Încărcăm partea curentă…

Primitive, integrala definită și teoremele ei · nivel M1

O primitivă se verifică prin derivare

F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul. Integrala nedefinită notează toate primitivele: F(x) + C.

Pentru xn, creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou, cu excepția n = −1. Integrăm termen cu termen și verificăm derivând rezultatul.

De ținut minte

F′ = f
∫ xn dx = xn+1n + 1 + C, n ≠ −1

Exemplu rezolvat · alte date

Află o primitivă pentru f(x) = 9x2 − 4 și verific-o.

  1. 1∫9x2 dx = 9x33 = 3x3.
  2. 2∫(−4) dx = −4x; primitivele sunt 3x3 − 4x + C.
  3. 3Verificare: (3x3 − 4x + C)′ = 9x2 − 4, exact funcția inițială.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Primitive, integrala definită și teoremele ei · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O idee pe rând: citești regula, urmărești un model cu alte date, apoi rezolvi trei probleme. Pașii ghidați ai aceleiași probleme rămân împreună.

O primitivă se verifică prin derivare

F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul. Integrala nedefinită notează toate primitivele: F(x) + C.

Pentru xn, creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou, cu excepția n = −1. Integrăm termen cu termen și verificăm derivând rezultatul.

  • F′ = f
  • ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C, n ≠ −1

Exemplu rezolvat · alte date

Află o primitivă pentru f(x) = 9x2 − 4 și verific-o.

  1. ∫9x2 dx = 9x33 = 3x3.
  2. ∫(−4) dx = −4x; primitivele sunt 3x3 − 4x + C.
  3. Verificare: (3x3 − 4x + C)′ = 9x2 − 4, exact funcția inițială.

O primitivă se verifică prin derivare · exersare 2

F este o primitivă a lui f pe un interval dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul. Integrala nedefinită notează toate primitivele: F(x) + C.

Pentru xn, creștem exponentul cu 1 și împărțim la exponentul nou, cu excepția n = −1. Integrăm termen cu termen și verificăm derivând rezultatul.

  • F′ = f
  • ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C, n ≠ −1

Exemplu rezolvat · alte date

Află o primitivă pentru f(x) = 9x2 − 4 și verific-o.

  1. ∫9x2 dx = 9x33 = 3x3.
  2. ∫(−4) dx = −4x; primitivele sunt 3x3 − 4x + C.
  3. Verificare: (3x3 − 4x + C)′ = 9x2 − 4, exact funcția inițială.

Primitive cu radicali și exponențiale

Scriem √x = x12, deci regula puterilor dă (23)x√x pe x ≥ 0. Pentru ekx, factorul 1k compensează derivata exponentului, dacă k ≠ 0.

Pentru ax avem derivata ax ln a, deci primitiva este axln a, cu a > 0 și a ≠ 1. Verificăm întotdeauna factorul din față prin derivare.

  • ∫√x dx = (23)x√x + C
  • ∫ekx dx = ekxk + C, k ≠ 0
  • ∫ax dx = axln a + C

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫ 4e2x dx.

  1. Primitiva lui e2x este e2x2, pentru că exponentul are derivata 2.
  2. Înmulțim cu 4: rezultatul este 2e2x + C.
  3. Verificare: (2e2x)′ = 2·2e2x = 4e2x.

Logaritmul: exponentul −1 și raportul dintre derivată și funcție

Regula puterilor nu funcționează pentru x−1, deoarece am împărți la 0. Aici primitiva este ln|x|, pe intervale care nu trec prin 0.

Privim fracția întreagă: căutăm dacă numărătorul este derivata numitorului sau un multiplu al ei. Gradul numitorului, singur, nu stabilește metoda: 1x2 dă −1x, 1x2 + 1 dă arctg x, iar 2xx2 + 1 dă ln(x2 + 1).

  • ∫1x dx = ln|x| + C
  • ∫u′u dx = ln|u| + C, u ≠ 0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫ 6x3x2 + 7 dx.

  1. Numitorul este u(x) = 3x2 + 7, iar u′(x) = 6x.
  2. Numărătorul este exact u′, deci integrala este ln|u| + C.
  3. Cum 3x2 + 7 > 0, obținem ln(3x2 + 7) + C. Derivarea dă înapoi 6x3x2 + 7.

Logaritmul: exponentul −1 și raportul dintre derivată și funcție · exersare 2

Regula puterilor nu funcționează pentru x−1, deoarece am împărți la 0. Aici primitiva este ln|x|, pe intervale care nu trec prin 0.

Privim fracția întreagă: căutăm dacă numărătorul este derivata numitorului sau un multiplu al ei. Gradul numitorului, singur, nu stabilește metoda: 1x2 dă −1x, 1x2 + 1 dă arctg x, iar 2xx2 + 1 dă ln(x2 + 1).

  • ∫1x dx = ln|x| + C
  • ∫u′u dx = ln|u| + C, u ≠ 0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫ 6x3x2 + 7 dx.

  1. Numitorul este u(x) = 3x2 + 7, iar u′(x) = 6x.
  2. Numărătorul este exact u′, deci integrala este ln|u| + C.
  3. Cum 3x2 + 7 > 0, obținem ln(3x2 + 7) + C. Derivarea dă înapoi 6x3x2 + 7.

Determinarea constantei C

După integrare avem o familie de primitive. Condiția F(a) = b selectează una: înlocuim a în primitivă și aflăm constanta C.

Verificarea are două părți: derivata trebuie să dea f, iar valoarea în punctul cerut trebuie să respecte condiția. O constantă schimbată nu modifică derivata.

  • F(a) = b ⇒ ecuație pentru C

Exemplu rezolvat · alte date

F′(x) = 4x + 3 și F(1) = 8. Află F.

  1. Integrăm: F(x) = 2x2 + 3x + C.
  2. F(1) = 2 + 3 + C = 8, deci C = 3.
  3. F(x) = 2x2 + 3x + 3; F′ = 4x + 3 și F(1) = 8.

Integrala definită este F(b) − F(a)

Integrala definită este un număr. După ce găsim o primitivă, calculăm în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Constanta C se anulează.

Integrala este liniară și aditivă pe intervale. La o funcție pozitivă și a < b, integrala este nenegativă; când calculăm arii, folosim semnul funcției și putem împărți intervalul.

  • f(x) dx = F(b) − F(a)
  • f = f + f

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (3x2 + 2) dx.

