M2 · Științe⏱ 3 sesiuni

M2·∫

Încărcăm partea curentă…

Primitive, integrala definită și metodele de calcul · nivel M2

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

O primitivă se verifică prin derivare

F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul. Integrala nedefinită notează toate primitivele: F(x) + C.

Pentru xⁿ, creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou, cu excepția n = −1. Integrăm termen cu termen și verificăm derivând rezultatul.

De ținut minte

F′ = f

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C, n ≠ −1

Exemplu rezolvat · alte date

Află o primitivă pentru f(x) = 9x² − 4 și verific-o.

1∫9x² dx = 9x³3 = 3x³.
2∫(−4) dx = −4x; primitivele sunt 3x³ − 4x + C.
3Verificare: (3x³ − 4x + C)′ = 9x² − 4, exact funcția inițială.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Primitive, integrala definită și metodele de calcul · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O idee pe rând: citești regula, urmărești un model cu alte date, apoi rezolvi trei probleme. Pașii ghidați ai aceleiași probleme rămân împreună.

O primitivă se verifică prin derivare

F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul. Integrala nedefinită notează toate primitivele: F(x) + C.

Pentru xⁿ, creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou, cu excepția n = −1. Integrăm termen cu termen și verificăm derivând rezultatul.

F′ = f
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C, n ≠ −1

Exemplu rezolvat · alte date

Află o primitivă pentru f(x) = 9x² − 4 și verific-o.

∫9x² dx = 9x³3 = 3x³.
∫(−4) dx = −4x; primitivele sunt 3x³ − 4x + C.
Verificare: (3x³ − 4x + C)′ = 9x² − 4, exact funcția inițială.

O primitivă se verifică prin derivare · exersare 2

F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul. Integrala nedefinită notează toate primitivele: F(x) + C.

Pentru xⁿ, creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou, cu excepția n = −1. Integrăm termen cu termen și verificăm derivând rezultatul.

F′ = f
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C, n ≠ −1

Exemplu rezolvat · alte date

Află o primitivă pentru f(x) = 9x² − 4 și verific-o.

∫9x² dx = 9x³3 = 3x³.
∫(−4) dx = −4x; primitivele sunt 3x³ − 4x + C.
Verificare: (3x³ − 4x + C)′ = 9x² − 4, exact funcția inițială.

Primitive cu radicali și exponențiale

Scriem √x = x¹², deci regula puterilor dă (23)x√x pe x ≥ 0. Pentru e^kx, factorul 1k compensează derivata exponentului, dacă k ≠ 0.

Pentru a^x avem derivata a^x ln a, deci primitiva este a^xln a, cu a > 0 și a ≠ 1. Verificăm întotdeauna factorul din față prin derivare.

∫√x dx = (23)x√x + C
∫e^kx dx = e^kxk + C, k ≠ 0
∫a^x dx = a^xln a + C

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫ 4e^2x dx.

Primitiva lui e^2x este e^2x2, pentru că exponentul are derivata 2.
Înmulțim cu 4: rezultatul este 2e^2x + C.
Verificare: (2e^2x)′ = 2·2e^2x = 4e^2x.

Logaritmul: exponentul −1 și raportul dintre derivată și funcție

Regula puterilor nu funcționează pentru x⁻¹, deoarece am împărți la 0. Aici primitiva este ln|x|, pe intervale care nu trec prin 0.

Privim fracția întreagă: căutăm dacă numărătorul este derivata numitorului sau un multiplu al ei. Gradul numitorului, singur, nu stabilește metoda: 1x² dă −1x, 1x² + 1 dă arctg x, iar 2xx² + 1 dă ln(x² + 1).

∫1x dx = ln|x| + C
∫u′u dx = ln|u| + C, u ≠ 0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫ 6x3x² + 7 dx.

Numitorul este u(x) = 3x² + 7, iar u′(x) = 6x.
Numărătorul este exact u′, deci integrala este ln|u| + C.
Cum 3x² + 7 > 0, obținem ln(3x² + 7) + C. Derivarea dă înapoi 6x3x² + 7.

Logaritmul: exponentul −1 și raportul dintre derivată și funcție · exersare 2

Regula puterilor nu funcționează pentru x⁻¹, deoarece am împărți la 0. Aici primitiva este ln|x|, pe intervale care nu trec prin 0.

∫1x dx = ln|x| + C
∫u′u dx = ln|u| + C, u ≠ 0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫ 6x3x² + 7 dx.

Numitorul este u(x) = 3x² + 7, iar u′(x) = 6x.
Numărătorul este exact u′, deci integrala este ln|u| + C.
Cum 3x² + 7 > 0, obținem ln(3x² + 7) + C. Derivarea dă înapoi 6x3x² + 7.

Determinarea constantei C

După integrare avem o familie de primitive. Condiția F(a) = b selectează una: înlocuim a în primitivă și aflăm constanta C.

Verificarea are două părți: derivata trebuie să dea f, iar valoarea în punctul cerut trebuie să respecte condiția. O constantă schimbată nu modifică derivata.

F(a) = b ⇒ ecuație pentru C

Exemplu rezolvat · alte date

F′(x) = 4x + 3 și F(1) = 8. Află F.

Integrăm: F(x) = 2x² + 3x + C.
F(1) = 2 + 3 + C = 8, deci C = 3.
F(x) = 2x² + 3x + 3; F′ = 4x + 3 și F(1) = 8.

Integrala definită este F(b) − F(a)

Integrala definită este un număr. După ce găsim o primitivă, calculăm în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Constanta C se anulează.

Integrala este liniară și aditivă pe intervale. La o funcție pozitivă și a < b, integrala este nenegativă; când calculăm arii, folosim semnul funcției și putem împărți intervalul.

f(x) dx = F(b) − F(a)
f = f + f

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (3x² + 2) dx.

