M2 · Științe⏱ 3 sesiuni
M2·∫

Teorie înainte de exerciții

Primitive, integrala definită și metodele de calcul · nivel M2

Lecția M2 pornește de la primitivele uzuale și ajunge la integrarea prin părți repetată, schimbarea de variabilă și funcțiile raționale.

La profilul Științe integrala definită se introduce direct prin formula Leibniz-Newton, fără sume Riemann, iar la funcții raționale numitorul poate ajunge la gradul 4.
1

Ce este o primitivă

A integra înseamnă a merge invers față de derivare: pornim de la f și căutăm funcția F a cărei derivată este f. Pentru că derivata oricărei constante este zero, nu există o singură primitivă, ci o familie întreagă, care diferă printr-o constantă. De aceea rezultatul se scrie mereu cu + C.

F este primitivă a lui f ⇔ F este derivabilă și F′ = f
∫ f(x)dx = F(x) + C, unde C este o constantă reală
Verificarea unei primitive se face prin derivare
Două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă
  • Nu uita constanta: fără ea răspunsul este incomplet.
  • Orice rezultat se poate controla derivând înapoi.
  • Constanta se determină doar când problema dă o condiție de tipul F(x0) = y0.
2

Primitivele uzuale și liniaritatea

Aproape toate integralele de la examen se reduc la tabelul de mai jos, combinat cu liniaritatea. Cea mai frecventă capcană este exponentul −1: acolo formula puterilor nu funcționează, pentru că ar da numitor nul, iar rezultatul este logaritm.

∫ xn dx = xn+1n + 1 + C, pentru n ≠ −1
∫ 1x dx = ln|x| + C — singura excepție de la regula puterilor
∫ ex dx = ex + C și ∫ ax dx = axln a + C
∫ sin x dx = −cos x + C și ∫ cos x dx = sin x + C
∫ 1x2 + a2 dx = 1a·arctg xa + C
Liniaritate: ∫ (αf + βg) dx = α∫ f dx + β∫ g dx
  • Regula puterilor merge și pentru exponenți negativi sau raționali: √x = x^(12).
  • Un numitor de gradul 2 nu dă logaritm, ci putere negativă sau arctangentă.
  • La un raport cu numitor monom, împarte întâi termen cu termen.
3

Integrala definită și formula Leibniz-Newton

Integrala definită este un număr, nu o familie de funcții. Se calculează luând o primitivă oarecare și scăzând valorile ei în capete. Constanta dispare, pentru că se scade cu ea însăși — de aceea la integrala definită nu se scrie + C.

f(x)dx = F(b) − F(a), unde F este o primitivă a lui f
Liniaritate: (αf + βg) dx = α f dx + β g dx
Aditivitate: f dx = f dx + f dx
Monotonie: dacă f ≤ g pe [a, b], atunci f dx ≤ g dx
Dacă m ≤ f(x) ≤ M pe [a, b], atunci m(b − a) ≤ f dx ≤ M(b − a)
  • La integrala definită nu se pune constantă.
  • Atenție la semne când un capăt este negativ.
  • Monotonia rezolvă cerințele de tipul „arătați că integrala este pozitivă”, fără niciun calcul.
4

Integrarea prin părți

Formula vine direct din regula de derivare a produsului și se folosește la integrarea produselor. Un lucru important de înțeles: formula nu rezolvă integrale, ci le schimbă. Are rost s-o aplici numai dacă integrala nouă este semnificativ mai simplă decât cea de la care ai plecat.

∫ f′(x)·g(x) dx = f(x)·g(x) − ∫ f(x)·g′(x) dx
Tipar cu exponențială: ∫ P(x)·ex dx, cu ex ca derivată
Tipar cu logaritm: ∫ P(x)·ln x dx, cu ln x derivat
Trucul cu 1: ∫ ln x dx = ∫ (x)′·ln x dx = x·ln x − x + C
Integrare ciclică: la ∫ ex·sin x dx integrala reapare și se izolează
  • Unul dintre factori trebuie să fie derivata cuiva, ca să poți iniția formula.
  • La polinom înmulțit cu exponențială, derivează polinomul: gradul scade la fiecare pas.
  • La logaritm și arctangentă, înmulțește cu 1 și derivează funcția complicată.
5

Schimbarea de variabilă

Ideea este să recunoști, ascunsă în integrandă, derivata unei funcții interioare. Cel mai des tipar de la examen este raportul în care numărătorul este derivata numitorului: acolo rezultatul este întotdeauna logaritm. Dacă factorul nu se potrivește exact, îl completezi și compensezi cu o constantă în față.