  1. O primitivă este F(x) = x3 + 2x.
  2. F(2) = 8 + 4 = 12 și F(1) = 1 + 2 = 3.
  3. Integrala este 12 − 3 = 9. Nu scriem + C la acest număr.

Integrala definită este F(b) − F(a) · exersare 2

Integrala definită este un număr. După ce găsim o primitivă, calculăm în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Constanta C se anulează.

Integrala este liniară și aditivă pe intervale. La o funcție pozitivă și a < b, integrala este nenegativă; când calculăm arii, folosim semnul funcției și putem împărți intervalul.

  • f(x) dx = F(b) − F(a)
  • f = f + f

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (3x2 + 2) dx.

  1. O primitivă este F(x) = x3 + 2x.
  2. F(2) = 8 + 4 = 12 și F(1) = 1 + 2 = 3.
  3. Integrala este 12 − 3 = 9. Nu scriem + C la acest număr.

Integrala definită este F(b) − F(a) · exersare 3

Integrala definită este un număr. După ce găsim o primitivă, calculăm în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Constanta C se anulează.

Integrala este liniară și aditivă pe intervale. La o funcție pozitivă și a < b, integrala este nenegativă; când calculăm arii, folosim semnul funcției și putem împărți intervalul.

  • f(x) dx = F(b) − F(a)
  • f = f + f

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (3x2 + 2) dx.

  1. O primitivă este F(x) = x3 + 2x.
  2. F(2) = 8 + 4 = 12 și F(1) = 1 + 2 = 3.
  3. Integrala este 12 − 3 = 9. Nu scriem + C la acest număr.

Arctangenta și evaluarea în capete

Pentru numărător constant și numitor x2 + a2 folosim arctangenta, cu a > 0. Un numărător 2x ar schimba tiparul în u′u și ar da logaritm.

Arctg t este unghiul din (−π2, π2) a cărui tangentă este t. În radiani, arctg 0 = 0 și arctg 1 = π4, deoarece tg(π4) = 1. Evaluăm întâi în capătul de sus, apoi scădem capătul de jos.

  • ∫1x2 + a2 dx = arctg(xa)a + C, a > 0

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 1x2 + 4 dx.

  1. a = 2, deci o primitivă este (12)arctg(x2).
  2. La 2 obținem (12)arctg 1 = π8; la 0 obținem 0.
  3. Integrala este π8. Nu înlocuim π4 cu numărul 45: 45° și π4 radiani exprimă același unghi.

Fracții simple: descompunem înainte de integrare

Dacă gradul numărătorului este cel puțin gradul numitorului, facem întâi împărțirea polinomială. În fracția rămasă căutăm coeficienți care să refacă numărătorul când aducem la același numitor.

Pentru doi factori liniari diferiți scriem Ax − a + Bx − b. La un factor pătratic fără rădăcini reale, numărătorul fracției sale are forma Ax + B. Termenii liniari pot da logaritmi chiar dacă numitorul inițial avea gradul 2 sau mai mare.

  • 1(x − 2)(x + 2) = 14x − 2 − 14x + 2

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫1x2 − 4 dx pe un interval care nu conține −2 sau 2.

  1. x2 − 4 = (x − 2)(x + 2); căutăm Ax − 2 + Bx + 2.
  2. A(x + 2) + B(x − 2) = 1. Pentru x = 2 obținem A = 14; pentru x = −2, B = −14.
  3. Integrăm: (14)ln|x − 2| − (14)ln|x + 2| + C = (14)ln|x − 2x + 2| + C.
  4. Verificare: (14)[1x − 2 − 1x + 2] = 1x2 − 4.

Fracții simple cu un factor repetat · M1

La factorul x2 includem atât Ax cât și Bx2; la x2 + a2, fără rădăcini reale, folosim Cx + Dx2 + a2. Aducem la același numitor și comparăm coeficienții.

O identitate mai scurtă poate elimina coeficienții nuli. Verificăm descompunerea prin reunirea fracțiilor, apoi integrăm fiecare termen și păstrăm domeniul.

  • 1x2(x2 + 4) = 14x2 − 14(x2 + 4)

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează ∫1x2(x2 + 4) dx, pentru x ≠ 0.

  1. 1x2(x2 + 4) = (14)(1x2 − 1x2 + 4), deoarece diferența numărătorilor este 4.
  2. ∫1x2 dx = −1x, iar ∫1x2 + 4 dx = arctg(x2)2.
  3. Rezultatul este −14x − arctg(x2)8 + C, pe fiecare interval care nu trece prin 0.
  4. Derivarea dă 14x2 − 14(x2 + 4), adică fracția inițială.

Substituția: expresia și derivata ei

Substituția schimbă o expresie complicată într-o variabilă u. Trebuie să apară și derivata ei: dacă u = g(x), atunci du = g′(x)dx.

Într-o integrală definită fie schimbăm capetele în valori ale lui u, fie revenim la x înainte de evaluare. Nu combinăm capete de x cu o primitivă scrisă în u.

  • u = g(x), du = g′(x)dx

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 2x(x2 + 3)2 dx.

  1. Punem u = x2 + 3, du = 2x dx. Capetele devin 3 și 4.
  2. Integrala devine u−2 du; o primitivă este −1u.
  3. Evaluăm: −14 − (−13) = 112.

Integrarea prin părți: alegem ce derivăm

La produs, integrarea nu înseamnă produsul primitivelor. Prin părți folosim ∫u·v′ = uv − ∫u′·v. Alegem u astfel încât derivarea să simplifice produsul, de exemplu x sau ln x.

Pentru o integrală definită evaluăm uv în ambele capete și păstrăm minusul din fața integralei rămase. Un polinom de grad 2 poate cere două aplicări ale formulei.

  • ∫u·v′ dx = uv − ∫u′·v dx

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 3x·e2x dx.

  1. Alegem u = 3x, u′ = 3, v′ = e2x, v = e2x2.
  2. Primitiva este (3x2)e2x − (32)∫e2x dx = (3x2 − 34)e2x.
  3. În 1 obținem 3e24; în 0 obținem −34.
  4. Scădem: integrala este 3(e2 + 1)4.

Integrare ciclică: integrala revine

La ex înmulțit cu sinus sau cosinus, derivările nu scad un grad. Aplicăm prin părți de două ori și observăm că reapare integrala inițială.

