Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 14
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
🧮 De ținut minte
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
✏️Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
1Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
2P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
3P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
4Concluzie: 9.
⚠️ Greșeală frecventă
Greșit: P(−2)=−23+2·2−3.
De ce: Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Modele de Bac · polinoame M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 14
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Concluzie: 9.
Greșeală frecventă:P(−2)=−23+2·2−3.Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 24
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Concluzie: 9.
Greșeală frecventă:P(−2)=−23+2·2−3.Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 34
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Concluzie: 9.
Greșeală frecventă:P(−2)=−23+2·2−3.Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
Înlocuiri simple · pregătire pentru a) · grupa 44
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează P(2) pentru P(X)=X2+2X+1.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+1=9. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Concluzie: 9.
Greșeală frecventă:P(−2)=−23+2·2−3.Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
P(a): înlocuim, calculăm, adunăm
P(a) înseamnă valoarea polinomului când fiecare X este înlocuit cu a. Coeficienții rămân aceiași. Pentru un număr negativ scriem paranteze: (−2)2=4, dar −22=−4 dacă minusul este în afara puterii.
Calculăm puterile pe rând, apoi fiecare coeficient ori puterea lui, apoi adunăm termenii cu semn. Rezultatele intermediare rămân afișate. P(0) este termenul liber: toți termenii care conțin X devin zero.
O identitate ca P(X)=(X−a)Q(X)+R(X) se evaluează la fel. La X=a, primul factor devine 0, deci produsul este 0 fără să calculăm Q(a). Rămâne R(a).
P(0)=a0
ordinea: puteri → produse → sumă
Exemplu rezolvat · alte date
P(X)=X3+2X−3. Calculează P(−2).
Identificăm argumentul −2; înlocuim toate aparițiile lui X.
P(−2)=(−2)3+2(−2)−3.
P(-2) cere să înlocuim fiecare X cu (-2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-2)=1·(-2)3+2·(-2)+(-3)=-15. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Prin urmare P(−2)=−15. Puterea negativă și semnul coeficientului au fost urmărite separat.
Greșeală frecventă:P(−2)=−23+2·2−3.Înlocuirea trebuie făcută peste tot cu același număr, între paranteze. Al doilea produs folosește −2, nu 2.
Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 14
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Concluzie: S=4; T=3; P=5.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 24
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Concluzie: S=4; T=3; P=5.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 34
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Concluzie: S=4; T=3; P=5.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Viète grad 3 · scriem relațiile, fără expresii compuse · grupa 44
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 8X2 + 6X − 10.
Identificăm datele din enunț și regula pe care o folosim.
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-82=4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=62=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-102=5. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=4; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=5. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Concluzie: S=4; T=3; P=5.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Viète la gradul 3: s1, s2, s3
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru 2X3+4X2−6X+8, află s1, s2 și s3.
Identificăm a=2, b=4, c=−6 și d=8.
Alegem separat fiecare dintre cele trei formule.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -42=-2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -62=-3.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -82=-4.
Obținem s1=−2, s2=−3 și s3=−4. Acestea sunt expresii ale rădăcinilor, nu cele trei rădăcini.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Viète la gradul 3: s1, s2, s3 · consolidare 2
Pentru aX3+bX2+cX+d, cu a≠0, notăm s1=x1+x2+x3, s2=x1x2+x1x3+x2x3 și s3=x1x2x3. s2 are trei produse, fiecare din câte două rădăcini; nu este pătratul sumei.
Formulele au semnele minus, plus, minus: s1=−ba, s2=ca, s3=−da. Citim coeficienții cu semnul lor înainte de a aplica semnul formulei. Rădăcinile pot fi complexe și sunt numărate cu multiplicitate.
s1=−ba; s2=ca; s3=−da
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru 2X3+4X2−6X+8, află s1, s2 și s3.
Identificăm a=2, b=4, c=−6 și d=8.
Alegem separat fiecare dintre cele trei formule.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -42=-2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -62=-3.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -82=-4.
Obținem s1=−2, s2=−3 și s3=−4. Acestea sunt expresii ale rădăcinilor, nu cele trei rădăcini.
Greșeală frecventă:s2=x12+x22+x32.s2 este suma produselor câte două. Suma pătratelor se calculează printr-o identitate separată.
Restul la X−a: alegem semnul și calculăm P(a)
În P(X)=(X−a)Q(X)+r punem X=a. Produsul se anulează, deci r=P(a). Nu este nevoie să calculăm întregul cât dacă enunțul cere numai restul.
Numărul folosit este cel care anulează împărțitorul: X−3 cere P(3); X+3=X−(−3) cere P(−3). Apoi evaluăm polinomul cu aceeași ordine a operațiilor învățată anterior.
restul la X−a este P(a)
X+k=X−(−k)
Exemplu rezolvat · alte date
Află restul lui P=X2−X+2 la X+2.
X+2 se anulează la X=−2.
Restul este P(−2), nu P(2).
Restul la X−(-2) este P(-2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Restul este 8. Are grad 0, mai mic decât gradul 1 al împărțitorului.
Greșeală frecventă:La X+2 calculez P(2).Trebuie să anulezi împărțitorul. −2+2=0, de aceea alegi P(−2).
Restul la X−a: alegem semnul și calculăm P(a) · consolidare 2
În P(X)=(X−a)Q(X)+r punem X=a. Produsul se anulează, deci r=P(a). Nu este nevoie să calculăm întregul cât dacă enunțul cere numai restul.