O primitivă este F(x) = x³ + 2x.
F(2) = 8 + 4 = 12 și F(1) = 1 + 2 = 3.
Integrala este 12 − 3 = 9. Nu scriem + C la acest număr.

Integrala definită este F(b) − F(a) · exersare 2

Integrala definită este un număr. După ce găsim o primitivă, calculăm în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Constanta C se anulează.

Integrala este liniară și aditivă pe intervale. La o funcție pozitivă și a < b, integrala este nenegativă; când calculăm arii, folosim semnul funcției și putem împărți intervalul.

f(x) dx = F(b) − F(a)
f = f + f

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (3x² + 2) dx.

O primitivă este F(x) = x³ + 2x.
F(2) = 8 + 4 = 12 și F(1) = 1 + 2 = 3.
Integrala este 12 − 3 = 9. Nu scriem + C la acest număr.

Integrala definită este F(b) − F(a) · exersare 3

Integrala definită este un număr. După ce găsim o primitivă, calculăm în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Constanta C se anulează.

Integrala este liniară și aditivă pe intervale. La o funcție pozitivă și a < b, integrala este nenegativă; când calculăm arii, folosim semnul funcției și putem împărți intervalul.

f(x) dx = F(b) − F(a)
f = f + f

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (3x² + 2) dx.

O primitivă este F(x) = x³ + 2x.
F(2) = 8 + 4 = 12 și F(1) = 1 + 2 = 3.
Integrala este 12 − 3 = 9. Nu scriem + C la acest număr.

Arctangenta și evaluarea în capete

Pentru numărător constant și numitor x² + a² folosim arctangenta, cu a > 0. Un numărător 2x ar schimba tiparul în u′u și ar da logaritm.

Arctg t este unghiul din (−π2, π2) a cărui tangentă este t. În radiani, arctg 0 = 0 și arctg 1 = π4, deoarece tg(π4) = 1. Evaluăm întâi în capătul de sus, apoi scădem capătul de jos.

∫1x² + a² dx = arctg(xa)a + C, a > 0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 1x² + 4 dx.

a = 2, deci o primitivă este (12)arctg(x2).
La 2 obținem (12)arctg 1 = π8; la 0 obținem 0.
Integrala este π8. Nu înlocuim π4 cu numărul 45: 45° și π4 radiani exprimă același unghi.

Fracții simple: descompunem înainte de integrare

Dacă gradul numărătorului este cel puțin gradul numitorului, facem întâi împărțirea polinomială. În fracția rămasă căutăm coeficienți care să refacă numărătorul când aducem la același numitor.

Pentru doi factori liniari diferiți scriem Ax − a + Bx − b. La un factor pătratic fără rădăcini reale, numărătorul fracției sale are forma Ax + B. Termenii liniari pot da logaritmi chiar dacă numitorul inițial avea gradul 2 sau mai mare.

1(x − 2)(x + 2) = 14x − 2 − 14x + 2

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫1x² − 4 dx pe un interval care nu conține −2 sau 2.

x² − 4 = (x − 2)(x + 2); căutăm Ax − 2 + Bx + 2.
A(x + 2) + B(x − 2) = 1. Pentru x = 2 obținem A = 14; pentru x = −2, B = −14.
Integrăm: (14)ln|x − 2| − (14)ln|x + 2| + C = (14)ln|x − 2x + 2| + C.
Verificare: (14)[1x − 2 − 1x + 2] = 1x² − 4.

Un factor liniar și unul pătratic

Pentru x(x² + a²), cu a > 0, căutăm Ax + Bx + Cx² + a². Numitorul pătratic nu înseamnă automat arctangentă: verificăm și numărătorul.

După compararea coeficienților, un termen cu x la numărător se integrează prin u′u. Lucrăm pe intervale care nu trec prin 0.

1x(x² + 4) = 14x − x4(x² + 4)

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫1x(x² + 4) dx.

Punem 1 = A(x² + 4) + (Bx + C)x. Rezultă 4A = 1, A + B = 0, C = 0.
A = 14, B = −14: integrăm 14x − x4(x² + 4).
În al doilea termen, derivata lui x² + 4 este 2x. Primitiva este (14)ln|x| − (18)ln(x² + 4) + C.
Derivând obținem (14)[1x − xx² + 4] = 1x(x² + 4).

Substituția: expresia și derivata ei

Substituția schimbă o expresie complicată într-o variabilă u. Trebuie să apară și derivata ei: dacă u = g(x), atunci du = g′(x)dx.

Într-o integrală definită fie schimbăm capetele în valori ale lui u, fie revenim la x înainte de evaluare. Nu combinăm capete de x cu o primitivă scrisă în u.

u = g(x), du = g′(x)dx

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 2x(x² + 3)² dx.

Punem u = x² + 3, du = 2x dx. Capetele devin 3 și 4.
Integrala devine u⁻² du; o primitivă este −1u.
Evaluăm: −14 − (−13) = 112.

Integrarea prin părți: alegem ce derivăm

La produs, integrarea nu înseamnă produsul primitivelor. Prin părți folosim ∫u·v′ = uv − ∫u′·v. Alegem u astfel încât derivarea să simplifice produsul, de exemplu x sau ln x.

Pentru o integrală definită evaluăm uv în ambele capete și păstrăm minusul din fața integralei rămase. Un polinom de grad 2 poate cere două aplicări ale formulei.

∫u·v′ dx = uv − ∫u′·v dx

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 3x·e^2x dx.