∫ u′u dx = ln|u| + C
∫ u′·eu dx = eu + C
∫ u′·un dx = un+1n + 1 + C, pentru n ≠ −1
Completarea factorului: ∫ x2x3 + 2 dx = 13·∫ 3x2x3 + 2 dx
  • Derivează numitorul și compară-l cu numărătorul: e primul lucru de verificat.
  • Constantele lipsă se completează liber, compensând în față.
  • Dacă numitorul este mereu pozitiv, modulul din logaritm nu mai este necesar.
6

Funcții raționale și fracții simple

La un raport de polinoame, prima verificare este gradul: numărătorul trebuie să aibă gradul strict mai mic decât numitorul. Dacă nu, se face întâi împărțirea cu rest. Abia apoi numitorul se descompune, iar fracția se rupe în fracții simple. Programa profilului tău cere numitori până la gradul 4.

Împărțirea cu rest: P(x)Q(x) = C(x) + R(x)Q(x), cu grad R < grad Q
Peste ℝ un polinom este ireductibil doar dacă are gradul 1, sau gradul 2 cu discriminant negativ
Factor de gradul întâi: îi corespunde Ax − a
Factor de gradul doi ireductibil: îi corespunde Ax + Bx2 + px + q
Exemplu: 1(x + 1)(x + 2) = 1x + 1 − 1x + 2
  • Verifică întâi gradele; sărirea acestui pas este greșeala numărul unu.
  • Constantele se află dând lui x valorile care anulează pe rând factorii.
  • Aici nu se folosesc numere complexe: un factor cu discriminant negativ rămâne ca atare.
7

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · integrare prin părți repetată

Calculați (x + 2)ex dx.

  1. 1.Pasul 1 — recunoaștem tiparul: produs între un polinom și o exponențială, deci integrare prin părți.
  2. 2.Pasul 2 — alegem ex ca derivată, pentru că este propria sa derivată, și derivăm polinomul.
  3. 3.Pasul 3 — aplicăm formula: ∫ (x + 2)ex dx = (x + 2)ex − ∫ 1·ex dx.
  4. 4.Pasul 4 — integrala rămasă este elementară: ∫ ex dx = ex.
  5. 5.Pasul 5 — obținem primitiva F(x) = (x + 2)ex − ex = (x + 1)ex.
  6. 6.Pasul 6 — aplicăm Leibniz-Newton. La capătul 1: 2e. La capătul 0: 1·1 = 1.
  7. 7.Pasul 7 — rezultatul este 2e − 1. Verificare prin derivare: ((x + 1)ex)′ = ex + (x + 1)ex = (x + 2)ex.
8

Algoritmul universal în 6 pași

  • Verifică dacă integranda este deja în tabelul primitivelor uzuale.
  • Dacă e o sumă, desface-o prin liniaritate și tratează fiecare termen separat.
  • Dacă e un raport de polinoame, compară gradele și fă întâi împărțirea cu rest.
  • Dacă e un produs, aplică integrarea prin părți și verifică dacă integrala nouă e mai simplă.
  • Dacă la numărător apare derivata unei funcții din integrandă, folosește schimbarea de variabilă.
  • Verifică rezultatul derivând; la integrala definită, înlocuiește capetele și nu scrie constantă.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Științe · 32 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Verificarea unei primitiveM2 · Științe

    Fie f(x) = 4x3 − 2x + 1 și F(x) = x4 − x2 + x − 13. Este F o primitivă a lui f? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: F′(x) = 4x3 − 2x + 1 = f(x).

  2. Ex. 2LiniaritateM2 · Științe

    Calculați ∫ (2x + 5) dx.

    Vezi răspunsul

    x2 + 5x + C

  3. Ex. 3PolinomM2 · Științe

    Calculați ∫ (6x2 − 4x − 1) dx.

    Vezi răspunsul

    2x3 − 2x2 − x + C

  4. Ex. 4LogaritmM2 · Științe

    Calculați ∫ 1x dx pe intervalul (0, ∞).

    Vezi răspunsul

    ln x + C

  5. Ex. 5Exponent negativM2 · Științe

    Calculați ∫ 1x2 dx.

    Vezi răspunsul

    −1x + C

  6. Ex. 6RadicalM2 · Științe

    Calculați ∫ x dx.

    Vezi răspunsul

    (23)x√x + C

  7. Ex. 7Exponențială compusăM2 · Științe

    Calculați ∫ e^(3x) dx.

    Vezi răspunsul

    e^3x3 + C

  8. Ex. 8Bază oarecareM2 · Științe

    Calculați ∫ 2x dx.

    Vezi răspunsul

    2x/ln 2 + C

  9. Ex. 9Numitor de gradul întâiM2 · Științe

    Calculați ∫ 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    ln|x + 1| + C

  10. Ex. 10Coeficient la numitorM2 · Științe

    Calculați ∫ 12x + 5 dx.

    Vezi răspunsul

    (12) ln|2x + 5| + C

  11. Ex. 11Împărțire termen cu termenM2 · Științe

    Calculați ∫ x2 − 3x + 1x dx.

    Vezi răspunsul

    ∫ (x − 3 + 1x) dx = x22 − 3x + ln|x| + C

  12. Ex. 12Împărțirea cu restM2 · Științe

    Calculați ∫ x − 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    x − 1x + 1 = 1 − 2x + 1, deci primitiva este x − 2 ln|x + 1| + C.