Numărul folosit este cel care anulează împărțitorul: X−3 cere P(3); X+3=X−(−3) cere P(−3). Apoi evaluăm polinomul cu aceeași ordine a operațiilor învățată anterior.
restul la X−a este P(a)
X+k=X−(−k)
Exemplu rezolvat · alte date
Află restul lui P=X2−X+2 la X+2.
X+2 se anulează la X=−2.
Restul este P(−2), nu P(2).
Restul la X−(-2) este P(-2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Restul este 8. Are grad 0, mai mic decât gradul 1 al împărțitorului.
Greșeală frecventă:La X+2 calculez P(2).Trebuie să anulezi împărțitorul. −2+2=0, de aceea alegi P(−2).
Parametrul: din P(a)=0 la o ecuație
Parametrul, de exemplu m, este un coeficient necunoscut. X este variabila polinomului. Înlocuim X cu numărul care anulează împărțitorul și păstrăm m ca necunoscută a ecuației obținute.
Calculăm separat termenii fără m și coeficientul care îl înmulțește. Impunem P(a)=0 pentru divizibilitate sau valoarea indicată de enunț. Mutăm termenul cunoscut și împărțim la coeficientul nenul al lui m.
Dacă m se reduce, nu împărțim la zero. O egalitate 0=0 este adevărată pentru orice m; 0=5 nu are nicio soluție. După aflarea parametrului, îl verificăm în condiția inițială.
divizibilitate la X−a → P(a)=0
Exemplu rezolvat · alte date
P=X2+mX−10. Află m pentru care X−2 divide P.
Numărul care anulează X−2 este 2.
P(2)=4+2m−10; separăm termenii cunoscuți de parametrul m.
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+(-10)=-6. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Termenul cu parametrul devine 2·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
P(2)=0 cere 2m+(-6)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − (-6) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm 6 : 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
m=3. Verificare: 4+2·3−10=0, deci împărțirea este exactă.
Greșeală frecventă:Înlocuiesc și m cu numărul a.Numai X devine a. Parametrul rămâne necunoscut până când rezolvi ecuația rezultată.
Factorizarea și toate rădăcinile
Căutăm întâi factorul comun. Dacă termenul liber este zero și toți termenii conțin X, scoatem X; nu împărțim pur și simplu prin X, deoarece am pierde rădăcina 0. Diferența de pătrate se scrie A2−B2=(A−B)(A+B).
La X2−sX+p, două rădăcini r și t trebuie să aibă suma s și produsul p. Verificăm ambele condiții și scriem (X−r)(X−t). Semnul coeficientului lui X este minus suma rădăcinilor.
Când coeficientul lui X2 este a≠1, păstrăm și acest factor: a(X−r)(X−t). Putem verifica o factorizare propusă prin cele patru produse. De exemplu (X+1)(3X+2) dă 3X2, 2X, 3X și 2; adunând termenii cu X obținem 3X2+5X+2.
Dacă nu găsim ușor două rădăcini, folosim ecuația de gradul 2: pentru aX2+bX+c=0 calculăm Δ=b2−4ac. Dacă Δ≥0, rădăcinile reale sunt −b+√Δ2a și −b−√Δ2a. Calculăm separat pătratul, produsul 4ac, diferența, radicalul, fiecare numărător și numitorul. Δ<0 înseamnă că nu există rădăcini reale; în ℂ folosim √Δ=i√−Δ.
Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero. Rezolvăm fiecare factor, fără să pierdem rădăcinile negative. Pentru un cubic cu o rădăcină deja verificată, aplicăm Horner și rezolvăm câtul de grad 2.
A2−B2=(A−B)(A+B)
X2−(r+t)X+rt=(X−r)(X−t)
Δ=b2−4ac; x1,2=−b±√Δ2a, a≠0
Exemplu rezolvat · alte date
Factorizează X2−X−12 și află rădăcinile.
Citim suma rădăcinilor: minus coeficientul −1, deci 1.
Citim produsul rădăcinilor: −12.
Încercăm numerele 4 și −3.
4+(−3)=1: suma se potrivește.
4·(−3)=−12: produsul se potrivește.
Scriem (X−4)(X−(−3))=(X−4)(X+3).
X−4=0 dă X=4.
X+3=0 dă X=−3. Sunt ambele rădăcini.
Greșeală frecventă:Scot factorul X și uit rădăcina 0.Ecuația X·Q(X)=0 are și soluția X=0, pe lângă soluțiile lui Q(X)=0.
Restul la gradul 2: împărțire și reducerea puterilor
La un împărțitor de gradul 2, restul are forma aX+b. Pentru împărțirea completă, ordonăm puterile și punem coeficienții zero. Împărțim termenii dominanți, înmulțim tot împărțitorul cu termenul obținut și scădem pe fiecare coloană.
La D=X2−k putem reduce X2 la k în calculul resturilor. Scriem X2≡k, unde ≡ înseamnă «același rest la D», nu o egalitate pentru orice X. La D=X2+1 folosim X2≡−1. Înmulțim relația pentru puterile mai mari.
La D=X2+X+1, identitatea X3−1=(X−1)D arată X3≡1. Pentru o putere mare grupăm câte trei factori X. Dacă rămâne X2, îl reducem încă o dată la −X−1, ca gradul restului să fie mai mic decât 2.
P=DQ+R
X2+1: X2≡−1
X2+X+1: X3≡1 și X2≡−X−1
Exemplu rezolvat · alte date
Împarte 2X3+X2+3X+4 la X2+1.
Termenii dominanți sunt 2X3 și X2.
Urmărim fiecare scădere în aceeași coloană.
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + X + 4. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 4 − 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X + 3. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=2X + 1 și R=X + 3. Verificarea este D·Q+R=P.