Alegem u = 3x, u′ = 3, v′ = e^2x, v = e^2x2.
Primitiva este (3x2)e^2x − (32)∫e^2x dx = (3x2 − 34)e^2x.
În 1 obținem 3e²4; în 0 obținem −34.
Scădem: integrala este 3(e² + 1)4.

Integrarea prin părți: alegem ce derivăm · exersare 2

La produs, integrarea nu înseamnă produsul primitivelor. Prin părți folosim ∫u·v′ = uv − ∫u′·v. Alegem u astfel încât derivarea să simplifice produsul, de exemplu x sau ln x.

Pentru o integrală definită evaluăm uv în ambele capete și păstrăm minusul din fața integralei rămase. Un polinom de grad 2 poate cere două aplicări ale formulei.

∫u·v′ dx = uv − ∫u′·v dx

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 3x·e^2x dx.

Alegem u = 3x, u′ = 3, v′ = e^2x, v = e^2x2.
Primitiva este (3x2)e^2x − (32)∫e^2x dx = (3x2 − 34)e^2x.
În 1 obținem 3e²4; în 0 obținem −34.
Scădem: integrala este 3(e² + 1)4.

Arctangenta se poate integra prin părți · M2

Când integrandul este arctg x, nu o confundăm cu 11 + x², care are arctg x ca primitivă. Scriem arctg x = 1·arctg x și alegem să derivăm arctangenta.

Folosim (arctg x)′ = 11 + x². Integrala rămasă are numărător proporțional cu derivata numitorului și se rezolvă prin logaritm.

(arctg x)′ = 11 + x²

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 2arctg x dx.

Punem u = 2arctg x și v′ = 1; u′ = 21 + x², v = x.
Primitiva este 2x arctg x − ∫2x1 + x² dx = 2x arctg x − ln(1 + x²).
Evaluăm în 1 și în 0: 2·π4 − ln 2 − 0 = π2 − ln 2.

Teoreme și semnul primitivelor

Pentru f continuă, G(x) = ∫_a^x f(t)dt are derivata G′(x) = f(x). Prin urmare, o primitivă F are monotonia dată de semnul lui f, iar curbura dată de semnul lui f′.

La M1, teorema de medie spune că integrala unei funcții continue pe [a, b] este f(c)(b − a) pentru cel puțin un c din [a, b]. La comparații de integrale verificăm întâi ordinea integranzilor pe tot intervalul.

G′ = f
F″ = f′
f = f(c)(b − a), pentru f continuă

Exemplu rezolvat · alte date

G(x) = ∫₂^x (t² + 3)dt. Calculează G′(2).

Integrandul este polinom, deci continuu.
Teorema fundamentală dă G′(x) = x² + 3.
G′(2) = 4 + 3 = 7. Faptul că G(2) = 0 nu înseamnă că și derivata este 0.

Aplicații suplimentare: arii și volume

Aria dintre două grafice se calculează integrând diferența dintre funcția de sus și cea de jos. Aflăm întâi intersecțiile și ordinea pe fiecare interval.

La rotație în jurul lui Ox, o secțiune circulară are aria πr². Pentru regiunea dintre f ≥ 0 și Ox, volumul este π∫f². Aceste aplicații sunt suplimentare și nu înlocuiesc metodele de calcul ale integralelor.

arie = ∫(sus − jos)
volum = π∫f²

Exemplu rezolvat · alte date

Află aria dintre y = 2x și y = x² pe [0, 2].

Intersecțiile sunt x = 0 și x = 2; 2x − x² = x(2 − x) ≥ 0 pe [0, 2].
Aria este (2x − x²)dx = .
Aria este 4 − 83 = 43, pozitivă.