Notăm integralele cu I și J și rezolvăm ecuația pentru I. Adăugăm o singură constantă arbitrară la rezultatul final, apoi verificăm prin derivare.

  • ∫u·v′ = uv − ∫u′·v

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează I = ∫ex cos x dx.

  1. Alegem u = cos x, v′ = ex. Atunci I = ex cos x + J, unde J = ∫ex sin x dx.
  2. Pentru J alegem u = sin x, v′ = ex: J = ex sin x − I.
  3. Înlocuim: I = ex cos x + ex sin x − I, deci 2I = ex(cos x + sin x).
  4. I = ex(cos x + sin x)2 + C. Derivând, termenii cu sin x se reduc și rămâne ex cos x.

Diviziuni și sume Riemann · M1

O diviziune taie intervalul în bucăți. Norma ei este lungimea celei mai mari bucăți. Pe fiecare bucată alegem un punct și înmulțim valoarea funcției cu lățimea bucății; suma acestor produse este o sumă Riemann.

Pentru o funcție continuă, sumele tind la aceeași integrală când norma tinde la zero, indiferent de punctele intermediare. O sumă cu doar câteva bucăți este o aproximație, nu automat integrala exactă.

  • norma = max(xi − xi−1)
  • sumă = Σ f(ξi)(xi − xi−1)

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru f(x) = 2x pe [0, 1], cu diviziunea (0, 14, 1) și punctele din dreapta, află suma Riemann.

  1. Lățimile sunt 14 și 34, deci norma este 34.
  2. Valorile în capetele din dreapta sunt f(14) = 12 și f(1) = 2.
  3. Suma este (12)(14) + 2(34) = 18 + 32 = 138. Integrala exactă este 1.

Teoreme și semnul primitivelor

Pentru f continuă, G(x) = ∫ax f(t)dt are derivata G′(x) = f(x). Prin urmare, o primitivă F are monotonia dată de semnul lui f, iar curbura dată de semnul lui f′.

La M1, teorema de medie spune că integrala unei funcții continue pe [a, b] este f(c)(b − a) pentru cel puțin un c din [a, b]. La comparații de integrale verificăm întâi ordinea integranzilor pe tot intervalul.

  • G′ = f
  • F″ = f′
  • f = f(c)(b − a), pentru f continuă

Exemplu rezolvat · alte date

G(x) = ∫2x (t2 + 3)dt. Calculează G′(2).

  1. Integrandul este polinom, deci continuu.
  2. Teorema fundamentală dă G′(x) = x2 + 3.
  3. G′(2) = 4 + 3 = 7. Faptul că G(2) = 0 nu înseamnă că și derivata este 0.

Teoreme și semnul primitivelor · exersare 2

Pentru f continuă, G(x) = ∫ax f(t)dt are derivata G′(x) = f(x). Prin urmare, o primitivă F are monotonia dată de semnul lui f, iar curbura dată de semnul lui f′.

La M1, teorema de medie spune că integrala unei funcții continue pe [a, b] este f(c)(b − a) pentru cel puțin un c din [a, b]. La comparații de integrale verificăm întâi ordinea integranzilor pe tot intervalul.

  • G′ = f
  • F″ = f′
  • f = f(c)(b − a), pentru f continuă

Exemplu rezolvat · alte date

G(x) = ∫2x (t2 + 3)dt. Calculează G′(2).

  1. Integrandul este polinom, deci continuu.
  2. Teorema fundamentală dă G′(x) = x2 + 3.
  3. G′(2) = 4 + 3 = 7. Faptul că G(2) = 0 nu înseamnă că și derivata este 0.

Aplicații suplimentare: arii și volume

Aria dintre două grafice se calculează integrând diferența dintre funcția de sus și cea de jos. Aflăm întâi intersecțiile și ordinea pe fiecare interval.

La rotație în jurul lui Ox, o secțiune circulară are aria πr2. Pentru regiunea dintre f ≥ 0 și Ox, volumul este π∫f2. Aceste aplicații sunt suplimentare și nu înlocuiesc metodele de calcul ale integralelor.

  • arie = ∫(sus − jos)
  • volum = π∫f2

Exemplu rezolvat · alte date

Află aria dintre y = 2x și y = x2 pe [0, 2].

  1. Intersecțiile sunt x = 0 și x = 2; 2x − x2 = x(2 − x) ≥ 0 pe [0, 2].
  2. Aria este (2x − x2)dx = .
  3. Aria este 4 − 83 = 43, pozitivă.

Exerciții rezolvate din lecție (62)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Fie f(x) = 4x3 − 2x + 1 și F(x) = x4 − x2 + x − 13. Este F o primitivă a lui f? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. F este primitivă a lui f dacă F este derivabilă și F′ = f pe tot intervalul.
    2. Derivăm termen cu termen: (x4)′ = 4x3, (−x2)′ = −2x, (x)′ = 1, iar (−13)′ = 0.
    3. Obținem F′(x) = 4x3 − 2x + 1, adică exact f(x).
    4. Răspuns final: da. Constanta −13 nu contează, pentru că derivata oricărei constante este 0.

    Răspuns: da

  2. Exercițiul 2

    Calculați ∫ (2x + 5) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Integrala unei sume se desface în suma integralelor, iar constantele ies în față.
    2. ∫ 2x dx = 2·x22 = x2.
    3. ∫ 5 dx = 5x.
    4. Răspuns final: x2 + 5x + C. Verificare: (x2 + 5x)′ = 2x + 5.

    Răspuns: x2+5x+C

  3. Exercițiul 3

    Calculați ∫ (6x2 − 4x − 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm formula ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C pe fiecare termen.
    2. ∫ 6x2 dx = 6·x33 = 2x3.
    3. ∫ 4x dx = 4·x22 = 2x2, cu semnul minus în față.
    4. Răspuns final: 2x3 − 2x2 − x + C.

    Răspuns: 2x3−2x2−x+C

  4. Exercițiul 4

    Calculați ∫ 1x dx pe intervalul (0, ∞).

    Vezi rezolvarea
    1. Formula ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C nu se poate folosi aici: pentru n = −1 numitorul devine zero.
    2. Este singura excepție de la regula puterilor.
    3. Știm însă că (ln x)′ = 1x pe (0, ∞).
    4. Răspuns final: ln x + C. Pe un interval care nu conține 0 se scrie ln|x| + C.