Q=2X+1 și R=X+3. Verificăm: (X2+1)(2X+1)+X+3=2X3+X2+3X+4.
Greșeală frecventă:X2≡−1 înseamnă X2=−1 pentru orice număr real X.Semnul ≡ compară resturi la un împărțitor. Nu este o ecuație în variabila X.
Suma pătratelor: eliminăm produsele încrucișate
Dezvoltarea lui (x1+x2+x3)2 conține fiecare pătrat și încă de două ori fiecare produs câte două. De aceea suma pătratelor este s12−2s2. Aflăm întâi s1 și s2 din Viète.
Calculăm separat pătratul lui s1 și produsul 2s2, apoi scădem. Dacă s2 este negativ, scăderea acelui număr devine adunare. O sumă a pătratelor poate fi negativă când rădăcinile sunt complexe; nu presupunem fără dovadă că toate trei sunt reale.
x12+x22+x32=s12−2s2
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru X3−3X2−2X+6, află suma pătratelor rădăcinilor.
Nu rezolvăm ecuația cubică.
Luăm suma rădăcinilor și suma produselor câte două din coeficienți.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -21=-2.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-2) și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 9 − (-4) și obținem 13. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma pătratelor este 13, deoarece 9−(−4)=13.
Greșeală frecventă:Suma pătratelor este s12.Pătratul sumei include și produsele încrucișate. Trebuie să scazi 2s2.
Suma inverselor: verificăm că rădăcinile sunt nenule
1x1, 1x2 și 1x3 există numai dacă fiecare rădăcină este nenulă. Este suficient să verificăm s3≠0. Din Viète, s3=−da, deci pentru un cubic cu a≠0 avem nevoie de d≠0.
Aducem cele trei fracții la numitorul comun x1x2x3. La numărător rămân x2x3, x1x3 și x1x2, adică s2. Astfel suma inverselor este s2s3. Nu inversăm raportul și nu confundăm expresia cu 1s1.
1x1+1x2+1x3=s2s3, s3≠0
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru X3−3X2−X+3, află suma inverselor rădăcinilor.
Termenul liber 3 este nenul, deci 0 nu este rădăcină.
Putem forma toate cele trei inverse.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
Raportul este −1−3=13. Două semne minus dau o fracție pozitivă.
Greșeală frecventă:Suma inverselor este 1s1.Inversa unei sume nu este suma inverselor. Amplificarea fracțiilor arată că raportul corect este s2s3.
Suma cuburilor: trei rezultate separate
Fiecare rădăcină xi verifică a xi3+b xi2+c xi+d=0. Împărțim la a≠0 și folosim Viète: xi3=s1xi2−s2xi+s3. Adunând relația pentru cele trei rădăcini obținem S3=s1S2−s2s1+3s3, unde S2 este suma pătratelor.
Înlocuim S2=s12−2s2 și rezultă S3=s13−3s1s2+3s3. Calculăm fiecare termen separat, apoi le combinăm cu semnele formulei. s13 nu este același lucru cu suma cuburilor rădăcinilor.
S3=s13−3s1s2+3s3
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru X3−3X2−X+3, află suma cuburilor rădăcinilor.
Notăm S3=x13+x23+x33.
Construim formula din coeficienții polinomului.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 9 · 3 și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 3 · (-1) și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 27 − (-9) și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 36 + (-9) și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma cuburilor este 27. Cele trei contribuții au fost 27, +9 și −9.
Greșeală frecventă:S3=(x1+x2+x3)3.Cubul sumei include și produse mixte. Formula corectă le corectează prin −3s1s2+3s3.
Suma cuburilor: trei rezultate separate · consolidare 2
Fiecare rădăcină xi verifică a xi3+b xi2+c xi+d=0. Împărțim la a≠0 și folosim Viète: xi3=s1xi2−s2xi+s3. Adunând relația pentru cele trei rădăcini obținem S3=s1S2−s2s1+3s3, unde S2 este suma pătratelor.
Înlocuim S2=s12−2s2 și rezultă S3=s13−3s1s2+3s3. Calculăm fiecare termen separat, apoi le combinăm cu semnele formulei. s13 nu este același lucru cu suma cuburilor rădăcinilor.
S3=s13−3s1s2+3s3
Exemplu rezolvat · alte date
Pentru X3−3X2−X+3, află suma cuburilor rădăcinilor.
Notăm S3=x13+x23+x33.
Construim formula din coeficienții polinomului.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -31=-3.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 9 · 3 și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 3 · (-1) și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-3) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 27 − (-9) și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 36 + (-9) și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma cuburilor este 27. Cele trei contribuții au fost 27, +9 și −9.
Greșeală frecventă:S3=(x1+x2+x3)3.Cubul sumei include și produse mixte. Formula corectă le corectează prin −3s1s2+3s3.
Probleme complete de Bac · a), b), c)
Acum legăm metodele într-o singură problemă. Citim separat fiecare subpunct; dacă un parametru primește o valoare numai la b), nu o folosim automat și la c). Păstrăm toate datele pe ecran și revenim la enunțul general când ni se cere.
La a) prezentăm înlocuirea și calculul, nu doar rezultatul. La b) prezentăm câtul, restul și condiția de divizibilitate sau toate rădăcinile. La c) scriem relațiile lui Viète și identitatea folosită înainte de calcul. Concluzia trebuie să răspundă exact cerinței.
Cele trei subpuncte rămân în aceeași problemă, cu pași separați. După finalizare poți reciti toată rezolvarea și paragraful «Redactare pentru Bac». Cele 15 puncte descriu formatul unei probleme de examen; acest antrenament ghidat nu este o notă de simulare independentă.
