M1 · Mate-Info⏱ 3 sesiuni

M1·∫

Teorie înainte de exerciții

Primitive, integrala definită și teoremele ei · nivel M1

Lecția M1 acoperă tot capitolul: de la definiția primitivei și tabelul uzual până la sume Riemann, teorema de medie și integrarea ciclică prin părți.

Programa M1 este singura care cere diviziuni, sume Riemann, definiția integrabilității, teorema de medie și teorema de existență a primitivelor.

Ce este o primitivă

A integra înseamnă a merge invers față de derivare: pornim de la f și căutăm funcția F a cărei derivată este f. Pentru că derivata oricărei constante este zero, nu există o singură primitivă, ci o familie întreagă, care diferă printr-o constantă. De aceea rezultatul se scrie mereu cu + C.

F este primitivă a lui f ⇔ F este derivabilă și F′ = f

∫ f(x)dx = F(x) + C, unde C este o constantă reală

Verificarea unei primitive se face prin derivare

Două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă

Nu uita constanta: fără ea răspunsul este incomplet.
Orice rezultat se poate controla derivând înapoi.
Constanta se determină doar când problema dă o condiție de tipul F(x₀) = y₀.

Primitivele uzuale și liniaritatea

Aproape toate integralele de la examen se reduc la tabelul de mai jos, combinat cu liniaritatea. Cea mai frecventă capcană este exponentul −1: acolo formula puterilor nu funcționează, pentru că ar da numitor nul, iar rezultatul este logaritm.

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C, pentru n ≠ −1

∫ 1x dx = ln|x| + C — singura excepție de la regula puterilor

∫ e^x dx = e^x + C și ∫ a^x dx = a^xln a + C

∫ sin x dx = −cos x + C și ∫ cos x dx = sin x + C

∫ 1x² + a² dx = 1a·arctg xa + C

Liniaritate: ∫ (αf + βg) dx = α∫ f dx + β∫ g dx

Regula puterilor merge și pentru exponenți negativi sau raționali: √x = x^(12).
Un numitor de gradul 2 nu dă logaritm, ci putere negativă sau arctangentă.
La un raport cu numitor monom, împarte întâi termen cu termen.

Integrala definită și formula Leibniz-Newton

Integrala definită este un număr, nu o familie de funcții. Se calculează luând o primitivă oarecare și scăzând valorile ei în capete. Constanta dispare, pentru că se scade cu ea însăși — de aceea la integrala definită nu se scrie + C.

f(x)dx = F(b) − F(a), unde F este o primitivă a lui f

Liniaritate: (αf + βg) dx = α f dx + β g dx

Aditivitate: f dx = f dx + f dx

Monotonie: dacă f ≤ g pe [a, b], atunci f dx ≤ g dx

Dacă m ≤ f(x) ≤ M pe [a, b], atunci m(b − a) ≤ f dx ≤ M(b − a)

La integrala definită nu se pune constantă.
Atenție la semne când un capăt este negativ.
Monotonia rezolvă cerințele de tipul „arătați că integrala este pozitivă”, fără niciun calcul.

Diviziuni, sume Riemann și integrabilitate

Înainte de formula Leibniz-Newton, integrala se definește ca limită a unor sume de arii de dreptunghiuri. Împărțim intervalul în bucăți, alegem în fiecare câte un punct și adunăm ariile. Cu cât bucățile sunt mai mici, cu atât aproximarea este mai bună.

Diviziune a lui [a, b]: a = x₀ < x₁ < … < x_n = b

Norma diviziunii ‖Δ‖: cea mai mare dintre lungimile subintervalelor

Sumă Riemann: σ = Σ f(ξ_i)·(x_i − x_i−1), cu ξ_i punct intermediar

f este integrabilă dacă sumele Riemann au limită când ‖Δ‖ → 0

Orice funcție continuă pe [a, b] este integrabilă

Norma măsoară finețea diviziunii, nu numărul de subintervale.
Punctele intermediare se pot alege oricum; la limită rezultatul nu depinde de alegere.
Interpretarea geometrică: suma Riemann aproximează aria de sub grafic.