Exerciții rezolvate din lecție (59)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Fie f(x) = 4x³ − 2x + 1 și F(x) = x⁴ − x² + x − 13. Este F o primitivă a lui f? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
1. F este primitivă a lui f dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul.
2. Derivăm termen cu termen: (x⁴)′ = 4x³, (−x²)′ = −2x, (x)′ = 1, iar (−13)′ = 0.
3. Obținem F′(x) = 4x³ − 2x + 1, adică exact f(x).
4. Răspuns final: da. Constanta −13 nu contează, pentru că derivata oricărei constante este 0.
Răspuns: da
Exercițiul 2
Calculați ∫ (2x + 5) dx.
Vezi rezolvarea
1. Integrala unei sume se desface în suma integralelor, iar constantele ies în față.
2. ∫ 2x dx = 2·x²2 = x².
3. ∫ 5 dx = 5x.
4. Răspuns final: x² + 5x + C. Verificare: (x² + 5x)′ = 2x + 5.
Răspuns: x²+5x+C
Exercițiul 3
Calculați ∫ (6x² − 4x − 1) dx.
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm formula ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C pe fiecare termen.
2. ∫ 6x² dx = 6·x³3 = 2x³.
3. ∫ 4x dx = 4·x²2 = 2x², cu semnul minus în față.
4. Răspuns final: 2x³ − 2x² − x + C.
Răspuns: 2x³−2x²−x+C
Exercițiul 4
Calculați ∫ 1x dx pe intervalul (0, ∞).
Vezi rezolvarea
1. Formula ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C nu se poate folosi aici: pentru n = −1 numitorul devine zero.
2. Este singura excepție de la regula puterilor.
3. Știm însă că (ln x)′ = 1x pe (0, ∞).
4. Răspuns final: ln x + C. Pe un interval care nu conține 0 se scrie ln|x| + C.
Răspuns: lnx+C
Exercițiul 5
Calculați ∫ 1x² dx.
Vezi rezolvarea
1. Aici 1x² = x⁻²: exponentul este −2, nu −1. Aplicăm regula puterilor; nu decidem metoda doar după gradul numitorului.
2. Scriem integrala ca ∫ x⁻² dx.
3. Aplicăm regula puterilor: x⁻¹−1 = −1x.
4. Răspuns final: −1x + C. Verificare: (−x⁻¹)′ = x⁻² = 1x².
Răspuns: −1x+C
Exercițiul 6
Calculați ∫ x dx.
Vezi rezolvarea
1. Regula puterilor merge și pentru exponenți raționali: scriem √x = x¹².
2. Aplicăm formula: exponentul devine 12 + 1 = 32.
3. Împărțim la noul exponent: x³²32 = 23·x³².
4. Răspuns final: 2xx3 + C.
Răspuns: 2xx3+C
Exercițiul 7
Calculați ∫ e^3x dx.
Vezi rezolvarea
1. Pornim de la derivată: (e^3x)′ = 3·e^3x, din regula lanțului.
2. Deci e^3x este derivata lui e^3x3.
3. Împărțirea la 3 compensează factorul apărut la derivare.
4. Răspuns final: e^3x3 + C.
Răspuns: e^3x3+C
Exercițiul 8
Calculați ∫ 2^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Derivata funcției exponențiale cu baza a este (a^x)′ = a^x·ln a.
2. Ca să scăpăm de factorul ln 2 apărut la derivare, împărțim la el.
3. Formula generală este ∫ a^x dx = a^xln a + C.
4. Răspuns final: 2^xln 2 + C.
Răspuns: 2^xln2+C
Exercițiul 9
Calculați ∫ 1x + 1 dx.
Vezi rezolvarea
1. Numitorul este de gradul întâi, deci rezultatul este logaritm.
2. Derivata numitorului este 1, adică exact numărătorul.
3. Suntem în tiparul ∫ u′u dx = ln|u| + C, cu u = x + 1.
4. Răspuns final: ln|x + 1| + C.
Răspuns: ln|x+1|+C
Exercițiul 10
Calculați ∫ 12x + 5 dx.
Vezi rezolvarea
1. Derivata numitorului este 2, dar la numărător avem 1, deci lipsește un factor.
2. Completăm artificial: ∫ 12x + 5 dx = 12·∫ 22x + 5 dx.
3. Acum numărătorul este derivata numitorului, deci integrala este logaritm.
4. Răspuns final: 12·ln|2x + 5| + C.
Răspuns: 12ln|2x+5|+C
Exercițiul 11
Calculați ∫ x² − 3x + 1x dx.
Vezi rezolvarea
1. Nu integrăm raportul ca atare: împărțim mai întâi fiecare termen la x.
2. Obținem x − 3 + 1x, o sumă de trei termeni elementari.
3. Integrăm pe rând: x²2, apoi −3x, apoi ln|x|.
4. Răspuns final: x²2 − 3x + ln|x| + C.
Răspuns: x²2−3x+ln|x|+C
Exercițiul 12
Calculați ∫ x − 1x + 1 dx.
Vezi rezolvarea
1. Numărătorul și numitorul au același grad, deci trebuie făcută întâi împărțirea cu rest.
2. Scriem x − 1 = (x + 1) − 2, deci raportul devine 1 − 2x + 1.
3. Integrăm suma: ∫ 1 dx = x, iar ∫ 2x + 1 dx = 2ln|x + 1|.
4. Răspuns final: x − 2ln|x + 1| + C.
Răspuns: x−2ln|x+1|+C
Exercițiul 13
Determinați primitiva F a funcției f(x) = 3x² − 2x + 1 cu proprietatea F(1) = 3.
Vezi rezolvarea
1. Calculăm întâi mulțimea tuturor primitivelor: F(x) = x³ − x² + x + C.
2. Punem condiția din enunț: F(1) = 1 − 1 + 1 + C = 1 + C.
3. Din 1 + C = 3 rezultă C = 2.
4. Răspuns final: F(x) = x³ − x² + x + 2. Condiția aleasă fixează exact o primitivă din infinitatea posibilă.
Răspuns: x³−x²+x+2
Exercițiul 14
Calculați (2x + 1) dx.
Vezi rezolvarea
1. Formula Leibniz-Newton spune că integrala definită este F(b) − F(a), unde F este o primitivă.
2. O primitivă a lui 2x + 1 este F(x) = x² + x.