  13. Ex. 13Determinarea constanteiM2 · Științe

    Determinați primitiva F a funcției f(x) = 3x2 − 2x + 1 cu proprietatea F(1) = 3.

    Vezi răspunsul

    F(x) = x3 − x2 + x + C, iar F(1) = 1 + C = 3 dă C = 2: F(x) = x3 − x2 + x + 2.

  14. Ex. 14Leibniz-NewtonM2 · Științe

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + x] de la 1 la 3 = 12 − 2 = 10

  15. Ex. 15Interval cu capăt negativM2 · Științe

    Calculați (3x2 − 2x + 5) dx.

    Vezi răspunsul

    [x3 − x2 + 5x] de la −1 la 2 = 14 − (−7) = 21

  16. Ex. 16AditivitateM2 · Științe

    Știind că f(x)dx = 4 și f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.

    Vezi răspunsul

    4 + 6 = 10

  17. Ex. 17Integrare prin părțiM2 · Științe

    Calculați (2x − 1)ex dx.

    Vezi răspunsul

    O primitivă este (2x − 3)ex, deci integrala = e2 − (−3) = e2 + 3.

  18. Ex. 18Schimbare de variabilăM2 · Științe

    Calculați ln xx dx.

    Vezi răspunsul

    [(ln x)22] de la 1 la e = 12

  19. Ex. 31Împărțirea cu restM2 · Științe

    Scrieți funcția f(x) = x2 + 2x − 3x2 − 2x + 5 sub forma unui polinom plus o fracție cu numărătorul de grad mai mic. Precizați fracția rămasă.

    Vezi răspunsul

    f(x) = 1 + 4x − 8x2 − 2x + 5; fracția rămasă este 4x − 8x2 − 2x + 5.

  20. Ex. 32Fracții simple cu numitor de grad 3M2 · Științe

    Calculați ∫ 1x(x2 + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    1x(x2 + 1) = 1x − xx2 + 1, deci primitiva este ln|x| − (12) ln(x2 + 1) + C.

  21. Ex. 33SubstituțieM2 · Științe

    Calculați xx2 + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    [(12) ln(x2 + 1)] de la 0 la 1 = (12) ln 2

  22. Ex. 34Prin părți cu logaritmM2 · Științe

    Calculați x·ln x dx.

    Vezi răspunsul

    O primitivă este (x22) ln x − x24, deci integrala = e2 + 14.

  23. Ex. 35Părți aplicate de două oriM2 · Științe

    Calculați ∫ (x2 + 5x − 1)ex dx.

    Vezi răspunsul

    ex(x2 + 3x − 4) + C

  24. Ex. 36Arctangentă prin părțiM2 · Științe

    Calculați arctg x dx.

    Vezi răspunsul

    [x arctg x − (12) ln(1 + x2)] de la 0 la 1 = π4 − (12) ln 2

  25. Ex. 37Exponențială negativăM2 · Științe

    Calculați e^(−x) dx.

    Vezi răspunsul

    [−e^(−x)] de la 0 la 2 = 1 − e−2

  26. Ex. 38Radical la integrală definităM2 · Științe

    Calculați xx dx.

    Vezi răspunsul

    [(25) x^(52)] de la 1 la 4 = (25)(32 − 1) = 625

  27. Ex. 39Numitor fără rădăcini realeM2 · Științe

    Calculați 1x2 + 3 dx.

    Vezi răspunsul

    (1√3)[arctg(x√3)] de la 1 la 3 = (1√3)(π3 − π6) = π√318

  28. Ex. 40Primitivă crescătoareM2 · Științe

    Fie f(x) = x2 + x + 2x2 + 2x + 3. Este orice primitivă a lui f crescătoare pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: numărătorul și numitorul au Δ < 0 și coeficientul dominant pozitiv, deci f > 0 și orice primitivă este crescătoare.

  29. Ex. 41Primitivă convexăM2 · Științe

    Fie f(x) = (x2 − 3x + 4)ex. Este orice primitivă a lui f convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: F″ = f′(x) = ex(x2 − x + 1) > 0 pe ℝ.

  30. Ex. 42Substituție cu logaritm la numitorM2 · Științe

    Calculați ∫ 1x(ln x + 4) dx.

    Vezi răspunsul

    ln|ln x + 4| + C

  31. Ex. 43Integrală cu primitivă datăM2 · Științe

    Fie f(x) = 2xx2 + 1 și F(x) = ln(x2 + 1). Calculați f(x)·F(x) dx.

    Vezi răspunsul

    f = F′, deci integrala = [F22] de la 0 la 1 = (ln 2)22.

  32. Ex. 44Liniaritatea integralei definiteM2 · Științe

    Știind că f(x)dx = 3 și g(x)dx = 5, calculați (2f(x) − g(x))dx.

    Vezi răspunsul

    2 · 3 − 5 = 1

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.