    Răspuns: lnx+C

  5. Exercițiul 5

    Calculați ∫ 1x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aici 1x2 = x−2: exponentul este −2, nu −1. Aplicăm regula puterilor; nu decidem metoda doar după gradul numitorului.
    2. Scriem integrala ca ∫ x−2 dx.
    3. Aplicăm regula puterilor: x−1−1 = −1x.
    4. Răspuns final: −1x + C. Verificare: (−x−1)′ = x−2 = 1x2.

    Răspuns: −1x+C

  6. Exercițiul 6

    Calculați ∫ x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Regula puterilor merge și pentru exponenți raționali: scriem √x = x12.
    2. Aplicăm formula: exponentul devine 12 + 1 = 32.
    3. Împărțim la noul exponent: x3232 = 23·x32.
    4. Răspuns final: 2xx3 + C.

    Răspuns: 2xx3+C

  7. Exercițiul 7

    Calculați ∫ e3x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Pornim de la derivată: (e3x)′ = 3·e3x, din regula lanțului.
    2. Deci e3x este derivata lui e3x3.
    3. Împărțirea la 3 compensează factorul apărut la derivare.
    4. Răspuns final: e3x3 + C.

    Răspuns: e3x3+C

  8. Exercițiul 8

    Calculați ∫ 2x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata funcției exponențiale cu baza a este (ax)′ = ax·ln a.
    2. Ca să scăpăm de factorul ln 2 apărut la derivare, împărțim la el.
    3. Formula generală este ∫ ax dx = axln a + C.
    4. Răspuns final: 2xln 2 + C.

    Răspuns: 2xln2+C

  9. Exercițiul 9

    Calculați ∫ 1x + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul este de gradul întâi, deci rezultatul este logaritm.
    2. Derivata numitorului este 1, adică exact numărătorul.
    3. Suntem în tiparul ∫ u′u dx = ln|u| + C, cu u = x + 1.
    4. Răspuns final: ln|x + 1| + C.

    Răspuns: ln|x+1|+C

  10. Exercițiul 10

    Calculați ∫ 12x + 5 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata numitorului este 2, dar la numărător avem 1, deci lipsește un factor.
    2. Completăm artificial: ∫ 12x + 5 dx = 12·∫ 22x + 5 dx.
    3. Acum numărătorul este derivata numitorului, deci integrala este logaritm.
    4. Răspuns final: 12·ln|2x + 5| + C.

    Răspuns: 12ln|2x+5|+C

  11. Exercițiul 11

    Calculați ∫ x2 − 3x + 1x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Nu integrăm raportul ca atare: împărțim mai întâi fiecare termen la x.
    2. Obținem x − 3 + 1x, o sumă de trei termeni elementari.
    3. Integrăm pe rând: x22, apoi −3x, apoi ln|x|.
    4. Răspuns final: x22 − 3x + ln|x| + C.

    Răspuns: x22−3x+ln|x|+C

  12. Exercițiul 12

    Calculați ∫ x − 1x + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul și numitorul au același grad, deci trebuie făcută întâi împărțirea cu rest.
    2. Scriem x − 1 = (x + 1) − 2, deci raportul devine 1 − 2x + 1.
    3. Integrăm suma: ∫ 1 dx = x, iar ∫ 2x + 1 dx = 2ln|x + 1|.
    4. Răspuns final: x − 2ln|x + 1| + C.

    Răspuns: x−2ln|x+1|+C

  13. Exercițiul 13

    Determinați primitiva F a funcției f(x) = 3x2 − 2x + 1 cu proprietatea F(1) = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm întâi mulțimea tuturor primitivelor: F(x) = x3 − x2 + x + C.
    2. Punem condiția din enunț: F(1) = 1 − 1 + 1 + C = 1 + C.
    3. Din 1 + C = 3 rezultă C = 2.
    4. Răspuns final: F(x) = x3 − x2 + x + 2. Condiția aleasă fixează exact o primitivă din infinitatea posibilă.

    Răspuns: x3−x2+x+2

  14. Exercițiul 14

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Formula Leibniz-Newton spune că integrala definită este F(b) − F(a), unde F este o primitivă.
    2. O primitivă a lui 2x + 1 este F(x) = x2 + x.
    3. Calculăm F(3) = 9 + 3 = 12 și F(1) = 1 + 1 = 2.
    4. Răspuns final: 12 − 2 = 10. Constanta C nu contează, pentru că se scade cu ea însăși.

    Răspuns: 10

  15. Exercițiul 15

    Calculați (3x2 − 2x + 5) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este F(x) = x3 − x2 + 5x.
    2. F(2) = 8 − 4 + 10 = 14.
    3. F(−1) = −1 − 1 − 5 = −7.
    4. Răspuns final: 14 − (−7) = 21. Atenție la semnele de la capătul negativ.

    Răspuns: 21

  16. Exercițiul 16

    Știind că f(x)dx = 4 și f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul spune că integrala pe [a, c] este suma integralelor pe [a, b] și [b, c].
    2. Aici capătul comun este 1, iar intervalele [0, 1] și [1, 3] se lipesc exact.
    3. Adunăm valorile: 4 + 6.
    4. Răspuns final: 10.

    Răspuns: 10

  17. Exercițiul 17

    Calculați (2x − 1)ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul dintre un polinom și o exponențială cere integrarea prin părți, cu ex ca derivată.
    2. ∫ (2x − 1)ex dx = (2x − 1)ex − ∫ 2ex dx = (2x − 3)ex.
    3. La capătul 2: (4 − 3)e2 = e2. La capătul 0: (0 − 3)·1 = −3.
    4. Răspuns final: e2 − (−3) = e2 + 3.

    Răspuns: e2+3

  18. Exercițiul 18

    Calculați ln xx dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Observăm că 1x este chiar derivata lui ln x, deci suntem în tiparul ∫ u′·u dx.
    2. Cu u = ln x rezultă primitiva u22 = (ln x)22.
    3. La capătul e: (ln e)22 = 12. La capătul 1: (ln 1)22 = 0.
    4. Răspuns final: 12.

    Răspuns: 12

  19. Exercițiul 19

    Pentru diviziunea Δ = (0, 12, 1, 2) a intervalului [0, 2], calculați norma diviziunii.