3. Calculăm F(3) = 9 + 3 = 12 și F(1) = 1 + 1 = 2.
4. Răspuns final: 12 − 2 = 10. Constanta C nu contează, pentru că se scade cu ea însăși.
Răspuns: 10
Exercițiul 15
Calculați (3x² − 2x + 5) dx.
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este F(x) = x³ − x² + 5x.
2. F(2) = 8 − 4 + 10 = 14.
3. F(−1) = −1 − 1 − 5 = −7.
4. Răspuns final: 14 − (−7) = 21. Atenție la semnele de la capătul negativ.
Răspuns: 21
Exercițiul 16
Știind că f(x)dx = 4 și f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.
Vezi rezolvarea
1. Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul spune că integrala pe [a, c] este suma integralelor pe [a, b] și [b, c].
2. Aici capătul comun este 1, iar intervalele [0, 1] și [1, 3] se lipesc exact.
3. Adunăm valorile: 4 + 6.
4. Răspuns final: 10.
Răspuns: 10
Exercițiul 17
Calculați (2x − 1)e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Produsul dintre un polinom și o exponențială cere integrarea prin părți, cu e^x ca derivată.
2. ∫ (2x − 1)e^x dx = (2x − 1)e^x − ∫ 2e^x dx = (2x − 3)e^x.
3. La capătul 2: (4 − 3)e² = e². La capătul 0: (0 − 3)·1 = −3.
4. Răspuns final: e² − (−3) = e² + 3.
Răspuns: e²+3
Exercițiul 18
Calculați ln xx dx.
Vezi rezolvarea
1. Observăm că 1x este chiar derivata lui ln x, deci suntem în tiparul ∫ u′·u dx.
2. Cu u = ln x rezultă primitiva u²2 = (ln x)²2.
3. La capătul e: (ln e)²2 = 12. La capătul 1: (ln 1)²2 = 0.
4. Răspuns final: 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 19
Exercițiul 31 semi-ghidat · La f(x) = x² + 2x − 3x² − 2x + 5, de ce nu putem trece direct la fracții simple?
Vezi rezolvarea
1. Descompunerea în fracții simple cere ca numărătorul să aibă gradul strict mai mic decât numitorul.
2. Aici ambele polinoame au gradul 2, deci condiția nu este îndeplinită.
3. Trebuie făcută mai întâi împărțirea cu rest.
4. Abia după aceea partea fracționară poate fi descompusă.
Răspuns: Pentru că numărătorul nu are gradul strict mai mic decât numitorul
Exercițiul 20
Acum efectuați împărțirea și scrieți fracția care rămâne după partea întreagă.
Vezi rezolvarea
1. Cum gradele sunt egale, câtul este raportul coeficienților dominanți, adică 1.
2. Scădem numitorul din numărător: (x² + 2x − 3) − (x² − 2x + 5) = 4x − 8.
3. Deci f(x) = 1 + 4x − 8x² − 2x + 5.
4. Răspuns final: 4x − 8x² − 2x + 5.
Răspuns: 4x−8x²−2x+5
Exercițiul 21
Calculați ∫ 1x(x² + 1) dx.
Vezi rezolvarea
1. Numitorul are gradul 3 și se descompune în x și x² + 1, ultimul fiind ireductibil.
2. Căutăm forma Ax + Bx + Cx² + 1, din care A(x² + 1) + (Bx + C)x = 1.
3. Pentru x = 0 obținem A = 1; comparând coeficienții lui x² rezultă B = −1, iar ai lui x dau C = 0.
4. Integrăm: ln|x| − 12·ln(x² + 1). Răspuns final cu + C.
Răspuns: ln|x|−12ln(x²+1)+C
Exercițiul 22
Calculați xx² + 1 dx.
Vezi rezolvarea
1. Derivata numitorului este 2x, iar la numărător avem x, deci lipsește factorul 2.
2. Completăm: 12· 2xx² + 1 dx, care are primitiva 12·ln(x² + 1).
3. La capătul 1: 12·ln 2. La capătul 0: 12·ln 1 = 0.
4. Răspuns final: 12·ln 2.
Răspuns: 12ln2
Exercițiul 23
Exercițiul 34 semi-ghidat · La x·ln x dx, care factor îl derivăm și care îl integrăm?
Vezi rezolvarea
1. Integrarea prin părți schimbă integrala, nu o rezolvă; are rost doar dacă rezultatul e mai simplu.
2. Derivata lui ln x este 1x, care se simplifică frumos cu puterile lui x.
3. Integrala lui x este x²2, ușor de scris.
4. Alegerea inversă ar cere să integrăm ln x, adică exact problema pe care încercăm s-o evităm.
Răspuns: Derivăm ln x și integrăm x
Exercițiul 24
Acum calculați valoarea integralei.
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm formula: ∫ x·ln x dx = x²2·ln x − ∫ x²2·1x dx = x²2·ln x − x²4.
2. La capătul e: e²2·1 − e²4 = e²4.
3. La capătul 1: 0 − 14 = −14.
4. Răspuns final: e²4 + 14 = e² + 14.
Răspuns: e²+14
Exercițiul 25
Exercițiul 35 ghidat · Vrem ∫ (x² + 5x − 1)e^x dx. Pasul 1: ce metodă alegem și de ce?
Vezi rezolvarea
1. Avem un produs, iar integrarea prin părți este metoda pentru produse.
2. Ca să inițiem formula, unul dintre factori trebuie să fie derivata cuiva: e^x este propria derivată.
3. Schimbarea de variabilă nu ajută: derivata lui x² + 5x − 1 nu apare ca factor.
4. Fracțiile simple se folosesc la funcții raționale, iar aici nu avem un raport.
Răspuns: Integrarea prin părți, pentru că e^x este derivata lui e^x
Exercițiul 26
Pasul 2: aplicați formula o dată. Ce integrală rămâne de calculat?
Vezi rezolvarea
1. Scriem ∫ (x² + 5x − 1)(e^x)′ dx = (x² + 5x − 1)e^x − ∫ (x² + 5x − 1)′e^x dx.
2. Derivata polinomului este 2x + 5.
3. Rămâne deci ∫ (2x + 5)e^x dx.
