Încărcăm partea curentă…

Parabola · grafic, vârf și toate situațiile

Din formulă desenăm deschiderea și vârful

Graficul lui f(x)=ax2+bx+c, cu a diferit de zero, este o parabolă. Dacă a>0, brațele se deschid în sus; dacă a<0, se deschid în jos. Axa de simetrie trece prin vârf și are ecuația x=xV.

Aflăm xV=−b2a, apoi calculăm yV=f(xV). Scriem vârful ca punct V(xV,yV), nu doar cele două numere separate. Acest punct ne ajută să desenăm parabola și să-i aflăm minimul sau maximul.

De ținut minte

xV=−b2a
yV=f(xV)
V(xV,yV)
  • Axa x=3 este o dreaptă; vârful V(3,−1) este un punct.

Exemplu cu alte date

Află vârful parabolei g(x)=x2−6x+8.

  1. 1a=1>0, deci parabola se deschide în sus.
  2. 2xV=−−62·1=3.
  3. 3yV=g(3)=9−18+8=−1; vârful este V(3,−1).
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Parabola · grafic, vârf și toate situațiile: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Din formulă desenăm deschiderea și vârful

Graficul lui f(x)=ax2+bx+c, cu a diferit de zero, este o parabolă. Dacă a>0, brațele se deschid în sus; dacă a<0, se deschid în jos. Axa de simetrie trece prin vârf și are ecuația x=xV.

Aflăm xV=−b2a, apoi calculăm yV=f(xV). Scriem vârful ca punct V(xV,yV), nu doar cele două numere separate. Acest punct ne ajută să desenăm parabola și să-i aflăm minimul sau maximul.

  • xV=−b2a
  • yV=f(xV)
  • V(xV,yV)
  • Axa x=3 este o dreaptă; vârful V(3,−1) este un punct.

Exemplu cu alte date

Află vârful parabolei g(x)=x2−6x+8.

  1. a=1>0, deci parabola se deschide în sus.
  2. xV=−−62·1=3.
  3. yV=g(3)=9−18+8=−1; vârful este V(3,−1).

Intersecțiile cu Oy și Ox

Pe axa Oy avem x=0, deci punctul este întotdeauna (0,f(0))=(0,c). Pe axa Ox avem y=0; rezolvăm ecuația ax2+bx+c=0 și fiecare rădăcină reală devine un punct de forma (x,0).

Dacă Δ<0, parabola nu atinge Ox. Dacă Δ=0, atinge Ox într-un singur punct. Dacă Δ>0, avem două puncte de intersecție. Nu schimba între ele coordonatele punctelor.

  • Oy: (0,c)
  • Ox: (x1,0), (x2,0), dacă există
  • Pentru Ox rezolvi f(x)=0; pentru Oy înlocuiești x cu 0.

Exemplu cu alte date

Găsește intersecțiile cu axele pentru g(x)=x2−5x+4.

  1. Oy: x=0 ⇒ g(0)=4, deci (0,4).
  2. Ox: x2−5x+4=(x−1)(x−4)=0.
  3. Rădăcinile 1 și 4 dau punctele (1,0) și (4,0).

Minim, variație și semn din desen

O parabolă cu a>0 coboară până la vârf și apoi urcă; valoarea din vârf este minimul. Dacă a<0, urcă până la vârf și apoi coboară; valoarea din vârf este maximul.

Semnul funcției se citește față de axa Ox: deasupra avem f(x)>0, pe axă f(x)=0, iar dedesubt f(x)<0. Capetele unde f(x)=0 nu intră într-o inegalitate strictă.

  • a>0: minimul este yV
  • sub Ox ⇔ f(x)<0
  • Vârful determină minimul sau maximul; rădăcinile determină intervalele de semn.

Exemplu cu alte date

Pentru g(x)=x2−6x+8, unde este graficul sub Ox?

