Modele de Bac · polinoame M2

Acum unești toate regulile într-un model de examen: citești cerința, alegi teorema potrivită și scrii pașii în ordinea care aduce punctaj.

Nu sări direct la rezultat. La Bac, condiția folosită și calculele intermediare fac parte din rezolvare.

Șablonul unei probleme complete

Valoare sau rădăcină: calculează P(a).
Divizibilitate prin X−a: scrie P(a)=0.
Expresii în rădăcini: notează întâi relațiile lui Viète.
Rest la un polinom de grad 2: caută un rest aX+b și redu puterile mari.

Model rezolvat în trei etape

De la factor la rest

P(X)=mX³+X²−2X+2 este divizibil cu X+1. Găsește m, apoi restul la X²−2.

1.X+1=X−(−1), deci Bézout ne cere P(−1)=0.
2.−m+1+2+2=0, de unde m=5.
3.Modulo X²−2 avem X²≡2 și X³≡2X.
4.P≡10X+2−2X+2=8X+4.

Verifică-te singur · cu răspunsuriAntrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac · 12 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroM2 · Științe ale Naturii
Pentru P(X)=2X³−X²−5X+2, calculează P(0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(0) = 2
Ex. 2Pornim de la zeroM2 · Științe ale Naturii
Pentru același P, verifică dacă X−2 este factor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: P(2) = 16 − 4 − 10 + 2 = 4 ≠ 0.
Ex. 3Pornim de la zeroM2 · Științe ale Naturii
Pentru P(X)=X³−2X²−X+2, care valoare este rădăcină?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 (P(1) = 0); rădăcini sunt și −1 și 2.
Ex. 4Pornim de la zeroM2 · Științe ale Naturii
Factorizează X³−2X²−X+2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X²(X − 2) − (X − 2) = (X − 2)(X − 1)(X + 1)
Ex. 5Legăm regulileM2 · Științe ale Naturii
Rădăcinile lui aX³+X²−2X+2 au suma −1a. Ce relație Viète am folosit?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x₁ + x₂ + x₃ = −ba, aici b = 1.
Ex. 6Legăm regulileM2 · Științe ale Naturii
Pentru P(X)=2X³−3X²+4X−6, cât este x₁x₂x₃?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−da = 62 = 3
Ex. 7Legăm regulileM2 · Științe ale Naturii
Pentru P(X)=2X³−3X²+4X−6, cât este x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
ca = 42 = 2
Ex. 8Legăm regulileM2 · Științe ale Naturii
Dacă rădăcinile anterioare sunt nenule, cât este 1x₁+1x₂+1x₃?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) : (x₁x₂x₃) = 23
Ex. 9Legăm regulileM2 · Științe ale Naturii
P(X)=aX³+X²−2X+2 este divizibil cu X+1. Care este primul pas?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pui condiția P(−1) = 0 (teorema lui Bézout).
Ex. 10Rezolvi ca la BacM2 · Științe ale Naturii
Din condiția P(−1)=0 pentru P(X)=aX³+X²−2X+2, ce ecuație obții?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−a + 1 + 2 + 2 = 0, adică 5 − a = 0.
Ex. 11Rezolvi ca la BacM2 · Științe ale Naturii
După ce găsești a=5, ce relație folosești modulo X²−2?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X² = 2, deci X³ = 2X.
Ex. 12Rezolvi ca la BacM2 · Științe ale Naturii
Care este restul final pentru P(X)=5X³+X²−2X+2 modulo X²−2?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8X + 4