4. Gradul a scăzut de la 2 la 1: metoda funcționează, chiar dacă nu am terminat.
Răspuns: ∫ (2x + 5)e^x dx
Exercițiul 27
Pasul 3: aplicați formula încă o dată pe integrala rămasă. Cât este ∫ (2x + 5)e^x dx?
Vezi rezolvarea
1. ∫ (2x + 5)e^x dx = (2x + 5)e^x − ∫ 2e^x dx.
2. Integrala rămasă este elementară: ∫ 2e^x dx = 2e^x.
3. Scădem: (2x + 5)e^x − 2e^x = (2x + 3)e^x.
4. Gradul a ajuns la 0, deci ne oprim aici.
Răspuns: (2x + 3)e^x
Exercițiul 28
Pasul 4: scrieți rezultatul final al integralei inițiale.
Vezi rezolvarea
1. Din pasul 2: integrala este (x² + 5x − 1)e^x minus rezultatul de la pasul 3.
2. Scădem: (x² + 5x − 1)e^x − (2x + 3)e^x = (x² + 5x − 1 − 2x − 3)e^x.
3. Reducem termenii: x² + 3x − 4.
4. Verificare prin derivare: (x² + 3x − 4)e^x + (2x + 3)e^x = (x² + 5x − 1)e^x. Răspuns final: (x² + 3x − 4)e^x + C.
Răspuns: (x²+3x−4)e^x+C
Exercițiul 29
Calculați arctg x dx.
Vezi rezolvarea
1. Scriem arctg x = 1·arctg x și integrăm prin părți, cu 1 ca derivată a lui x.
2. ∫ arctg x dx = x·arctg x − ∫ xx² + 1 dx = x·arctg x − 12·ln(x² + 1).
3. La capătul 1: 1·π4 − 12·ln 2. La capătul 0: 0 − 0.
4. Răspuns final: π4 − 12·ln 2.
Răspuns: π4−12ln2
Exercițiul 30
Calculați e^−x dx.
Vezi rezolvarea
1. Derivata lui e^−x este −e^−x, deci o primitivă este −e^−x.
2. La capătul 2: −e⁻². La capătul 0: −1.
3. Scădem: −e⁻² + 1 = 1 − 1e².
4. Răspuns final: e² − 1e².
Răspuns: e²−1e²
Exercițiul 31
Calculați xx dx.
Vezi rezolvarea
1. Scriem integrandul cu exponent rațional: x·x¹² = x³².
2. O primitivă este x⁵²52 = 25·x²x.
3. La capătul 4: 25·16·2 = 645. La capătul 1: 25.
4. Răspuns final: 645 − 25 = 625.
Răspuns: 625
Exercițiul 32
Calculați 1x² + 3 dx.
Vezi rezolvarea
1. Numărătorul este constant și numitorul este exact x² + a², cu a > 0; folosim formula cu arctangentă: ∫ 1x² + a² dx = 1a·arctg (x)a.
2. Aici a = √3, deci primitiva este 13·arctg (x)3.
3. La capătul 3: 13·arctg √3 = 13·π3. La capătul 1: 13·π6.
4. Răspuns final: 13·(π3 − π6) = π63.
Răspuns: π63
Exercițiul 33
Fie f(x) = x² + x + 2x² + 2x + 3. Este orice primitivă a lui f crescătoare pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
1. Dacă F este primitivă a lui f, atunci F′ = f, deci semnul lui f decide monotonia lui F.
2. Numărătorul x² + x + 2 are discriminantul 1 − 8 = −7 < 0, deci este mereu pozitiv.
3. Numitorul x² + 2x + 3 are discriminantul 4 − 12 = −8 < 0, deci este și el mereu pozitiv.
4. Raportul a două cantități pozitive este pozitiv, deci F′ > 0 și F este crescătoare. Răspuns final: da.
Răspuns: da
Exercițiul 34
Fie f(x) = (x² − 3x + 4)e^x. Este orice primitivă a lui f convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi rezolvarea
1. Convexitatea lui F se decide după semnul lui F′′, iar F′ = f, deci F′′ = f′.
2. Derivăm produsul: f′(x) = (2x − 3)e^x + (x² − 3x + 4)e^x = (x² − x + 1)e^x.
3. Discriminantul lui x² − x + 1 este 1 − 4 = −3 < 0, deci paranteza este mereu pozitivă, iar e^x la fel.
4. Rezultă F′′ > 0 pe ℝ, deci F este convexă. Răspuns final: da.
Răspuns: da
Exercițiul 35
Calculați ∫ 1x(ln x + 4) dx.
Vezi rezolvarea
1. Derivata expresiei ln x + 4 este 1x, care se află chiar la numărător, ascunsă în produs.
2. Rescriem integrala ca ∫ (ln x + 4)′ln x + 4 dx.
3. Este tiparul logaritmic cu u = ln x + 4.
4. Răspuns final: ln|ln x + 4| + C.
Răspuns: ln|lnx+4|+C
Exercițiul 36
Fie f(x) = 2xx² + 1 și F(x) = ln(x² + 1). Calculați f(x)·F(x) dx.
Vezi rezolvarea
1. Verificăm întâi că F este primitivă a lui f: derivata lui ln(x² + 1) este 2xx² + 1, deci F′ = f.
2. Atunci produsul f·F este de forma F′·F, cu primitiva F²2.
3. La capătul 1: (ln 2)²2. La capătul 0: (ln 1)²2 = 0.
4. Răspuns final: (ln 2)²2.
Răspuns: (ln2)²2
Exercițiul 37
Știind că f(x)dx = 3 și g(x)dx = 5, calculați (2f(x) − g(x))dx.
Vezi rezolvarea
1. Liniaritatea permite desfacerea integralei sumei și scoaterea constantelor în față.
2. (2f − g) dx = 2· f dx − g dx.
3. Înlocuim valorile: 2·3 − 5.
4. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 38
Regiunea dintre y=x și Ox, pentru 0≤x≤2, se rotește în jurul lui Ox. Află volumul.
Vezi rezolvarea
1. V=π x²dx. Secțiunile sunt discuri de rază f(x)=x; aria lor este πx².
2. x²dx==83. Integrala unei puteri x² este x³3. La limita inferioară obținem 0.
3. V=8π3. Înmulțim integrala cu π. Rezultatul reprezintă unități cubice.
Răspuns: V=8π3
Exercițiul 39
Află primitiva F a lui f(x)=6x²−4x, știind că F(0)=5.
Vezi rezolvarea
1. F(x)=2x³−2x²+C. La puteri adăugăm 1 exponentului și împărțim la noul exponent: 63=2 și −42=−2.
2. F(0)=C=5. Termenii cu x se anulează la x=0.