Teorema de medie și existența primitivelor

Două rezultate teoretice apar constant în subiectele de Mate-Info. Primul spune că o funcție continuă atinge undeva în interval chiar valoarea ei medie. Al doilea garantează că orice funcție continuă are primitive, ceea ce justifică folosirea formulei Leibniz-Newton.

Teorema de medie: există c ∈ [a, b] cu f(x)dx = f(c)·(b − a)

Teorema de existență: f continuă pe interval ⇒ f admite primitive

Primitiva construită: F(x) = ∫_a^x f(t)dt, cu F′ = f

Consecință: dacă G(x) = ∫₀^x f(t)dt, atunci G(0) = 0 și G′(x) = f(x)

Teorema de medie leagă integrala de o singură valoare a funcției.
Continuitatea este suficientă pentru existența primitivelor, dar nu necesară.
Nu confunda teorema de medie pentru integrale cu teorema lui Rolle sau Lagrange.

Integrarea prin părți

Formula vine direct din regula de derivare a produsului și se folosește la integrarea produselor. Un lucru important de înțeles: formula nu rezolvă integrale, ci le schimbă. Are rost s-o aplici numai dacă integrala nouă este semnificativ mai simplă decât cea de la care ai plecat.

∫ f′(x)·g(x) dx = f(x)·g(x) − ∫ f(x)·g′(x) dx

Tipar cu exponențială: ∫ P(x)·e^x dx, cu e^x ca derivată

Tipar cu logaritm: ∫ P(x)·ln x dx, cu ln x derivat

Trucul cu 1: ∫ ln x dx = ∫ (x)′·ln x dx = x·ln x − x + C

Integrare ciclică: la ∫ e^x·sin x dx integrala reapare și se izolează

Unul dintre factori trebuie să fie derivata cuiva, ca să poți iniția formula.
La polinom înmulțit cu exponențială, derivează polinomul: gradul scade la fiecare pas.
La logaritm și arctangentă, înmulțește cu 1 și derivează funcția complicată.

Schimbarea de variabilă

Ideea este să recunoști, ascunsă în integrandă, derivata unei funcții interioare. Cel mai des tipar de la examen este raportul în care numărătorul este derivata numitorului: acolo rezultatul este întotdeauna logaritm. Dacă factorul nu se potrivește exact, îl completezi și compensezi cu o constantă în față.

∫ u′u dx = ln|u| + C

∫ u′·e^u dx = e^u + C

∫ u′·uⁿ dx = uⁿ⁺¹n + 1 + C, pentru n ≠ −1

Completarea factorului: ∫ x²x³ + 2 dx = 13·∫ 3x²x³ + 2 dx

Derivează numitorul și compară-l cu numărătorul: e primul lucru de verificat.
Constantele lipsă se completează liber, compensând în față.
Dacă numitorul este mereu pozitiv, modulul din logaritm nu mai este necesar.

Funcții raționale și fracții simple

La un raport de polinoame, prima verificare este gradul: numărătorul trebuie să aibă gradul strict mai mic decât numitorul. Dacă nu, se face întâi împărțirea cu rest. Abia apoi numitorul se descompune, iar fracția se rupe în fracții simple. Programa profilului tău cere numitori până la gradul 4.

Împărțirea cu rest: P(x)Q(x) = C(x) + R(x)Q(x), cu grad R < grad Q

Peste ℝ un polinom este ireductibil doar dacă are gradul 1, sau gradul 2 cu discriminant negativ

Factor de gradul întâi: îi corespunde Ax − a

Factor de gradul doi ireductibil: îi corespunde Ax + Bx² + px + q

Exemplu: 1(x + 1)(x + 2) = 1x + 1 − 1x + 2

Verifică întâi gradele; sărirea acestui pas este greșeala numărul unu.
Constantele se află dând lui x valorile care anulează pe rând factorii.
Aici nu se folosesc numere complexe: un factor cu discriminant negativ rămâne ca atare.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · estimare fără calculul integralei

Fie f : [0, 1] → ℝ, f(x) = 1x + 1 − 1x + 2. Arătați că 16 ≤ f(x) dx ≤ 12.