    Vezi rezolvarea
    1. Norma unei diviziuni este cea mai mare dintre lungimile subintervalelor.
    2. Subintervalele sunt [0, 12], [12, 1] și [1, 2], cu lungimile 12, 12 și 1.
    3. Cea mai mare dintre ele este 1.
    4. Răspuns final: ‖Δ‖ = 1. Norma măsoară cât de fină este diviziunea: cu cât e mai mică, cu atât aproximarea e mai bună.

    Răspuns: 1

  20. Exercițiul 20

    Exercițiul 46 semi-ghidat · Ce adună o sumă Riemann?

    Vezi rezolvarea
    1. Pe fiecare subinterval se alege un punct intermediar și se construiește un dreptunghi.
    2. Înălțimea dreptunghiului este valoarea funcției în acel punct, iar baza este lungimea subintervalului.
    3. Suma acestor arii aproximează aria de sub grafic.
    4. Când norma diviziunii tinde la 0, suma tinde la integrala definită — aceasta este chiar definiția integrabilității.

    Răspuns: Ariile unor dreptunghiuri: f(punctul intermediar) înmulțit cu lungimea subintervalului

  21. Exercițiul 21

    Pentru f(x) = x, diviziunea (0, 12, 1) și punctele intermediare la capetele din dreapta, calculați suma.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe [0, 12]: punctul din dreapta este 12, deci aria este f(12)·12 = 12·12 = 14.
    2. Pe [12, 1]: punctul din dreapta este 1, deci aria este f(1)·12 = 12.
    3. Adunăm: 14 + 12 = 34.
    4. Răspuns final: 34. Valoarea exactă a integralei este 12, diferența venind din diviziunea prea grosieră.

    Răspuns: 34

  22. Exercițiul 22

    Orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Este adevărat? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Aceasta este teorema de existență a primitivelor unei funcții continue.
    2. Demonstrația construiește chiar o primitivă: F(x) = ∫ax f(t)dt.
    3. Continuitatea lui f garantează că F este derivabilă și că F′ = f.
    4. Răspuns final: da. Reciproca nu este adevărată: există funcții discontinue care totuși admit primitive.

    Răspuns: da

  23. Exercițiul 23

    Exercițiul 48 semi-ghidat · Pentru f(x) = x pe [0, 2], ce afirmă teorema de medie?

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema de medie pentru integrale spune că o funcție continuă atinge, undeva în interval, chiar valoarea ei medie.
    2. Formal: există c în [a, b] cu f(x)dx = f(c)·(b − a).
    3. Afirmația cu f′(c) = 0 este teorema lui Rolle, un rezultat despre derivate.
    4. Aici lungimea intervalului este 2, deci integrala trebuie să fie f(c)·2.

    Răspuns: Există c în [0, 2] cu f(x)dx = f(c)·(2 − 0)

  24. Exercițiul 24

    Acum determinați valoarea lui c.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm integrala: x dx = x22 între 0 și 2, adică 2 − 0 = 2.
    2. Punem condiția: 2 = f(c)·2, deci f(c) = 1.
    3. Cum f(c) = c, rezultă c = 1.
    4. Verificăm apartenența: 1 aparține intervalului [0, 2]. Răspuns final: c = 1.

    Răspuns: 1

  25. Exercițiul 25

    Calculați 1x2 + 1 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă a funcției este arctg x.
    2. La capătul 1: arctg 1 = π4, pentru că tangenta de π4 este 1.
    3. La capătul 0: arctg 0 = 0.
    4. Răspuns final: π4.

    Răspuns: π4

  26. Exercițiul 26

    Calculați 1x(x + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Descompunem: 1x(x + 1) = 1x − 1x + 1.
    2. O primitivă este ln|x| − ln|x + 1| = ln|xx + 1|.
    3. La capătul 2: ln (2)3. La capătul 1: ln (1)2.
    4. Scădem: ln (2)3 − ln (1)2 = ln (4)3. Răspuns final: ln (4)3.

    Răspuns: ln(4)3

  27. Exercițiul 27

    Calculați ∫ 1x2(x2 + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru această fracție putem folosi descompunerea în fracții simple; gradul numitorului, singur, nu stabilește metoda.
    2. Observăm identitatea 1x2(x2 + 1) = 1x2 − 1x2 + 1, verificabilă aducând la același numitor.
    3. Integrăm separat: ∫ 1x2 dx = −1x, iar ∫ 1x2 + 1 dx = arctg x.
    4. Răspuns final: −1x − arctg x + C.

    Răspuns: −1x−arctgx+C

  28. Exercițiul 28

    Calculați x(x2 + 1)2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm u = x2 + 1, cu u′ = 2x; numărătorul conține x, deci lipsește factorul 2.
    2. Completăm: 12·∫ 2x(x2 + 1)2 dx, adică 12·∫ u−2·u′ dx.
    3. O primitivă este 12·(−1u) = −12(x2 + 1).
    4. La capătul 1: −14. La capătul 0: −12. Răspuns final: −14 + 12 = 14.

    Răspuns: 14

  29. Exercițiul 29

    Exercițiul 53 ghidat · Vrem ∫ ex·sin x dx. Pasul 1: ce se întâmplă dacă aplicăm integrarea prin părți o singură dată?

    Vezi rezolvarea
    1. Cu ex ca derivată obținem ∫ ex·sin x dx = ex·sin x − ∫ ex·cos x dx.
    2. Integrala rămasă are aceeași structură: exponențială înmulțită cu o funcție trigonometrică.
    3. Nu am simplificat problema, doar am schimbat sinusul cu cosinusul.
    4. Aici metoda pare că eșuează — dar tocmai repetarea ei aduce soluția.

    Răspuns: Rămâne o integrală de același tip, cu cos x în loc de sin x

  30. Exercițiul 30

    Pasul 2: aplicați formula a doua oară, pe ∫ ex·cos x dx. Ce obțineți?

    Vezi rezolvarea
    1. ∫ ex·cos x dx = ex·cos x − ∫ ex·(cos x)′ dx.
    2. Derivata lui cos x este −sin x, iar minus cu minus dă plus.
    3. Rezultă ex·cos x + ∫ ex·sin x dx.
    4. A reapărut chiar integrala de la care am pornit — exact ce ne trebuie.

    Răspuns: ex·cos x + ∫ ex·sin x dx

  31. Exercițiul 31

    Pasul 3: notăm cu I integrala căutată. Ce ecuație obținem combinând cei doi pași?