  1. Rădăcinile sunt 2 și 4, iar a=1>0.
  2. Parabola deschisă în sus coboară sub Ox între rădăcini.
  3. Prin urmare g(x)<0 pentru x∈(2,4); capetele nu intră.

Situații de Bac: tangență, punct comun, formă canonică

Pentru ca parabola să atingă axa Ox într-un singur punct, impunem Δ=0. Pentru punctele comune cu o dreaptă, egalăm cele două formule ale lui y, aflăm x și apoi calculăm y pentru fiecare soluție.

Forma canonică se obține prin completarea pătratului: adunăm și scădem același număr ca să formăm (x−h)2. Așa putem vedea vârful fără desen și putem verifica minimul sau maximul.

  • tangentă la Ox ⇔ Δ=0
  • x2+2px=(x+p)2−p2
  • La două grafice, după ce găsești x, calculează și coordonata y.

Exemplu cu alte date

Scrie g(x)=x2+4x+7 în formă canonică.

  1. Luăm jumătatea lui 4, adică 2, și formăm (x+2)2=x2+4x+4.
  2. Ca să păstrăm expresia, scriem x2+4x+7=(x+2)2−4+7.
  3. Obținem g(x)=(x+2)2+3, cu vârful (−2,3).

Exerciții rezolvate din lecție (13)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru f(x) = x2 − 4x + 3, în ce sens se deschide parabola?

    Vezi rezolvarea
    1. Coeficientul lui x2 este a = 1 > 0.
    2. Pentru a > 0, ramurile parabolei sunt orientate în sus.

    Răspuns: în sus

  2. Exercițiul 2

    Care este ecuația axei de simetrie pentru f(x) = x2 − 4x + 3?

    Vezi rezolvarea
    1. xV = −b2a = −−42 · 1.
    2. xV = 2.
    3. Axa de simetrie este x = 2.

    Răspuns: x = 2

  3. Exercițiul 3

    Determină vârful parabolei f(x) = x2 − 4x + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. xV = 2.
    2. yV = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.
    3. Vârful este V(2, −1).

    Răspuns: V(2, −1)

  4. Exercițiul 4

    Care este intersecția cu Oy pentru aceeași funcție?

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = 3.
    2. Punctul de intersecție cu Oy este A(0, 3).

    Răspuns: A(0, 3)

  5. Exercițiul 5

    Determină intersecțiile cu Ox ale parabolei y = x2 − 4x + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Ecuația x2 − 4x + 3 = 0 se descompune (x − 1)(x − 3) = 0.
    2. Rădăcinile sunt 1 și 3.
    3. Intersecțiile sunt A(1, 0) și B(3, 0).

    Răspuns: A(1, 0), B(3, 0)

  6. Exercițiul 6

    Pe ce interval este f(x) = x2 − 4x + 3 descrescătoare?

    Vezi rezolvarea
    1. Vârful are abscisa 2.
    2. Până la x = 2, valorile funcției scad.
    3. Funcția este descrescătoare pe (−∞, 2].

    Răspuns: (−∞, 2]

  7. Exercițiul 7

    Care este valoarea minimă a funcției f(x) = x2 − 4x + 3?

    Vezi rezolvarea
    1. Parabola este deschisă în sus.
    2. Vârful este V(2, −1).
    3. Valoarea minimă este −1.

    Răspuns: −1

  8. Exercițiul 8

    Pentru ce x este f(x) < 0?

    Vezi rezolvarea
    1. Rădăcinile sunt 1 și 3, iar a > 0.
    2. Parabola este sub Ox între rădăcini.
    3. Deci x ∈ (1, 3).

    Răspuns: x ∈ (1, 3)

  9. Exercițiul 9

    O parabolă cu Δ = 0 față de axa Ox:

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = 0 înseamnă o rădăcină dublă.
    2. Grafic, parabola atinge Ox într-un singur punct: este tangentă.

    Răspuns: este tangentă la Ox

  10. Exercițiul 10

    Determină m astfel încât parabola y = x2 − 6x + m să fie tangentă la Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. Δ = 36 − 4m.
    2. Impunem Δ = 0: 36 − 4m = 0.
    3. m = 9.