Model complet rezolvat · alte date
Model original de tip Bac · M2. P(X)=X3 − 5X2 − X + 5. a) Arată că P(1)=0. b) Află câtul și restul la X−1. c) Calculează x12+x22+x32 pentru toate rădăcinile lui P.
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+(-5)·(1)2+(-1)·(1)+5=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Prin Bézout, P(1)=0 dovedește că 1 este rădăcină și X−1 este factor.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -5 din coloana 2: (1)·(1)+(-5)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-4)·(1)+(-1)=-5. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -5, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 5 din coloana 4: (-5)·(1)+(5)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -5, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 51=5.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 5 · 5 și obținem 25. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 25 − (-2) și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 27.
Redactare pentru Bac: a) P(1)=0. b) Q=X2 − 4X − 5, R=0. c) s1=5, s2=−1, deci S2=52−2(−1)=27.
Greșeală frecventă:Folosesc la c) parametrul numeric impus numai la b).Condiția numerică de la un subpunct nu se transferă automat. Recitim parametrul și condițiile exacte ale subpunctului curent.
Exerciții rezolvate din lecție (63)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Calculează P(1) pentru P(X)=X + 2.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)+2=3. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 3
Exercițiul 2
Calculează P(1) pentru P(X)=2X + 3.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=2·(1)+3=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 5
Exercițiul 3
Calculează P(0) pentru P(X)=X + 4.
Vezi rezolvarea
P(0) cere să înlocuim fiecare X cu (0), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(0)=1·(0)+4=4. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 4
Exercițiul 4
Calculează P(1) pentru P(X)=X2 + 1.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)2+1=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 2
Exercițiul 5
Calculează P(2) pentru P(X)=X2 + X + 2.
Vezi rezolvarea
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)2+1·(2)+2=8. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 8
Exercițiul 6
Calculează P(2) pentru P(X)=2X2 − X + 1.
Vezi rezolvarea
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=2·(2)2+(-1)·(2)+1=7. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 7
Exercițiul 7
Calculează P(-1) pentru P(X)=X2 + 2X + 3.
Vezi rezolvarea
P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-1)=1·(-1)2+2·(-1)+3=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 2
Exercițiul 8
Calculează P(-2) pentru P(X)=X2 − X + 1.
Vezi rezolvarea
P(-2) cere să înlocuim fiecare X cu (-2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-2)=1·(-2)2+(-1)·(-2)+1=7. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 7
Exercițiul 9
Calculează P(-1) pentru P(X)=2X2 + X − 1.
Vezi rezolvarea
P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-1)=2·(-1)2+1·(-1)+(-1)=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 0
Exercițiul 10
Calculează P(1) pentru P(X)=X3 − X + 2.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+(-1)·(1)+2=2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 2
Exercițiul 11
Calculează P(2) pentru P(X)=X3 − X2 + 1.
Vezi rezolvarea
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=1·(2)3+(-1)·(2)2+1=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 5
Exercițiul 12
Calculează P(-1) pentru P(X)=X3 + X2 − 2X + 3.
Vezi rezolvarea
P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-1)=1·(-1)3+1·(-1)2+(-2)·(-1)+3=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Răspuns: 5
Exercițiul 13
Pentru P(X)=2X3−X2−5X+2, calculează P(0).
Vezi rezolvarea
Termenii care conțin X devin zero.
Rămâne doar termenul liber 2.
Prin urmare P(0)=2.
Răspuns: 2
Exercițiul 14
Pentru același P, verifică dacă X−2 este factor.
P(X)=2X3−X2−5X+2. Verificăm factorul X−2 prin P(2).
Vezi rezolvarea
P(2) cere să înlocuim fiecare X cu (2), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(2)=2·(2)3+(-1)·(2)2+(-5)·(2)+2=4. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Prin Bézout, X−2 nu este factor.
Răspuns: Nu, deoarece P(2)=4
Exercițiul 15
P(X)=X2+2X−1. Calculează P(−1).
Vezi rezolvarea
P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-1)=1·(-1)2+2·(-1)+(-1)=-2. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Rezultatul cerut este -2.
Răspuns: -2
Exercițiul 16
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − 3X2 + 2X − 4.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-31=3. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=21=2. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-41=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=3; x1x2+x1x3+x2x3=2; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=3; T=2; P=4
Exercițiul 17
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 2X2 − X + 3.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−21=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-11=-1. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−31=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-1; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=-2; T=-1; P=-3
Exercițiul 18
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 4X − 2.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−01=0. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=41=4. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-21=2. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=0; x1x2+x1x3+x2x3=4; x1x2x3=2. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=0; T=4; P=2
Exercițiul 19
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − 5X2 − 2X + 1.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-51=5. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-21=-2. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−11=-1. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=5; x1x2+x1x3+x2x3=-2; x1x2x3=-1. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=5; T=-2; P=-1
Exercițiul 20
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 + 4X2 − 3.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−41=-4. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=01=0. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-31=3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=-4; x1x2+x1x3+x2x3=0; x1x2x3=3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=-4; T=0; P=3
Exercițiul 21
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru X3 − X2 + 3X.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-11=1. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=31=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−01=0. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=1; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=0. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=1; T=3; P=0
Exercițiul 22
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 − 6X2 + 4X − 8.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-62=3. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=42=2. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-82=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=3; x1x2+x1x3+x2x3=2; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=3; T=2; P=4
Exercițiul 23
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 2X3 + 4X2 − 2X + 6.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−42=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-22=-1. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−62=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-1; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=-2; T=-1; P=-3
Exercițiul 24
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 3X3 − 6X2 + 9X − 3.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-63=2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=93=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-33=1. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=2; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=1. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=2; T=3; P=1
Exercițiul 25
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru −X3 + 2X2 − 3X + 4.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−2-1=2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-3-1=3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−4-1=4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=2; x1x2+x1x3+x2x3=3; x1x2x3=4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=2; T=3; P=4
Exercițiul 26
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru −2X3 − 4X2 + 6X − 8.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−-4-2=-2. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=6-2=-3. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−-8-2=-4. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=-2; x1x2+x1x3+x2x3=-3; x1x2x3=-4. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=-2; T=-3; P=-4
Exercițiul 27
Scrie relațiile lui Viète de gradul 3 pentru 4X3 − 8X + 12.