3. F(x)=2x³−2x²+5. F′(x)=6x²−4x și F(0)=5. Ambele condiții sunt respectate.
Răspuns: F(x)=2x³−2x²+5
Exercițiul 40
Calculează integrala de la 1 la 3 din 2x+1.
Vezi rezolvarea
1. F(x)=x²+x. Derivata lui x²+x este 2x+1.
2. F(3)=12; F(1)=2. F(3)=9+3=12 și F(1)=1+1=2.
3. F(3)−F(1)=10. Scădem valoarea de la limita inferioară din cea de la limita superioară.
Răspuns: F(3)−F(1)=10
Exercițiul 41
Calculează integrala de la 0 la 1 din xe^x.
Vezi rezolvarea
1. u=x, du=dx; dv=e^xdx, v=e^x. Alegem polinomul ca u, fiindcă derivarea îi reduce gradul.
2. xe^xdx=− e^xdx. Formula este ∫u dv=uv−∫v du, cu minus.
3. e−(e−1)=1. Primul termen este e−0=e; integrala rămasă este e−1.
Răspuns: e−(e−1)=1
Exercițiul 42
Calculează integrala de la 0 la 1 din 2x+1(x²+x+1)².
Vezi rezolvarea
1. u=x²+x+1; du=(2x+1)dx. Numărătorul este exact derivata expresiei din numitor.
2. u: 1→3; ∫u⁻²du=−1u. La x=0 avem u=1; la x=1, u=3. Derivata lui −1u este 1u².
3. −13−(−1)=23. Scăderea valorii negative de la limita inferioară devine adunare.
Răspuns: −13−(−1)=23
Exercițiul 43
Calculează aria dintre graficele y=x și y=x² pe intervalul [0,1].
Vezi rezolvarea
1. x≥x² pe [0,1]. x−x²=x(1−x)≥0 pe interval.
2. A=(x−x²)dx; F(x)=x²2−x³3. Aria este integrala funcției de sus minus funcția de jos.
3. A=12−13=16. Valoarea primitivei la 0 este 0; aducem fracțiile la numitorul 6.
Răspuns: A=12−13=16
Exercițiul 44
Calculează 15x² dx.
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este 5x³.
2. F(1) = 5, iar F(0) = 0.
3. Integrala este 5 − 0 = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 45
Calculează 18x² dx.
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este 6x³.
2. F(1) = 6, iar F(0) = 0.
3. Integrala este 6 − 0 = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 46
Calculează 6x dx.
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este 6ln x, pentru x > 0.
2. F(e) = 6, F(1) = 0.
3. Diferența este 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 47
F′(x) = 12x și F(0) = 3. Calculează F(1).
Vezi rezolvarea
1. F(x) = 6x² + C.
2. F(0) = C = 3.
3. F(1) = 6 + 3 = 9.
Răspuns: 9
Exercițiul 48
Calculează 5x dx.
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este 5x²2.
2. F(2) = 10, F(0) = 0.
3. Integrala este 10.
Răspuns: 10
Exercițiul 49
Calculează 6x dx.
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este 6x²2.
2. F(2) = 12, F(0) = 0.
3. Integrala este 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 50
Scrie 24x² + 1 dx sub forma kπ. Cât este k?
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este 24arctg x.
2. Diferența este 24(π4 − 0).
3. Rezultatul este 6π, deci k = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 51
În descompunerea 6(x + 2)(x + 3) = Ax + 2 + Bx + 3, află A.
Vezi rezolvarea
1. A(x + 3) + B(x + 2) = 6.
2. Pentru x = −2 rămâne A·1 = 6.
3. A = 6; pentru x = −3 rezultă B = −6.
Răspuns: 6
Exercițiul 52
În 5x(x² + 1) = Ax + Bx + Cx² + 1, află A.
Vezi rezolvarea
1. A(x² + 1) + (Bx + C)x = 5.
2. Coeficienții dau A + B = 0 și C = 0.
3. Termenul constant dă A = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 53
În 6x(x² + 1) = Ax + Bx + Cx² + 1, află A.
Vezi rezolvarea
1. A(x² + 1) + (Bx + C)x = 6.
2. Coeficienții dau A + B = 0 și C = 0.
3. Termenul constant dă A = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 54
Calculează 5x·e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Prin părți, o primitivă este 5(x − 1)e^x.
2. F(1) = 0, iar F(0) = −5.
3. Diferența este 0 − (−5) = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 55
Calculează 6x·e^x dx.
Vezi rezolvarea
1. Prin părți, o primitivă este 6(x − 1)e^x.
2. F(1) = 0, iar F(0) = −6.
3. Diferența este 0 − (−6) = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 56
10arctg x dx = k(π2 − ln 2). Află k.
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este 10x arctg x − 5ln(1 + x²).
2. Evaluarea în capete dă 5π2 − 5ln 2.
3. Factorizăm: k = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 57
12arctg x dx = k(π2 − ln 2). Află k.
Vezi rezolvarea
1. O primitivă este 12x arctg x − 6ln(1 + x²).
2. Evaluarea în capete dă 6π2 − 6ln 2.
3. Factorizăm: k = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 58
G(x) = ∫₀^x (t² + 6)dt. Calculează G′(0).
Vezi rezolvarea
1. Integrandul este continuu.
2. G′(x) = x² + 6.
3. G′(0) = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 59
Aria dintre y = 36x și y = 36x² pe [0, 1] este A. Află A.
Vezi rezolvarea
1. Diferența este 36x(1 − x) ≥ 0.
2. Primitiva este 18x² − 12x³.
3. Aria este 18 − 12 = 6.
Răspuns: 6