1.Pasul 1 — observăm cerința: nu ni se cere valoarea integralei, ci o încadrare, deci folosim monotonia.
2.Pasul 2 — aducem funcția la o formă mai comodă: f(x) = 1(x + 1)(x + 2).
3.Pasul 3 — studiem monotonia: pe [0, 1] atât x + 1 cât și x + 2 cresc, deci produsul crește, iar f, fiind inversul lui, scade.
4.Pasul 4 — calculăm valorile la capete: f(0) = 11·2 = 12, iar f(1) = 12·3 = 16.
5.Pasul 5 — cum f este descrescătoare, avem 16 ≤ f(x) ≤ 12 pentru orice x din [0, 1].
6.Pasul 6 — aplicăm proprietatea de încadrare: m(b − a) ≤ f ≤ M(b − a), cu b − a = 1.
7.Pasul 7 — rezultă 16 ≤ f(x) dx ≤ 12, ceea ce trebuia demonstrat.
8.Observație: valoarea exactă este ln 43 ≈ 0,2877, care într-adevăr se află între 0,1666 și 0,5.

Algoritmul universal în 6 pași

Verifică dacă integranda este deja în tabelul primitivelor uzuale.
Dacă e o sumă, desface-o prin liniaritate și tratează fiecare termen separat.
Dacă e un raport de polinoame, compară gradele și fă întâi împărțirea cu rest.
Dacă e un produs, aplică integrarea prin părți și verifică dacă integrala nouă e mai simplă.
Dacă la numărător apare derivata unei funcții din integrandă, folosește schimbarea de variabilă.
Verifică rezultatul derivând; la integrala definită, înlocuiește capetele și nu scrie constantă.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 34 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Verificarea unei primitiveM1 · Mate-Info
Fie f(x) = 4x³ − 2x + 1 și F(x) = x⁴ − x² + x − 13. Este F o primitivă a lui f? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: F′(x) = 4x³ − 2x + 1 = f(x).
Ex. 2LiniaritateM1 · Mate-Info
Calculați ∫ (2x + 5) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² + 5x + C
Ex. 3PolinomM1 · Mate-Info
Calculați ∫ (6x² − 4x − 1) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x³ − 2x² − x + C
Ex. 4LogaritmM1 · Mate-Info
Calculați ∫ 1x dx pe intervalul (0, ∞).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ln x + C
Ex. 5Exponent negativM1 · Mate-Info
Calculați ∫ 1x² dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−1x + C
Ex. 6RadicalM1 · Mate-Info
Calculați ∫ x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(23)x√x + C
Ex. 7Exponențială compusăM1 · Mate-Info
Calculați ∫ e^(3x) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
e^3x3 + C
Ex. 8Bază oarecareM1 · Mate-Info
Calculați ∫ 2^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2^x/ln 2 + C
Ex. 9Numitor de gradul întâiM1 · Mate-Info
Calculați ∫ 1x + 1 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ln|x + 1| + C
Ex. 10Coeficient la numitorM1 · Mate-Info
Calculați ∫ 12x + 5 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(12) ln|2x + 5| + C
Ex. 11Împărțire termen cu termenM1 · Mate-Info
Calculați ∫ x² − 3x + 1x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
∫ (x − 3 + 1x) dx = x²2 − 3x + ln|x| + C
Ex. 12Împărțirea cu restM1 · Mate-Info
Calculați ∫ x − 1x + 1 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x − 1x + 1 = 1 − 2x + 1, deci primitiva este x − 2 ln|x + 1| + C.
Ex. 13Determinarea constanteiM1 · Mate-Info
Determinați primitiva F a funcției f(x) = 3x² − 2x + 1 cu proprietatea F(1) = 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F(x) = x³ − x² + x + C, iar F(1) = 1 + C = 3 dă C = 2: F(x) = x³ − x² + x + 2.
Ex. 14Leibniz-NewtonM1 · Mate-Info
Calculați (2x + 1) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[x² + x] de la 1 la 3 = 12 − 2 = 10
Ex. 15Interval cu capăt negativM1 · Mate-Info
Calculați (3x² − 2x + 5) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[x³ − x² + 5x] de la −1 la 2 = 14 − (−7) = 21
Ex. 16AditivitateM1 · Mate-Info