Vezi rezolvarea
Păstrăm semnele și scriem 0 pentru un termen lipsă. a este coeficientul lui X3, b al lui X2, c al lui X și d termenul liber.
S=−04=0. Minusul formulei se aplică și unui b negativ.
T=-84=-2. Relația pentru produsele câte două are plus.
P=−124=-3. La gradul 3, produsul tuturor rădăcinilor are minus în fața termenului liber.
x1+x2+x3=0; x1x2+x1x3+x2x3=-2; x1x2x3=-3. Nu am calculat rădăcinile: relațiile vin direct din coeficienți.
Răspuns: S=0; T=-2; P=-3
Exercițiul 28
Rădăcinile lui aX3+X2−2X+2 au suma −1a. Ce relație Viète am folosit?
Vezi rezolvarea
Pentru cubic, suma rădăcinilor este −ba.
Aici b=1.
De aceea suma devine −1a.
Răspuns: x1+x2+x3=−ba
Exercițiul 29
Pentru P(X)=2X3−3X2+4X−6, cât este x1x2x3?
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 62=3.
Rezultă 62=3.
Răspuns: 3
Exercițiul 30
Pentru P(X)=2X3−3X2+4X−6, cât este x1x2+x1x3+x2x3?
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 42=2.
Obținem 42=2.
Răspuns: 2
Exercițiul 31
Pentru X3−2X2+3X−4, cât este s1?
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
s1 este opusul său: 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 32
Pentru X3−2X2+3X−4, cât este s2?
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
s2=3.
Răspuns: 3
Exercițiul 33
Pentru X3−2X2+3X−4, cât este s3?
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
s3=4.
Răspuns: 4
Exercițiul 34
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−1.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(1) este P(1). La X+1, argumentul este negativ când a<0.
P(1)=1·(1)2+2·(1)+3=6. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=6. Pătratul este 1, produsul este 2; suma 1+2+3 este 6.
Răspuns: R = 6
Exercițiul 35
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−2.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(2) este P(2). La X+2, argumentul este negativ când a<0.
P(2)=1·(2)2+2·(2)+3=11. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=11. Pătratul este 4, produsul este 4; suma 4+4+3 este 11.
Răspuns: R = 11
Exercițiul 36
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−3.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(3) este P(3). La X+3, argumentul este negativ când a<0.
P(3)=1·(3)2+2·(3)+3=18. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=18. Pătratul este 9, produsul este 6; suma 9+6+3 este 18.
Răspuns: R = 18
Exercițiul 37
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−4.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(4) este P(4). La X+4, argumentul este negativ când a<0.
P(4)=1·(4)2+2·(4)+3=27. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=27. Pătratul este 16, produsul este 8; suma 16+8+3 este 27.
Răspuns: R = 27
Exercițiul 38
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−5.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(5) este P(5). La X+5, argumentul este negativ când a<0.
P(5)=1·(5)2+2·(5)+3=38. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=38. Pătratul este 25, produsul este 10; suma 25+10+3 este 38.
Răspuns: R = 38
Exercițiul 39
Află restul împărțirii lui P(X)=X2+2X+3 la X−6.
Vezi rezolvarea
Restul la X−(6) este P(6). La X+6, argumentul este negativ când a<0.
P(6)=1·(6)2+2·(6)+3=51. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
R=51. Pătratul este 36, produsul este 12; suma 36+12+3 este 51.
Răspuns: R = 51
Exercițiul 40
P(X)=aX3+X2−2X+2 este divizibil cu X+1. Care este primul pas?
Vezi rezolvarea
X+1=X−(−1).
Bézout leagă divizibilitatea de anularea în −1.
Primul pas corect este P(−1)=0.
Răspuns: Scriem P(−1)=0
Exercițiul 41
Din condiția P(−1)=0 pentru P(X)=aX3+X2−2X+2, ce ecuație obții?
Vezi rezolvarea
P(-1) cere să înlocuim fiecare X cu (-1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(-1)=1·(-1)2+(-2)·(-1)+2=5. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Termenul cu parametrul devine -1·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
P(-1)=0 cere -1m+(5)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − 5 și obținem -5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm (-5) : (-1) și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Condiția este 5−a=0.
Răspuns: 5−a=0
Exercițiul 42
Află a astfel încât P(X)=X3+aX+2 să fie divizibil cu X−1.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+2=3. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Termenul cu parametrul devine 1·m. Puterea lui X a fost calculată separat.
P(1)=0 cere 1m+(3)=0. Pentru divizibilitate, ținta este zero.
Mutăm termenul cunoscut în membrul drept: calculăm 0 − 3 și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim la coeficientul parametrului: calculăm (-3) : 1 și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
a=−3, iar P(1)=1−3+2=0. a+3=0 dă a=−3. Restul nul confirmă divizibilitatea.