    Vezi rezolvarea
    1. Din pasul 1: I = ex·sin x − ∫ ex·cos x dx.
    2. Din pasul 2: ∫ ex·cos x dx = ex·cos x + I.
    3. Înlocuim: I = ex·sin x − (ex·cos x + I).
    4. Desfacem paranteza: I = ex·sin x − ex·cos x − I. Necunoscuta apare în ambii membri, deci o putem izola.

    Răspuns: I = ex·sin x − ex·cos x − I

  32. Exercițiul 32

    Pasul 4: rezolvați ecuația și scrieți integrala.

    Vezi rezolvarea
    1. Adunăm I în ambii membri: 2I = ex·sin x − ex·cos x.
    2. Dăm factor comun: 2I = ex(sin x − cos x).
    3. Împărțim la 2: I = ex(sin x − cos x)2.
    4. Răspuns final, cu constanta: ex(sin x − cos x)2 + C. Metoda se numește integrare ciclică.

    Răspuns: ex(sinx−cosx)2+C

  33. Exercițiul 33

    Pe [0, 1] avem 1 ≤ ex2 ≤ e. Rezultă că 1 ≤ ex2 dx ≤ e? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim monotonia integralei: dacă m ≤ f(x) ≤ M pe [a, b], atunci m(b − a) ≤ f ≤ M(b − a).
    2. Aici intervalul are lungimea 1, deci marginile se păstrează ca atare.
    3. Inegalitatea din enunț este adevărată: pe [0, 1] avem 0 ≤ x2 ≤ 1, iar exponențiala este crescătoare.
    4. Răspuns final: da. Aceasta este metoda standard când integrala nu se poate calcula elementar.

    Răspuns: da

  34. Exercițiul 34

    Orice funcție continuă pe un interval închis și mărginit este integrabilă pe acel interval. Este adevărat? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Definiția integrabilității cere ca sumele Riemann să aibă o limită comună când norma diviziunii tinde la zero.
    2. Teorema spune că pentru funcțiile continue pe [a, b] această limită există întotdeauna.
    3. Continuitatea pe un interval închis și mărginit aduce și uniform continuitatea, care asigură convergența.
    4. Răspuns final: da. Sunt integrabile și funcții discontinue, de exemplu cele cu un număr finit de discontinuități de speța întâi.

    Răspuns: da

  35. Exercițiul 35

    Fie In = xn1 + xn dx. Este In+1 ≤ In pentru orice n natural? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Comparăm integranzii pe intervalul [0, 1], unde 0 ≤ x ≤ 1.
    2. Pentru x în [0, 1] avem xn+1 ≤ xn, pentru că înmulțirea cu un număr subunitar micșorează.
    3. Funcția t ↦ t1 + t este crescătoare, deci din xn+1 ≤ xn rezultă că integrandul scade.
    4. Prin monotonia integralei obținem In+1 ≤ In. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

  36. Exercițiul 36

    Fie f(x) = (x2 − 2x + 3)7. Este f(x) dx ≥ 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Studiem semnul bazei: x2 − 2x + 3 are discriminantul 4 − 12 = −8 < 0.
    2. Coeficientul lui x2 fiind pozitiv, baza este strict pozitivă pe tot ℝ.
    3. O putere cu exponent 7 a unui număr pozitiv rămâne pozitivă.
    4. Integrala unei funcții pozitive pe un interval este pozitivă. Răspuns final: da.

    Răspuns: da

  37. Exercițiul 37

    Fie f(x) = x2 − 2x + 4. Este orice primitivă a lui f convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Convexitatea primitivei F se decide după semnul lui F′′ = f′.
    2. Derivăm: f′(x) = 2x − 22x2 − 2x + 4 = x − 1x2 − 2x + 4.
    3. Numitorul este mereu pozitiv, deci semnul lui f′ este dat de x − 1: negativ pentru x < 1 și pozitiv pentru x > 1.
    4. Prin urmare F este concavă pe (−∞, 1] și convexă pe [1, ∞), nu convexă peste tot. Răspuns final: nu.

    Răspuns: nu

  38. Exercițiul 38

    Fie f continuă pe ℝ, cu f(0) = 2, iar G(x) = ∫0x f(t)dt. Calculați G′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema fundamentală a calculului spune că, pentru f continuă, funcția G(x) = ∫0x f(t)dt este derivabilă.
    2. Derivata ei este chiar integrandul evaluat în capătul variabil: G′(x) = f(x).
    3. În particular G′(0) = f(0).
    4. Răspuns final: G′(0) = 2.

    Răspuns: 2

  39. Exercițiul 39

    Știind că f(x)dx = 12 și f(x)dx = 5, calculați f(x)dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aditivitatea în raport cu intervalul dă f = f + f.
    2. Înlocuim valorile cunoscute: 12 = f + 5.
    3. Izolăm necunoscuta: f = 12 − 5.
    4. Răspuns final: 7.

    Răspuns: 7

  40. Exercițiul 40

    Regiunea dintre y=x și Ox, pentru 0≤x≤2, se rotește în jurul lui Ox. Află volumul.

    Vezi rezolvarea
    1. V=π x2dx. Secțiunile sunt discuri de rază f(x)=x; aria lor este πx2.
    2. x2dx==83. Integrala unei puteri x2 este x33. La limita inferioară obținem 0.
    3. V=8π3. Înmulțim integrala cu π. Rezultatul reprezintă unități cubice.

    Răspuns: V=8π3

  41. Exercițiul 41

    Află primitiva F a lui f(x)=6x2−4x, știind că F(0)=5.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x)=2x3−2x2+C. La puteri adăugăm 1 exponentului și împărțim la noul exponent: 63=2 și −42=−2.
    2. F(0)=C=5. Termenii cu x se anulează la x=0.
    3. F(x)=2x3−2x2+5. F′(x)=6x2−4x și F(0)=5. Ambele condiții sunt respectate.

    Răspuns: F(x)=2x3−2x2+5

  42. Exercițiul 42

    Calculează integrala de la 1 la 3 din 2x+1.

    Vezi rezolvarea
    1. F(x)=x2+x. Derivata lui x2+x este 2x+1.
    2. F(3)=12; F(1)=2. F(3)=9+3=12 și F(1)=1+1=2.
    3. F(3)−F(1)=10. Scădem valoarea de la limita inferioară din cea de la limita superioară.

    Răspuns: F(3)−F(1)=10

  43. Exercițiul 43

    Calculează integrala de la 0 la 1 din xex.