Știind că f(x)dx = 4 și f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 + 6 = 10
Ex. 17Integrare prin părțiM1 · Mate-Info
Calculați (2x − 1)e^x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O primitivă este (2x − 3)e^x, deci integrala = e² − (−3) = e² + 3.
Ex. 18Schimbare de variabilăM1 · Mate-Info
Calculați ln xx dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[(ln x)²2] de la 1 la e = 12
Ex. 45Norma unei diviziuniM1 · Mate-Info
Pentru diviziunea Δ = (0, 12, 1, 2) a intervalului [0, 2], calculați norma diviziunii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
‖Δ‖ = max(12, 12, 1) = 1
Ex. 46Sumă RiemannM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x, diviziunea (0, 12, 1) a intervalului [0, 1] și punctele intermediare alese la capetele din dreapta, calculați suma Riemann.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(12) · 12 + f(1) · 12 = 14 + 12 = 34
Ex. 47Existența primitivelorM1 · Mate-Info
Orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Este adevărat? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 48Teorema de medieM1 · Mate-Info
Pentru f(x) = x pe intervalul [0, 2], determinați valoarea c dată de teorema de medie.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x dx = 2 = f(c) · 2, deci c = 1.
Ex. 49Arctangentă pe intervalM1 · Mate-Info
Calculați 1x² + 1 dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[arctg x] de la 0 la 1 = π4
Ex. 50Fracții simple, numitor de grad 2M1 · Mate-Info
Calculați 1x(x + 1) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1x(x + 1) = 1x − 1x + 1, deci integrala = [ln(xx + 1)] de la 1 la 2 = ln(23) − ln(12) = ln(43).
Ex. 51Numitor de gradul 4M1 · Mate-Info
Calculați ∫ 1x²(x² + 1) dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1x²(x² + 1) = 1x² − 1x² + 1, deci primitiva este −1x − arctg x + C.
Ex. 52Substituție cu putere la numitorM1 · Mate-Info
Calculați x(x² + 1)² dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[−12(x² + 1)] de la 0 la 1 = −14 + 12 = 14
Ex. 53Părți aplicate ciclicM1 · Mate-Info
Calculați ∫ e^x·sin x dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
e^xsin x − cos x2 + C
Ex. 54Estimarea unei integraleM1 · Mate-Info
Pe [0, 1] avem 1 ≤ e^(x²) ≤ e. Rezultă că 1 ≤ e^(x²) dx ≤ e? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: prin monotonia integralei pe un interval de lungime 1.
Ex. 55Integrabilitatea funcțiilor continueM1 · Mate-Info
Orice funcție continuă pe un interval închis și mărginit este integrabilă pe acel interval. Este adevărat? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 56Șir definit prin integralăM1 · Mate-Info
Fie I_n = xⁿ1 + xⁿ dx. Este I_n+1 ≤ I_n pentru orice n natural? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: pe [0, 1], xⁿ⁺¹ ≤ xⁿ, iar t1 + t este crescătoare, deci integrandul scade cu n.
Ex. 57Semnul unei integraleM1 · Mate-Info
Fie f(x) = (x² − 2x + 3)⁷. Este f(x) dx ≥ 0? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2 > 0, deci f > 0.
Ex. 58Primitivă concavăM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x² − 2x + 4. Este orice primitivă a lui f convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: F″ = f′(x) = x − 1x² − 2x + 4 este negativă pentru x < 1, deci F este concavă pe (−∞, 1].
Ex. 59Integrala și derivataM1 · Mate-Info
Fie f continuă pe ℝ, cu f(0) = 2, iar G(x) = ∫₀^x f(t)dt. Calculați G′(0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
G′(0) = f(0) = 2
Ex. 60Aditivitate cu capăt intermediarM1 · Mate-Info
Știind că f(x)dx = 12 și f(x)dx = 5, calculați f(x)dx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 − 5 = 7