Răspuns: a = −3
Exercițiul 43
Pentru P(X)=X3−2X2−X+2, care valoare este rădăcină?
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+(-2)·(1)2+(-1)·(1)+2=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Valoarea polinomului este zero; rădăcina este argumentul 1 pe care l-am înlocuit, nu valoarea zero obținută.
Echivalent, X−1 divide P.
Răspuns: 1
Exercițiul 44
Factorizează X3−2X2−X+2.
Vezi rezolvarea
X3−2X2=X2(X−2), iar −X+2=−(X−2). Păstrăm minusul din al doilea grup.
Rămâne (X−2)(X2−1). Diferența de pătrate dă X2−1=(X−1)(X+1).
Diferența de pătrate dă (X−2)(X−1)(X+1).
Răspuns: (X−2)(X−1)(X+1)
Exercițiul 45
Factorizează X2−5X+6.
Vezi rezolvarea
Suma celor două rădăcini candidate: calculăm 2 + 3 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul celor două rădăcini candidate: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Fiecare rădăcină r dă factorul X−r. Verificăm și coeficientul lui X, care este minus suma rădăcinilor.
X−r1=0 dă X=r1.
X−r2=0 dă X=r2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
Rezultatul cerut este (X−2)(X−3).
Răspuns: (X−2)(X−3)
Exercițiul 46
După ce găsești a=5, ce relație folosești modulo X2−2?
Vezi rezolvarea
Modulo X2−2, expresia X2−2 este echivalentă cu zero.
Mutăm −2 în partea cealaltă.
Obținem X2≡2, apoi X3≡2X.
Răspuns: X2≡2
Exercițiul 47
Care este restul final pentru P(X)=5X3+X2−2X+2 modulo X2−2?
Vezi rezolvarea
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 5 : 1 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 5X, nu doar numărul 5.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 5 · 1 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 5 − 5 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 5 · (-2) și obținem -10. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm (-2) − (-10) și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + 8X + 2. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · (-2) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − (-2) și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 8X + 4. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=5X + 1 și R=8X + 4. Verificarea este D·Q+R=P.
Termenii liberi dau 4, deci restul este 8X+4.
Răspuns: 8X+4
Exercițiul 48
Află restul lui 2X3 + X2 + 5X + 6 la X2+1.
Vezi rezolvarea
La fiecare scădere mutăm un produs D·termen în cât. Ne oprim când restul este zero sau are grad mai mic decât D.
Puterea termenului 1 din cât: calculăm 3 − 2 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 1 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 2 : 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 2X, nu doar numărul 2.
Produsul pentru X3, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X3, scădem coeficientul produsului: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru X, înmulțim coeficienții: calculăm 2 · 1 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X, scădem coeficientul produsului: calculăm 5 − 2 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: X2 + 3X + 6. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Puterea termenului 2 din cât: calculăm 2 − 2 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul 2 al câtului, împărțim coeficienții dominanți: calculăm 1 : 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Împărțim coeficienții și scădem exponenții. Termenul din cât este 1, nu doar numărul 1.
Produsul pentru X2, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana X2, scădem coeficientul produsului: calculăm 1 − 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul pentru termenul liber, înmulțim coeficienții: calculăm 1 · 1 și obținem 1. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Coloana termenul liber, scădem coeficientul produsului: calculăm 6 − 1 și obținem 5. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Citim coeficienții rămași în ordinea puterilor: 3X + 5. Dacă mai există un termen de grad cel puțin 2, repetăm împărțirea termenilor dominanți.
Restul nu mai are un termen de grad cel puțin egal cu cel al împărțitorului. Gradul polinomului zero nu trebuie folosit în comparație.
Q=2X + 1 și R=3X + 5. Verificarea este D·Q+R=P.
Rezultatul cerut este 3X + 5.
Răspuns: 3X + 5
Exercițiul 49
Pentru X3−2X2+3X−4, află suma pătratelor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 4 − 6 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Σxi2=4−6=−2. Rădăcinile nu sunt toate reale; nu este o contradicție.
Răspuns: −2
Exercițiul 50
Pentru X3−6X2+11X−6, află suma pătratelor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 11, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 111=11.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 6 · 6 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · 11 și obținem 22. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 36 − 22 și obținem 14. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
36−22=14.
Răspuns: 14
Exercițiul 51
P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma pătratelor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 4 − (-2) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 52
Dacă rădăcinile anterioare sunt nenule, cât este 1x1+1x2+1x3?
P(X)=2X3−3X2+4X−6, cu s2=2 și s3=3; rădăcinile sunt nenule deoarece produsul lor este 3.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
a=2, coeficientul din numărător=-3. Cu semnul formulei rezultă 32; păstrăm fracția exactă.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 42=2.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 62=3.
s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
Rezultatul este 23.
Răspuns: 23
Exercițiul 53
Pentru X3−2X2+3X−4, află suma inverselor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
Suma inverselor este s2s3=34.
Răspuns: 34
Exercițiul 54
P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma inverselor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -21=-2.
s3 este produsul tuturor rădăcinilor. Dacă este nenul, nicio rădăcină nu este zero și inversele există.
Fiecare fracție se amplifică cu celelalte două rădăcini. Numărătorul este s2, numitorul s3.
Suma inverselor este s2s3. Păstrăm numărătorul și numitorul în această ordine.
Rezultatul cerut este 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 55
Pentru X3−2X2+3X−4, află suma cuburilor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 3, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 31=3.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 4 · 2 și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 2 · 3 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 6 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 4 și obținem 12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 8 − 18 și obținem -10. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm (-10) + 12 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adunăm: 2·(−2)−3·2+12=2.