    Vezi rezolvarea
    1. u=x, du=dx; dv=exdx, v=ex. Alegem polinomul ca u, fiindcă derivarea îi reduce gradul.
    2. xexdx=− exdx. Formula este ∫u dv=uv−∫v du, cu minus.
    3. e−(e−1)=1. Primul termen este e−0=e; integrala rămasă este e−1.

    Răspuns: e−(e−1)=1

  44. Exercițiul 44

    Calculează integrala de la 0 la 1 din 2x+1(x2+x+1)2.

    Vezi rezolvarea
    1. u=x2+x+1; du=(2x+1)dx. Numărătorul este exact derivata expresiei din numitor.
    2. u: 1→3; ∫u−2du=−1u. La x=0 avem u=1; la x=1, u=3. Derivata lui −1u este 1u2.
    3. −13−(−1)=23. Scăderea valorii negative de la limita inferioară devine adunare.

    Răspuns: −13−(−1)=23

  45. Exercițiul 45

    Calculează aria dintre graficele y=x și y=x2 pe intervalul [0,1].

    Vezi rezolvarea
    1. x≥x2 pe [0,1]. x−x2=x(1−x)≥0 pe interval.
    2. A=(x−x2)dx; F(x)=x22−x33. Aria este integrala funcției de sus minus funcția de jos.
    3. A=12−13=16. Valoarea primitivei la 0 este 0; aducem fracțiile la numitorul 6.

    Răspuns: A=12−13=16

  46. Exercițiul 46

    Calculează 15x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 5x3.
    2. F(1) = 5, iar F(0) = 0.
    3. Integrala este 5 − 0 = 5.

    Răspuns: 5

  47. Exercițiul 47

    Calculează 18x2 dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 6x3.
    2. F(1) = 6, iar F(0) = 0.
    3. Integrala este 6 − 0 = 6.

    Răspuns: 6

  48. Exercițiul 48

    Calculează 5x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 5ln x, pentru x > 0.
    2. F(e) = 5, F(1) = 0.
    3. Diferența este 5.

    Răspuns: 5

  49. Exercițiul 49

    Calculează 6x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 6ln x, pentru x > 0.
    2. F(e) = 6, F(1) = 0.
    3. Diferența este 6.

    Răspuns: 6

  50. Exercițiul 50

    F′(x) = 12x și F(0) = 3. Calculează F(1).

    Vezi rezolvarea
    1. F(x) = 6x2 + C.
    2. F(0) = C = 3.
    3. F(1) = 6 + 3 = 9.

    Răspuns: 9

  51. Exercițiul 51

    Calculează 6x dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 6x22.
    2. F(2) = 12, F(0) = 0.
    3. Integrala este 12.

    Răspuns: 12

  52. Exercițiul 52

    Scrie 20x2 + 1 dx sub forma kπ. Cât este k?

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 20arctg x.
    2. Diferența este 20(π4 − 0).
    3. Rezultatul este 5π, deci k = 5.

    Răspuns: 5

  53. Exercițiul 53

    Scrie 24x2 + 1 dx sub forma kπ. Cât este k?

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă este 24arctg x.
    2. Diferența este 24(π4 − 0).
    3. Rezultatul este 6π, deci k = 6.

    Răspuns: 6

  54. Exercițiul 54

    În descompunerea 6(x + 2)(x + 3) = Ax + 2 + Bx + 3, află A.

    Vezi rezolvarea
    1. A(x + 3) + B(x + 2) = 6.
    2. Pentru x = −2 rămâne A·1 = 6.
    3. A = 6; pentru x = −3 rezultă B = −6.

    Răspuns: 6

  55. Exercițiul 55

    În identitatea 5x2(x2 + 1) = Ax2 + Bx2 + 1, află A.

    Vezi rezolvarea
    1. A(x2 + 1) + Bx2 = 5.
    2. Termenul constant este A; coeficientul lui x2 impune A + B = 0.
    3. A = 5, B = −5.

    Răspuns: 5

  56. Exercițiul 56

    În identitatea 6x2(x2 + 1) = Ax2 + Bx2 + 1, află A.

    Vezi rezolvarea
    1. A(x2 + 1) + Bx2 = 6.
    2. Termenul constant este A; coeficientul lui x2 impune A + B = 0.
    3. A = 6, B = −6.

    Răspuns: 6

  57. Exercițiul 57

    Calculează 6x·ex dx.

    Vezi rezolvarea
    1. Prin părți, o primitivă este 6(x − 1)ex.
    2. F(1) = 0, iar F(0) = −6.
    3. Diferența este 0 − (−6) = 6.

    Răspuns: 6

  58. Exercițiul 58

    O primitivă a lui 10ex cos x este A ex(cos x + sin x). Cât este A?

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata lui ex(cos x + sin x) este 2ex cos x.
    2. Avem 2A = 10.
    3. A = 5.

    Răspuns: 5

  59. Exercițiul 59

    O primitivă a lui 12ex cos x este A ex(cos x + sin x). Cât este A?

    Vezi rezolvarea
    1. Derivata lui ex(cos x + sin x) este 2ex cos x.
    2. Avem 2A = 12.
    3. A = 6.

    Răspuns: 6

  60. Exercițiul 60

    Pentru f(x) = 24x pe [0, 1], ia două bucăți egale și capetele din dreapta. Află suma Riemann.

    Vezi rezolvarea
    1. Lățimile sunt 12; f(12) = 12, f(1) = 24.
    2. Suma este 122 + 242.
    3. Obținem 18.

    Răspuns: 18

  61. Exercițiul 61

    G(x) = ∫0x (t2 + 6)dt. Calculează G′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. Integrandul este continuu.
    2. G′(x) = x2 + 6.
    3. G′(0) = 6.

    Răspuns: 6

  62. Exercițiul 62

    Aria dintre y = 36x și y = 36x2 pe [0, 1] este A. Află A.

    Vezi rezolvarea
    1. Diferența este 36x(1 − x) ≥ 0.
    2. Primitiva este 18x2 − 12x3.
    3. Aria este 18 − 12 = 6.

    Răspuns: 6

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (34)

  1. 1. Verificarea unei primitive

    Fie f(x) = 4x3 − 2x + 1 și F(x) = x4 − x2 + x − 13. Este F o primitivă a lui f? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: F′(x) = 4x3 − 2x + 1 = f(x).

