| + C

  29. 29. Primitivă cu condiție

    Determinați primitiva F a funcției f(x) = 2x − ex cu proprietatea F(0) = 1.

    Vezi răspunsul

    F(x) = x2 − ex + C, iar F(0) = −1 + C = 1 dă C = 2: F(x) = x2 − ex + 2.

  30. 30. Semnul integralei

    Fie f(x) = x2 − x + 1. Este f(x) dx ≥ 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: x2 − x + 1 > 0 pe ℝ (integrala este 56).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.