Răspuns: 2
Exercițiul 56
Pentru X3+X−1, află suma cuburilor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 0, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 01=0.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 11=1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 11=1.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 0 · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 0 · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 0 · 1 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 1 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 0 − 0 și obținem 0. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 0 + 3 și obținem 3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma rădăcinilor este 0, deci suma cuburilor este 3−0=3.
Răspuns: 3
Exercițiul 57
Pentru X3−6X2+11X−6, află suma cuburilor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 11, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 111=11.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 61=6.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 6 · 6 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 36 · 6 și obținem 216. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 6 · 11 și obținem 66. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 66 și obținem 198. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 6 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 216 − 198 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 18 + 18 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
6·14−11·6+3·6=36.
Răspuns: 36
Exercițiul 58
Pentru 2X3−6X2+4X−8, află suma cuburilor rădăcinilor.
x1,x2,x3 sunt toate cele trei rădăcini în ℂ, numărate cu multiplicitate. s1 este suma lor, s2 suma produselor câte două, s3 produsul tuturor. Rădăcinile nu sunt presupuse reale.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -6, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 62=3.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: 42=2.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=2; coeficientul necesar la numărător este -8, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 82=4.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 3 · 3 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 9 · 3 și obținem 27. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 3 · 2 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · 6 și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · 4 și obținem 12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 27 − 18 și obținem 9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 9 + 12 și obținem 21. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Suma cuburilor: 3·5−2·3+12=21.
Răspuns: 21
Exercițiul 59
P=X3 − 2X2 − X + 2. Află suma cuburilor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -21=-2.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 4 · 2 și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-2) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-2) și obținem -6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 8 − (-6) și obținem 14. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 14 + (-6) și obținem 8. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 8.
Răspuns: 8
Exercițiul 60
P=X3 − 4X2 − X + 4. Află suma cuburilor tuturor rădăcinilor.
Vezi rezolvarea
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
Pentru gradul 3, folosim −da. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este 4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: -41=-4.
Notând S2 suma pătratelor, S3=s1S2−s2s1+3s3. Înlocuim S2=s12−2s2 și obținem formula aleasă.
Mai întâi pătratul lui s1: calculăm 4 · 4 și obținem 16. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim încă o dată pentru cubul lui s1: calculăm 16 · 4 și obținem 64. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Produsul s1s2: calculăm 4 · (-1) și obținem -4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Înmulțim produsul cu 3: calculăm 3 · (-4) și obținem -12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Separat, calculăm 3s3: calculăm 3 · (-4) și obținem -12. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Din cub scădem 3s1s2: calculăm 64 − (-12) și obținem 76. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Adăugăm ultimul termen: calculăm 76 + (-12) și obținem 64. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 64.
Răspuns: 64
Exercițiul 61
Bac 2018 · M2 · II.2. f=4X3−6X+m. a) Pentru m=2, arată că f(1)=0. b) Arată că f nu este divizibil cu X2+X+1 pentru niciun m real. c) Află m≠0 pentru care (1x1+1x2+1x3)2=1x1x2x3.
La b) și c) revenim la parametrul general m. Pentru c), rădăcinile sunt în ℂ și sunt nenule deoarece f(0)=m≠0.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=4·(1)3+(-6)·(1)+2=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
La a) se folosește numai m=2. Egalitatea f(1)=0 confirmă cerința.
X3−1=(X−1)(X2+X+1), deci X3 și 1 au același rest.
b) Reducem termenul 4X3: calculăm 4 · 1 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Termenul cubic dă restul 4, termenul −6X este deja de grad 1, iar constanta m rămâne.
Coeficientul −6 nu depinde de m și nu poate fi zero.
Pentru polinomul zero ar trebui să se anuleze toți coeficienții. Alegerea m=−4 anulează numai constanta, nu și −6X.
Dacă 0 ar fi rădăcină, termenul liber ar fi zero. m≠0 exclude această situație.
Coeficientul lui X este −6, iar coeficientul dominant este 4.
La gradul 3, produsul este minus termenul liber, împărțit la coeficientul dominant.
−64−m4=−6−m. Coeficientul 4 se simplifică, iar două semne minus dau plus.
Suma inverselor este 6m, pentru m≠0.
Inversa lui −m4 este −4m. Nu confundăm suma inverselor cu produsul inverselor.
c) Ridicăm numărătorul sumei la pătrat: calculăm 6 · 6 și obținem 36. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Pătratul lui 6m este 36m2, iar produsul inverselor este −4m.
m2m=m pentru m≠0. Această înmulțire nu adaugă soluția interzisă m=0.
c) Aflăm parametrul: calculăm 36 : (-4) și obținem -9. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
m=−9 este nenul. Verificare: suma inverselor este −23, pătratul 49; produsul inverselor este tot 49.
Redactare: a) 4−6+2=0. b) Restul −6X+m+4 nu este niciodată polinomul zero. c) s2=−64, s3=−m4; condiția devine 36m2=−4m, deci m=−9.
Răspuns: −9
Exercițiul 62
Model original de tip Bac · M2. P(X)=X3 − 2X2 − X + 2. a) Arată că P(1)=0. b) Află câtul și restul la X−1. c) Calculează x12+x22+x32 pentru toate rădăcinile lui P.