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (32)

1. Verificarea unei primitive
Fie f(x) = 4x³ − 2x + 1 și F(x) = x⁴ − x² + x − 13. Este F o primitivă a lui f? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsul
Da: F′(x) = 4x³ − 2x + 1 = f(x).
2. Liniaritate
Calculați ∫ (2x + 5) dx.
Vezi răspunsul
x² + 5x + C
3. Polinom
Calculați ∫ (6x² − 4x − 1) dx.
Vezi răspunsul
2x³ − 2x² − x + C
4. Logaritm
Calculați ∫ 1x dx pe intervalul (0, ∞).
Vezi răspunsul
ln x + C
5. Exponent negativ
Calculați ∫ 1x² dx.
Vezi răspunsul
−1x + C
6. Radical
Calculați ∫ x dx.
Vezi răspunsul
(23)x√x + C
7. Exponențială compusă
Calculați ∫ e^3x dx.
Vezi răspunsul
e^3x3 + C
8. Bază oarecare
Calculați ∫ 2^x dx.
Vezi răspunsul
2^xln 2 + C
9. Numitor de gradul întâi
Calculați ∫ 1x + 1 dx.
Vezi răspunsul
ln|x + 1| + C
10. Coeficient la numitor
Calculați ∫ 12x + 5 dx.
Vezi răspunsul
(12) ln|2x + 5| + C
11. Împărțire termen cu termen
Calculați ∫ x² − 3x + 1x dx.
Vezi răspunsul
∫ (x − 3 + 1x) dx = x²2 − 3x + ln|x| + C
12. Împărțirea cu rest
Calculați ∫ x − 1x + 1 dx.
Vezi răspunsul
x − 1x + 1 = 1 − 2x + 1, deci primitiva este x − 2 ln|x + 1| + C.
13. Determinarea constantei
Determinați primitiva F a funcției f(x) = 3x² − 2x + 1 cu proprietatea F(1) = 3.
Vezi răspunsul
F(x) = x³ − x² + x + C, iar F(1) = 1 + C = 3 dă C = 2: F(x) = x³ − x² + x + 2.
14. Leibniz-Newton
Calculați (2x + 1) dx.
Vezi răspunsul
[x² + x] de la 1 la 3 = 12 − 2 = 10
15. Interval cu capăt negativ
Calculați (3x² − 2x + 5) dx.
Vezi răspunsul
[x³ − x² + 5x] de la −1 la 2 = 14 − (−7) = 21
16. Aditivitate
Știind că f(x)dx = 4 și f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.
Vezi răspunsul
4 + 6 = 10
17. Integrare prin părți
Calculați (2x − 1)e^x dx.
Vezi răspunsul
O primitivă este (2x − 3)e^x, deci integrala = e² − (−3) = e² + 3.
18. Schimbare de variabilă
Calculați ln xx dx.
Vezi răspunsul
[(ln x)²2] de la 1 la e = 12
31. Împărțirea cu rest
Scrieți funcția f(x) = x² + 2x − 3x² − 2x + 5 sub forma unui polinom plus o fracție cu numărătorul de grad mai mic. Precizați fracția rămasă.
Vezi răspunsul
f(x) = 1 + 4x − 8x² − 2x + 5; fracția rămasă este 4x − 8x² − 2x + 5.
32. Fracții simple cu numitor de grad 3
Calculați ∫ 1x(x² + 1) dx.
Vezi răspunsul
1x(x² + 1) = 1x − xx² + 1, deci primitiva este ln|x| − (12) ln(x² + 1) + C.
33. Substituție
Calculați xx² + 1 dx.
Vezi răspunsul
[(12) ln(x² + 1)] de la 0 la 1 = (12) ln 2
34. Prin părți cu logaritm
Calculați x·ln x dx.
Vezi răspunsul
O primitivă este (x²2) ln x − x²4, deci integrala = e² + 14.
35. Părți aplicate de două ori
Calculați ∫ (x² + 5x − 1)e^x dx.
Vezi răspunsul
e^x(x² + 3x − 4) + C
36. Arctangentă prin părți
Calculați arctg x dx.
Vezi răspunsul
[x arctg x − (12) ln(1 + x²)] de la 0 la 1 = π4 − (12) ln 2
37. Exponențială negativă
Calculați e^−x dx.
Vezi răspunsul
[−e^−x] de la 0 la 2 = 1 − e⁻²
38. Radical la integrală definită
Calculați xx dx.
Vezi răspunsul
[(25) x⁵²] de la 1 la 4 = (25)(32 − 1) = 625
39. Numitor fără rădăcini reale
Calculați 1x² + 3 dx.
Vezi răspunsul
(1√3)[arctg(x√3)] de la 1 la 3 = (1√3)(π3 − π6) = π√318
40. Primitivă crescătoare
Fie f(x) = x² + x + 2x² + 2x + 3. Este orice primitivă a lui f crescătoare pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsul
Da: numărătorul și numitorul au Δ < 0 și coeficientul dominant pozitiv, deci f > 0 și orice primitivă este crescătoare.
41. Primitivă convexă
Fie f(x) = (x² − 3x + 4)e^x. Este orice primitivă a lui f convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsul
Da: F″ = f′(x) = e^x(x² − x + 1) > 0 pe ℝ.
42. Substituție cu logaritm la numitor
Calculați ∫ 1x(ln x + 4) dx.
Vezi răspunsul
ln|ln x + 4| + C
43. Integrală cu primitivă dată
Fie f(x) = 2xx² + 1 și F(x) = ln(x² + 1). Calculați f(x)·F(x) dx.
Vezi răspunsul
f = F′, deci integrala = [F²2] de la 0 la 1 = (ln 2)²2.
44. Liniaritatea integralei definite
Știind că f(x)dx = 3 și g(x)dx = 5, calculați (2f(x) − g(x))dx.
Vezi răspunsul
2 · 3 − 5 = 1