  2. 2. Liniaritate

    Calculați ∫ (2x + 5) dx.

    Vezi răspunsul

    x2 + 5x + C

  3. 3. Polinom

    Calculați ∫ (6x2 − 4x − 1) dx.

    Vezi răspunsul

    2x3 − 2x2 − x + C

  4. 4. Logaritm

    Calculați ∫ 1x dx pe intervalul (0, ∞).

    Vezi răspunsul

    ln x + C

  5. 5. Exponent negativ

    Calculați ∫ 1x2 dx.

    Vezi răspunsul

    −1x + C

  6. 6. Radical

    Calculați ∫ x dx.

    Vezi răspunsul

    (23)x√x + C

  7. 7. Exponențială compusă

    Calculați ∫ e3x dx.

    Vezi răspunsul

    e3x3 + C

  8. 8. Bază oarecare

    Calculați ∫ 2x dx.

    Vezi răspunsul

    2xln 2 + C

  9. 9. Numitor de gradul întâi

    Calculați ∫ 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    ln|x + 1| + C

  10. 10. Coeficient la numitor

    Calculați ∫ 12x + 5 dx.

    Vezi răspunsul

    (12) ln|2x + 5| + C

  11. 11. Împărțire termen cu termen

    Calculați ∫ x2 − 3x + 1x dx.

    Vezi răspunsul

    ∫ (x − 3 + 1x) dx = x22 − 3x + ln|x| + C

  12. 12. Împărțirea cu rest

    Calculați ∫ x − 1x + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    x − 1x + 1 = 1 − 2x + 1, deci primitiva este x − 2 ln|x + 1| + C.

  13. 13. Determinarea constantei

    Determinați primitiva F a funcției f(x) = 3x2 − 2x + 1 cu proprietatea F(1) = 3.

    Vezi răspunsul

    F(x) = x3 − x2 + x + C, iar F(1) = 1 + C = 3 dă C = 2: F(x) = x3 − x2 + x + 2.

  14. 14. Leibniz-Newton

    Calculați (2x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    [x2 + x] de la 1 la 3 = 12 − 2 = 10

  15. 15. Interval cu capăt negativ

    Calculați (3x2 − 2x + 5) dx.

    Vezi răspunsul

    [x3 − x2 + 5x] de la −1 la 2 = 14 − (−7) = 21

  16. 16. Aditivitate

    Știind că f(x)dx = 4 și f(x)dx = 6, calculați f(x)dx.

    Vezi răspunsul

    4 + 6 = 10

  17. 17. Integrare prin părți

    Calculați (2x − 1)ex dx.

    Vezi răspunsul

    O primitivă este (2x − 3)ex, deci integrala = e2 − (−3) = e2 + 3.

  18. 18. Schimbare de variabilă

    Calculați ln xx dx.

    Vezi răspunsul

    [(ln x)22] de la 1 la e = 12

  19. 45. Norma unei diviziuni

    Pentru diviziunea Δ = (0, 12, 1, 2) a intervalului [0, 2], calculați norma diviziunii.

    Vezi răspunsul

    ‖Δ‖ = max(12, 12, 1) = 1

  20. 46. Sumă Riemann

    Pentru f(x) = x, diviziunea (0, 12, 1) a intervalului [0, 1] și punctele intermediare alese la capetele din dreapta, calculați suma Riemann.

    Vezi răspunsul

    f(12) · 12 + f(1) · 12 = 14 + 12 = 34

  21. 47. Existența primitivelor

    Orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Este adevărat? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  22. 48. Teorema de medie

    Pentru f(x) = x pe intervalul [0, 2], determinați valoarea c dată de teorema de medie.

    Vezi răspunsul

    x dx = 2 = f(c) · 2, deci c = 1.

  23. 49. Arctangentă pe interval

    Calculați 1x2 + 1 dx.

    Vezi răspunsul

    [arctg x] de la 0 la 1 = π4

  24. 50. Fracții simple, numitor de grad 2

    Calculați 1x(x + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    1x(x + 1) = 1x − 1x + 1, deci integrala = [ln(xx + 1)] de la 1 la 2 = ln(23) − ln(12) = ln(43).

  25. 51. Numitor de gradul 4

    Calculați ∫ 1x2(x2 + 1) dx.

    Vezi răspunsul

    1x2(x2 + 1) = 1x2 − 1x2 + 1, deci primitiva este −1x − arctg x + C.

  26. 52. Substituție cu putere la numitor

    Calculați x(x2 + 1)2 dx.

    Vezi răspunsul

    [−12(x2 + 1)] de la 0 la 1 = −14 + 12 = 14

  27. 53. Părți aplicate ciclic

    Calculați ∫ ex·sin x dx.

    Vezi răspunsul

    ex(sin x − cos x)2 + C

  28. 54. Estimarea unei integrale

    Pe [0, 1] avem 1 ≤ ex2 ≤ e. Rezultă că 1 ≤ ex2 dx ≤ e? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: prin monotonia integralei pe un interval de lungime 1.

  29. 55. Integrabilitatea funcțiilor continue

    Orice funcție continuă pe un interval închis și mărginit este integrabilă pe acel interval. Este adevărat? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  30. 56. Șir definit prin integrală

    Fie In = xn1 + xn dx. Este In+1 ≤ In pentru orice n natural? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: pe [0, 1], xn+1 ≤ xn, iar t1 + t este crescătoare, deci integrandul scade cu n.

  31. 57. Semnul unei integrale

    Fie f(x) = (x2 − 2x + 3)7. Este f(x) dx ≥ 0? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da: x2 − 2x + 3 = (x − 1)2 + 2 > 0, deci f > 0.

  32. 58. Primitivă concavă

    Fie f(x) = x2 − 2x + 4. Este orice primitivă a lui f convexă pe ℝ? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: F″ = f′(x) = x − 1x2 − 2x + 4 este negativă pentru x < 1, deci F este concavă pe (−∞, 1].

  33. 59. Integrala și derivata

    Fie f continuă pe ℝ, cu f(0) = 2, iar G(x) = ∫0x f(t)dt. Calculați G′(0).

    Vezi răspunsul

    G′(0) = f(0) = 2

  34. 60. Aditivitate cu capăt intermediar

    Știind că f(x)dx = 12 și f(x)dx = 5, calculați f(x)dx.

    Vezi răspunsul

    12 − 5 = 7

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.