Rezolvi toate cele trei subpuncte în aceeași problemă. Datele și calculele intermediare rămân pe ecran. Rădăcinile sunt considerate în ℂ, cu multiplicitate.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+(-2)·(1)2+(-1)·(1)+2=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Prin Bézout, P(1)=0 dovedește că 1 este rădăcină și X−1 este factor.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -2 din coloana 2: (1)·(1)+(-2)=-1. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-1)·(1)+(-1)=-2. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -2, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 2 din coloana 4: (-2)·(1)+(2)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -2, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 21=2.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 2 · 2 și obținem 4. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 4 − (-2) și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 6.
Redactare pentru Bac: a) P(1)=0. b) Q=X2 − X − 2, R=0. c) s1=2, s2=−1, deci S2=22−2(−1)=6.
Răspuns: 6
Exercițiul 63
Model original de tip Bac · M2. P(X)=X3 − 4X2 − X + 4. a) Arată că P(1)=0. b) Află câtul și restul la X−1. c) Calculează x12+x22+x32 pentru toate rădăcinile lui P.
Rezolvi toate cele trei subpuncte în aceeași problemă. Datele și calculele intermediare rămân pe ecran. Rădăcinile sunt considerate în ℂ, cu multiplicitate.
Vezi rezolvarea
P(1) cere să înlocuim fiecare X cu (1), inclusiv în puteri. Coeficienții rămân pe loc.
P(1)=1·(1)3+(-4)·(1)2+(-1)·(1)+4=0. Calculăm puterile, apoi produsele și suma. Parantezele din jurul unui argument negativ păstrează corect semnul puterii.
Prin Bézout, P(1)=0 dovedește că 1 este rădăcină și X−1 este factor.
Fiecare coloană corespunde unei puteri. Când lipsește un termen, scriem coeficientul 0; altfel schimbăm polinomul.
Primul coeficient se copiază. Nu îl înmulțim și nu îl adunăm încă.
Luăm rezultatul precedent 1, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -4 din coloana 2: (1)·(1)+(-4)=-3. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -3, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul -1 din coloana 3: (-3)·(1)+(-1)=-4. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Luăm rezultatul precedent -4, îl înmulțim cu argumentul 1, apoi adunăm coeficientul 4 din coloana 4: (-4)·(1)+(4)=0. Scriem rezultatul în această coloană, nu în cea precedentă.
Ultima coloană este restul. Toate coloanele precedente dau coeficienții câtului, care are grad cu unu mai mic.
Pentru gradul 3, folosim −ba. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -4, cu semnul din polinom. Aplicăm minusul formulei și apoi împărțirea la a: 41=4.
Pentru gradul 3, folosim ca. Citim coeficienții, fără să calculăm rădăcinile.
Coeficientul dominant este a=1; coeficientul necesar la numărător este -1, cu semnul din polinom. Aplicăm împărțirea la a: -11=-1.
(x1+x2+x3)2 conține pătratele și încă 2s2. Scădem 2s2 ca să rămână doar pătratele.
Calculăm pătratul lui s1: calculăm 4 · 4 și obținem 16. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Calculăm separat 2s2: calculăm 2 · (-1) și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Scădem cele două rezultate: calculăm 16 − (-2) și obținem 18. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
Rezultatul cerut este 18.
Redactare pentru Bac: a) P(1)=0. b) Q=X2 − 3X − 4, R=0. c) s1=4, s2=−1, deci S2=42−2(−1)=18.
Răspuns: 18
Antrenament progresiv · de la definiție la modelul de Bac (12)
1. Pornim de la zero
Pentru P(X)=2X3−X2−5X+2, calculează P(0).
Vezi răspunsul
P(0) = 2
2. Pornim de la zero
Pentru același P, verifică dacă X−2 este factor.
Vezi răspunsul
Nu: P(2) = 16 − 4 − 10 + 2 = 4 ≠ 0.
3. Pornim de la zero
Pentru P(X)=X3−2X2−X+2, care valoare este rădăcină?
Vezi răspunsul
1 (P(1) = 0); rădăcini sunt și −1 și 2.
4. Pornim de la zero
Factorizează X3−2X2−X+2.
Vezi răspunsul
X2(X − 2) − (X − 2) = (X − 2)(X − 1)(X + 1)
5. Legăm regulile
Rădăcinile lui aX3+X2−2X+2 au suma −1a. Ce relație Viète am folosit?
Vezi răspunsul
x1 + x2 + x3 = −ba, aici b = 1.
6. Legăm regulile
Pentru P(X)=2X3−3X2+4X−6, cât este x1x2x3?
Vezi răspunsul
−da = 62 = 3
7. Legăm regulile
Pentru P(X)=2X3−3X2+4X−6, cât este x1x2+x1x3+x2x3?
Vezi răspunsul
ca = 42 = 2
8. Legăm regulile
Dacă rădăcinile anterioare sunt nenule, cât este 1x1+1x2+1x3?
Vezi răspunsul
(x1x2 + x1x3 + x2x3) : (x1x2x3) = 23
9. Legăm regulile
P(X)=aX3+X2−2X+2 este divizibil cu X+1. Care este primul pas?
Vezi răspunsul
Pui condiția P(−1) = 0 (teorema lui Bézout).
10. Rezolvi ca la Bac
Din condiția P(−1)=0 pentru P(X)=aX3+X2−2X+2, ce ecuație obții?
Vezi răspunsul
−a + 1 + 2 + 2 = 0, adică 5 − a = 0.
11. Rezolvi ca la Bac
După ce găsești a=5, ce relație folosești modulo X2−2?
Vezi răspunsul
X2 = 2, deci X3 = 2X.
12. Rezolvi ca la Bac
Care este restul final pentru P(X)=5X3+X2−2X+2 modulo X2−2?