    Răspuns: 9

  11. Exercițiul 11

    Determină punctele comune ale dreptei y = x + 1 cu parabola y = x2 − x + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Egalăm: x2 − x + 1 = x + 1.
    2. x2 − 2x = 0, deci x(x − 2) = 0.
    3. x = 0 dă y = 1, iar x = 2 dă y = 3.
    4. Punctele sunt (0, 1) și (2, 3).

    Răspuns: (0, 1) și (2, 3)

  12. Exercițiul 12

    Scrie f(x) = x2 + 6x + 5 în forma canonică a(x − h)2 + k.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 + 6x + 5 = x2 + 6x + 9 − 9 + 5.
    2. Primele trei termene formează (x + 3)2.
    3. Rezultă f(x) = (x + 3)2 − 4.

    Răspuns: f(x) = (x + 3)2 − 4

  13. Exercițiul 13

    Află minimul funcției f(x)=x2−8x+19 și punctul unde se atinge.

    Vezi rezolvarea
    1. f(x)=(x−4)2+3. (x−4)2=x2−8x+16. Mai adăugăm 3 pentru a obține 19.
    2. (x−4)2≥0, deci f(x)≥3. Pătratul unui număr real nu poate fi negativ.
    3. Minimul este 3, atins la x=4. x−4=0 anulează pătratul; vârful este V(4,3).

    Răspuns: Minimul este 3, atins la x=4

Fișă progresivă · Parabola · grafic, vârf și toate situațiile (12)

  1. 1. Descoperire ghidată

    Pentru f(x) = x2 − 4x + 3, în ce sens se deschide parabola?

    Vezi răspunsul

    În sus: a = 1 > 0.

  2. 2. Descoperire ghidată

    Care este ecuația axei de simetrie pentru f(x) = x2 − 4x + 3?

    Vezi răspunsul

    x = −b2a = 2

  3. 3. Descoperire ghidată

    Determină vârful parabolei f(x) = x2 − 4x + 3.

    Vezi răspunsul

    V(2, −1): f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.

  4. 4. Descoperire ghidată

    Care este intersecția cu Oy pentru aceeași funcție?

    Vezi răspunsul

    (0, 3)

  5. 5. Consolidare

    Determină intersecțiile cu Ox ale parabolei y = x2 − 4x + 3.

    Vezi răspunsul

    x2 − 4x + 3 = 0 dă x = 1 sau x = 3: punctele (1, 0) și (3, 0).

  6. 6. Consolidare

    Pe ce interval este f(x) = x2 − 4x + 3 descrescătoare?

    Vezi răspunsul

    (−∞, 2]

  7. 7. Consolidare

    Care este valoarea minimă a funcției f(x) = x2 − 4x + 3?

    Vezi răspunsul

    −1 (valoarea din vârf)

  8. 8. Consolidare

    Pentru ce x este f(x) < 0?

    Vezi răspunsul

    x ∈ (1, 3) (între rădăcini)

  9. 9. Consolidare

    O parabolă cu Δ = 0 față de axa Ox:

    Vezi răspunsul

    Este tangentă la Ox: au un singur punct comun, vârful.

  10. 10. Rezolvi singur

    Determină m astfel încât parabola y = x2 − 6x + m să fie tangentă la Ox.

    Vezi răspunsul

    Δ = 36 − 4m = 0, deci m = 9.

  11. 11. Rezolvi singur

    Determină punctele comune ale dreptei y = x + 1 cu parabola y = x2 − x + 1.

    Vezi răspunsul

    x2 − x + 1 = x + 1, deci x2 − 2x = 0: punctele (0, 1) și (2, 3).

  12. 12. Rezolvi singur

    Scrie f(x) = x2 + 6x + 5 în forma canonică a(x − h)2 + k.

    Vezi răspunsul

    f(x) = (x + 3)2 − 4

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.